单元综合测试二(第二章综合测试)
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．直线3x＋y－1＝0的倾斜角是( C )
A.
B.
C.
D.
解析：设直线3x＋y－1＝0的倾斜角是θ，θ∈[0，π)．
直线3x＋y－1＝0化为y＝－x＋，
∴tanθ＝－，∴θ＝.故选C.
2．点(1,1)到直线x＋y－1＝0的距离为( C )
A．1
B．2
C.
D.
解析：由点到直线的距离公式d＝＝.
3．方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( A )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意得1＋1＋4m>0，解得m>－.
4．空间直角坐标系中，点M(2,5,8)关于xOy平面对称的点N的坐标为( C )
A．(－2,5,8)
B．(2，－5,8)
C．(2,5，－8)
D．(－2，－5,8)
解析：由题意，关于平面xOy对称的点横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为它的相反数，从而有点M(2,5,8)关于平面xOy对称的点的坐标为(2,5，－8)．故选C.
5．过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( A )
A．x－2y＋7＝0
B．2x＋y－1＝0
C．x－2y－5＝0
D．2x＋y－5＝0
解析：由题意可设所求的直线方程为x－2y＋c＝0，∵过点(－1,3)，代入可得－1－6＋c＝0，则c＝7，∴x－2y＋7＝0.故选A.
6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( D )
A.
B．2
C.
D．2
解析：直线方程为y＝x，圆的方程化为x2＋(y－2)2＝4，∴r＝2，圆心(0,2)到直线y＝x的距离为d＝1，∴弦长为2＝2.
7．若三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0围成一个三角形，则k的取值范围是( B )
A．k∈R且k≠±5且k≠1
B．k∈R且k≠±5且k≠－10
C．k∈R且k≠±1且k≠0
D．k∈R且k≠±5
解析：直线l1：x－y＝0的斜率为1；l2：x＋y－2＝0的斜率为－1；l3：5x－ky－15＝0的斜率为－.由于三条直线围成一个三角形，∴k≠0时满足≠±1，∴k≠±5，k＝0也满足，且三条直线交于一点时k＝－10，∴k≠－10.因此k∈R且k≠±5且k≠－10.故选B.
8．若直线y＝kx－1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为( A )
A.，－
B．4，－
C.，－1
D．1，－1
解析：过点O作OE⊥PQ，垂足为E.∵∠POQ＝120°，∴∠POE＝60°，∴∠OPE＝30°.∴OE＝OP＝.∴圆心到直线的距离为，∴＝，解得k＝±.故选A.
9．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( A )
A．5－4
B.－1
C．6－2
D.
解析：由题意知，圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心分别为C1(2,3)，C2(3,4)，且|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4，点C1(2,3)关于x轴的对称点为C(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|＝|PC|＋|PC2|≥|CC2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.
10．曲线y＝＋1上存在不同的两点关于直线l对称，则直线l的方程可以是( D )
A．y＝－3x＋4
B．y＝x
C．y＝－x＋2
D．y＝x＋1
解析：由题意，曲线y＝＋1表示x2＋(y－1)2＝1(y≥1)，圆心为(0,1)，直线y＝x＋1与曲线相交，所以曲线y＝＋1上存在不同的两点关于直线l对称，则直线l的方程可以是y＝x＋1，不同的两点(0,2)与(1,1)关于直线y＝x＋1对称，故选D.
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程为x－y＋6＝0.
解析：由直线x＋y＋1＝0可得y＝－x－1，设倾斜角为θ.则斜率k＝－，∴tanθ＝－.∴θ＝120°.∴要求的直线倾斜角为60°，其斜率为.∴要求的直线方程为：y－3＝(x＋)，化为x－y＋6＝0.
12．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为－.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－1，又y1＝1，
∴y2＝－3，代入方程x－y－7＝0，得x2＝4，即B(4，－3)，又＝1，∴x1＝－2，即A(－2,1)，∴kAB＝＝－.
13．在空间直角坐标系O－xyz中，y轴上有一点M到已知点A(4,3,2)和点B(2,5,4)的距离相等，则点M的坐标是(0,4,0)．
解析：设M(0，y,0)，由题意得42＋(3－y)2＋4＝4＋(5－y)2＋42，解得y＝4，故M(0,4,0)．
14．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则的最小值为3.
解析：的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离：d＝＝3.
15．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(－1,4)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为30.
