26.1.2反比例函数的图象和性质 同步练习（含详解）

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26.1.2反比例函数的图象和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若在反比例函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．-5 B．-2 C．1 D．4
2．如图，A，B两点在双曲线上，分别过A，B两点向x轴、y轴作垂线段，若，则（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
3．下列函数的图象，在每一个象限内，y值随x值的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
4．当三角形的面积S为定值时，一边长a与其上的高h的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．反比例函数图象的一支如图所示,的面积为2,则该函数的解析式是（　　）
A． B． C． D．
6．反比例函数y＝的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3
7．如果A(-2，n)，B(2，n),C(4，n+12)这三个点都在同一个函数的图像上，那么这个函数的解析式可能是 ( )
A． B． C． D．
8．如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△的面积为2，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．已知y是x的函数，其函数图象经过（1，2），并且当x>0时，y随x的增大而减小.请写出一个满足上述条件的函数表达式：____________.
10．已知点与点在同一反比例函数的图象上，则m的值________.
11．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，且△ABP的面积为6，则这个反比例函数的表达式为________．
12．如图，点 A 在双曲线y＝上，点 B 在双曲线y＝上，且AB∥x轴，则△OAB 的面积等于________．
三、解答题
13．在同一平面直角坐标系中，画出反比例函数与的图象.
14．如图,已知一次函数y1=-x+a的图象与x轴,y轴分别交于点D,C,与反比例函数y2=的图象交于A,B两点,且点A的坐标是(1,3),点B的坐标是(3,m).
?
(1)求a,k,m的值;
(2)求C,D两点的坐标,并求△AOB的面积;
(3)利用图象直接写出,当x在什么取值范围时,y1>y2?
15．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D，且点C的坐标为.
（1）分别求出直线、双曲线的函数表达式.
（2）求出点D的坐标.
（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时？
16．如图，在平面直角坐标系中，双曲线和直线y=kx+b交于A，B两点，点A的坐标为（﹣3，2），BC⊥y轴于点C，且OC=6BC．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）直接写出不等式的解集．
参考答案
1．A
解析:
根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范围，再结合四个选项即可得出结论．
详解:
解：∵在反比例函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，
∴，
∴.
故选A.
点睛:
本题考查了反比例函数的性质以及解一元一次不等式，根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质找出关于k的不等式是关键．
2．B
解析:
根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S1+S阴影=S2+S阴影=4，则S1=S2，由于S阴影=1所以可计算出S1=3，则可得到S1+S2=6，
详解:
解：∵A，B两点在双曲线上，
∴矩形ACOD和矩形BEOF的面积均为4，即：S1+S阴影=S2+S阴影=4
又∵，
∴，
∴.
故选B.
点睛:
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
3．D
解析:
一次函数当k大于0时，y值随x值的增大而增大，反比例函数系数k为负时，y值随x值的增大而增大，对于二次函数根据其对称轴判断其在区间上的增减性．
详解:
解：A项，对于反比例函数，，函数的图象在其所在的每一个象限内，y值随x值的增大而减小，不合题意；
B项，对于一次函数，，y值随x值的增大而减小，不合题意；
C项，对于反比例函数，，函数的图象在其所在的每一个象限内，y值随x值的增大而减小，不合题意；
D项，对于反比例函数，，函数的图象在其所在的每一个象限内，y值随x值的增大而增大，符合题意.
故选：D.
点睛:
本题主要考查了一次函数和反比例函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握各个函数在每个象限内的增减性．
4．B
解析:
先写出三角形底边a上的高h与底边a之间的函数关系，再根据反比例函数的图象特点得出．
详解:
由题意可得，所以，所以a是h的反比例函数，因为，，所以其图象是双曲线在第一象限的部分．
故选B．
点睛:
本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数y＝的图象是双曲线，与坐标轴无交点，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
5．D
解析:
根据反比例函数系数k的几何意义, 由△POM的面积为2, 可知|k|=2, 再结合图象所在的象限, 确定k的值, 则函数的解析式即可求出.
详解:
解:△POM的面积为2,
S=|k|=2,,
又图象在第四象限,
k<0,
k=-4,
反比例函数的解析式为:.
故选D.
点睛:
本题考查了反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、 坐标轴、 向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系, 即S= |k|.
6．A
解析:
根据反比例函数的性质可得m﹣3＜0，再解不等式即可．
详解:
解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴m﹣3＜0，
解得m＜3，
故选：A．
点睛:
此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内y随x的增大而增大．
7．D
解析:
分析给出的三个点的特点，可知A,B关于y轴对称，所以排除关于原点对称的函数A，B选项，然后再利用函数的增减性可得出答案.
