28.1锐角三角函数 同步练习（含详解）
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28.1锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,∠AOC=45°,OC=,则点B的坐标为( )
A．( ,1) B．(1, ) C．( +1,1) D．(1,+1)
2．的值为（ ）
A． B．1 C． D．
3．△ABC中，∠C=90°，则的値是（ ）
A． B． C． D．
4．如果⊿ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦値是（ ）
A．都扩大为原来的3倍 B．都缩小为原来的
C．没有变化 D．不能确定
5．小明沿着与地面成30?的坡面向下走了2米，那么他下降（???）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
6．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（???）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
9．如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，AB＝15，则AC的值是_____．
10．在⊿ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则______．
11．计算：______．
12．如图，在中，，，，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为__________cm．
三、解答题
13．在直角坐标系中，的三个顶点的坐标分 别为、、，试求的值．
14．求下列直角三角形中字母所表示的值．
15．如图，菱形的边长为15，对角线交于点，．
（1）求的长；
（2）求的值．
16．在⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.求和的値．
参考答案
1．C
解析:试题解析：过点作 轴于点，
∵是菱形,
∴点的坐标为：
故选C.
2．B
解析:
根据特殊角的正切值即可得．
详解:
，
故选：B．
点睛:
本题考查了特殊角的正切值，熟记特殊角的正切值是解题关键．
3．A
解析:
根据锐角三角函数的定义求解即可．
详解:
解：，
故选：A．
点睛:
本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．C
解析:
根据相似三角形的判定定理、正弦、余弦的概念解答．
详解:
三角形各边长度都扩大为原来的3倍，
∴得到的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的大小不变，
∴锐角A的正弦、余弦值不变，
故选：C．
点睛:
三角形的形状没有改变，边的比值没有发生变化．
5．A
解析:
直接利用坡度的定义，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，可画出三角形，结合图形运用三角函数求解即可．
详解:
如图所示：
∵AB=2，∠C=90°，∠A=30°．
∴他下降的高度BC=ABsin30°=1（米）．
故选A
点睛:
此题主要考查了坡度的定义和特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题的关键.
6．C
解析:试题解析：设正方形网格每个小正方形边长为1，则BC边上的高为2，则 ， .
故本题应选C.
7．C
解析:
本题利用正弦三角函数的定义即可直接作答．
详解:
∵，，，
∴，
∴．
故选：C．
点睛:
本题考查三角函数，解题关键在于按照定义找准对应边，其次注意计算仔细即可．
8．C
解析:试题分析：连结CD，可得CD为直径，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，根据勾股定理求得OD=4
所以tan∠CDO=，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，则tan∠OBC=，故答案选C．
考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义．
9．12
解析:
由sinB＝得AC＝ABsinB，据此可得．
详解:
解：在Rt△ABC中，∵sinB＝，
∴AC＝ABsinB＝15×＝12，
故答案为：12．
点睛:
此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知正弦函数的定义.
10．
解析:
根据余弦的定义进行解答
详解:
在Rt△ABC中，AC＝，
，故填．
点睛:
本题考查三角函数的定义，余弦值＝角的邻边与斜边之比．
11．
解析:
先计算特殊角的三角函数值，再计算含乘方的有理数混合运算即可得．
详解:
，
故答案为：．
点睛:
本题考查了特殊角的三角函数值、含乘方的有理数混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
12．5
解析:
连接、、过作于，求出、值，求出、值，求出、值，代入求出即可．
详解:
解：连接、、过作于，
在中，，，，
，，
，
的垂直平分线，
同理，
，
同理，
，
故答案是：5．
点睛:
本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
13．
解析:
根据题意，在坐标系中找到三点位置，利用关系求解即可.
详解:
如图，AC=2，BC=3，
tanB==.
点睛:
本题考查作图能力及角的正切值，找到三点的位置是关键.
14．（1），；（2），
解析:
(1) 根据特殊角60三角函数关系便可求出a,b
(2) 根据边的关系,边可以找到正切值，从而找到
详解:
(1)cos60
a=
tan60
b=4
(2)tan=
点睛:
抓特殊角的三角函数关系，这样便可以顺利找到答案了.
15．（1）；（2）．
解析:
（1）根据菱形的性质得出，得到Rt△AOB，再由正弦函数求出BO的长度，由勾股定理求出AO长度，从而计算出AC的长度即可；
（2）在中，根据正弦函数的定义即可求出．
详解:
解：（1）∵四边形是菱形，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）在中，，，
∴．
点睛:
本题考查了正弦函数的定义及计算问题，解题的关键是掌握正弦函数的定义．
16．2；2
解析:
根据锐角的正切等于对边比邻边，余切等于邻边比对边即可解答．
详解:
解：∵⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.
