高中数学人教A版必修一3.1.2用二分法求方程的近似解 课件（54张PPT）

3.1.2用二分法求方程的近似解
学习目标:
1、根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解;
2、通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
新课引入:
某个雷电交加的夜晚，医院的医生正在抢救一个危重病人，忽然电停了，医院采取了应急措施。据了解原因是供电站到医院的某处线路出现了故障，维修工如何迅速查出故障所在? (线路长10km，每50m一棵电线杆）
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200根电线杆子。
? 维修线路的工人师傅怎样工作合理？
想一想
?
探索问题 提取原理
如图,设供电站和医院的所在处分别为点A、B（间距10km)
A
(供电站)
这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半.
C
B
（医院）
D
E
要把故障可能发生的范围缩小到50m～100m左右，即一两根电杆附近，最多查几次就可以了？
算一算
7次
取中点
这种解决问题的方法，就是我们今天要学的二分法。
查找线路电线、水管、气管等管道线路故障
定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法，也叫对分法，常用于：
实验设计、资料查询；
是方程求根的常用方法！
知识回顾
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
零点概念：
等价关系:
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x) 的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
零点存在性定理:
如果函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间[a,b]上必有零点.
用二分法求方程的近似解
思考?
一元二次方程可以用公式求根，但没有公式可用来求方程
的根。联系函数的零点与相应方程的根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？
知识探究（一）:二分法的概念:
思考1:有12个大小相同的小球，其中有11个小球质量相等，另有一个小球稍重，用天平称几次就可以找出这个稍重的球？
思考2:已知函数 在区间（2，3）内有零点，你有什么方法求出这个零点的近似值？
3次
一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，下面我们通过“取中点”
的方法逐步缩小零点所在的范围.
如何找出
这个零点
方程 在区间(2，3)上有零点
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
思考
2
3
2.5
2.75
问题：你有进一步缩小函数零点的范围的方法吗？
2.625
新知探究:
区 间
端点的符号
中点
的值
中点函数
值的符号

区 间
端点的符号
中点
的值
中点函数
值的符号
(2，3)

区 间
端点的符号
中点
的值
中点函数
值的符号
(2， 3)

f(2)<0， f(3)>0
区 间
端点的符号
中点
的值
中点函数
值的符号
(2， 3)

f(2)<0， f(3)>0
2.5
区 间
端点的符号
中点
的值
中点函数
值的符号
(2， 3)

f(2)<0，f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
区 间
端点的符号
中点
的值
中点函数
值的符号
(2, 3)

f(2)<0, f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
(2.5, 3)
区 间
端点的符号
中点
的值
中点函数
值的符号
(2, 3)

f(2)<0, f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
f(2.5)<0, f(3)>0
(2.5, 3)
区 间
端点的符号
中点
的值
中点函数
值的符号
(2, 3)

f(2)<0, f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
f(2.5)<0, f(3)>0
2.75
(2.5, 3)
区 间
端点的符号
中点
的值
中点函数
值的符号
(2, 3)

f(2)<0, f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
f(2.5)<0, f(3)>0
2.75
f(2.75)>0
(2.5, 3)
区 间
端点的符号
中点
的值
中点函数
值的符号
(2, 3)

f(2)<0, f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
f(2.5)<0, f(3)>0
2.75
f(2.75)>0
(2.5, 3)
(2.5, 2.75)
区 间
端点的符号
中点
的值
中点函数
值的符号
(2, 3)

f(2)<0, f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
f(2.5)<0, f(3)>0
2.75
f(2.75)>0
f(2.5)<0,
f(2.75)>0
(2.5, 3)
(2.5, 2.75)
区 间
端点的符号
中点
的值
中点函数
值的符号
(2, 3)

f(2)<0, f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
f(2.5)<0, f(3)>0
2.75
f(2.75)>0
f(2.5)<0,
f(2.75)>0
2.625
(2.5, 3)
(2.5, 2.75)
区 间
端点的符号
中点
的值
中点函数
值的符号
(2, 3)

f(2)<0, f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
f(2.5)<0, f(3)>0
2.75
f(2.75)>0
f(2.5)<0,
f(2.75)>0
2.625
f(2.625)>0
(2.5, 3)
(2.5, 2.75)
区 间
端点的符号
中点
的值
中点函数
值的符号
(2, 3)

