2020-2021学年华东师大新版九年级上册数学《第24章 解直角三角形》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年华东师大新版九年级上册数学《第24章
解直角三角形》单元测试卷
一．选择题
1．如图所示，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB⊥BD于点B，点E是BD的中点，连接AE，CE，则AE与CE的大小关系是（　　）
A．AE＝CE
B．AE＞CE
C．AE＜CE
D．AE＝2CE
2．sin45°+cos45°的值为（　　）
A．1
B．2
C．
D．2
3．某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（　　）
A．2～3
B．3～4
C．4～5
D．5～6
4．如图，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若AD＝24，BD＝6，则CD的长是（　　）
A．8
B．10
C．12
D．14
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，sinB＝，AC＝2，则BC长为（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
7．式子sin210°+sin220°+cos210°+cos220°的值为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点D到OB的距离等于（　　）
A．asinx+bsinx
B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx
D．acosx+bsinx
9．在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝…，依此规律写出tan∠BA7C＝，则n＝（　　）
A．40
B．41
C．42
D．43
二．填空题
11．计算：cos60°tan30°+cot60°＝　
　．
12．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝0.5cm，则AB的长是　
　cm．
13．在平面直角坐标系xOy中有一点A（3，4），如果OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα＝　
　．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanB＝，则cosA＝　
　．
15．比较sin80°与tan46°的大小，其中值较大的是　
　．
16．如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为　
　千米．
17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACD＝130°，则∠A＝　
　°．
18．一辆汽车沿倾斜角30°的斜坡前进100米，则它上升的高度是　
　米．
19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连结AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN＝　
　．
20．如图，BC为半圆O的直径，EF⊥BC于点F，且BF：FC＝5：1，若AB＝8，AE＝2，则AD的长为　
　．
三．解答题
21．已知：在△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB于D．
（1）求AB的长；
（2）求CD的长；
（3）求BD的长．
22．设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sinA、cosA和tanA．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD＝3，求BC的长．
24．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F分别是AC，BD的中点．
求证：EF⊥BD．
25．计算：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
（2）+tan260°
26．如图，某商场门前的台阶高出地面0.8米，即CB＝0.8米，现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡AC，并且设计斜坡的倾斜角∠A为10°．求斜坡AC的长．（结果精确到0.1m）
【参考数据：sin10°＝0.17．cos10°＝0.98，tan10°＝0.18】
27．如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60°方向往前铺设，测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的M小区位于北偏东30°方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道步行到达C处，此时测得M小区位于北偏西60°方向．
（1）则AM与MC的位置关系为　
　；∠ACM＝　
　度．
（2）现要在主输气管道AC上选择一个支管道连接点N，使从N处到M小区铺设的管道最短，且AC＝4000米，求A小区与支管道连接点N的距离．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点，
∴CE＝BE＝DE，
∵AB⊥BD，
∴∠ABE＝90°，
∴AE＞BE，
∴AE＞CE．
故选：B．
2．解：原式＝+
＝．
故选：C．
3．解：使用计算器计算得，
4sin60°≈3.464101615，
故选：B．
4．解：∵CD是斜边AB边上的高，
∴CD2＝AD?BD＝24×6＝144，
∴CD＝12．
故选：C．
5．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，sinB＝，
则＝，
解得，BC＝6，
故选：C．
6．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝60°，
∴∠ACD＝∠B＝30°，
∵AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．
故选：C．
7．解：原式＝sin210°+cos210°+sin220°+cos220°
＝1+1
＝2．
故选：B．
8．解：如图，过点D作DE⊥OC于点E，
