2020-2021学年青岛新版九年级上册数学《第3章 对圆的进一步认识》单元测试卷（word版含解析）

2020-2021学年青岛新版九年级上册数学《第3章
对圆的进一步认识》单元测试卷
一．选择题
1．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（　　）
A．54°
B．55°
C．56°
D．57°
2．如图，已知E是△ABC的外心，P、Q分别是AB、AC的中点，连接EP、EQ交BC于点F、D，若BF＝5，DF＝3，CD＝4，则△ABC的面积为（　　）
A．18
B．24
C．30
D．36
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝40°，则∠CEB的度数为（　　）
A．110°
B．115°
C．120°
D．105°
4．如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
5．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（　　）
A．8cm
B．10cm
C．16cm
D．20cm
6．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），原点（0，0）在⊙C上，E是⊙C上的一动点，则△ABE面积的最小值为（　　）
A．1
B．2﹣
C．1﹣
D．﹣
7．一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则AE的长为（　　）
A．1
B．2﹣
C．
D．
8．如图，AB是⊙O的直径，⊙O的半径为2，AD为正十边形的一边，且AD∥OC，则劣弧BC的长为（　　）
A．π
B．
C．
D．
9．如图，已知等边△ABC的内切圆⊙O半径为3，则AB的长为（　　）
A．3
B．3
C．6
D．6
10．有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是（　　）
A．30π
B．48π
C．60π
D．80π
二．填空题
11．若平行四边形ABCD是圆内接四边形，则∠A的度数为　
　．
12．如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的底面半径为　
　．
13．如图，等边△ABC边长为10cm，以AB为直径的⊙O分别交CA、CB于D、E两点，则图中阴影部分的面积（结果保留π）是　
　cm2．
14．若点A到圆O上的点的最大距离为5cm，最小距离为3cm，则圆O的半径为　
　cm．
15．如图，点A、B、C在⊙O上，D是的中点，CD交OB于点E．若∠AOB＝120°，∠OBC＝50°，则∠OEC的度数为　
　°．
16．一个半径为4cm的圆内接正六边形的面积等于　
　cm2．
17．以坐标原点O为圆心，作半径为1的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O有交点，则b的取值范围是　
　．
18．直线l经过点A
（4，0），B（0，2），若⊙M的半径为1，圆心M在x轴上，当⊙M与直线l相切时，则点M的坐标　
　．
19．如图，边长为2的正方形ABCD，分别以C、D为圆心，2为半径画圆，则阴影部分面积为　
　．
20．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则AF＝　
　．
三．解答题
21．如图，正方形网格中有一段弧，弧上三点A，B，C均在格点上．
（1）直接写出圆心P的坐标，并直接写出cos∠CAP的值．
（2）求的长度．
22．如图，直线AM与⊙O相切于点A，弦BC∥AM，连接BO并延长，交⊙O于点E，交AM于点F，连接CE并延长，交AM于点D．
（1）求证：CE∥OA；
（2）若⊙O的半径R＝13，BC＝24，求AF的长．
23．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
24．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝1cm，⊙O的半径为3cm，∠DEB＝60°，求CD的长．
25．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，BD与AC交于E点，AD⊥BD，过D作DF⊥AB于F，交AC于G，FD与BC的延长线相交于点H．
（1）求证：点G是△ADE的外心；
（2）若FG＝2，DH＝5，求EG的长．
26．如图，在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°，AC＝2cm．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求⊙O的半径．
27．如图，P为等腰△ABC内一点，AB＝BC，∠BPC＝108°，D为AC中点，BD与PC相交于点E，已知P为△ABE的内心．
（1）求证：∠PEB＝60°；
（2）求∠PAC的度数；
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：连接O1P，O2P，如图，
∵P在小量角器上对应的刻度为63°，
即∠O1O2P＝63°，
而O1P＝O1O2，
∴∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，
∴∠PO1O2＝180°﹣63°﹣63°＝54°，
即点P在大量角器上对应的刻度为54°（只考虑小于90°的角）．
故选：A．
