30.2 第1课时 二次函数y=ax2的图像和性质 优质课件（30张PPT）

第三十章 二次函数
30.2 二次函数的图像和性质
第1课时 二次函数y=ax2的图像和性质
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CONTENTS
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看一看：
观察下列运动，试着发现它们的规律
CONTENTS
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二次函数y=ax2的图像
问题1.1 一次函数、反比例函数的图像分别是什么形状?
一条直线、双曲线
列表、描点、连线
问题1.2 画函数图像的基本步骤是什么?
二次函数y=ax2的图像
问题1.3 探究一次函数、反比例函数的性质的基本思路是怎样的?
问题1.4 类比探究一次函数、反比例函数性质的思路来研究二次函数的性质,所以我们应该先探究什么内容?
先画出一次函数的图像,然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质
先画出二次函数的图像
-1
-2
-3
9
3
6
1
2
3
y
O
x
二次函数y=ax2的图像
问题2 画二次函数y=x2的图像.
y=x2
(1)列表.
(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线连接各点.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
向两方无限延伸
二次函数y=ax2的图像
想一想：观察二次函数y=x2的图像,回答下列问题:
(1)若将y=x2的图像沿着y轴对折,y轴两侧的部分能够完全重合吗?y=x2的图像是不是轴对称图形?如果是,那么它的对称轴是哪条直线?
(2)函数y=x2的图像有最低点吗?如果有,那么最低点的坐标是什么?
能够完全重合，是轴对称图形，对称轴是y轴
y=x2的图像有最低点，最低点的坐标是(0,0)
二次函数y=ax2的图像
定义：二次函数y=ax2的图像是一条关于y轴对称的曲线,这样的曲线叫做抛物线,曲线的对称轴叫做抛物线的对称轴,抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
二次函数y=ax2的性质
问题1.1 请画出二次函数y=-x2的图像.
-1
-2
-3
-4
-6
3
-9
-5
1
2
-3
4
5
y
O
x
二次函数y=ax2的性质
问题1.2 在如图所示的直角坐标系中,
已画出了y=2x2的图像,请再画
出函数y=-2x2的图像.
二次函数y=ax2的性质
想一想：对比函数y=x2与y=-x2,y=2x2与y=-2x2的图像,就二次函数y=ax2回答以下问题:
(1)图像的开口方向和它的最高(或最低)点与a的符号具有怎样的关系?
(2)图像是不是轴对称图形?如果是,那么它的对称轴是哪条直线?
(3)根据图像,说明y的值随x的值增大而变化的情况.
二次函数y=ax2的性质
二次函数y=ax2的图像和性质:
表达式
开口方向
对称轴
顶点坐标
y随x的变化情况
最大(或最小)值
y=ax2
(a>0)
y=ax2
(a<0)
向上
向下
y轴
y轴
原点
(0,0)
原点
(0,0)
当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大
当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小
有最低点(0,0).当x=0时,y最小=0
有最高点(0,0).当x=0时,y最大=0
二次函数y=ax2的性质
问题2.1 在同一直角坐标系中，画出函数 的图像．
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
…
…
…
y=2x2
…
…
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4
1
0
1
9
4
2
0.5
0
4.5
2
0.5
4.5
8
2
0
8
0.5
18
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二次函数y=ax2的性质
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-2
-3
9
3
6
1
2
3
y
O
x
y=x2
y=2x2
当a>0时，a越大，开口越小.
二次函数y=ax2的性质
问题2.2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图像．
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
…
…
…
…
y=-2x2
…
…
-9
-4
-1
0
-1
-9
-4
-2
-0.5
0
-4.5
-2
-0.5
-4.5
-8
-2
0
-8
-0.5
-18
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二次函数y=ax2的性质
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-4
-6
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-9
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-3
4
5
y
O
x
y=-x2
y=-2x2
当a<0时，a越大，开口越大.
二次函数y=ax2的性质
归纳：抛物线y=ax2中的系数a决定抛物线的开口方向和大小,当|a|越大时,抛物线的开口越小;当|a|越小时,抛物线的开口越大.
二次函数y=ax2的性质
练一练：抛物线y=2x2，y=-2x2，y=x2的共同性质是( )
A.开口向上
B.对称轴是y轴
C.都有最高点
D.y随x的增大而增大
B
CONTENTS
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1.若点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y=-4x2图像上两点，且x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系是( )
A.y1＞y2 B.y1＜y2
C.y1≥y2 D.y1≤y2
2.已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A(-2，y1)，点B(1，y2)，则下列关系式一定成立的是( )
A.y1＞0＞y2 B.y2＞0＞y1
C.y1＞y2＞0 D.y1≤y2
B
C
3.如图，从y=-x2的图像上可看出当-3A.-9B.-9≤y<-1
C.-9≤y≤0
D.-9D
4.如图，在同一坐标系中，作出①y=3x2，②y= x2，③y=x2的图像，则图像中从里到外的三条抛物线对应的函数依次是____________.(填序号)
①③②
5.二次函数y=ax2的图像如图所示.
(1)求这个二次函数表达式；
(2)若另一函数图像与该函数图像关于x轴对称，试求另一个函数的表达式.
解： (1)因为图像经过(2,2)，代入表达式，
得a= ，
2
1
y=- x2.
2
1
故所求的表达式为y= x2.
2
1
(2)由题意得另一个函数的表达式为
6.二次函数y=ax2的图像与直线y=2x-1相交于点P(1，m).
(1)求a，m的值;
(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，该表达式的y随x的增大而增大；
(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴.
(3)顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴.
解： (1)将(1,m)代入y=2x-1，
得m=2×1-1=1.
所以点P的坐标为(1,1)，
将点P的坐标(1,1)代入y=ax2，得
1=a×12，
解得a=1.
(2)二次函数的表达式为y=x2，
当x>0时，y随x的增大而增大.
CONTENTS
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二次函数y=ax2的图像及性质
图像及性质
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）,开口向上
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0），开口向下
当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
特性
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
谢谢
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