则点D到OB的距离等于OE的长．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，
∴∠CDE＝∠BCO＝x，
∴OC＝BC?cosx＝bcosx，
CE＝CD?sinx＝asinx，
∴OE＝OC+CE＝bcosx+asinx．
则点D到OB的距离等于bcosx+asinx．
故选：C．
9．解：①由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B﹣∠C得到：2∠B＝180°，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意；
②∠A﹣∠B＝90°得到：∠A＞90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意；
③由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B＝2∠C得到：5∠C＝180°，则∠C＝36°，则∠A＝∠B＝72°＜90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意；
④由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B＝∠C得到：∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意；
综上所述，是直角三角形的是①④，共2个．
故选：B．
10．解：作CH⊥BA4于H，
由勾股定理得，BA4＝＝，A4C＝，
△BA4C的面积＝4﹣2﹣＝，
∴CH＝，
解得，CH＝，
则A4H＝＝，
∴tan∠BA4C＝＝，
1＝12﹣1+1，
3＝22﹣2+1，
7＝32﹣3+1，
∴tan∠BAnC＝，
∴tan∠BA7C＝，
则n＝43．
故选：D．
二．填空题
11．解：原式＝×+
＝+
＝．
故答案为：．
12．解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝0.5cm，
∴AB＝2BC＝1cm．
故答案为：3．
13．解：∵A（3，4），
∴OA＝＝5，
∴sinα＝．
故答案为：．
14．解：如图：
设AC＝x，
∵tanB＝，
∴BC＝2x，
∴AB＝＝x，
∴cosA＝＝＝．
故答案为：．
15．解：∵sinα随α的增大而增大，且sin80°＜sin90°，
∴sin80°＜1，
∵tanα随α的增大而增大，且tan46°＞tan45°，
∴tan46°＞1，
则tan46°＞sin80°，
故答案为：tan46°．
16．解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，
∴∠PCA＝90°，∠PAC＝30°，
∵AP＝12千米，
∴PC＝6千米，AC＝6千米，
∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，
∴∠PBC＝60°，
∴BC＝＝＝2千米，
∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），
故答案为：4千米．
17．解：∵∠ACD的△ABC的一个外角，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝130°﹣90°＝40°，
故答案为：40．
18．解：如图所示：
由题意得：∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝100，
∴BC＝AB＝50（米）．
故答案为：50．
19．解：如图，连接DM，DN，
∵∠BAC＝∠EDF＝90°，
∵M是EF的中点，
∴AM＝DM＝EF，
∴AM﹣MN＝DM﹣MN≤DN（当D，M，N共线时，等号成立），
∵D、N分别是BC、AC的中点，即DN是△ABC的中位线，
∴DN＝AB＝．
故答案为：．
20．解：连接BE．
∵BC是直径．
∴∠AEB＝∠BEC＝90°
在直角△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2﹣AE2＝82﹣22＝60．
∵＝5
∴设FC＝x，则BF＝5x，BC＝6x．
又∵BE2＝BF?BC
即：30x2＝60
解得：x＝，
∴EC2＝FC?BC＝6x2＝12
∴EC＝2，
∴AC＝AE+EC＝2+2，
∵AD?AB＝AE?AC
∴AD＝＝＝．
故答案为．
三．解答题
21．解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝5；
（2）∵CD⊥AB，
∴CD?AB＝AC?BC，
∴CD＝＝；
（3）∵BC2＝BD?BA，
∴BD＝＝．
22．解：如图所示：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，b＝6，c＝10，
∴a＝＝8，
∴sinA＝＝＝；
cosA＝＝＝；
tanA＝＝＝．
23．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵∠B＝30°，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
又∵∠C＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAC＝∠CAB﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°，
在Rt△ACD中，CD＝AD，
∴AD＝2CD＝2×3＝6，
∴BD＝AD＝6，
∴BC＝BD+CD＝6+3＝9．
24．证明：连接BE、DE，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，
∴EB＝ED＝AC，
∴△BED是等腰三角形，
∵F是BD的中点，
∴EF是BD中线，
∴EF⊥DB．
25．解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝+3
＝．
26．解：在Rt△ABC中，sinA＝，
∴AC＝＝＝≈4.7（m），
答：斜坡AC的长约为4.7m．
27．解：（1）∵∠MAC＝60°﹣30°＝30°，∠ACM＝30°+30°＝60°，
∴∠AMC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
故答案为：垂直，60；
（2）当MN⊥AC时，从N到M小区铺设的管道最短，
在Rt△AMC中，∵∠AMC＝90°，∠MAC＝30°，AC＝4000，
∴AM＝AC?cos∠MAC＝4000×＝2000（米），
在Rt△AMN中，∵∠ANM＝90°，cos30°＝，
∴AN＝AM?cos30°＝2000×＝3000（米）．
答：AN的长为3000米．