f(2)<0, f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
f(2.5)<0, f(3)>0
2.75
f(2.75)>0
f(2.5)<0,
f(2.75)>0
2.625
f(2.625)>0
(2.5, 2.625)
f(2.5)<0, f(2.625)>0
2.5625
f(2.5625)>0
(2.5, 3)
(2.5, 2.75)
区 间
端点的符号
中点
的值
中点函数
值的符号
(2, 3)

f(2)<0, f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
(2.5, 3)
f(2.5)<0, f(3)>0
2.75
f(2.75)>0
(2.5, 2.75)
f(2.5)<0,
f(2.75)>0
2.625
f(2.625)>0
(2.5, 2.625)
f(2.5)<0, f(2.625)>0
2.5625
f(2.5625)>0
(2.5, 2.5625)
f(2.5)<0,
f( 2.5625)>0
2.53125
f(2.53125)<0
(2.53125, 2.5625)
f(2.53125)<0,
f(2.5625)>0
2.546875
f(2.546875)
>0
(2.53125,
2.546875)
f(2.53125)
<0,
f(2.546875)
>0
2.5390625
f(2.5390625)
>0
(2.53125,
2.5390625)
f(2.53125)
<0,
f(2.5390625)
>0
2.53515625
f(2.53515625)
>0
(2.53125, 2.5625)
f(2.53125)<0,
f(2.5625)>0
2.546875
f(2.546875)
>0
(2.53125,
2.546875)
f(2.53125)
<0,
f(2.546875)
>0
2.5390625
f(2.5390625)
>0
(2.53125,
2.5390625)
f(2.53125)
<0,
f(2.5390625)
>0
2.53515625
f(2.53515625)
>0
(2.53125, 2.5625)
f(2.53125)<0,
f(2.5625)>0
2.546875
f(2.546875)
>0
(2.53125,
2.546875)
f(2.53125)
<0,
f(2.546875)
>0
2.5390625
f(2.5390625)
>0
(2.53125,
2.5390625)
f(2.53125)
<0,
f(2.5390625)
>0
2.53515625
f(2.53515625)
>0
思考3:怎样计算函数 在区间（2，3）内精确到0.01的零点近似值？
区间（a，b）
中点值m
f（m）的近似值
精确度|a-b|
（2，3）
2.5
-0.084
1
（2.5，3）
2.75
0.512
0.5
（2.5，2.75）
2.625
0.215
0.25
（2.5，2.625）
2.562 5
0.066
0.125
（2.5，2.562 5）
2.531 25
-0.009
0.0625
（2.531 25，2.562 5）
2.546 875
0.029
0.03125
（2.531 25，2.546 875）
2.539 062 5
0.01
0.015625
（2.531 25，2.539 062 5）
2.535 156 25
0.001
0.007813
思考4:上述求函数零点近似值的方法叫做二分法，那么二分法的基本思想是什么？
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a).f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断的把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
二分法的定义：
知识探究（二）:
用二分法求函数零点近似值的步骤:
思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么？
思考2:为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？
确定区间[a,b]，使 f(a)f(b)<0.
求区间的中点c，并计算f(c)的值.
思考3:若f(c)=0说明什么？ 若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0 ，则分别说明什么？
若f(c)=0 ，则c就是函数的零点；
若f(a)·f(c)<0 ，则零点x0∈(a,c)；
若f(c)·f(b)<0 ，则零点x0∈(c,b).
思考4:若给定精确度ε，如何选取近似值？
当|m-n|<ε时，区间[m，n]内的任意一个值都是函数零点的近似值.
思考5：对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？
x
y
o
x
y
o
不能
例：
x
y
0
x
y
0
0
x
y
0
x
y
A
D
c
B
概念拓展 实践探究
注意：二分法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.
x
y
o
x
y
=
o
x
x
1
2
x
y
o
y = x
A
B
C
D
练习:下列函数图像与x轴均有交点，但 不宜用二分法求交点横坐标的是( )
B