∴，．
即=2，=2．
点睛:
本题考了锐角三角函数的定义，熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边是解题关键．
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28.1锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,∠AOC=45°,OC=,则点B的坐标为( )
A．( ,1) B．(1, ) C．( +1,1) D．(1,+1)
2．的值为（ ）
A． B．1 C． D．
3．△ABC中，∠C=90°，则的値是（ ）
A． B． C． D．
4．如果⊿ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦値是（ ）
A．都扩大为原来的3倍 B．都缩小为原来的
C．没有变化 D．不能确定
5．小明沿着与地面成30?的坡面向下走了2米，那么他下降（???）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
6．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（???）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
9．如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，AB＝15，则AC的值是_____．
10．在⊿ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则______．
11．计算：______．
12．如图，在中，，，，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为__________cm．
三、解答题
13．在直角坐标系中，的三个顶点的坐标分 别为、、，试求的值．
14．求下列直角三角形中字母所表示的值．
15．如图，菱形的边长为15，对角线交于点，．
（1）求的长；
（2）求的值．
16．在⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.求和的値．
参考答案
1．C
解析:试题解析：过点作 轴于点，
∵是菱形,
∴点的坐标为：
故选C.
2．B
解析:
根据特殊角的正切值即可得．
详解:
，
故选：B．
点睛:
本题考查了特殊角的正切值，熟记特殊角的正切值是解题关键．
3．A
解析:
根据锐角三角函数的定义求解即可．
详解:
解：，
故选：A．
点睛:
本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．C
解析:
根据相似三角形的判定定理、正弦、余弦的概念解答．
详解:
三角形各边长度都扩大为原来的3倍，
∴得到的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的大小不变，
∴锐角A的正弦、余弦值不变，
故选：C．
点睛:
三角形的形状没有改变，边的比值没有发生变化．
5．A
解析:
直接利用坡度的定义，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，可画出三角形，结合图形运用三角函数求解即可．
详解:
如图所示：
∵AB=2，∠C=90°，∠A=30°．
∴他下降的高度BC=ABsin30°=1（米）．
故选A
点睛:
此题主要考查了坡度的定义和特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题的关键.
6．C
解析:试题解析：设正方形网格每个小正方形边长为1，则BC边上的高为2，则 ， .
故本题应选C.
7．C
解析:
本题利用正弦三角函数的定义即可直接作答．
详解:
∵，，，
∴，
∴．
故选：C．
点睛:
本题考查三角函数，解题关键在于按照定义找准对应边，其次注意计算仔细即可．
8．C
解析:试题分析：连结CD，可得CD为直径，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，根据勾股定理求得OD=4
所以tan∠CDO=，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，则tan∠OBC=，故答案选C．
考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义．
9．12
解析:
由sinB＝得AC＝ABsinB，据此可得．
详解:
解：在Rt△ABC中，∵sinB＝，
∴AC＝ABsinB＝15×＝12，
故答案为：12．
点睛:
此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知正弦函数的定义.
10．
解析:
根据余弦的定义进行解答
详解:
在Rt△ABC中，AC＝，
，故填．
点睛:
本题考查三角函数的定义，余弦值＝角的邻边与斜边之比．
11．
解析:
先计算特殊角的三角函数值，再计算含乘方的有理数混合运算即可得．
详解:
，
故答案为：．
点睛:
本题考查了特殊角的三角函数值、含乘方的有理数混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
12．5
解析:
连接、、过作于，求出、值，求出、值，求出、值，代入求出即可．
详解:
解：连接、、过作于，
在中，，，，
，，
，
的垂直平分线，
同理，
，
同理，
，
故答案是：5．
点睛:
本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
13．
解析:
根据题意，在坐标系中找到三点位置，利用关系求解即可.
详解:
如图，AC=2，BC=3，
tanB==.
点睛:
本题考查作图能力及角的正切值，找到三点的位置是关键.
14．（1），；（2），
解析:
(1) 根据特殊角60三角函数关系便可求出a,b
(2) 根据边的关系,边可以找到正切值，从而找到
详解:
(1)cos60
a=
tan60
b=4
(2)tan=
点睛:
抓特殊角的三角函数关系，这样便可以顺利找到答案了.
15．（1）；（2）．
解析:
（1）根据菱形的性质得出，得到Rt△AOB，再由正弦函数求出BO的长度，由勾股定理求出AO长度，从而计算出AC的长度即可；
（2）在中，根据正弦函数的定义即可求出．
详解:
解：（1）∵四边形是菱形，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）在中，，，
∴．
点睛:
本题考查了正弦函数的定义及计算问题，解题的关键是掌握正弦函数的定义．
16．2；2
解析:
根据锐角的正切等于对边比邻边，余切等于邻边比对边即可解答．
详解:
解：∵⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.
∴，．
即=2，=2．
点睛:
本题考了锐角三角函数的定义，熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边是解题关键．
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