5.1.2垂线 同步练习（含详解）
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5.1.2垂线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（ ）
A．∠2和∠3 B．∠1和∠3 C．∠1和∠4 D．∠1和∠2
2．如图，AC⊥BC,AD⊥CD, AB=a，CD=b，AC的取值范围是( )
A．AC＞b B．AC＜a C．b＜AC＜a D．无法确定
3．下列各图中,过直线l外的点P画l的垂线CD，三角尺操作正确的是( )
A． B． C． D．
4．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．通过观察你能肯定的是（ ）
A．图形中线段是否相等 B．图形中线段是否平行
C．图形中线段是否相交 D．图形中线段是否垂直
6．下列图形中，线段PQ的长度表示点P到直线L的距离的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，三角形中，，于点，则下列说法错误的是
A．点到直线的距离为线段的长度
B．点到直线的距离为线段的长度
C．点到直线的距离为线段的长度
D．点到直线的距离为线段的长度
8．已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，点D从点A到点B沿AB运动，CD=x，则x的取值范围是( ) ．
A． ≤x≤3 B． ≤x<4 C． ≤x≤4 D． ≤x≤5
二、填空题
9．如图，把小河里的水引到田地A处就作AB⊥l，垂足为B，沿AB挖水沟，水沟最短.
理由是_______________________.
10．如图，因为为垂足，所以和重合，理由是________________．
11．如图所示，想在河堤两岸塔建一座桥，搭建方式最短的是_____，理由_____．
12．如图，用给定的∠1至∠5完成填空：∠1与___________是同位角，∠2与___________是内错角.
三、解答题
13．画图并填空：如图，请画出自A地经过B地去河边l的最短路线．
（1）确定由A地到B地最短路线的依据是 ．
（2）确定由B地到河边l的最短路线的依据是 ．
14．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，且∠DOE=4∠COE，求∠AOD的度数.
15．如图，已知点E在直线AB外，请用三角板与直尺画图，并回答第（3）题：
（1）过E作直线CD，使CD∥AB；
（2）过E作直线EF，使EF⊥AB，垂足为F；
（3）请判断直线CD与EF的位置关系，并说明理由．
16．如图，BE是AB的延长线，指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？
（1）∠A和∠D；
（2）∠A和∠CBA；
（3）∠C和∠CBE．
参考答案
1．A
解析:
试题分析：两条直线相交后，所得的只有一个公共顶点，且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．
解：根据同位角、同旁内角、邻补角、对顶角的定义进行判断，
A、∠2和∠3是对顶角，正确；
B、∠1和∠3是同旁内角，错误；
C、∠1和∠4是同位角，错误；
D、∠1和∠2的邻补角是内错角，错误．
故选A．
【点评】解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
2．C
解析:
根据垂线段最短即可得到AC的取值范围．
详解:
∵AC⊥BC，AD⊥CD，AB=a，CD=b，
∴CD＜AC＜AB，
即b＜AC＜a．
故选C．
点睛:
本题考查了垂线段最短的性质，准确识图是解题的关键．
3．D
解析:
解：根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线，可得D的画法正确．故选D．
4．D
解析:
试题解析：从左向右第一个图形中，BE不是线段，故错误；
第二个图形中，BE不垂直AC，所以错误；
第三个图形中，是过点E作的AC的垂线，所以错误；
第四个图形中，过点C作的BE的垂线，也错误.
故选D.
