27.3位似 同步练习（含详解）
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27.3位似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，四边形与四边形是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．如图，平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把△EFO缩小为△E′F′O，且△E′F′O与△EFO的相似比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
A．（2，﹣1） B．（8，﹣4）
C．（2，﹣1）或（﹣2，1） D．（8，﹣4）或（﹣8，4）
3．如图，和是位似图形，点是位似中心，点分别是的中点，若的周长是2，则的周长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图所示）.现测得，，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长比是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知与是以原点为位似中心的位似图形，且与的面积之比为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正五边形与正五边形相似，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）
D．（―1，2）或（1，―2）
二、填空题
9．如图，AB，CD相交于O点，△AOC∽△BOD，OC：OD=1：2，AC=5，则BD的长为______ ．
10．位似图形上某一对对应顶点到位中心的距离分别为5 cm和15 cm，则它们的相似比为_________.
11．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4,∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是(6，0)，则点C的坐标是______．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点A作轴，垂足为点B，将以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的得到，则OC的长是________．
三、解答题
13．如图所示，O为四边形ABCD上一点，以O为位似中心，将四边形ABCD放大为原来的2倍.
14．(1)如图所示，作山四边形ABCD的位似图形A＇B＇C＇D＇，使四边形ABCD与四边形A＇B＇C＇D＇的相似比为2∶1；
(2)若已知AB=2cm，BC=cm，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥DA，求四边形A＇B＇C＇D＇的面积.
15．如图，如果，，和是位似图形吗？请说明理由.
16．如图,在平面直角坐标系中,点A,B,E,D,F的坐标分别是A(4,3),B(4,0),E(5,0),D(13,6),F(13,0),△DEF是由△AOB经过位似变换得到的,求位似中心的坐标.
参考答案
1．B
解析:
根据位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,判断即可.
详解:
解:由图可知,对应边AG与CE的延长线交于点B，
∴点B为位似中心
故选B.
点睛:
此题考查的是找位似图形的位似中心，掌握位似图形的定义是解决此题的关键.
2．C
解析:
利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E'的坐标．
详解:
∵点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E'F'O，∴点E的对应点E'的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．
故选C．
点睛:
本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解答此题的关键．
3．B
解析:
先根据三角形中位线的性质得到DE＝AB，从而得到相似比，再利用位似的性质得到△DEF∽△DBA，然后根据相似三角形的性质求解．
详解:
解：∵点D，E分别是OA，OB的中点，
∴DE＝AB，
∵△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，
∴△DEF∽△DBA，
∴，
∵的周长是2，
∴△ABC的周长＝2×2＝4．
故选：B．
点睛:
本题考查了位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
4．A
解析:
先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
详解:
∵OA=20cm，OA′=50cm，
∴===，
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比==.
故选A.
点睛:
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质.
5．D
解析:
利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（-kx，-ky）．
详解:
解:由题意得，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，
∴相似比为．
∵点的坐标为，
∴点的坐标为．
故选D．
点睛:
此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
6．B
解析:
根据相似多边形的定义：各边对应成比例,各角对应相等的多边形叫做相似多边形，逐一分析即可．
详解:
解：因为相似多边形的对应角相等，对应边成比例，
所以，故可排除C和D
所以．故排除A
故选B．
点睛:
此题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的定义是解决此题的关键．
7．A
解析:
根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
详解:
解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，
∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：4：9，
故选：A．
点睛:
本题是对相似图形的考查，熟练掌握多边形相似的性质是解决本题的关键.
8．D
解析:
详解:
试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且＝ .∴＝＝.∴A′E＝AD＝2，OE＝OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.
方法二：∵点A（―3，6）且相似比为，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×，6×），∴A′（－1,2）.
∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.
故答案选D.
考点：位似变换.
9．10
解析:
根据相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
详解:
∵△AOC∽△BOD，∴，即，解得：BD=10．
故答案为：10．
点睛:
本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．
10．
解析:
根据“位似图形上某一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比”列出关系式，化简即得到答案.
详解:
∵位似图形上某一对对应点到位似中心的距离分别是5cm和15cm，
∴它们的位似比是5：15=1：3=．
故答案为：．
点睛:
本题考查求两个位似图形的相似比，熟练掌握位似比的概念是解答本题的关键.
