18.2.3正方形 同步练习（含详解）
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18.2.3正方形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（ ）
A．4 B．2 C． D．
2．下列说法正确的是( )
A．四个角都相等的四边形是正方形 B．四条边都相等的四边形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是正方形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形
3．已知正方形的对角线相交于点，且，则的长度和的度数分别是（ ）
A． B． C． D．
4．下列图形中对称轴条数最多的是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等边三角形
5．如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝( )
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
6．已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是
A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形
C．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形
D．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形
7．正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )
A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分
C．四条边相等 D．对角线平分一组对角
8．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
二、填空题
9．若正方形的边长为a，则其对角线长为______，若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对角线，则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于______．
10．如图，正方形的面积是_____cm2．
11．如图，正方形ABCD中，CE⊥MN，若∠MCE=35°，则∠ANM的度数是_____.
12．如图，四边形中，．则______．
三、解答题
13．如图为4×4的网格(每个小正方形的边长均为1)与数轴．
(1)求出图①中阴影部分的面积；
(2)求出图①中阴影部分正方形的边长；
(3)在图②所示的数轴上作出表示的点A．
14．如图，四边形是正方形，点是上的任意一点，于点，，交于点．那么与相等吗？请说明理由．
15．如图所示，正方形的边长为1，点在线段上运动，平分交边于点．
求证：．
16．已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OE、OF．当AB与BC满足___________条件时，四边形AEOF正方形．
参考答案
1．B
解析:
连接BD，利用正方形的面积等于对角线的积的一半计算即可．
详解:
如图，连接BD，
正方形ABCD中，，则BD=AC=2，
正方形的面积为=，
故选B．
2．D
解析:
根据正方形判定定理进行判断，A、B、C不满足判定条件，故选D
详解:
四个角都相等的四边形是矩形，故错误；
四条边都相等的四边形是菱形，故错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
对角线互相垂直的矩形是正方形，故正确.
故选D.
点睛:
本题是对正方形判定定理的考核，掌握正方形的概念以及判定定理，方可进行判断
3．D
解析:
根据正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角可得， BO=CO=AC=8，∠OCD=45°．
详解:
解：∵正方形ABCD，AC=12cm
∴BO=CO=AC=6，=45°．
故选D．
点睛:
本题考查正方形的性质．掌握正方形性质是解题关键，正方形的对角线对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角.
4．C
解析:
根据轴对称图形的概念及对称轴的概念进行分析解答即可，矩形有两条对称轴，为对边中垂线所在的直线；菱形由两条对称轴，为其两条对角线所在的直线；正方形有四条对称轴，为其两条对角线所在的直线，还有其对边中垂线所在的直线；等腰梯形有一条对称轴，为其两底的中垂线所在的直线．
详解:
解：A、矩形由两条对称轴；
B、菱形由两条对称轴；
C、正方形由四条对称轴；
D、等腰梯形由一条对称轴．
所以对称轴条数最多的是正方形．
故选：C．
点睛:
本题主要考查轴对称图形概念，对称轴的性质，关键在于相关的概念正确的分析出题目中图形的对称轴，认真的比较．
5．A
解析:由题意可知∠DFE=∠CDF=∠C=90°，DC=DF，
∴四边形ECDF是正方形，
∴DC=EC=BC-BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=10，
∴DC=10-6=4（cm）.
故选A.
6．C
解析:试题分析：A、对角线AC与BD互相垂直，AC=BD时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误．
B、当AB=AD，CB=CD时，无法得到四边形ABCD是菱形，故此选项错误．
C、当两条对角线AC与BD互相垂直，AB=AD=BC时，∴BO=DO，AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵两条对角线AC与BD互相垂直，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确．
D、当AC=BD，AD=AB时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误．
故选C．
7．A
解析:
根据正方形和菱形的性质可以判断各个选项是否正确．
详解:
解：正方形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故A符合题意；
正方形和菱形的对角线都互相垂直平分，故B不符合题意；
正方形和菱形的四条边都相等，故C不符合题意；
正方形和菱形的对角线都平分一组对角，故D不符合题意，
故选：A．
点睛:
本题考查正方形和菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握基本性质．
8．B
解析:过点P作PM⊥BC于点M，
由折叠得到PQ⊥AE，
∴∠DAE+∠APQ=90°，
又∠DAE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠APQ，
∵AD∥BC，
∴∠APQ=∠PQM，
则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD
∴△PQM≌△ADE
∴PQ=AE=.