5．C
解析:试题解析：图形中的线段能否相等、平行、垂直往往目测不准，但是能判断两条直线是否相交，当有一个交点时即可相交，
故选C．
6．C
解析:
根据点到直线的距离概念，逐一判断选项，即可得到答案．
详解:
A. PQ不垂直于直线l，故不符合题意，
B. PQ不垂直于直线l，故不符合题意，
C. PQ⊥l，即：线段PQ的长度表示点P到直线l的距离，故符合题意，
D. PQ不垂直于直线l，故不符合题意，
故选C．
点睛:
本题主要考查点到直线的距离概念，掌握“点与直线之间的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”是解题的关键．
7．A
解析:
根据点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度来分析即可．
详解:
解：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC
根据点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度来分析：
A：点A到直线BC的距离为线段AC的长度，而不是线段AB的长度，故A错误．
故选：A．
点睛:
本题考查了点到直线的距离的基本概念，属于基础题型，难度不大．
8．C
解析:
分析：点D在A点时，x值最大，当点D运动到CD⊥AB时，x值最小，求出x的值即可．
详解：点D在A点时，x值最大，此时x=4，
当点D运动到CD⊥AB时，x值最小，
根据直角三角形的面积公式，得AC?BC＝AB?CD，
则CD＝＝，
故 ≤x≤4，
故选：C．
点睛：此题考查了点到直线的距离和直角三角形的性质，根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的积的一半，进行计算.
9．垂线段最短
解析:
试题分析：点到直线的所有线段中垂线段最短.
考点：垂线段的性质
10．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
解析:
根据垂线的性质解答即可．
详解:
解：如图，因为为垂足，所以和重合，理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
点睛:
此题考查了垂线的性质，正确把握垂线的性质是解题的关键．
11．PN, 垂线段最短
解析:
详解:
∵PM⊥MN，
∴由垂线段最短可知PM是最短的，
故答案为PM，垂线段最短．
12．∠4 ∠1
解析:
根据同位角的定义可知∠1与∠4是同位角，
根据内错角的定义可知∠2与∠1是内错角，
故答案为：∠4，∠1.
13．（1）图详见解析，两点之间，线段最短；（2）图详见解析，垂线段最短．
解析:
（1）根据两点之间，线段最短，连接AB，线段AB即为由A地到B地最短路线；
（2）根据垂线段最短，过点B作BD⊥l，垂足为点D，线段BD即为由B地到河边l的最短路线.
详解:
解：连接AB，过点B作BD⊥l，垂足为点D，自A地经过B地去河边l的最短路线，如图所示．
（1）确定由A地到B地最短路线的依据是两点之间，线段最短．
（2）确定由B地到河边l的最短路线的依据是垂线段最短．
点睛:
此题考查的是路径的最值问题，掌握两点之间，线段最短和垂线段最短是解决此题的关键.
14．126º
解析:
试题分析：由∠DOE=4∠COE结合平角的定义可求得∠COE的度数，再结合垂直的定义求解即可.
∵∠DOE=4∠COE，∠DOE+∠COE=180°
∴∠COE=36°
∵OE⊥AB
∴∠BOE=90°
∴∠COB=126°
∴∠AOD=∠COB=126°.
考点：平角的定义，垂直的定义，角的比较大小，对顶角相等
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握角的大小关系，即可完成.
15．（1）、（2）如图所示：
（3）CD⊥EF．理由见解析
解析:
试题分析：（1）根据平行线的作法用直尺和三角板作图即可；（2）利用三角板的两条直角边作图即可；（3）根据平行线的性质和垂直的定义说明.
解：（1）如图；
（2）如图；
（3）CD⊥EF.
∵EF⊥AB ，
∴∠EFB=90?，
∵CD∥AB，
∴∠DEF+ ∠EFB=180?，
∴∠DEF=180?-90?=90?，
∴CD⊥EF.
