2020-2021学年青岛新版九年级上册数学《第2章 解直角三角形》单元测试卷（word版含解析）

2020-2021学年青岛新版九年级上册数学《第2章
解直角三角形》单元测试卷
一．选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝，则下列结论正确的是（　　）
A．sinB＝
B．cosA＝
C．tanB＝2
D．tanA＝
2．如图，△ABC中，∠C＝90o，tanA＝2，则cosA的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．在Rt△ABC中，∠A＝90°，若∠B＝30°，则sinC＝（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝tan∠CAB＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（　　）
A．5
m
B．10m
C．5m
D．8
m
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（　　）
A．100m
B．100m
C．100m
D．
m
7．重庆实验外国语学校坐落在美丽且有灵气的华岩寺旁边，特别是金灿灿的大佛让身高1.6米的小王同学很感兴趣，刚刚学过三角函数知识，他就想测一下大佛的高度，小王到A点测得佛顶仰角为37°，接着向大佛走了10米来到B处，再经过一段坡度i＝4：3，坡长为5米的斜坡BC到达C处，此时与大佛的水平距离DH＝6.2米（其中点A、B、C、E、F在同一平面内，点A、B、F在同一条直线上），请问大佛的高度EF为（　　）（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）．
A．15米
B．16米
C．17米
D．18米
8．已知cosα＝，则锐角α的取值范围是（　　）
A．0°＜α＜30°
B．30°＜α＜45°
C．45°＜α＜60°
D．60°＜α＜90°
9．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，AC＝3，则BC的长为（　　）
A．3sin40°
B．3sin50°
C．3tan40°
D．3tan50°
10．人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，AB＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝40°，则点D离地面的高度DE为（　　）
A．140sin20°
cm
B．140cos20°
cm
C．140sin40°
cm
D．140cos40°
cm
二．填空题
11．计算：tan15°?tan45°?tan75°＝　
　．
12．如图，已知Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠B＝40°，则直角边AC的长是　
　．
13．已知sinα＝（α为锐角），则tanα＝　
　．
14．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度　
　．（结果保留整数）（参考数据：sin35°＝0.57，cos35°＝0.82，tan35°＝0.70）
15．比较大小：
（1）cos35°　
　cos45°，tan50°　
　tan60°；
（2）若sinα＝0.3276，sinβ＝0.3274，则α　
　β．
16．如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝　
　度．
17．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是　
　海里．
18．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝　
　．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥AB，交AC于E，若＝，则tan∠A＝　
　．
20．如图，某商场大厅自动扶梯AB的长为12m，它与水平面AC的夹角∠BAC＝30°，则大厅两层之间的高度BC为　
　m．
三．解答题
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．
22．求满足下列条件的锐角x．
（1）cosx＝
（2）tanx﹣3＝0
23．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝19，c＝19，解这个直角三角形．
24．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4m．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出5m的通道，试判断距离B点4m的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．
25．用计算器求下列各式的值：
（1）sin59°；
（2）cos68°42′．
26．在△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B为锐角且cosB＝．
（1）求△ABC的面积．
（2）求tanC．
27．在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA+sinB＝，求sinA﹣sinB的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴BC＝＝2，
A、sinB＝＝＝，本选项计算错误；
B、cosA＝＝＝，本选项计算正确；
C、tanB＝＝＝，本选项计算错误；
D、tanA＝＝＝2，本选项计算错误；
故选：B．
2．解：∵△ABC中，∠C＝90o，
∴tanA＝＝2，
∴设CB＝2k，AC＝k，
∴AB＝＝k，
∴cosA＝＝＝，
故选：B．
3．解：∵∠A＝90°，∠B＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
∴sinC＝sin60°＝，
故选：D．
4．解：∵tan∠CAB＝＝＝，
∴在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
又∵BC＝5m，
∴AB＝2BC＝10m，
故选：B．
5．解：∵sinB＝＝，