2．解：连接AF，AD，
∵E是△ABC的外心，P、Q分别是AB、AC的中点，
∴EP⊥AB，EQ⊥AC，
∴AF＝BF，AD＝DC，
∵BF＝5，CD＝4，
∴AF＝5，AD＝4，
∵DF＝3，
∴DF2+AD2＝AF2，
∴∠ADF＝90°，
∵BC＝BF+DF+DC＝5+3+4＝12，
∴S△ABC＝×BC×AD＝×12×4＝24．
故选：B．
3．解：连接BC．
∴∠ADC＝∠B，
∵∠ADC＝40°，
∴∠B＝40°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝50°，
∵∠CEB＝∠ACD+∠BAC，∠ACD＝60°，
∴∠CEB＝60°+50°＝110°．
故选：A．
4．解：过点P作PD⊥MN，连接PM，如图所示：
∵⊙P与y轴交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，
∴OM＝4，ON＝10，
∴MN＝6，
∵PD⊥MN，
∴DM＝DN＝MN＝3，
∴OD＝7，
∵点P的横坐标为﹣4，即PD＝4，
∴PM＝＝＝5，
即⊙P的半径为5，
故选：C．
5．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
故选：C．
6．解：如图，过点C作CD⊥AB，交⊙C于E，此时△ABE面积的值最小（AB是定值，只要圆上一点E到直线AB的距离最小，
∵A（﹣2，0），B（0，1），
∴AB＝＝，
∵⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），原点（0，0）在⊙C上，
∴OC＝1，
∴BC＝2，
∵BC?OA＝AB?CD，
∴＝?CD，
∴CD＝，
∴DE＝CD﹣CE＝﹣1，
∴S△ABE的最小值＝AB?DE＝（﹣1）×＝2﹣，
故选：B．
7．解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
∵△ABC为等边三角形，边长为4，
∴∠ACB＝60°，高为2，
∵等边三角形ABC与⊙O等高，
∴OC＝，
∵⊙O与BC相切于点C，
∴∠OCB＝90°，
∴∠OCF＝30°，
在Rt△OFC中，可得FC＝OC?cos30°＝，
∵OF过圆心，且OF⊥CE，根据垂径定理易知CE＝2FC＝3，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣3＝1，
故选：A．
8．解：∵AD为正十边形的一边，
∴∠AOD＝＝36°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝＝72°，
∵AD∥OC，
∴∠AOC＝∠OAD＝72°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣72°＝108°，
∴劣弧BC的长为，
故选：D．
9．解：过O点作OD⊥BC，则OD＝3；
∵O是△ABC的内心，
∴∠OBD＝30°；
Rt△OBD中，∠OBD＝30°，OD＝3，
∴OB＝6，
∴BD＝3，
∴AB＝BC＝2BD＝6．
故选：C．
10．解：圆锥的母线＝＝10（cm），
圆锥的底面周长2πr＝12π（cm），
圆锥的侧面积＝lR＝×12π×10＝60π（cm2）．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
故答案为90°．
12．解：根据勾股定理得，OA＝OB＝＝5，AB＝＝5，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB为直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
设这个圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝，
即这个圆锥的底面半径为．
故答案为．
13．解：连接OD，OE．
则四边形ODEC是菱形．且面积是△ABC面积的．
∴菱形ODEC的面积是：，
扇形DOE的圆心角是60°，则扇形DOE的面积是＝
则阴影部分的面积是：﹣＝cm2．
故答案是：．
14．解：点A应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论．
当点A在圆内时，直径是5+3＝8（cm），因而半径是4cm；
当点A在圆外时，直径是5﹣3＝2（cm），因而半径是1cm．
故答案为：4或1．
15．解：连接OD，
∵D是的中点，∠AOB＝120°，
∴∠BOD＝∠AOD＝∠AOB＝60°，
由圆周角定理得，∠BCD＝∠BOD＝30°，
∴∠OEC＝∠BCD+∠OBC＝80°，
故答案为：80．
16．解：如图所示：
设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，
则∠AOB＝60°，OA＝OB＝4cm，
∴△OAB是正三角形，
∴AB＝OA＝4cm，∠A＝60°，
OC＝OA?sin∠A＝4×＝2（cm），
∴S△OAB＝AB?OC＝×4×2＝4（cm2），
∴正六边形的面积＝6×4＝24（cm2）．
故答案为：24．
17．解：当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是（0，b），
当y＝0时，x＝b，则A的交点是（b，0），
则OA＝OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C．则OC＝1．
则OB＝OC＝．即b＝；