16．见解析
解析:
试题分析：（1）（2）同旁内角，“同旁”指在第三条直线的同侧；“内”指在被截两条直线之间．
（3）内错角，“内”指在被截两条直线之间；“错”即交错，在第三条直线的两侧．（一个角在第三直线左侧，另一角在第三直线右侧）
试题解析：（1）∠A和∠D是由直线AE、CD被直线AD所截形成的，它们是同旁内角；
（2）∠A和∠CBA是由直线AD、BC被直线AE所截形成的，它们是同旁内角；
（3）∠C和∠CBE是由直线CD、AE被直线BC所截形成的，它们是内错角．
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5.1.2垂线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（ ）
A．∠2和∠3 B．∠1和∠3 C．∠1和∠4 D．∠1和∠2
2．如图，AC⊥BC,AD⊥CD, AB=a，CD=b，AC的取值范围是( )
A．AC＞b B．AC＜a C．b＜AC＜a D．无法确定
3．下列各图中,过直线l外的点P画l的垂线CD，三角尺操作正确的是( )
A． B． C． D．
4．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．通过观察你能肯定的是（ ）
A．图形中线段是否相等 B．图形中线段是否平行
C．图形中线段是否相交 D．图形中线段是否垂直
6．下列图形中，线段PQ的长度表示点P到直线L的距离的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，三角形中，，于点，则下列说法错误的是
A．点到直线的距离为线段的长度
B．点到直线的距离为线段的长度
C．点到直线的距离为线段的长度
D．点到直线的距离为线段的长度
8．已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，点D从点A到点B沿AB运动，CD=x，则x的取值范围是( ) ．
A． ≤x≤3 B． ≤x<4 C． ≤x≤4 D． ≤x≤5
二、填空题
9．如图，把小河里的水引到田地A处就作AB⊥l，垂足为B，沿AB挖水沟，水沟最短.
理由是_______________________.
10．如图，因为为垂足，所以和重合，理由是________________．
11．如图所示，想在河堤两岸塔建一座桥，搭建方式最短的是_____，理由_____．
12．如图，用给定的∠1至∠5完成填空：∠1与___________是同位角，∠2与___________是内错角.
三、解答题
13．画图并填空：如图，请画出自A地经过B地去河边l的最短路线．
（1）确定由A地到B地最短路线的依据是 ．
（2）确定由B地到河边l的最短路线的依据是 ．
14．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，且∠DOE=4∠COE，求∠AOD的度数.
15．如图，已知点E在直线AB外，请用三角板与直尺画图，并回答第（3）题：
（1）过E作直线CD，使CD∥AB；
（2）过E作直线EF，使EF⊥AB，垂足为F；
（3）请判断直线CD与EF的位置关系，并说明理由．
16．如图，BE是AB的延长线，指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？
（1）∠A和∠D；
（2）∠A和∠CBA；
（3）∠C和∠CBE．
参考答案
1．A
解析:
试题分析：两条直线相交后，所得的只有一个公共顶点，且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．
解：根据同位角、同旁内角、邻补角、对顶角的定义进行判断，
A、∠2和∠3是对顶角，正确；
B、∠1和∠3是同旁内角，错误；
C、∠1和∠4是同位角，错误；
D、∠1和∠2的邻补角是内错角，错误．
故选A．
【点评】解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
2．C
解析:
根据垂线段最短即可得到AC的取值范围．
详解:
∵AC⊥BC，AD⊥CD，AB=a，CD=b，
∴CD＜AC＜AB，
即b＜AC＜a．
故选C．
点睛:
本题考查了垂线段最短的性质，准确识图是解题的关键．
3．D
解析:
解：根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线，可得D的画法正确．故选D．
4．D
解析:
试题解析：从左向右第一个图形中，BE不是线段，故错误；
第二个图形中，BE不垂直AC，所以错误；
第三个图形中，是过点E作的AC的垂线，所以错误；
第四个图形中，过点C作的BE的垂线，也错误.
故选D.