11．（2，2）
解析:
根据题意得出D点坐标，再解直角三角形进而得出答案．
详解:
分别过A、C作AE⊥OB，CF⊥OB，
∵∠OCD＝90°，∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝∠CDO＝30°，∠OCF＝30°，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0），
∴D（8，0），则DO＝8，
故OC＝4，
则FO＝2，CF＝CO?cos30°＝4×＝2，
故点C的坐标是：（2，2）．
故答案为：（2，2）．
点睛:
此题主要考查了位似变换，运用位似图形的性质正确解直角三角形是解题关键．
12．
解析:
根据平面直角坐标系中，以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，求出点C的坐标，进而即可得到答案．
详解:
∵点，且以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，
∴，
∴．
故答案是：．
点睛:
本题主要考查平面直角坐标系中，位似图形的性质，掌握以原点为位似中心的位似图形的对应点的坐标之比等于位似比，是解题的关键．
13．见解析.
解析:
根据位似的定义，结合位似变换的方法，可以连接AO并延长到A′，使A′O=2AO，可知A′是A的对应点；
用同样的方法确定B，C，D的对应点，顺次连接对应点，可以得到四边形A′B′C′D′；
在O的另一侧，连接OA并延长到A″，使OA″=2AO，用同样的方法确定其它三个点的对应点，顺次连接对应点，即可得到四边形A″B″C″D″.
详解:
连接AO并延长到A′，使A′O=2AO，A′是A的对应点；
用同样的方法确定B，C，D的对应点，顺次连接对应点，可以得到四边形A′B′C′D′；
在O的另一侧，连接OA并延长到A″，使OA″=2AO，用同样的方法确定其它三个点的对应点，顺次连接对应点，即可得到四边形A″B″C″D″.
如图所示，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″为所要求作的四边形.
点睛:
本题考查位似变换作图，可以根据位似比，结合定义和性质画出图形.
14．(1)见解析；.(2).
解析:
（1）连结AC、BD，它们相交于点O，再分别取OA、OB、OC、OD的中点A′、B′、C′、D′，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为2：1；
（2）延长AB和DC，它们相交于点E，如图，先利用互余计算出∠E=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△BCE中可计算出CE=2BC=2，BE=BC=3，在Rt△ADE中可计算出AD= AE=，DE=AD=，则可利用S四边形ABCD=S△ADE-S△BCE计算出四边形ABCD的面积，然后根据相似的性质可计算出四边形A′B′C′D′的面积．
详解:
（1）如图，四边形A′B′C′D′为所求；
（2）延长AB和DC，它们相交于点E，如图，
∵AB⊥BC，CD⊥DA，
∴∠ADE=∠EBC=90°，
∵∠A=60°，
∴∠E=30°，
在Rt△BCE中，CE=2BC=2，BE=BC=3，
∴AE=BE+AB=5，
在Rt△ADE中，AD= AE=，DE=AD=，
∴S四边形ABCD=S△ADE-S△BCE=，
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为2：1，
∴，
∴.
故答案为：(1)见解析；.(2).
点睛:
本题考查位似图形的性质，作图-位似变换，熟练掌握作位似图形的步骤是解题的关键.
15．和是位似图形.理由见解析
解析:
由，，得到，，从而得到.由对应点的连线都过O点，得到答案.
详解:
和是位似图形.理由如下：
∵，，
∴，，，.
∴，.
∴.
又∵对应点的连线都过O点，
∴和是位似图形.
点睛:
本题考查位似图形的判断，解题的关键是掌握位似图形的判断方法.
16．位似中心的坐标为P(-5,0).
解析:
利用已知坐标得出位似比，进而求出位似中心的坐标．
详解:
解:连接DA,并延长交x轴于点P,
因为A(4,3),B(4,0),E(5,0),D(13,6),F(13,0),△DEF是由△AOB经过位似变换得到,所以相似比为,
则,即,解得PO=5.
故位似中心的坐标为P(-5,0).