点睛:本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
9． 2：1
解析:如图所示：
根据勾股定理AC=
又∵AB＝a,
∴AC=.
∴S正方形ABCD=a2,S正方形ABEF=2a2,
∴正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比为2:1.
故答案是：2:1.
10．25
解析:
根据勾股定理即可得到结果.
详解:
由题意得，正方形的面积是132-122=25cm2.
点睛:
本题考查的是正方形的面积公式以及勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
11．55°
解析:
过作于，则，易证，即可得，根据直角三角形内角和为即可求得.
详解:
过作于，则，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：.
点睛:
本题考查了正方形各边长、各内角相等的性质，考查了全等三角形的判定和全等三角形对应角相等的性质，本题中证明是解题的关键.
12．45°
解析:
作AE⊥BC于E，AF⊥CD延长线于点F，易证四边形AECF为矩形，可得∠FAE＝90°，再根据∠DAB＝90°，可得∠DAF＝∠BAE，即可证明△BAE≌△DAF，可得AE＝AF，即可判定矩形AECF为正方形，即可解题．
详解:
解：作AE⊥BC于E，AF⊥CD延长线于点F，
∵∠AEC＝∠AFC＝∠BCD＝90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠FAE＝90°，即∠DAF＋∠DAE＝90°，
∵∠DAE＋∠BAE＝90°，
∴∠DAF＝∠BAE，
在△BAE和△DAF中，
∠AEB＝∠F，∠BAE＝∠DAF，AB＝AD，
∴△BAE≌△DAF（AAS），
∴AE＝AF，
∴矩形AECF为正方形，
∴∠ACB＝45°；
故答案为：45°．
点睛:
本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
13．(1) 8；(2) (3)见解析.
解析:
（1）由大正方形分成四个同样大小的小正方形，阴影部分为大正方形的四边中点的连线形成，所以阴影部分为大正方形面积的一半，根据正方形面积公式计算即可；
（2）由（1）的结论和正方形的面积公式易得到阴影部分正方形的边长；
（3）利用勾股定理在数轴上作直角边为2的等腰直角三角形，斜边的长即为，以O为圆心，以为半径画弧交数轴正半轴于一点，即为所求作的点.
详解:
（1）阴影部分的面积=4×4=8；
（2）设图①中阴影部分正方形的边长为a，则,
∴a=,
阴影部分正方形的边长为；
（3）在数轴上作边长为2的正方形，对角线的长为，以O为圆心，以为半径画弧交数轴正半轴于一点，即为所求作的点，如图所示：
故答案为(1) 8；(2) (3)见解析.
点睛:
本题考查实数与数轴、正方形的性质、勾股定理.
14．．理由见解析.
解析:
证明△ABF≌△DAE得到BF=AE，，从而得到．
详解:
解：．理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴．
∴．
又，
∴．
∵，
∴．
在与中，
，
∴≌（AAS）．
∴．
∵，
∴．
点睛:
本题考查正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了全等三角形的判定与性质．
15．见解析．
解析:
延长至点，使得，连接，可以求证△ADF≌△ABG，再证得∠GAE=∠DAE=∠GEA，即可求证AG=EG，即求EG=DF+BE即可．
详解:
如图所示，延长至点，使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，．
又∵是的角平分线．
∴，
∴．
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
点睛:
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线的性质，关键是运用转化思想，把AF转化到其全等三角形里面，根据等腰三角形腰长相等的性质求解．
16．垂直，证明见解析．
解析:
由菱形的性质得出AB=BC=DC=AD，由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF，OF=DC，OE=BC，OE∥BC，可得AE=OE=OF=AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO=90°，四边形AEOF是正方形．
详解:
证明：：当AB⊥BC时，四边形AEOF正方形．
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=DC=AD，
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE=BE=DF=AF，OF=DC，OE=BC，OE∥BC，
AE=OE=OF=AF，
∴四边形AEOF是菱形，
∵AB⊥BC，OE∥BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO=90°，
∴四边形AEOF是正方形．
故答案：垂直．
点睛:
本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．
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试卷第1 11页，总3 33页
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18.2.3正方形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（ ）
A．4 B．2 C． D．
2．下列说法正确的是( )
A．四个角都相等的四边形是正方形 B．四条边都相等的四边形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是正方形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形
3．已知正方形的对角线相交于点，且，则的长度和的度数分别是（ ）
A． B． C． D．
4．下列图形中对称轴条数最多的是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等边三角形
5．如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝( )
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
6．已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是
A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形
C．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形
D．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形
7．正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )
A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分
C．四条边相等 D．对角线平分一组对角
8．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
二、填空题
9．若正方形的边长为a，则其对角线长为______，若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对角线，则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于______．
10．如图，正方形的面积是_____cm2．
11．如图，正方形ABCD中，CE⊥MN，若∠MCE=35°，则∠ANM的度数是_____.
