22.6 正方形 优质课件（27张PPT）

第二十二章 四边形
22.6 正方形
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CONTENTS
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想一想：
矩形经过怎样的变化就成为了正方形呢？
菱形经过怎样的变化就成为了正方形呢？
矩形
正方形
邻边
相等
菱形
有一个角是直角
正方形
CONTENTS
2
正方形的概念
定义：有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形的性质
问题1
正方形是中心对称图形吗？它是轴对称图形吗？它有几条对称轴，它的对称中心是什么？
A
B
C
D
正方形的性质

归纳：
正方形是中心对称图形，它的中心是对称中心，
正方形也是轴对称图形，它有四条对称轴：两条对角线和每组对边中点连线所在直线.
正方形的性质
问题2
结合下图，谈谈正方形与平行四边形、矩形和菱形的关系.
两组对边分别平行
有一个角为直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角为直角
正方形的性质
对角线互相平分
对角线相等
对角线互相垂直
？
？
正方形的性质
归纳：正方形既是矩形,又是菱形,它具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质.
正方形的性质1:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.
正方形的性质2:正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形的性质3:既是中心对称图形也是轴对称图形.
想一想：正方形具有哪些性质？
例1 已知：如图所示,在正方形ABCD中,点E在对角线AC上.
求证：BE=DE.
正方形的性质
证明:在△AED和△AEB中,
∵AD=AB,AE=AE,
∠DAC=∠BAC=45°,
∴△AED≌△AEB,
∴BE=DE.
正方形的性质
例2 已知：如图所示,在正方形ABCD中,△BCE是等边三角形.
求证：∠EAD=∠EDA=15°.
证明:∵∠EBC=∠ECB=∠CEB=60°，
∴△ABE,△DCE是等腰三角形，∠ABE=∠DCE=30°,
∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°.
∴∠EAD=∠EDA=90°－75°=15°.
正方形的判定
想一想：我们之前是怎样判定矩形和菱形的？
对于正方形我们依然从定义、边、角、对角线方面来考虑.
正方形的判定
正
方
形
的
判
定
定义
边
角
对角线
有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形
有一组邻边相等的矩形
有一个角是直角的菱形
对角线相等的菱形
对角线互相垂直的矩形
对角线相等且互相垂直平分的四边形
对角线相等且互相垂直的平行四边形
正方形的判定
例3 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．求证：四边形EFMN是正方形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，
CONTENTS
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1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　 )　
A．四个角都相等
B．四条边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
B
2.(中考·日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(　　)
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
B
3.(中考·龙东)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件
____________________________，使四边形ABCD是正方形．
∠BAD＝90°(答案不唯一)
4.如图，已知在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E
是BD的延长线上的点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，
∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED，
∠DAC＝∠EAD＋∠AED，
∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO，BD＝2DO，
∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形.
证明：
CONTENTS
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正方形的性质
定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
四个角都是直角，
四条边都相等
两条对角线相等且互相垂直平分，
5种识别方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
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