同理，当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b＝﹣．
则若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣≤b≤．
故答案为﹣≤b≤．
18．解：∵直线l经过点A（4，0），B（0，2），
∴AB＝＝2，
设M坐标为（m，0）（m＞0），即OM＝m，
若M′在A点左侧时，AM′＝4﹣m，
当AB是⊙O的切线，
∴∠M′C′A＝90°，
∵∠M′AC′＝∠BAO，∠M′C′A＝∠BOA＝90°，
∴△M′AC′∽△BAO，
∴＝，即＝，
解得：m＝4﹣，此时M′（4﹣，0）；
若M在A点右侧时，AM＝m﹣4，
同理△AMN∽△BAO，则有＝，即＝，
解得：m＝4+．此时M（4+，0），
综上所述，M（4﹣，0）或（4+，0），
故答案为：M（4﹣，0）或（4+，0），
19．解：连接CE、DE，作EF⊥CD于点F，如右图所示，
∵DE＝DC＝CF＝2，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝∠DCE＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ADE＝∠BCE＝30°，
∵EF⊥CD，DE＝DC＝CF＝2，
∴DF＝1，∠DFE＝90°，
∴EF＝＝，
∴阴影部分的面积是：2×2﹣﹣×2＝4﹣﹣，
故答案为：4﹣﹣．
20．解：如图，连接OD，OE，
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∵∠C＝90°，OD＝OE，
∴四边形ODCE是正方形，
设OD＝OE＝DC＝CE＝r，
则根据切线长定理，得
AD＝AF＝AC﹣r＝3﹣r，
BE＝BF＝BC﹣r＝4﹣r，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∴3﹣r+4﹣r＝5，
解得r＝1，
∴AF＝3﹣r＝2．
故答案为：2．
三．解答题
21．解：（1）如图所示：圆心P的坐标为：（﹣2，1），
∵AP＝PC＝，AC＝2，
∴AP2+PC2＝AC2，
∴△APC是等腰直角三角形，
∴∠CAP＝45°，
∴cos∠CAP＝；
（2）的长度为：＝π．
22．（1）证明：∵BE是⊙O的直径，
∴CE⊥BC，
∵BC∥AM，
∴CD⊥AM，
∵AM是⊙O的切线，
∴OA⊥AM，
∴CE∥OA；
（2）解：∵⊙O的半径R＝13，
∴OA＝13，BE＝26，
∵BC＝24，
∴CE＝＝10，
∵BC∥AM，
∴∠B＝∠AFO，
∵∠C＝∠A＝90°，
∴△BCE∽△FAO，
∴，
∴，
∴AF＝．
23．（1）证明：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，
∵OB＝2，
∴OD＝1，
∴等边△ABC的边心距为1．
24．解：作OP⊥CD于P，连接OD，如图所示：
则CP＝PD＝CD，
∵AE＝1cm，⊙O的半径为3cm，
∴OE＝OA﹣AE＝2cm，
在Rt△OPE中，∠DEB＝60°，
∴∠POE＝30°，
∴PE＝OE＝1cm，OP＝PE＝cm，
∴PD＝＝＝（cm），
∴CD＝2PD＝2cm．
25．（1）证明：∵AD⊥BD，DF⊥AB，
∴∠ADE＝90°，∠DFB＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE，
∵∠FDB+∠FBE＝90°，∠CEB+∠CBE＝90°，
∴∠FDB＝∠CEB，
又∠CEB＝∠DEG，
∴∠DEG＝∠FDB，
∴DG＝EG，
∵∠ADG+∠GDE＝∠DAG+∠DEF＝90°，
∴∠ADG＝∠DAG，
∴DG＝AG，
∴DG＝AG＝EG，
∴点G是△ADE的外心；
（2）过点D作DM⊥BH于点M，过点E作EN⊥AB于点N，
∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DM⊥AH，EN⊥AB，EC⊥BH，
∴DF＝DM，EN＝EC，
∵DM⊥BH，∠ACB＝90°，
∴DM∥GC，
∴△HDM∽△HGC，
∴，
设EG＝x，则DG＝x，DF＝DM＝2+x，
∴，
∴CG＝，
∴CE＝CG﹣EG＝﹣x＝，
∵GF⊥AB，EN⊥AB，
∴GF∥EN，
又∵AG＝EG，
∴AF＝FN，
∴EN＝2GF＝4，
∴＝4，
解得x＝﹣1，x＝﹣﹣1（舍去）．
∴EG＝﹣1．
26．解：（1）∵∠BAC＝∠BDC，∠BDC＝60°
∴∠BAC＝60°．
（2）过O作OE⊥AC于E，连接OA、OC，
∵∠ACB＝∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠AOC＝120°，
∴∠AOE＝60°，
∵OE⊥AC，AC＝2cm，
∴AE＝cm，
∴OA＝＝＝2（cm）．
27．解：（1）因点P为△ABE内心，
所以PB、PE、PA分别是∠ABE、∠AEB、∠BAE角平分线，
即：∠PBE+∠PEB+∠PAE＝90°，
又∠BPC＝108°，
所以∠PBE+∠PEB＝72°，
所以∠PAE＝18°，∠BAE＝36°，
因为AB＝BC，且D是AC中点，
所以∠ABE＝∠CBE，
又BE＝BE，AB＝CB，
所以△ABE≌△CBE，
即∠BCE＝36°，
又∠BPC＝108°，
所以∠CBP＝36°，
又∠CBE＝∠ABE＝2∠PBE，
所以∠CBE＝24°，
所以∠PEB＝∠BCE+∠CBE＝60°，
（2）由（1）△ABE≌△CBE，
所以∠BEC＝∠BEA，
易知∠CED＝∠AED＝∠PEB＝60°，
所以∠EAD＝30°，
所以∠PAC＝30°+18°＝48°．