单元综合测试三(第三章综合测试)
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列事件:①如果a,b是实数,那么b+a=a+b;②某地1月1日刮西北风;③当x是实数时,x2≥0;④一个电影院某天的上座率超过50%,其中是随机事件的有( B )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:①③是必然事件,②④是随机事件.
2.一个射手进行射击,记事件E1:“脱靶”,E2:“中靶”,E3:“中靶环数大于4”,E4:“中靶环数不小于5”,则在上述事件中,互斥而不对立的事件共有( B )
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
解析:E1与E3,E1与E4均为互斥而不对立的事件.
3.给甲、乙、丙三人打电话,若打电话的顺序是任意的,则第一个打电话给甲的概率是( B )
A.
B.
C.
D.
解析:给三人打电话的不同顺序有6种可能,其中第一个给甲打电话的可能有2种,故所求概率为P==.故选B.
4.从一批羽毛球中任取一个,如果其质量小于4.8
g的概率是0.3,质量不小于4.85
g的概率是0.32,那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是( B )
A.0.62
B.0.38
C.0.70
D.0.68
解析:记“取到质量小于4.8
g”为事件A,“取到质量不小于4.85
g”为事件B,“取到质量在[4.8,4.85)范围内”为事件C.易知事件A,B,C互斥,且A∪B∪C为必然事件.所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3+0.32+P(C)=1,即P(C)=1-0.3-0.32=0.38.
5.方程x2+x+n=0(n∈(0,1))有实根的概率为( C )
A.
B.
C.
D.
解析:由题意知1-4n≥0,得n≤,∴P==.
6.若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m,n,则点P(m,n)在直线x+y=4上的概率是( D )
A.
B.
C.
D.
解析:由题意知(m,n)的取值情况有(1,1),(1,2),…,(1,6);(2,1),(2,2),…,(2,6);…;(6,1),(6,2),…,(6,6).共36种情况.而满足点P(m,n)在直线x+y=4上的取值情况有(1,3),(2,2),(3,1),共3种情况,故所求概率为=.
7.假设你向如图所示的图形上随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分(等腰直角三角形)内的概率是( A )
A.
B.
C.
D.
解析:这是几何概型问题.设圆的半径为R,则等腰直角三角形的腰长为R,所求概率为P===.
8.从集合A={-1,1,2}中随机选取一个数记为k,从集合B={-2,1,2}中随机选取一个数记为b,则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为( A )
A.
B.
C.
D.
解析:直线y=kx+b不经过第三象限,即k<0,b>0,总的基本事件个数是3×3=9;k<0,b>0包含的基本事件有(-1,1),(-1,2),共2个,所以直线不经过第三象限的概率是P=.
9.下课以后,教室里最后还剩下2位男同学,2位女同学,如果一个一个的走出去,则第2位走的是男同学的概率为( A )
A.
B.
C.
D.
解析:法1:已知有2位女同学和2位男同学,所有走的可能顺序有(女,女,男,男),(女,男,女,男),(女,男,男,女),(男,男,女,女),(男,女,男,女),(男,女,女,男),所以第2位走出的是男同学的概率P==.
法2:由于每一位同学走出的概率是相同的,因此第2位走出的是男同学的概率P==.
10.随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则( C )
A.p1
B.p2C.p1D.p3解析:随机掷两枚质地均匀的骰子,所有可能的结果共有36种.事件“向上的点数之和不超过5”包含的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)共10种,其概率p1==.事件“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立事件,所以“向上的点数之和大于5”的概率p2=.因为朝上的点数之和不是奇数就是偶数,所以“点数之和为偶数”的概率p3=.故p1二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上)
11.在正方形ABCD内任取一点P,则使∠APB<90°的概率是1-.
解析:如图所示,以AB为直径作半圆,当点P落在上时,∠APB=90°,所以使∠APB<90°的点落在图中的阴影部分,设正方形的边长为1,“在正方形ABCD内任取一点P,使∠APB<90°”为事件A,则SΩ=1,SA=1-π×2=1-,∴P(A)=1-.
12.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为.
解析:甲、乙两名运动员选择运动服颜色有(红,红),(红,白),(红,蓝),(白,白),(白,红),(白,蓝),(蓝,蓝),(蓝,白),(蓝,红),共9种.而同色的有(红,红),(白,白),(蓝,蓝),共3种.所以所求概率P==.
13.某射击选手射击一次,击中10环、9环、8环的概率分别为0.3,0.4,0.1,则该射击选手射击一次,击中大于或等于9环的概率是0.7,击中小于8环的概率是0.2.