12．如图，四边形中，．则______．
三、解答题
13．如图为4×4的网格(每个小正方形的边长均为1)与数轴．
(1)求出图①中阴影部分的面积；
(2)求出图①中阴影部分正方形的边长；
(3)在图②所示的数轴上作出表示的点A．
14．如图，四边形是正方形，点是上的任意一点，于点，，交于点．那么与相等吗？请说明理由．
15．如图所示，正方形的边长为1，点在线段上运动，平分交边于点．
求证：．
16．已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OE、OF．当AB与BC满足___________条件时，四边形AEOF正方形．
参考答案
1．B
解析:
连接BD，利用正方形的面积等于对角线的积的一半计算即可．
详解:
如图，连接BD，
正方形ABCD中，，则BD=AC=2，
正方形的面积为=，
故选B．
2．D
解析:
根据正方形判定定理进行判断，A、B、C不满足判定条件，故选D
详解:
四个角都相等的四边形是矩形，故错误；
四条边都相等的四边形是菱形，故错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
对角线互相垂直的矩形是正方形，故正确.
故选D.
点睛:
本题是对正方形判定定理的考核，掌握正方形的概念以及判定定理，方可进行判断
3．D
解析:
根据正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角可得， BO=CO=AC=8，∠OCD=45°．
详解:
解：∵正方形ABCD，AC=12cm
∴BO=CO=AC=6，=45°．
故选D．
点睛:
本题考查正方形的性质．掌握正方形性质是解题关键，正方形的对角线对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角.
4．C
解析:
根据轴对称图形的概念及对称轴的概念进行分析解答即可，矩形有两条对称轴，为对边中垂线所在的直线；菱形由两条对称轴，为其两条对角线所在的直线；正方形有四条对称轴，为其两条对角线所在的直线，还有其对边中垂线所在的直线；等腰梯形有一条对称轴，为其两底的中垂线所在的直线．
详解:
解：A、矩形由两条对称轴；
B、菱形由两条对称轴；
C、正方形由四条对称轴；
D、等腰梯形由一条对称轴．
所以对称轴条数最多的是正方形．
故选：C．
点睛:
本题主要考查轴对称图形概念，对称轴的性质，关键在于相关的概念正确的分析出题目中图形的对称轴，认真的比较．
5．A
解析:由题意可知∠DFE=∠CDF=∠C=90°，DC=DF，
∴四边形ECDF是正方形，
∴DC=EC=BC-BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=10，
∴DC=10-6=4（cm）.
故选A.
6．C
解析:试题分析：A、对角线AC与BD互相垂直，AC=BD时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误．
B、当AB=AD，CB=CD时，无法得到四边形ABCD是菱形，故此选项错误．
C、当两条对角线AC与BD互相垂直，AB=AD=BC时，∴BO=DO，AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵两条对角线AC与BD互相垂直，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确．
D、当AC=BD，AD=AB时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误．
故选C．
7．A
解析:
根据正方形和菱形的性质可以判断各个选项是否正确．
详解:
解：正方形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故A符合题意；
正方形和菱形的对角线都互相垂直平分，故B不符合题意；
正方形和菱形的四条边都相等，故C不符合题意；
正方形和菱形的对角线都平分一组对角，故D不符合题意，
故选：A．
点睛:
本题考查正方形和菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握基本性质．
8．B
解析:过点P作PM⊥BC于点M，
由折叠得到PQ⊥AE，
∴∠DAE+∠APQ=90°，
又∠DAE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠APQ，
∵AD∥BC，
∴∠APQ=∠PQM，
则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD
∴△PQM≌△ADE
∴PQ=AE=.