解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25①，
得圆心O(3,4)，半径r＝5，
AC长为过点(－1,4)和点O的圆的直径d＝2×5＝10，斜率k＝0，BD为最短弦，所以应与AC垂直为x＝－1②，
②代入①得y2－8y＋7＝0，解得y＝1或y＝7，
∴BD＝7－1＝6，则四边形ABCD面积＝×AC×BD＝×10×6＝30.
三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本题满分12分)如图，在空间直角坐标系中，PA⊥平面OAB，PA＝OA＝2，∠AOB＝30°.
(1)求点P的坐标．
(2)若|PB|＝，求点B的坐标．
解：(1)过A作AE⊥OB于E，则AE＝1，OE＝，所以点A的坐标为(1，，0)，所以点P的坐标为(1，，2)．
(2)因为点B在y轴上，
因此可设点B的坐标为B(0，b,0)，
则|PB|＝＝，解得b＝，
所以点B的坐标为(0，，0)．
17．(本题满分12分)已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P(1,1)．
(1)求直线l的方程；
(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A′的坐标．
解：(1)∵k＝tan135°＝－1，过点P(1,1)，
∴l：y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)设A′(a，b)，则
解得a＝－2，b＝－1，∴A′的坐标为(－2，－1)．
18．(本题满分12分)已知圆C1是经过点A(0,2)和B(2，－2)的所有圆中周长最小的圆．
(1)求圆C1的方程；
(2)若圆C1与圆C2：x2＋y2－6x－2y＋5＝0相交于点C、D，求公共弦长|CD|.
解：(1)当AB为圆C1的直径时，周长最小，则圆心C1(1,0)，半径r＝＝，∴圆C1的方程为(x－1)2＋y2＝5.
(2)把圆C1的方程和圆C2的方程相减，可得公共弦方程为4x＋2y－9＝0，
∴圆C1到公共弦的距离为d＝＝，
则由弦长公式可得＝＝，
所以|CD|＝.
19．(本题满分12分)已知圆C：x2＋(y－2)2＝5，直线l：mx－y＋1＝0.
(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
(2)若圆C与直线l相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程．
解：(1)证明：∵直线l：mx－y＋1＝0经过定点D(0,1)，
点D到圆心(0,2)的距离等于1小于圆的半径，
故定点(0,1)在圆的内部，故直线l与圆C总有两个不同交点．
(2)设中点M的坐标为(x，y)，则由直线和圆相交的性质可得AB⊥CM.
由于定点D(0,1)、圆心C、点M构成直角三角形，由勾股定理得CM2＋DM2＝CD2，
∴x2＋(y－2)2＋x2＋(y－1)2＝(2－1)2，
2x2＋2y2－6y＋4＝0，即x2＋(y－)2＝.
此圆在圆C：x2＋(y－2)2＝5的内部，
故点M的轨迹方程为x2＋(y－)2＝.
20．(本题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，以M(－1,0)为圆心的圆与直线x－y－3＝0相切．
(1)求圆M的方程；
(2)如果圆M上存在不同两点关于直线mx＋y＋1＝0对称，求m的值；
(3)若对圆M上的任意动点P(x，y)，求2x＋y的取值范围．
解：(1)依题意，圆心M(－1,0)到直线x－y－3＝0的距离d＝r，∴d＝＝2＝r，
则圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)∵圆M上存在两点关于直线mx＋y＋1＝0对称，
∴直线mx＋y＋1＝0必过圆心M(－1,0)，
将M坐标代入mx＋y＋1＝0得－m＋1＝0，解得m＝1.