解析:设“击中10环”“击中9环”“击中8环”分别为事件A,B,C,则P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(C)=0.1,∴P(A+B)=P(A)+P(B)=0.7,P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.8,∴P=1-0.8=0.2.
14.甲乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜的数字记为b,且a、b∈{0,1,2,…,9}.若|a-b|≤1,则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则二人“心有灵犀”的概率为.
解析:此题可化为任意从0~9中取两数(可重复)共有10×10=100种取法.若|a-b|≤1分两类,当甲取0或9时,乙只能猜0、1或8、9共4种,当甲取2~8中的任一数字时,分别有3种选择,共3×8=24种,所以P==.
15.在一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的3个小球,其中一个红色球,两个黄色球,如果第一次先从袋中摸出1个球后再放回,第二次再从袋中摸出1个球,那么两次都摸到黄色球的概率是.
解析:从袋中取出两个球,画出树状图如图所示.
由树状图知,基本事件的总数为9,两次都摸到黄色球所包含的基本事件的个数为4,所以两次都摸到黄色球的概率是.
三、解答题(本大题共6个小题,满分75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分12分)已知盒子中有散落的棋子15粒,其中6粒是黑子,9粒是白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是,从中取出2粒都是白子的概率是,现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少?
解:从中取出2粒都是黑子与都是白子互斥,因而从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和,即为+=.
17.(本小题满分12分)对某班一次测验成绩进行统计,如下表所示:
分数段
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
概率
0.03
0.04
0.17
0.36
0.25
0.15
(1)求该班成绩在[80,100]内的概率;
(2)求该班成绩在[60,100]内的概率.
解:记该班的测试成绩在[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内依次为事件A,B,C,D,由题意知事件A,B,C,D是彼此互斥的.
(1)该班成绩在[80,100]内的概率是P(C∪D)=P(C)+P(D)=0.25+0.15=0.4.
(2)该班成绩在[60,100]内的概率是P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.17+0.36+0.25+0.15=0.93.
18.(本小题满分12分)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解他们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图所示:
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;
(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.
解:(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为=,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)根据频数分布图可得寿命大于200小时的两种品牌产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是=.据此估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.
19.(本小题满分13分)有编号为A1,A2,…,A10的10个零件,测量其直径(单位:cm),得到下面数据:
编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
直径
1.51
1.49
1.49
1.51
1.49
1.51
1.47
1.46
1.53
1.47
其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品.
(1)从上述10个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率;
(2)从一等品零件中,随机抽取2个.
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果;
②求这2个零件直径相等的概率.
解:(1)由所给数据可知,一等品零件共有6个,设“从10个零件中,随机抽取一个为一等品”为事件A,则P(A)==.
(2)①一等品零件的编号为A1,A2,A3,A4,A5,A6.从这6个一等品零件中随机抽取2个,所有可能的结果有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共有15种.
②“从一等品零件中,随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有:{A1,A4},{A1,A6},{A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共有6种.所以P(B)==.
20.(本小题满分13分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查,已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂.
(1)求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数;
(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比,用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.
解:(1)工厂总数为18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数比为=,所以从A,B,C三个区中分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(2)设A1,A2为在A区中抽得的2个工厂,B1,B2,B3为在B区中抽得的3个工厂,C1,C2为在C区中抽得的2个工厂,在这7个工厂中随机抽取2个,全部可能的结果有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2),共有21种.
随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),共有11种.
所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)=.
21.(本小题满分13分)把参加某次铅球投掷的同学的成绩(单位:米)进行整理,分成以下6个小组:[5.25,6.15),[6.15,7.05),[7.05,7.95),[7.95,8.85),[8.85,9.75),[9.75,10.65],并绘制出频率分布直方图,如图所示的是这个频率分布直方图的一部分.已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,第6小组的频数是7.规定:投掷成绩不小于7.95米的为合格.
(1)求这次铅球投掷成绩合格的人数;
(2)你认为这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组?请说明理由;
(3)若参加这次铅球投掷的学生中,有5人的成绩为优秀,现在要从成绩优秀的学生中,随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会,已知a、b两位同学的成绩均为优秀,求a、b两位同学中至少有1人被选到的概率.
解:(1)∵第6小组的频率为1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14.∴参加这次铅球投掷的总人数为=50.
根据规定,第4、5、6组的成绩均为合格,人数为:
(0.28+0.30+0.14)×50=36.
