30.4 第2课时 二次函数的最值问题 优质课件（24张PPT）

第三十章 二次函数
30.4 二次函数的应用
第2课时 二次函数的最值问题
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想一想：
从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式为h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?
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二次函数的最值问题
例1 用总长度为24 m的不锈钢材料制成如图所示的外观为矩形的框架,其横档和竖档分别与AD,AB平行.设AB=x m,当x为多少时,矩形框架ABCD的面积S最大?最大面积是多少平方米?
A
B
C
D
想一想：(1)当矩形的宽AB=x m时,如何用包含x的代数式表示矩形的长BC?
(2)矩形的面积S与矩形的宽x之间的等量关系是什么?
(3)你能写出矩形的面积S与矩形的宽x之间的函数表达式吗?
(4)请用配方法将所得到的二次函数一般式转化成顶点式.
(5)该二次函数有没有最大值?最大值是多少?此时x的值是多少?
二次函数的最值问题
A
B
C
D
二次函数的最值问题
解:∵
∴当x=3时,S有最大值,且S最大=12m2 .
答:当x=3时,矩形框架ABCD的面积S最大,最大面积为12 m2.
且a= <0,
二次函数的最值问题
归纳：利用二次函数解决生活实际中最值问题的一般方法:
（1）根据题意找等量关系,列出二次函数的表达式,求出符合题意的自变量的取值范围.
（2）在自变量的取值范围内,求出二次函数的最大值或最小值.
二次函数的最值问题
例2 一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次(最低档次)的产品一天能生产80件,每件可获利润12元.产品每提高一个档次,每件产品的利润增加2元,但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑,他生产哪个档次的产品,可获得最大利润?
提示：求最大利润的实质是求二次函数的最大值.
总利润=每件商品的利润×商品数量
二次函数的最值问题
解:设生产第x档次的产品时,每天所获得的利润为w元,则:
w=[12+2(x-1)][80-4(x-1)]
=(10+2x)(84-4x)
=-8x2+128x+840
=-8(x-8)2+1352.
当x=8时,w有最大值,且w最大=1352.
答:该工艺师生产第8档次的产品,可使每天获得的利润最大,最大利润为1352元.
二次函数的最值问题
归纳：利用二次函数求实际问题的最值的一般步骤:
(1)认真分析题意,找两个变量之间的等量关系;
(2)根据等量关系写出二次函数的表达式,根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围;
(3)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.
二次函数的最值问题
练一练：如图所示,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是(　　)
A.60 m2
B.63 m2
C.64 m2
D.66 m2
C
二次函数的最值问题
归纳：求二次函数最值最常用的方法有两种:
(1)配方法:
(2)公式法:直接利用上述关系式经过配方得出结论.
若a>0,则当x=- 时,y最小值= ;
若a<0,则当x=- 时,y最大值= .
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1.二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值为(　　)
A．2 B．4 C．－4 D．16
B
2.如图所示,△ABC是直角三角形,∠A=90°, AB=8 cm,AC=6 cm,点P从点A出发,沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动;同时点Q从点A出发,沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动,其中一个动点到达终点,则另一个动点也停止运动,则△APQ的最大面积是(　　)
A.8 cm2 B.16 cm2
C.24 cm2 D.32 cm2
B
3.已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为(　　)
A．25 cm2 B．50 cm2
C．100 cm2 D．不确定
4.用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为(　　)
A．20 B．40 C．100 D．120
B
D
5.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售,一天可售出100件,该店想通过降低售价增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?
配方得y=-100 +225.
因为x= 时,满足0≤x≤2,所以当x= 时,函数取得最大值,最大值为225.
所以将这种商品的售价降低 元时,能使销售利润最大.
解:设每件商品降价x元(0≤x≤2),该商品每天的利润为y元.
商品每天的利润y与x的函数表达式是:
y=(10-x-8)(100+100x),
即y=-100x2+100x+200,
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二次函数
的最值问题
(1)认真分析题意,找两个变量之间的等量关系;
(2)根据等量关系写出二次函数的表达式,根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围;
(3)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.
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