2020-2021学年青岛新版九年级上册数学《第1章 图形的相似》单元测试卷（word版含解析）

2020-2021学年青岛新版九年级上册数学《第1章
图形的相似》单元测试卷
一．选择题
1．如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′．正确的画法是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．下列图形中一定相似的是（　　）
A．两个等腰三角形
B．两个菱形
C．两个直角三角形
D．两个正方形
3．如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么我们把这样的纸张叫做标准纸．则标准纸的宽和长的比值为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB扩大为原来的4倍，则点A的对应点的坐标是（　　）
A．（，1）
B．（，﹣1）
C．（8，16）或（﹣16，﹣8）
D．（8，16）或（﹣8，﹣16）
5．如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（　　）
A．（
m，
n+3）
B．（
m，
n﹣3）
C．（
m，
n+2）
D．（
m，
n﹣2）
6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；④AG+DF＝FG．则下列结论正确的有（　　）
A．①②④
B．①③④
C．②③④
D．①②③
7．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1cm，面积为1cm2，甲、乙两人分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面，则①、②中正方形的面积较大的是（　　）
A．①
B．②
C．一样大
D．无法判断
8．如果两个相似三角形对应角平分线之比是2：3，那么它们的对应边之比是（　　）
A．2：3
B．4：9
C．16：81
D．：
9．已知△ABC如图所示．则下列4个三角形中．与△ABC相似的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．已知△ABC中，∠BAC＝90°，用尺规过A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，若∠B＝65°，∠C＝82°，∠A′＝110°，则∠D＝　
　°．
12．已知△FBC∽△EAD，它们的周长分别为30和15，若边FB上的中线长为10，则边EA上的中线长为　
　．
13．已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出△A1B1C1与△ABC相似，两三角形位于点B同侧且相似比是3，则点C的对应顶点C1的坐标是　
　．
14．如图，请在小正方形边长为1的正方形网格中，画出两个相似比为1：的相似三角形　
　．
15．如图，△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，B点坐标是（6，2），△OAB和△OCD的相似比为2：1，则点D的坐标为　
　．
16．如图，身高1.5m的小波站在操场上，测得其影长B′C′＝1.8m；同时测得旗杆AB的影长BC＝18m，则旗杆AB的高度为　
　m．
17．如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝4，BC＝6，则线段EF的长为　
　．
18．如图所示，长CD与C′D′之间距离为1，宽AD与A′D′之间距离为x，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为　
　时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似．
19．如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，连接BD，请你再添加一个条件　
　，使得△ABD∽△ACB．
20．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，D为边BC上一点，连结AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．若＝，则的值为　
　．
三．解答题
21．如图，已知△ABC∽△ACD，AC＝6，AD＝4，CD＝2AD，求BD和BC的长．
22．如图所示，若△ABE～△DCE，分别写出相似图形中的对应角与对应边．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝15，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若DF＝9，求线段BE的长．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，在BC边上利用尺规求作一点P使得△APB∽△BAC（不必写作法，保留作图痕迹）．
25．如图，在网格图中，每格是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点均为格点．
（1）请以点O为位似中心，在网格中作出四边形A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似，且＝2；
（2）线段C'D'的长为　
　；
（3）求出△A'B'O的面积．
26．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．
27．已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，并且点A与点A1、点B与点B1、点C与点C1、点D与点D1对应．
（1）已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠C1＝90°，求∠D的度数；
（2）已知AB＝9，CD＝15，A1B1＝6，A1D1＝4，B1C1＝8，求四边形ABCD的周长．
2020年11月18日宫老师的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：画出图形，如图所示：
故选：D．
2．解：A、两个等腰三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
B、两个菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
C、两个直角三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
D、两个正方形，图形的形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确．
故选：D．
3．解：设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y＝y：，
解得y：x＝．
故选：A．
4．解：∵点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB扩大为原来的4倍，
∴点A的对应点的坐标是：（8，16）或（﹣8，﹣16）．
故选：D．
5．解：过点A作x轴的平行线DD′，作CD⊥DD′于D，作C′D′⊥DD′于D′，
设C（x，y），
则CD＝y﹣2、AD＝﹣x，C′D′＝2﹣n，AD′＝m，
∵△ABC与△AB′C′的位似比为2：1，
∴＝＝，即＝＝，
解得：x＝﹣m，y＝﹣n+3，
∴点C的坐标为（﹣m，﹣
n+3），
故选：A．
6．解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，
∴∠EBG＝∠EBF+∠FBG＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝45°，所以①正确；
