微专题八 证明两条线段相等的基本思路归纳(含答案)

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沪科版数学八年级上册微专题训练
微专题八　证明两条线段相等的基本思路归纳
类型一　 利用全等的性质，证明线段相等
1. 如图，已知∠BAC＝∠DAE，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE．求证：AB＝AC．
2. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD于点E．
(1)求证：AD＝BE．
(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
3. 如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，连接AG，CE．
(1)求证：AG＝CE；
(2)求证：AG⊥CE．
类型二　利用等腰三角形的性质与判定证明线段相等
4. 如图，已知△ABC中，过点C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，作DE∥AB交AC于E，求证：AE＝CE．
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长交BC的延长线于点F．求证：AB＝CF．
6. 如图，已知在等边三角形ABC的AC边上取中点D，在BC的延长上取一点E．使CE＝CD．求证：BD＝DE．
类型三　利用线段垂直平分线的性质，角平分线的性质证明线段相等
7. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AG⊥BC于点G，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点H，交BC于点E，AG与BD相交于点F，求证：EF＝AD．
8. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
求证：(1)AD＝FC；
(2)AB＝BC＋AD．
参考答案
1. 证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(AAS)，∴AB＝AC．
2. (1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC．又∵CE⊥BD，∴∠BEC＝90°．∵∠A＝90°，∴∠A＝∠BEC．又∵BD＝BC，∴△ABD≌△ECB(AAS)，∴AD＝EB．
(2)解：∵BD＝BC，∠DBC＝50°，∴∠EDC＝∠DCB＝65°．又∵CE⊥BD，∴∠CED＝90°，∴∠DCE＝90°－∠EDC＝25°．
3. 证明：(1)∵四边形ABCD，BEFG均为正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠GBE＝90°，BG＝BE，∴∠ABG＝∠CBE．在△ABG和△CBE中， ∴△ABG≌△CBE(SAS)，∴AG＝CE；
(2)设AG与BC交于点M，CE与BG交于点N，由(1)可知△ABG≌△CBE，∴∠BAG＝∠BCE，∵∠ABC＝90°，∴∠BAG＋∠AMB＝90°．∵∠AMB＝∠CMN，∴∠BCE＋∠CMN＝90°，∴∠CNM＝90°，∴AG⊥CE．
4. 证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠DAC，∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE．∵AD⊥CD，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠ADE＋∠EDC＝90°，∵∠EDA＝∠EAD，∴∠EDC＝∠ACD，∴DE＝CE，∴AE＝CE．
5. 证明：连接AF．∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF＝36°，∴∠ABD＝∠BAD＝36°，∴DA＝DB．∵AE＝BE，∴EF⊥AB，即FE是AB的垂直平分线，∴FA＝FB，∴∠FAB＝∠ABC＝72°，∴∠FAC＝∠FAB－∠BAC＝36°，∵∠ACB＝∠FAC＋∠AFC，∴∠AFC＝∠ACB－∠FAC＝36°．∴∠FAC＝∠AFC，∴AC＝CF，∴AB＝CF．
6. 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．∵D为AC中点，∴∠DBC＝30°，∵CE＝CD，∠E＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠DBC＝∠E，∴BD＝DE．
7. 证明：∵BD平分∠ABC，AE⊥BD，∴BH为AE的垂直平分线，∵F在BD上，∴AF＝EF．∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∵∠BAC＝90°，AG⊥BC，∴∠ABD＋∠ADB＝90°，∠DBC＋∠BFG＝90°，∴∠ADB＝∠BFG，∵∠AFD＝∠BFG，∴∠ADB＝∠AFD，∴AF＝AD，又∵AF＝EF，∴AD＝EF．
8. 证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE，∵E是CD的中点，∴DE＝EC．在△ADE和△FCE中， ∴△ADE≌△FCE(ASA)，∴AD＝FC；
(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝FE，AD＝FC．又∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF＝BC＋AD．
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