详解:
∵A(-2，n)，B(2，n)
∴点A与点B关于y轴对称
∵、 的图像都关于原点对称
∴选项A、B错误
∵由B(2，n)、C(4，n+12)得，在对称轴右侧y随x增大而增大
∴a＞0
∴选择D：
故选D
点睛:
本题主要考查函数的增减性和对称性，掌握函数的图像和性质是解题的关键.
8．C
解析:
据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为，由题意可知△AOB的面积为?．
详解:
根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为，
∴△AOB的面积为?，
∴?=2，
∴k1-k2=4，
故选：C．
点睛:
本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义，本题属于中等题型，
9．答案不唯一，如
解析:
根据题意可知这个函数可以是一次函数，也可以是反比例函数，可以假设函数为反比例函数，设函数为，然后利用待定系数法进行求解即可得.
详解:
设函数为，
∵图象经过点（1，2），
∴k=2，
∴函数表达式为，
故答案为（答案不唯一）．
点睛:
本题考查了函数关系式，根据题意先确定是哪个类型的函数，然后利用待定系数法求出是解题的关键.
10．-4
解析:
根据反比例函数中k=xy即可解答.
详解:
解：∵点与点在同一反比例函数的图象上，
∴，
解得.
故答案为：-4.
点睛:
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
11．
解析:
详解:
连接OA，则△ABP与△ABO的面积都等于6，
根据反比例函数k的几何意义可得反比例函数的表达式是y＝，
故答案为：y＝
12．
解析:
详解:
延长BA与y轴交于点C,根据反比例函数k的几何意义可得:
,所以.
故答案为：．
13．见解析.
解析:
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表---描点---连线．
详解:
解：列表如下：
x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-4 -8 8 4
2
2
4 8 -8 -4
-2
描点、连线，如图所示.
点睛:
本题主要考查了反比例函数的图象，列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
14．(1) a=4. k=3.m=1.?(2) C(0,4),D(4,0). S△AOB=4?(3) 1解析:
（1）将A点坐标分别代入一次函数和反比例函数，求得a、k值，再把B点坐标代入其中一个求得m的值；
（2）由一次函数y1=-x+4可求得与坐标轴的交点C、D两点坐标，△AOB的面积S△AOB=S△OCD-S△OAC-S△OBD求得；
（3）利用图象可直接写出：若y1>y2，则xA详解:
将点A(1,3)代入一次函数y1=-x+a中,即3=-1+a,
∴a=4.
?∵y2=的图象过点A(1,3),B(3,m),
?∴k=1×3=3,m==1.
?(2) ∵y1=-x+4的图象与x轴,y轴分别交于点D,C,
?∴C(0,4),D(4,0).
?∴S△AOB=S△OCD-S△OAC-S△OBD=×4×4-×4×1-×4×1=8-2-2=4.
?(3 )如图：
由一次函数和反比例函数的图像可得：若y1>y2，则1故答案为(1) a=4. k=3.m=1.?(2) C(0,4),D(4,0). S△AOB=4?(3) 1点睛:
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题, 反比例函数系数k的几何意义，结合图形是解题的关键.
15．（1），；（2）点D的坐标是；（3）
解析:
（1）把C（-1，2）代入y1=x+m得到m的值，把C（-1，2）代入双曲线得到k的值；
（2）解由两个函数的解析式组成的方程组，即可得交点坐标D；
（3）观察图象得到当-3＜x＜-2时一次函数的函数值比反比例函数的函数值要大．
详解:
解：（1）∵点在的图象上；
∴，
解得，则.
∵在的图象上，
∴，解得，
∴.
（2）联立得，
解得，或，
∵点C的坐标是，
∴点D的坐标是.
（3）由图象可知，当时，
点睛:
本题考查了用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式即反比例函数与一次函数的交点问题.解题的关键是：（1）代入点C的坐标求出m、k的值；（2）把两函数的解析式联立起来组成方程组，解方程组即可得到它们的交点坐标．（3）根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集．本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及也考查了数形结合的思想．
16．（1）双曲线的解析式为，直线的解析式为y=﹣2x﹣4；（2）﹣3＜x＜0或x＞1.
解析:
（1）将A坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出反比例解析式，根据OC=6BC，且B在反比例图象上，设B坐标为（a，﹣6a），代入反比例解析式中求出a的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数的两交点A与B的横坐标，以及0，将x轴分为四个范围，找出反比例图象在一次函数图象上方时x的范围即可.
详解:
（1）∵点A（﹣3，2）在双曲线上，
∴，解得m=﹣6，
∴双曲线的解析式为，
∵点B在双曲线上，且OC=6BC，
设点B的坐标为（a，﹣6a），
∴，解得：a=±1（负值舍去），∴点B的坐标为（1，﹣6），
∵直线y=kx+b过点A，B，
∴，解得：，
∴直线的解析式为y=﹣2x﹣4；
（2）根据图象得：不等式的解集为﹣3＜x＜0或x＞1.
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