在Rt△ABF中，AF＝＝＝8，
∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，
设AG＝x，则GH＝x，GF＝8﹣x，HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，
在Rt△GFH中，∵GH2+HF2＝GF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴GF＝5，
∴AG+DF＝FG＝5，所以④正确；
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠BFE＝∠C＝90°，
∴∠EFD+∠AFB＝90°，
而∠AFB+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠EFD，
∴△ABF∽△DFE，
∴，
∴，
而＝2，
∴，
∴△DEF与△ABG不相似；所以②错误．
∵S△ABG＝×6×3＝9，S△GHF＝×3×4＝6，
∴S△ABG＝S△FGH．所以③正确．
故选：B．
7．解：由AC长为1cm，△ABC的面积为1cm2，可得BC＝2cm，
如图（1），设加工桌面的边长为xcm，
∵DE∥CB，
∴＝，
即＝，
解得：x＝（cm）；
如图（2），设加工桌面的边长为ycm，
过点C作CM⊥AB，分别交DE、AB于点N、M，
∵AC＝1cm，BC＝2cm，
∴AB＝＝，
∵△ABC的面积为1cm2，
∴CM＝cm，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴＝，
即＝，
解得：y＝cm，
∵x2＝＝，y2＝，
∴x2＞y2，
即S1＞S2，
故选：A．
8．解：∵相似三角形对应角平分线的比是2：3，
∴它们的相似比为2：3，
故选：A．
9．解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75°，
∴∠C＝75°，∠A＝30°，
A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B、三角形各角的度数都是60°，
C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：C．
10．解：A、由作图可知：∠CAD＝∠B，可以推出∠C＝∠BAD，故△CDA与△ABD相似，故本选项不符合题意；
B、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
C、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
D、无法判断△CAD∽△ABD，故本选项符合题意；
故选：D．
二．填空题
11．解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′＝110°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝103°，
故答案为：103．
12．解：∵△FBC∽△EAD，它们的周长分别为30和15，
∴△FBC和△EAD的相似比为2：1，
∵边FB上的中线长为10，
∴边EA上的中线长为5，
故答案为：5．
13．解：如图，△A1B1C1为所作，点C的对应顶点C1的坐标是（0，﹣3）．
故答案为（0，﹣3）．
14．解：如图，△ABC∽△DEF
故答案为：△ABC∽△DEF．
15．解：∵△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，△OAB和△OCD的相似比为2：1，B点坐标是（6，2），
∴点D的坐标为：（6×，2×）即（3，1）．
故答案为：（3，1）．
16．解：根据题意得：，
即：，
解得：AB＝15，
故答案为：15．
17．解：过点D作DG∥BF交AC于点G，如右图所示，
∵D为BC边的中点，BC＝6，
∴BD＝3，
∵在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，AB＝4，
∴AD＝＝5，
∵BE⊥AD于点E，交AC于F，
∴BE＝＝，
∵AB＝4，BE＝，∠AEB＝90°，
∴AE＝＝，
设DG＝x，则BF＝2x，EF＝2x﹣，
∵EF∥DG，
∴△AEF∽△ADG，
∴，
即，
解得，x＝，
∴EF＝2x﹣＝2×﹣＝，
故答案为：．
18．解：当时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，
解得，x＝1.5，
当时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，
解得，x＝9，
故答案为：1.5或9．
19．解：∵∠BAD＝∠CAB，
∴当∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC或AB2＝AD?AC时，△ABD∽△ACB．
故答案为：∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC或AB2＝AD?AC．
20．解：∵＝，
∴可以假设CD＝k，BD＝2k，则CB＝CA＝3k，
∵∠C＝90°，
∴AD＝＝＝k，
∵BE⊥AE，
∴∠E＝∠C＝90°，
∵∠CDA＝∠BDE，
∴△ACD∽△BED，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝k，
∴＝＝，
故答案为．
三．解答题
21．解：∵AD＝4，CD＝2AD，
∴CD＝8，
∵△ABC∽△ACD，
∴＝＝，即＝＝，
解得，AB＝9，BC＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝5．
22．解：对应角是：∠A与∠D，∠B与∠C，∠DEC与∠AEB．
对应边是：AB与DC，AE与DE，BE与CE．
23．（1）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝10，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠AEB＝∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠F＝90°，
∴∠B＝∠F，
∴△AFD∽△EBA；
（2）∵△AFD∽△EBA，
∴＝，
∵DF＝9，∠F＝90°，
∴AF＝＝12，
∴＝，
∴BE＝8．
24．解：如图所示：△APB∽△BAC，点P即为所求．
25．解：（1）如图所示，四边形A'B'C'D'即为所求；
（2）线段C'D'的长为＝，
故答案为：；
（3）△A'B'O的面积为×4×2+×4×2＝4+4＝8．
26．解：（1）由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽BED，
故，
即，
解得：BC＝3；
（2）∵AC＝5.4m，
∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴＝，
∴，
解得：AG＝1.2（m），
答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．
27．解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1相似，
∴∠C＝∠C1＝90°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°．
（2）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1相似，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BC＝12，AD＝6，
∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝9+12+15+6＝42．