点睛:本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
9． 2：1
解析:如图所示：
根据勾股定理AC=
又∵AB＝a,
∴AC=.
∴S正方形ABCD=a2,S正方形ABEF=2a2,
∴正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比为2:1.
故答案是：2:1.
10．25
解析:
根据勾股定理即可得到结果.
详解:
由题意得，正方形的面积是132-122=25cm2.
点睛:
本题考查的是正方形的面积公式以及勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
11．55°
解析:
过作于，则，易证，即可得，根据直角三角形内角和为即可求得.
详解:
过作于，则，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：.
点睛:
本题考查了正方形各边长、各内角相等的性质，考查了全等三角形的判定和全等三角形对应角相等的性质，本题中证明是解题的关键.
12．45°
解析:
作AE⊥BC于E，AF⊥CD延长线于点F，易证四边形AECF为矩形，可得∠FAE＝90°，再根据∠DAB＝90°，可得∠DAF＝∠BAE，即可证明△BAE≌△DAF，可得AE＝AF，即可判定矩形AECF为正方形，即可解题．
详解:
解：作AE⊥BC于E，AF⊥CD延长线于点F，
∵∠AEC＝∠AFC＝∠BCD＝90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠FAE＝90°，即∠DAF＋∠DAE＝90°，
∵∠DAE＋∠BAE＝90°，
∴∠DAF＝∠BAE，
在△BAE和△DAF中，
∠AEB＝∠F，∠BAE＝∠DAF，AB＝AD，
∴△BAE≌△DAF（AAS），
∴AE＝AF，
∴矩形AECF为正方形，
∴∠ACB＝45°；
故答案为：45°．
点睛:
本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
13．(1) 8；(2) (3)见解析.
解析:
（1）由大正方形分成四个同样大小的小正方形，阴影部分为大正方形的四边中点的连线形成，所以阴影部分为大正方形面积的一半，根据正方形面积公式计算即可；
（2）由（1）的结论和正方形的面积公式易得到阴影部分正方形的边长；
（3）利用勾股定理在数轴上作直角边为2的等腰直角三角形，斜边的长即为，以O为圆心，以为半径画弧交数轴正半轴于一点，即为所求作的点.
详解:
（1）阴影部分的面积=4×4=8；
（2）设图①中阴影部分正方形的边长为a，则,
∴a=,
阴影部分正方形的边长为；
（3）在数轴上作边长为2的正方形，对角线的长为，以O为圆心，以为半径画弧交数轴正半轴于一点，即为所求作的点，如图所示：
故答案为(1) 8；(2) (3)见解析.
点睛:
本题考查实数与数轴、正方形的性质、勾股定理.
14．．理由见解析.
解析:
证明△ABF≌△DAE得到BF=AE，，从而得到．
详解:
解：．理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴．
∴．
又，
∴．
∵，
∴．
在与中，
，
∴≌（AAS）．
∴．
∵，
∴．
点睛:
本题考查正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了全等三角形的判定与性质．
15．见解析．
解析:
延长至点，使得，连接，可以求证△ADF≌△ABG，再证得∠GAE=∠DAE=∠GEA，即可求证AG=EG，即求EG=DF+BE即可．
详解:
如图所示，延长至点，使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，．
又∵是的角平分线．
∴，
∴．
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
点睛:
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线的性质，关键是运用转化思想，把AF转化到其全等三角形里面，根据等腰三角形腰长相等的性质求解．
16．垂直，证明见解析．
解析:
由菱形的性质得出AB=BC=DC=AD，由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF，OF=DC，OE=BC，OE∥BC，可得AE=OE=OF=AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO=90°，四边形AEOF是正方形．
详解:
证明：：当AB⊥BC时，四边形AEOF正方形．
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=DC=AD，
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE=BE=DF=AF，OF=DC，OE=BC，OE∥BC，
AE=OE=OF=AF，
∴四边形AEOF是菱形，
∵AB⊥BC，OE∥BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO=90°，
∴四边形AEOF是正方形．
故答案：垂直．
点睛:
本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．
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试卷第1 11页，总3 33页
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