点睛:
此题考查位似变换以及坐标与图形的性质，解题关键是得出位似比．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_试卷第1 11页，总3 33页
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27.3位似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，四边形与四边形是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．如图，平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把△EFO缩小为△E′F′O，且△E′F′O与△EFO的相似比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
A．（2，﹣1） B．（8，﹣4）
C．（2，﹣1）或（﹣2，1） D．（8，﹣4）或（﹣8，4）
3．如图，和是位似图形，点是位似中心，点分别是的中点，若的周长是2，则的周长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图所示）.现测得，，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长比是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知与是以原点为位似中心的位似图形，且与的面积之比为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正五边形与正五边形相似，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）
D．（―1，2）或（1，―2）
二、填空题
9．如图，AB，CD相交于O点，△AOC∽△BOD，OC：OD=1：2，AC=5，则BD的长为______ ．
10．位似图形上某一对对应顶点到位中心的距离分别为5 cm和15 cm，则它们的相似比为_________.
11．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4,∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是(6，0)，则点C的坐标是______．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点A作轴，垂足为点B，将以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的得到，则OC的长是________．
三、解答题
13．如图所示，O为四边形ABCD上一点，以O为位似中心，将四边形ABCD放大为原来的2倍.
14．(1)如图所示，作山四边形ABCD的位似图形A＇B＇C＇D＇，使四边形ABCD与四边形A＇B＇C＇D＇的相似比为2∶1；
(2)若已知AB=2cm，BC=cm，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥DA，求四边形A＇B＇C＇D＇的面积.
15．如图，如果，，和是位似图形吗？请说明理由.
16．如图,在平面直角坐标系中,点A,B,E,D,F的坐标分别是A(4,3),B(4,0),E(5,0),D(13,6),F(13,0),△DEF是由△AOB经过位似变换得到的,求位似中心的坐标.
参考答案
1．B
解析:
根据位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,判断即可.
详解:
解:由图可知,对应边AG与CE的延长线交于点B，
∴点B为位似中心
故选B.
点睛:
此题考查的是找位似图形的位似中心，掌握位似图形的定义是解决此题的关键.
2．C
解析:
利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E'的坐标．
详解:
∵点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E'F'O，∴点E的对应点E'的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．
故选C．
点睛:
本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解答此题的关键．
3．B
解析:
先根据三角形中位线的性质得到DE＝AB，从而得到相似比，再利用位似的性质得到△DEF∽△DBA，然后根据相似三角形的性质求解．
详解:
解：∵点D，E分别是OA，OB的中点，
∴DE＝AB，
∵△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，
∴△DEF∽△DBA，
∴，
∵的周长是2，
∴△ABC的周长＝2×2＝4．
故选：B．
点睛:
本题考查了位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
4．A
解析:
先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
详解:
∵OA=20cm，OA′=50cm，
∴===，
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比==.
故选A.
点睛:
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质.
5．D
解析:
利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（-kx，-ky）．
详解:
解:由题意得，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，
∴相似比为．
∵点的坐标为，
∴点的坐标为．
故选D．
点睛:
此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
6．B
解析:
根据相似多边形的定义：各边对应成比例,各角对应相等的多边形叫做相似多边形，逐一分析即可．
详解:
解：因为相似多边形的对应角相等，对应边成比例，
所以，故可排除C和D
所以．故排除A
故选B．
点睛:
此题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的定义是解决此题的关键．
7．A
解析:
根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
详解:
解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，
∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：4：9，
故选：A．
点睛:
本题是对相似图形的考查，熟练掌握多边形相似的性质是解决本题的关键.
8．D
解析:
详解:
试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且＝ .∴＝＝.∴A′E＝AD＝2，OE＝OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.
方法二：∵点A（―3，6）且相似比为，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×，6×），∴A′（－1,2）.
∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.
故答案选D.
考点：位似变换.
9．10
解析:
根据相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
详解:
∵△AOC∽△BOD，∴，即，解得：BD=10．
故答案为：10．
点睛:
本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．
10．
解析:
根据“位似图形上某一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比”列出关系式，化简即得到答案.
详解:
∵位似图形上某一对对应点到位似中心的距离分别是5cm和15cm，
∴它们的位似比是5：15=1：3=．
故答案为：．
点睛:
本题考查求两个位似图形的相似比，熟练掌握位似比的概念是解答本题的关键.