(2)∵成绩在第1、2、3组的人数为(0.04+0.10+0.14)×50=14,成绩在第5、6组的人数为(0.30+0.14)×50=22,参加这次铅球投掷的总人数为50,∴这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在[7.95,8.85)内,即第4组.
(3)设这次铅球投掷成绩优秀的5人分别为a、b、c、d、e,则选出2人的所有可能的情况为:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10种,其中a、b至少有1人的情况为:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,共有7种,
∴a、b两位同学中至少有1人被选到的概率为P=.
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7单元综合测试三(第三章综合测试)
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列事件:①如果a,b是实数,那么b+a=a+b;②某地1月1日刮西北风;③当x是实数时,x2≥0;④一个电影院某天的上座率超过50%,其中是随机事件的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.一个射手进行射击,记事件E1:“脱靶”,E2:“中靶”,E3:“中靶环数大于4”,E4:“中靶环数不小于5”,则在上述事件中,互斥而不对立的事件共有( )
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
3.给甲、乙、丙三人打电话,若打电话的顺序是任意的,则第一个打电话给甲的概率是( )
A.
B.
C.
D.
4.从一批羽毛球中任取一个,如果其质量小于4.8
g的概率是0.3,质量不小于4.85
g的概率是0.32,那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是( )
A.0.62
B.0.38
C.0.70
D.0.68
5.方程x2+x+n=0(n∈(0,1))有实根的概率为( )
A.
B.
C.
D.
6.若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m,n,则点P(m,n)在直线x+y=4上的概率是( )
A.
B.
C.
D.
7.假设你向如图所示的图形上随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分(等腰直角三角形)内的概率是( )
A.
B.
C.
D.
8.从集合A={-1,1,2}中随机选取一个数记为k,从集合B={-2,1,2}中随机选取一个数记为b,则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为( )
A.
B.
C.
D.
9.下课以后,教室里最后还剩下2位男同学,2位女同学,如果一个一个的走出去,则第2位走的是男同学的概率为( )
A.
B.
C.
D.
10.随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则( )
A.p1B.p2C.p1D.p3二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上)
11.在正方形ABCD内任取一点P,则使∠APB<90°的概率是(
).
12.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为(
)
13.某射击选手射击一次,击中10环、9环、8环的概率分别为0.3,0.4,0.1,则该射击选手射击一次,击中大于或等于9环的概率是0.7,击中小于8环的概率是(
)
14.甲乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜的数字记为b,且a、b∈{0,1,2,…,9}.若|a-b|≤1,则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则二人“心有灵犀”的概率为(
).
15.在一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的3个小球,其中一个红色球,两个黄色球,如果第一次先从袋中摸出1个球后再放回,第二次再从袋中摸出1个球,那么两次都摸到黄色球的概率是(
).
三、解答题(本大题共6个小题,满分75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分12分)已知盒子中有散落的棋子15粒,其中6粒是黑子,9粒是白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是,从中取出2粒都是白子的概率是,现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少?
17.(本小题满分12分)对某班一次测验成绩进行统计,如下表所示:
分数段
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
概率
0.03
0.04
0.17
0.36
0.25
0.15
(1)求该班成绩在[80,100]内的概率;
(2)求该班成绩在[60,100]内的概率.
18.(本小题满分12分)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解他们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图所示:
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;
(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.
19.(本小题满分13分)有编号为A1,A2,…,A10的10个零件,测量其直径(单位:cm),得到下面数据:
编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
直径
1.51
1.49
1.49
1.51
1.49
1.51
1.47
1.46
1.53
1.47
其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品.
(1)从上述10个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率;
(2)从一等品零件中,随机抽取2个.
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果;
②求这2个零件直径相等的概率.
20.(本小题满分13分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查,已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂.
(1)求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数;
(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比,用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.
21.(本小题满分13分)把参加某次铅球投掷的同学的成绩(单位:米)进行整理,分成以下6个小组:[5.25,6.15),[6.15,7.05),[7.05,7.95),[7.95,8.85),[8.85,9.75),[9.75,10.65],并绘制出频率分布直方图,如图所示的是这个频率分布直方图的一部分.已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,第6小组的频数是7.规定:投掷成绩不小于7.95米的为合格.
(1)求这次铅球投掷成绩合格的人数;
(2)你认为这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组?请说明理由;
(3)若参加这次铅球投掷的学生中,有5人的成绩为优秀,现在要从成绩优秀的学生中,随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会,已知a、b两位同学的成绩均为优秀,求a、b两位同学中至少有1人被选到的概率.
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