6.2平面向量数量积 同步学案（含答案）

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平面向量的数量积学案
一．学习目标
平面向量数量积是一个新的运算法则，在学习的时候应注意理解其本身含义，通过理解向量的数量积运算概念之后，进一步探究两个向量的夹角对数量积的影响。
平面向量数量积作为平面向量的解题工具，通过数量积表示向量的模以及向量的夹角是本节内容的重点，同时应加强对于平面向量数量积运算律的理解，运用平面向量的数量积解决相应的几何问题。
二．基础知识
1.向量的夹角：
已知两个非零向量和，是平面上的任意一点，作，，则
叫做向量和的夹角。
2.向量数量积的定义：
已知两个非零向量和，它们的夹角为，我们把数量叫做向量和的数量积(或内积)，记作，即.
3.投影向量：
如图(1)，设和是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量；
如图(2)，我们可以在平面内任取一点，作，，过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量。
4.向量的数量积的运算律
已知向量、，和实数，有：
(1)；
(2)
(3)
5.向量的数量积的综合应用
设都是非零向量，它们的夹角是，则
(1)
(2)
(3)
6.数量积基本概念结论性质：
(1)向量夹角的取值范围是；当时，和同向；当时，和反向．
(2)如果向量和的夹角是，我们说和垂直，记作；
(3)零向量与任一向量的数量积为0；
(4)向量的数量积与数乘向量的区别是什么？提示：向量的数量积是一个实数，数乘向量仍是一个向量。
(5)设和是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
①
②?
③当和同向时，；当和反向时，；特别地，或；
④
⑤时，或吗？提示：不一定，当时，也有.
(6)零向量与向量的夹角是多少呢？
提示：向量的夹角是针对非零向量定义的，零向量与向量的夹角没有意义．
三．典例分析与性质总结
题型1：向量的夹角问题
例1：在中，，是的中点．求：
(1)与的夹角大小；
(2)与的夹角大小。
[方法技巧]
求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出。
题型2：向量数量积的运算
例2：已知，，当：(1)和的夹角；(2)；(3)时，分别求
[方法技巧]
已知求时，需先确定两向量的夹角，再利用数量积的定义求解；注意时，要分和两种情况讨论。
题型3：向量的投影
例3：设非零向量和，它们的夹角为.
(1)若，，求在方向上的投影；
(2)若，，求在方向上的投影。
[方法技巧]
在的方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负也可为0，它的符号取决于角
的范围。
题型4：向量的数量积的运算律
例4：已知，，和的夹角为120°，试求：
(1)；
(2)；
(3)．
[方法技巧]
求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角；若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简。
题型5：向量的模
例5：已知向量和满足，，，则________.
[方法技巧]
1要求几个向量线性运算后的模，可先求其平方，利用数量积的计算易解；
2.已知两个向量线性运算后的模，求某个向量的模，可把条件平方后化为所求目标的方程求解。
题型6：向量的夹角
例6：已知非零向量和满足，且，则和的夹角为(　　)
A.
B.
C.
D.
[方法技巧]
要求和的夹角，如果向量的数量积或向量之间的关系已知，通常借助于公式进行
计算，注意向量运算律的使用情形。
题型7：向量垂直的判定
例7：已知，，且和的夹角为60°，则当k为何值时，向量与垂直？
[方法技巧]
解决向量垂直问题常用向量数量积的性质?.；这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握。
题型8：向量数量积的综合应用
例8：在中，，，，且，试判断的形状．
[方法技巧]
依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向。
四．变式演练与提高
1.已知，且和的夹角为，设与的夹角为，与的夹角是；求。
2.在中，，，则＝(　　)
A．
B．
C．8
D．16
3.已知向量和，其中，，，则在的方向上的投影为(　　)
A．
B．1
C．
D．2
4.已知向量和的夹角为，且，则.
