14.2勾股定理的应用（第2课时）
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(共26张PPT)
勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a +b =c 。
c
a
b
A
B
C
∵ 在Rt△ABC中, ∠C=90 ,AB=c,AC=b,BC=a,
a2+b2=c2.
┏
逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形。
∵ △ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2,
∠C=90 (△ABC是直角三角形) .
c
a
b
A
B
C
例1 两军舰同时从港口O出发执行任务，甲舰以30海里/小时的速度向西北方向航行，乙舰以40海里/小时的速度向西南方向航行，问1小时后两舰相距多远？
甲(A)
西
东
北
南
O
乙(B)
┏
解：在直角三角形OAB中
因为OA=30 OB=40
所以AB=
答：1小时后两舰相距50海里。
假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏点B的直线距离是多少千米？
练 习
C
D
解:过点B作BC⊥AD于C,得Rt⊿ABC
由题意,有AC=8-3+1=6千米,
BC=2+6=8千米
∴AB=
=10(千米)
答:点A到点B的直线距离是10千米
A
B
例2 如图所示，有一个高为12cm，底面半径为3cm的圆柱，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到圆柱上底面上与A点相对的B点处的食物，问这只蚂蚁沿着侧面需要爬行的最短路程为多少厘米？( 的值取3、结果精确到0.1)
A
C
B
侧面展开图
A
C
B
A
B
解：把圆柱侧面展开如图，在Rt△ACB中
∵AC=12 BC=2×3×п=18
∴AB=
答：最短路程约为21.6 厘米
小 结：
把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”性质来解决问题。
拓展1 如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
A
B
A
B
10
10
10
B
C
A
拓展2 如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
A
B
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多少种情况？
(1)经过前面和上底面;
(2)经过前面和右面;
(3)经过左面和上底面.
A
B
2
3
A
B
1
C
3
2
1
B
C
A
3
2
1
B
C
A
(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为
解:
A
B
2
3
A
B
1
C
AB＝
＝
＝
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为
A
B
3
2
1
B
C
A
AB＝
＝
＝
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为
A
B
AB＝
＝
＝
3
2
1
B
C
A
小结：勾股定理在生活中的应用十分广泛，利用勾股定理解决问题，关键是找出问题中隐藏的直角三角形或自己构造合适的直角三角形，尝试把立体图形转换为平面图形。
挑战“试一试”:
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 说明理由。
A
B
C
D
2米
2.3米
A
B
M
N
O
C
┏
D
分析
H
2米
2.3米
由于厂门宽度足够,所以卡车能否通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB, 与地面交于H．
解
CD＝
CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
在Rt△OCD中，由勾股定理得
＝
＝0.6米，
A
B
M
N
O
C
┏
D
H
2米
2.3米
本节课你有哪些收获？
P60 1、2、3
补充：1.一艘轮船以20海里/小时的速度离开港口O向东北方向航行，另一艘轮船同时以22海里/小时的速度离开港口向东南方向航行，2小时后两船相距多远？
甲(A)
西
东
北
南
O
乙(B)
┏
2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？
2
0.3
0.2
A
B
A
B
C
2m
(0.2×3＋0.3×3)m
选作： 1. 如图，长方形中AC=3,CD=5,DF=6,求蚂蚁沿表面从A爬到F的最短距离.
3
5
6
A
C
D
E
B
F
2.如图，小颍同学折叠一个直角三角形
的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=8cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
C
A
B
D
E
┏
试一试：
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
D
A
B
C
勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a +b =c 。
c
a
b
A
B
C
∵ 在Rt△ABC中, ∠C=90 ,AB=c,AC=b,BC=a,
a2+b2=c2.
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逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形。
∵ △ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2,
∠C=90 (△ABC是直角三角形) .
c
a
b
A
B
C
例1 两军舰同时从港口O出发执行任务，甲舰以30海里/小时的速度向西北方向航行，乙舰以40海里/小时的速度向西南方向航行，问1小时后两舰相距多远？
甲(A)
西
东
北
南
O
乙(B)
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解：在直角三角形OAB中
因为OA=30 OB=40
所以AB=
答：1小时后两舰相距50海里。
假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏点B的直线距离是多少千米？
练 习
C
D
解:过点B作BC⊥AD于C,得Rt⊿ABC
由题意,有AC=8-3+1=6千米,
BC=2+6=8千米
∴AB=
=10(千米)
答:点A到点B的直线距离是10千米
A
B
例2 如图所示，有一个高为12cm，底面半径为3cm的圆柱，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到圆柱上底面上与A点相对的B点处的食物，问这只蚂蚁沿着侧面需要爬行的最短路程为多少厘米？( 的值取3、结果精确到0.1)
A
C
B
侧面展开图
A
C
B
A
B
解：把圆柱侧面展开如图，在Rt△ACB中
∵AC=12 BC=2×3×п=18
∴AB=
答：最短路程约为21.6 厘米
小 结：
把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”性质来解决问题。
拓展1 如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
A
B
A
B
10
10
10
B
C
A
拓展2 如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
A
B
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多少种情况？
(1)经过前面和上底面;
(2)经过前面和右面;
(3)经过左面和上底面.
A
B
2
3
A
B
1
C
3
2
1
B
C
A
3
2
1
B
C
A
(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为
解:
A
B
2
3
A
B
1
C
AB＝
＝
＝
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为
A
B
3
2
1
B
C
A
AB＝
＝
＝
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为
A
B
AB＝
＝
＝
3
2
1
B
C
A
小结：勾股定理在生活中的应用十分广泛，利用勾股定理解决问题，关键是找出问题中隐藏的直角三角形或自己构造合适的直角三角形，尝试把立体图形转换为平面图形。
挑战“试一试”:
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 说明理由。
A
B
C
D
2米
2.3米
A
B
M
N
O
C
┏
D
分析
H
2米
2.3米
由于厂门宽度足够,所以卡车能否通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB, 与地面交于H．
解
CD＝
CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
在Rt△OCD中，由勾股定理得
＝
＝0.6米，
A
B
M
N
O
C
┏
D
H
2米
2.3米
本节课你有哪些收获？
P60 1、2、3
补充：1.一艘轮船以20海里/小时的速度离开港口O向东北方向航行，另一艘轮船同时以22海里/小时的速度离开港口向东南方向航行，2小时后两船相距多远？
甲(A)
西
东
北
南
O
乙(B)
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2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？
2
0.3
0.2
A
B
A
B
C
2m
(0.2×3＋0.3×3)m
选作： 1. 如图，长方形中AC=3,CD=5,DF=6,求蚂蚁沿表面从A爬到F的最短距离.
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6
A
C
D
E
B
F
2.如图，小颍同学折叠一个直角三角形
的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=8cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
C
A
B
D
E
┏
试一试：
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
D
A
B
C