1.确认区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε
2.求区间(a,b)的中点c
3.计算f(c):
(1)若f(c)=0，则c就是函数的零点；
(2)若 f(a) . f(c)<0，则令b= c(零点x0∈(a, c) );
(3)若 f(c) . f(b)<0，则令a= c(零点x0∈(c, b) );
4.判断是否达到精确度ε:
即若|a-b|<ε则得到零点近似值a(或b)；否则重复2~4.
用二分法求函数零点近似值的基本步骤：
由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.
周而复始怎么办?
定区间，找中点，
零点落在异号间，
口 诀
反思小结 体会收获
中值计算两边看；
区间长度缩一半；
精确度上来判断.
求方程 的解?
思考
x
y
1
2
0
3
y=x2-2x-1
-1
借助图像：
求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解 (精确度0.1).
方法探究:
- +
2 3
f(2)<0 , f(3)>0 2- +
2 2.5 3
f(2)<0 , f(2.5)>0 2- +
2 2.25 2.5 3
f(2.25)<0 , f(2.5)>0 2.25- +
2 2.375 2.5 3
f(2.375)<0 , f(2.5)>0 2.375- +
2 2.375 2.4375 3
f(2.375)<0 , f(2.4375)>0 2.375x=|2.4375-2.375|=0.0625<0.1
(精确度0.1)
例1:求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解
(精确度0.1).
解：
f(2)<0 , f(3)>0
区间
区间端点值的符号
中点值
中点的函数值符号
(2,3)
(2,2.5)
(2.25,2.5)
(2.375,2.5)
(2.375,2.4375)
f(2)<0 , f(3)>0
f(2)<0 , f(2.5)>0
f(2.25)<0 , f(2.5)>0
f(2.375)<0 ,
f(2.5)>0
f(2.375)<0 ,
f(2.4375)>0
2.5
2.25
2.375
2.4375
f(2.5)>0
f(2.25)<0
f(2.375)<0
f(2.4375)>0
由于 |2.4375-2. 375|=0.0625<0.1，此时 (2.375，2.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是2.4，所以原方程精确到0.1的近似解为2.4.
区间
区间端点值的符号
中点值
中点的函数值符号
(2,3)
(2,2.5)
(2.25,2.5)
(2.375,2.5)
(2.375,2.4375)
f(2)<0 , f(3)>0
f(2)<0 , f(2.5)>0
f(2.25)<0 , f(2.5)>0
f(2.375)<0 ,
f(2.5)>0
f(2.375)<0 ,
f(2.4375)>0
2.5
2.25
2.375
2.4375
f(2.5)>0
f(2.25)<0
f(2.375)<0
f(2.4375)>0
理论迁移:
例1 用二分法求方程 的近似解（精确到0.1）.
练习1：若函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下表：
f(1)=-2
f(1.375)=-0.26
f(1.4375)=0.162
f(1. 5)=0. 625
f(1.40625)=-0.054
f(1. 25)=-0.984
那么方程 的一个近似根(精确到0.1)为 ( )
A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.5
C
练习2:若函数 求零点时,
第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈ ，第二次应计算 ,以上横线上应填的内容为 ( )
A. (0 , 0.5) f(0.25) B. (0 , 1) f(0.25)
C. (0.5 , 1) f(0.75) D. (0 , 0.5) f(0.125)
A
1.确认区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε
2.求区间(a,b)的中点c
3.计算f(c):
(1)若f(c)=0，则c就是函数的零点；
(2)若 f(a) . f(c)<0，则令b= c(零点x0∈(a, c) );
(3)若 f(c) . f(b)<0，则令a= c(零点x0∈(c, b) );
4.判断是否达到精确度ε:
即若|a-b|<ε则得到零点近似值a(或b)；否则重复2~4.
小结:用二分法求函数零点近似值的基本步骤：
小结:
用二分法求方程 f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解的基本步骤:
寻找解所在区间:
1、图象法
先画出y= f(x)图象，观察图象与x轴的交点横坐标所处的范围；
或画出y=g(x)和y=h(x)的图象，观察两图象的交点横坐标的范围。
2、函数法
把方程均转换为 f(x)=0的形式，再利用函数y=f(x)的有关性质（如单调性）来判断解所在的区间。
周而复始怎么办?
定区间，找中点，
零点落在异号间，
口 诀
反思小结 体会收获
中值计算两边看；
区间长度缩一半；
精确度上来判断.
作业:P91 练习 1、2
P92 习题3.1 A组1、2、3、4、5
B组 1、2、3做书上