5.已知单位向量的夹角为，且，若向量，求。
6.设两个向量满足，，的夹角为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围。
7.是所在平面上一点，若，则P是的(　　)
A．外心　　　B．内心　　　C．重心　　　D．垂心
8.若是所在平面内一点，且满足，则的形状为(　　)
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
五．反思总结
1.两向量夹角的实质和求解
(1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决；
(2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出。
2.两向量和的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正，也可以为负，还可以为0．
3.几何意义：
(1)投影的概念：若向量和的夹角为，则向量在的方向上的投影为；向量在的方向上的投影为.
(2)数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积；数量积也等于的长度与在的方向上的投影的乘积，这两个投影是不同的。
4.向量数量积的运算律
(1)数量积对结合律一般不成立，因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，两者一般不同．
(2)在实数中，若则或；但是在数量积中，即使，也不能推出或，因为其中有可能为0.
(3)在实数中，若，，则；在向量中，，却无法得出的结论。
六．课后作业
1.若，，和的夹角为135°，则(　　)
A．
B．
C．
D．12
2.已知，在方向上的投影是，则(　　)
A．3
B.
C．2
D.
3.在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是(　　)
A.与的夹角是锐角
B.与的夹角是锐角
C.与的夹角是钝角
D.与的夹角是锐角
4.已知向量满足：，，求的取值范围。
5.对于向量和实数λ，下列命题中真命题是(　　)
A．若，则或
B．若，则或
C．若，则或
D．若，则
6.若向量和的夹角为60°，，，则|(　　)
A．2
B．4
C．6
D．12
7.已知平面上三点A，B，C满足，则的值等于(　　)
A．
B．
C．
D．
8.设和的模分别为4和3，夹角为60°，求.
9.已知向量和的夹角为60°，且，若，，求：
(1)；(2)
七．参考答案
（三．典例分析与性质总结）
例1：解析
(1)如图所示，在中，，
∴为直角三角形．∴
∵是的中点，∴，.
在中，.
∴与的夹角大小为；
(2)∵，
∴与的夹角也为
例2：解析
(1)当和的夹角时，
(2)当，即和的夹角时，
(3)当，即和的夹角和，
若，则；
若，则
例3：解析
(1)；∴在的方向上的投影为
(2)；∴在的方向上的投影为.
例4：解析
(1)
(2)
(3)
例5：解析：
因为，，，
所以
例6：解析：
设和夹角为，由题意，得，即，所以
，所以
例7：解析：
由题知，
∵与垂直
∴
即；，
解得
例8：解析：
在中，易知；因此，，
从而，，
两式相减可得
则
因为，所以，即.
同理可得，故
即是等边三角形。
（四．变式演练与提高）
1.解析：
如图，作，，且，以为邻边作平行四边形，
则，，
因为，所以△OAB为正三角形，所以，
即与的夹角.
因为，所以平行四边形为菱形，所以.
所以，
即与的夹角，∴.
2.解析：
设，所以，。
3.解析：
，即，从而得，
∴，①
，即，从而得，
∴，②
联立①②解得，
∴在的方向上的投影为
4.解析：
5.解析：
因为，所以。
6.解析：
由向量与的夹角为钝角，得
∴，
化简得，解得。
当夹角为时，也有，但此时夹角不是钝角．
设，，则
∴.
∴所求实数的取值范围是
7.解析：
由得·(－)＝0，
即，∴.
同理，，∴为的垂心。
8.解析：
，，于是，所以，即，
从而，故为直角三角形。
（六．课后作业）
1.解析：
考查向量数量积的定义，
2.解析：
；故选B.
3.解析：
由向量夹角的定义可知，与的夹角为，为锐角。
4.解析：
∵，∴，
又，∴.
∵，∴，∴，故的取值范围是。
5.解析：
A中，若，则或或，故A错；
C中，若，则，C错；
D中，若，则可能有，，但，故只有选项B正确，故选B.
6.解析：
∵，∴
∴
∴；解得
7.解析：
∵，
∴
即
∴.
8.解析：
9.解析：
(1)因为向量和的夹角为60°.
，所以，
因为，，
所以
(2)因为
所以.
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精品试卷·第
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