3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

(共21张PPT)
3.3.1
二元一次不等式（组）与平面区域
制作：河田中学数学组 yelimin
一只蚂蚁在地平面上寻找食物，蚂蚁的位置可由坐标(x,y)确定，现知在直线L：x+y-1=0左下方区域某处有一食物，如果蚂蚁运动的坐标始终满足x+y-1>0,那么蚂蚁能找到食物吗？
哈哈，我是蚂蚁！
O
x
y
L
一、问题情境：
一家银行的信贷部计划年初投入2500 万元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来3万元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪，那么，信贷部应该如何分配资金呢？
你能列出题目中所存在的不等
关系吗？
把实际问题
数学问题：
问题1：
把文字语言
符号语言：
问题2：
把实际问题
数学问题：
设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。
把文字语言
符号语言：
由资金总数不超过25 00万元
预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收3万元以上
（12﹪)x+(10﹪)y≥3
即12x+10y≥3 00
用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值
将①，②，③合在一起，得到分配资金应该满足的条件：
①
②
③
二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式
二元一次不等式组：由几个二元一次不
等式组成的不等式组
问题1：
问题2：
二、新知探究：
1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：
含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式；
（2）二元一次不等式组：
由几个二元一次不等式组成的不等式组；
（3）二元一次不等式的解集：
满足二元一次不等式的有序实数对(x，y)构成的集合；
你知道二元一次不等式的解集是什么？
思考：在平面直角坐标系中, 点的集合 {(x,y)|x+y-1=0}表示什么图形？
二、新知探究：
2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
回忆：一元一次不等式（组）的解集－－数集
图形－－－数轴上的区间。
如：不等式组
的解集为数轴上的一个区间（如图）。
问题3：在直角坐标系内，二元一次不等式的解集表示什么图形？
二、新知探究：
（2）探究
特殊：二元一次不等式 x－y <6 的解集所表示的图形。
作出x－y =6的图像：一条直线
右下方区域
直线把平面内所有点分成三类:
a)在直线x－y =6上的点
b)在直线x－y =6左上方区域内
c)在直线x－y =6右下方区域内
左上方区域
x
y
0
6
－6
●
6
－6
(0,0)
(3,－3)
(－2, 3)
(1,－6)
(7,0)
●
●
●
●
x
y
思考:在平面坐标系上描点 (3,－3)（0,0）,(－2,3),(7,0),(1,－6),
看看它们与直线x－y－6=0的位置关系,并计算x－y－6的值
二、新知探究：
2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
从特殊到一般
（1）对直线L右下方的点(x, y)，x－y－6＞0 成立。
（2）对直线L左上方的点(x, y)，x－y－6＜0 成立。
x
y
o
6
6
猜一猜：
x－y－6>0
x－y－6<0
P(x0 ,y0)
6
6
过点 P做平行于x轴的直线y=y0 ，
x
y
o
x－y－6=0
y= y0
A(x, y)
∵ x>x0, y=y0 ∴ x－y>x0－y= x0 －y0
∴ x－y>x0－y0 ，∴ x－y－6> x0－y0－6
又x0－y0－6=0 ∴x－y－6>0
因为点P为直线x－y－6=0上任意一点,
同理,对于直线左上方的任意一点(x,y),都有x－y－6<0
在直线 x－y+1=0上取一点P(x0, y0)，
在此直线上点P右侧的任意一点A(x,y)
证一证：
x
故对于直线x－y－6=0右下方的任意点(x,y),都有x－y－6>0
二、新知探究：
2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
结论:在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y =6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6,故不等式x-y<6表示直线x-y = 6的左上方的平面区域,类似地,二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6的右下方的平面区域
直线叫做这两个区域的边界。
注意：把直线画成虚线以表示区域不包括边界
x
y
-6
6
O
x-y <6
x
y
O
6
-6
x-y>6
二、新知探究：
2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
二元一次不等式Ax + By + C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平面区域。（虚线表示区域不包括边界直线）
结论一
二元一次不等式表示相应直线的
某一侧平面区域
O
x
y
Ax + By + C = 0
从特殊到一般
二、新知探究：
问题4：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同，只需在直线的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,根据Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区域.
结论二
直线定界，特殊点定域.
小诀窍
如果C≠0,可取(0,0);
如果C＝0,可取(1,0)或(0,1).
从一般到特殊
例1：画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域
x+4y―4=0
解：(1)直线定界:先画直线x + 4y – 4 = 0（画成虚线）
(2)特殊点定域:取原点（0，0），代入x + 4y - 4，因为 0 + 4×0 – 4 = －4 < 0
所以，原点在x + 4y – 4 < 0表示的平面区域内，
不等式x + 4y – 4 < 0表示的区域如图所示。
三、例题示范：
1
4
x
y
0
x + 4y – 4 < 0
课堂练习1:
(1)画出不等式4x―3y≤12
表示的平面区域
x
y
4x―3y－12=0
x
y
x=1
(2)画出不等式x≥1
表示的平面区域
-4
3
0
0
1
y < －3x+12
x<2y
的解集.
例2、用平面区域表示不等式组
0
x
y
3x+y-12=0
x-2y=0
三、例题示范：
4
8
4
8
12
分析：不等式组表示的平面区域
是各不等式所表示的平面点集的
交集，因而的各个不等式所表示
的平面区域的公共部分。
课堂练习2：
课本第86页的练习1、2、3。
1、不等式x – 2y + 6 > 0表示的区域在直线x – 2y + 6 = 0的（ ）
（A）右上方 （B）右下方 （C）左上方 （D）左下方
2、不等式3x + 2y – 6 ≤0表示的平面区域是（ ）
B
D
课堂练习2：
课本第86页的练习1、2、3。
3、不等式组
B
表示的平面区域是（ ）
⑴ 二元一次不等式表示平面区域：
直线某一侧所有点组成的平面区域。
⑵ 判定方法：
直线定界，特殊点定域。
小结：本节课学习了那些内容？
⑶ 二元一次不等式组表示平面区域：
各个不等式所表示平面区域的公共部分。
数学思想：从特殊到一般，从一般到特殊
作业：
课本 P93 习题3.3 [A组] 第 1、2题。
补充：求由三直线x-y=0; x+2y-4=0及y+2=0所围成的平面区域所表示的不等式。