(3)设z＝2x＋y，即2x＋y－z＝0，圆M的圆心为(－1,0)，半径为2，
则M到直线2x＋y－z＝0的距离为＝，
由题意≤2，即z2＋4z－16≤0，
解得－2－2≤z≤2－2，
所以2x＋y∈[－2－2,2－2]．
21．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋9＝0，圆C2：(x＋m)2＋(y＋m＋5)2＝2m2＋8m＋10(m∈R，且m≠－3)．
(1)若m＝5时，试求圆C1与圆C2的交点个数；
(2)设P为坐标轴上的点，满足：过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线，切点分别为T1、T2，使得PT1＝PT2，试求出所有满足条件的点P的坐标；
(3)若斜率为k的直线l平分圆C1，且满足直线l与圆C2总相交，求直线l斜率k的范围．
解：(1)若m＝5时，圆C1即：(x－3)2＋(y＋2)2＝4，圆C2：(x＋5)2＋(y＋10)2＝100，圆心距C1C2＝8∈(8,12)，∴两圆相交，交点个数为2个．
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，圆C1与圆C2的半径分别为r1、r2，由题意得PC－r＝PC－r，
即[(x0－3)2＋(y0＋2)2]－4＝[(x0＋m)2＋(y0＋m＋5)2]－(2m2＋8m＋10)，化简得x0＋y0＋1＝0，
因为P为坐标轴上的点，所以点P的坐标为(0，－1)或(－1，0)．
(3)依题意可知，直线l经过点C1(3，－2)，设直线l的方程为y＋2＝k(x－3)，化简得kx－y－3k－2＝0，则圆心C2(－m，－m－5)到直线l的距离为，
又圆C2的半径为，所以，“直线l与圆C2总相交”等价于?m∈R，且m≠－3，
<，
即<
①.
记y＝，整理得(y－2)m2＋2(3y－4)m＋9y－10＝0，
当y＝2时，m＝－2；
当y≠2时，判别式Δ＝[2(3y－4)]2－4(y－2)(9y－10)≥0，解得y≥1.
综上得y＝(m≠－3)的最小值为1，
所以，①式等价于<1，解得k＞0.
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7单元综合测试二(第二章综合测试)
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．直线3x＋y－1＝0的倾斜角是( )
A.
B.
C.
D.
2．点(1,1)到直线x＋y－1＝0的距离为( )
A．1
B．2
C.
D.
3．方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
4．空间直角坐标系中，点M(2,5,8)关于xOy平面对称的点N的坐标为( )
A．(－2,5,8)
B．(2，－5,8)
C．(2,5，－8)
D．(－2，－5,8)
5．过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．x－2y＋7＝0
B．2x＋y－1＝0
C．x－2y－5＝0
D．2x＋y－5＝0
6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )
A.
B．2
C.
D．2
7．若三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0围成一个三角形，则k的取值范围是( )
A．k∈R且k≠±5且k≠1
B．k∈R且k≠±5且k≠－10
C．k∈R且k≠±1且k≠0
D．k∈R且k≠±5
8．若直线y＝kx－1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为( )
A.，－
B．4，－
C.，－1
D．1，－1
9．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5－4
B.－1
C．6－2
D.
10．曲线y＝＋1上存在不同的两点关于直线l对称，则直线l的方程可以是( )
A．y＝－3x＋4
B．y＝x
C．y＝－x＋2
D．y＝x＋1
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程为（
）.
12．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为（
）
13．在空间直角坐标系O－xyz中，y轴上有一点M到已知点A(4,3,2)和点B(2,5,4)的距离相等，则点M的坐标是（
）．
14．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则的最小值为（
）
15．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(－1,4)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（
）
三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本题满分12分)如图，在空间直角坐标系中，PA⊥平面OAB，PA＝OA＝2，∠AOB＝30°.
(1)求点P的坐标．
(2)若|PB|＝，求点B的坐标．
17．(本题满分12分)已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P(1,1)．
(1)求直线l的方程；
(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A′的坐标．
18．(本题满分12分)已知圆C1是经过点A(0,2)和B(2，－2)的所有圆中周长最小的圆．
(1)求圆C1的方程；
(2)若圆C1与圆C2：x2＋y2－6x－2y＋5＝0相交于点C、D，求公共弦长|CD|.
19．(本题满分12分)已知圆C：x2＋(y－2)2＝5，直线l：mx－y＋1＝0.
(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
(2)若圆C与直线l相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程．
20．(本题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，以M(－1,0)为圆心的圆与直线x－y－3＝0相切．
(1)求圆M的方程；
(2)如果圆M上存在不同两点关于直线mx＋y＋1＝0对称，求m的值；
(3)若对圆M上的任意动点P(x，y)，求2x＋y的取值范围．
21．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋9＝0，圆C2：(x＋m)2＋(y＋m＋5)2＝2m2＋8m＋10(m∈R，且m≠－3)．
(1)若m＝5时，试求圆C1与圆C2的交点个数；
(2)设P为坐标轴上的点，满足：过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线，切点分别为T1、T2，使得PT1＝PT2，试求出所有满足条件的点P的坐标；
(3)若斜率为k的直线l平分圆C1，且满足直线l与圆C2总相交，求直线l斜率k的范围．
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