∴设AC＝12x，AB＝13x，
由勾股定理得：BC＝＝＝5x，
∴tanA＝＝＝，
故选：D．
6．解：由题意得，∠AOB＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝OA＝100（m），
故选：A．
7．解：过点C作CM⊥BF于点M，过点G作GN⊥EF于点N，
∵斜坡BC的坡度i＝4：3，BC＝5米，
∴设CM＝4x，BM＝3x，
∴（4x）2+（3x）2＝52，
解得x＝1，
∴CM＝4米，BM＝3米，
由题意可知四边形DHFM和四边形AGNF是矩形，
∴DH＝FM＝6.2米，
∵AB＝10米，
∴AF＝GN＝AB+BM+MF＝10+3+6.2＝19.2米，
在Rt△ENG中，∵∠EGN＝37°，
∴tan37°＝≈0.75，
∴EN＝0.75×NG＝0.75×19.2＝14.4米，
∴EF＝EN+NF＝14.4+1.6＝16米．
故选：B．
8．解：∵cos30°＝，cos45°＝，
∵＜＜，
∴30°＜α＜45°，
故选：B．
9．解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，∠A＝40°，
∴BC＝AC?tanA＝3tan40°，
故选：C．
10．解：∵∠BAC＝40°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣70°＝20°，
∴DE＝BD?cos20°＝140cos20°，
故选：B．
二．填空题
11．解：原式＝tan15°?tan75°?tan45°
＝1×1
＝1．
故答案为：1．
12．解：在Rt△ABC中，sinB＝，
∴AC＝AB?sinB＝msin40°，
故答案为：msin40°．
13．解：∵sin2α+cos2α＝1，
∴cosα＝＝，
∴tanα＝＝＝，
故答案为：．
14．解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，
由题意得，∠ABD＝45°，∠ACD＝35°，
在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，
∴DB＝x，
在Rt△ADC中，∠ACD＝35°，
∴tan∠ACD＝，
∴＝，
解得，x≈233．
所以，热气球离地面的高度约为233米，
故答案为：233米．
15．解：（1）cos35°＞cos45°，tan50°＜tan60°；
故答案为：＞，＜；
（2）∵sinα＝0.3276，sinβ＝0.3274，
则α＞β．
故答案为：＞．
16．解：∵sinα＝cos20°，
∴α＝90°﹣20°＝70°．
故答案为：70．
17．解：作BD⊥AC于点D，
由题意得，∠CBA＝25°+50°＝75°，AB＝20，
则∠CAB＝（90°﹣70°）+（90°﹣50°）＝20°+40°＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∴∠CBD＝75°﹣30°＝45°，
在Rt△ABD中，BD＝AB?sin∠CAB＝20×sin60°＝20×＝10，
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
则BC＝BD＝10×＝10，
故答案为：10．
18．解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠E＝×540°＝108°，∠BAE＝108°
又∵EA＝ED，
∴∠EAD＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BAD＝∠BAE﹣∠EAD＝72°，
故答案为：72°．
19．解：连接EB，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵＝＝，
设EC＝3k，则AE＝BE＝4k，AC＝5k+3k＝8k，
在Rt△BCE中，BC＝＝4k，
在Rt△ABC中，tan∠A＝＝＝，
故答案为：．
20．解；在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝12m，
∴BC＝m，
故答案为：6．
三．解答题
21．解：由勾股定理得，AB＝＝＝13，
则sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
22．解：（1）∵cosx＝，
∴x＝30°；
（2）tanx﹣3＝0，
∴tanx＝3，
∴tanx＝，
则x＝60°．
23．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝19，c＝19，
∴b＝＝19，
∵tanA＝＝1，
∴∠A＝45°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝45°，
因此，b＝19，∠A＝∠B＝45°．
24．解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴AD＝AB＝4，
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝8，
答：新传送带AC的长度为8m；
（2）在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴CD＝AB?cos∠ACD＝4，
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝4，
∴BC＝CD﹣BD＝4﹣4，
∴PC＝BP﹣BC＝4﹣（4﹣4）＝4＜5，
∴货物MNQP需要挪走．
25．解：（1）sin59°≈0.857；
（2）cos68°42′＝cos68.7°≈0.363．
26．解：（1）如图，过点A作AH⊥BC于H．
∵cosB＝，
∴∠B＝60°，
∴BH＝AB?cosB＝4，AH＝AB?sinB＝4，
∴S△ABC＝?BC?AH＝×6×4＝12．
（2）在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AH＝4，CH＝BC﹣BH＝7﹣4＝2，
∴tanC＝＝＝2．
27．解：∵sinA+sinB＝，
∴（sinA+sinB）2＝，
∴sin2A+sin2B+2sinA?sinB＝，
∵sinB＝cosA，
∴sin2A+cos2A+2sinA?sinB＝，
∴2sinA?sinB＝，
∴（sinA﹣sinB）2＝1﹣＝，
∴sinA﹣sinB＝±．