11．（2，2）
解析:
根据题意得出D点坐标，再解直角三角形进而得出答案．
详解:
分别过A、C作AE⊥OB，CF⊥OB，
∵∠OCD＝90°，∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝∠CDO＝30°，∠OCF＝30°，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0），
∴D（8，0），则DO＝8，
故OC＝4，
则FO＝2，CF＝CO?cos30°＝4×＝2，
故点C的坐标是：（2，2）．
故答案为：（2，2）．
点睛:
此题主要考查了位似变换，运用位似图形的性质正确解直角三角形是解题关键．
12．
解析:
根据平面直角坐标系中，以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，求出点C的坐标，进而即可得到答案．
详解:
∵点，且以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，
∴，
∴．
故答案是：．
点睛:
本题主要考查平面直角坐标系中，位似图形的性质，掌握以原点为位似中心的位似图形的对应点的坐标之比等于位似比，是解题的关键．
13．见解析.
解析:
根据位似的定义，结合位似变换的方法，可以连接AO并延长到A′，使A′O=2AO，可知A′是A的对应点；
用同样的方法确定B，C，D的对应点，顺次连接对应点，可以得到四边形A′B′C′D′；
在O的另一侧，连接OA并延长到A″，使OA″=2AO，用同样的方法确定其它三个点的对应点，顺次连接对应点，即可得到四边形A″B″C″D″.
详解:
连接AO并延长到A′，使A′O=2AO，A′是A的对应点；
用同样的方法确定B，C，D的对应点，顺次连接对应点，可以得到四边形A′B′C′D′；
在O的另一侧，连接OA并延长到A″，使OA″=2AO，用同样的方法确定其它三个点的对应点，顺次连接对应点，即可得到四边形A″B″C″D″.
如图所示，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″为所要求作的四边形.
点睛:
本题考查位似变换作图，可以根据位似比，结合定义和性质画出图形.
14．(1)见解析；.(2).
解析:
（1）连结AC、BD，它们相交于点O，再分别取OA、OB、OC、OD的中点A′、B′、C′、D′，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为2：1；
（2）延长AB和DC，它们相交于点E，如图，先利用互余计算出∠E=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△BCE中可计算出CE=2BC=2，BE=BC=3，在Rt△ADE中可计算出AD= AE=，DE=AD=，则可利用S四边形ABCD=S△ADE-S△BCE计算出四边形ABCD的面积，然后根据相似的性质可计算出四边形A′B′C′D′的面积．
详解:
（1）如图，四边形A′B′C′D′为所求；
（2）延长AB和DC，它们相交于点E，如图，
∵AB⊥BC，CD⊥DA，
∴∠ADE=∠EBC=90°，
∵∠A=60°，
∴∠E=30°，
在Rt△BCE中，CE=2BC=2，BE=BC=3，
∴AE=BE+AB=5，
在Rt△ADE中，AD= AE=，DE=AD=，
∴S四边形ABCD=S△ADE-S△BCE=，
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为2：1，
∴，
∴.
故答案为：(1)见解析；.(2).
点睛:
本题考查位似图形的性质，作图-位似变换，熟练掌握作位似图形的步骤是解题的关键.
15．和是位似图形.理由见解析
解析:
由，，得到，，从而得到.由对应点的连线都过O点，得到答案.
详解:
和是位似图形.理由如下：
∵，，
∴，，，.
∴，.
∴.
又∵对应点的连线都过O点，
∴和是位似图形.
点睛:
本题考查位似图形的判断，解题的关键是掌握位似图形的判断方法.
16．位似中心的坐标为P(-5,0).
解析:
利用已知坐标得出位似比，进而求出位似中心的坐标．
详解:
解:连接DA,并延长交x轴于点P,
因为A(4,3),B(4,0),E(5,0),D(13,6),F(13,0),△DEF是由△AOB经过位似变换得到,所以相似比为,
则,即,解得PO=5.
故位似中心的坐标为P(-5,0).
点睛:
此题考查位似变换以及坐标与图形的性质，解题关键是得出位似比．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_试卷第1 11页，总3 33页
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