5．C
解析:试题解析：图形中的线段能否相等、平行、垂直往往目测不准，但是能判断两条直线是否相交，当有一个交点时即可相交，
故选C．
6．C
解析:
根据点到直线的距离概念，逐一判断选项，即可得到答案．
详解:
A. PQ不垂直于直线l，故不符合题意，
B. PQ不垂直于直线l，故不符合题意，
C. PQ⊥l，即：线段PQ的长度表示点P到直线l的距离，故符合题意，
D. PQ不垂直于直线l，故不符合题意，
故选C．
点睛:
本题主要考查点到直线的距离概念，掌握“点与直线之间的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”是解题的关键．
7．A
解析:
根据点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度来分析即可．
详解:
解：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC
根据点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度来分析：
A：点A到直线BC的距离为线段AC的长度，而不是线段AB的长度，故A错误．
故选：A．
点睛:
本题考查了点到直线的距离的基本概念，属于基础题型，难度不大．
8．C
解析:
分析：点D在A点时，x值最大，当点D运动到CD⊥AB时，x值最小，求出x的值即可．
详解：点D在A点时，x值最大，此时x=4，
当点D运动到CD⊥AB时，x值最小，
根据直角三角形的面积公式，得AC?BC＝AB?CD，
则CD＝＝，
故 ≤x≤4，
故选：C．
点睛：此题考查了点到直线的距离和直角三角形的性质，根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的积的一半，进行计算.
9．垂线段最短
解析:
试题分析：点到直线的所有线段中垂线段最短.
考点：垂线段的性质
10．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
解析:
根据垂线的性质解答即可．
详解:
解：如图，因为为垂足，所以和重合，理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
点睛:
此题考查了垂线的性质，正确把握垂线的性质是解题的关键．
11．PN, 垂线段最短
解析:
详解:
∵PM⊥MN，
∴由垂线段最短可知PM是最短的，
故答案为PM，垂线段最短．
12．∠4 ∠1
解析:
根据同位角的定义可知∠1与∠4是同位角，
根据内错角的定义可知∠2与∠1是内错角，
故答案为：∠4，∠1.
13．（1）图详见解析，两点之间，线段最短；（2）图详见解析，垂线段最短．
解析:
（1）根据两点之间，线段最短，连接AB，线段AB即为由A地到B地最短路线；
（2）根据垂线段最短，过点B作BD⊥l，垂足为点D，线段BD即为由B地到河边l的最短路线.
详解:
解：连接AB，过点B作BD⊥l，垂足为点D，自A地经过B地去河边l的最短路线，如图所示．
（1）确定由A地到B地最短路线的依据是两点之间，线段最短．
（2）确定由B地到河边l的最短路线的依据是垂线段最短．
点睛:
此题考查的是路径的最值问题，掌握两点之间，线段最短和垂线段最短是解决此题的关键.
14．126º
解析:
试题分析：由∠DOE=4∠COE结合平角的定义可求得∠COE的度数，再结合垂直的定义求解即可.
∵∠DOE=4∠COE，∠DOE+∠COE=180°
∴∠COE=36°
∵OE⊥AB
∴∠BOE=90°
∴∠COB=126°
∴∠AOD=∠COB=126°.
考点：平角的定义，垂直的定义，角的比较大小，对顶角相等
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握角的大小关系，即可完成.
15．（1）、（2）如图所示：
（3）CD⊥EF．理由见解析
解析:
试题分析：（1）根据平行线的作法用直尺和三角板作图即可；（2）利用三角板的两条直角边作图即可；（3）根据平行线的性质和垂直的定义说明.
解：（1）如图；
（2）如图；
（3）CD⊥EF.
∵EF⊥AB ，
∴∠EFB=90?，
∵CD∥AB，
∴∠DEF+ ∠EFB=180?，
∴∠DEF=180?-90?=90?，
∴CD⊥EF.
16．见解析
解析:
试题分析：（1）（2）同旁内角，“同旁”指在第三条直线的同侧；“内”指在被截两条直线之间．
（3）内错角，“内”指在被截两条直线之间；“错”即交错，在第三条直线的两侧．（一个角在第三直线左侧，另一角在第三直线右侧）
试题解析：（1）∠A和∠D是由直线AE、CD被直线AD所截形成的，它们是同旁内角；
（2）∠A和∠CBA是由直线AD、BC被直线AE所截形成的，它们是同旁内角；
（3）∠C和∠CBE是由直线CD、AE被直线BC所截形成的，它们是内错角．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_试卷第1 11页，总3 33页
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