27.2 相似三角形-2020-2021学年九年级数学下册同步课堂帮帮帮（人教版）
文档属性
| 名称 | 27.2 相似三角形-2020-2021学年九年级数学下册同步课堂帮帮帮（人教版） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 3.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-23 10:56:42 | ||
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文档简介
第27章 相似
27.2 相似三角形
1．相似三角形的判定
（1）三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做__________，相似用符号“∽”表示，△ABC与
△DEF相似记作△ABC∽△DEF．
（2）平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__________．
（3）相似三角形的判定定理：
①判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
②判定定理2：__________成比例的两个三角形相似．
③判定定理3：__________成比例且夹角相等的两个三角形相似．
④判定定理4：__________分别相等的两个三角形相似．
（4）直角三角形相似的判定方法：如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．
2．相似三角形的性质
（1）相似三角形具备相似多边形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
（2）相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于__________．
（3）相似三角形周长的比等于__________．
（4）相似三角形的面积的比等于__________．
3．相似三角形应用举例
相似三角形的实际应用主要包括：
（）利用相似三角形的性质测量不能直接到达的河的宽度；
（2）利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度．
K知识参考答案：
1．（1）相似三角形；（2）成比例；（3）②三边；③两边；④两角
2．（2）相似比；（3）相似比；（4）相似比的平方．
K—重点
探索两个三角形相似的条件，会选择恰当的方法识别两个三角形相似
K—难点
探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；综合运用相似三角形的判定和性质解决生活中的实际问题
K—易错
相似三角形的对应元素出错；用相似三角形相似比求面积关系时出错
一、相似三角形的判定
判定三角形相似的几条思路：
（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；
（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；
（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
【例1】下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD?AC D．
【答案】D
【解析】A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD?AC，∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选D．
【例2】如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE=∠B．那么下列各判断中，错误的是
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD
C．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB
【答案】D
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，
∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE，
又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；
∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；
∵∠B=∠ADE，但是∠BCD<∠AED，且∠BCD≠∠A，
∴△ADE与△DCB不相似；
正确的判断是A、B、C，错误的判断是D；
故选D．
二、相似三角形的性质
运用相似三角形性质的前提是先判定两三角形相似.特别注意“相似三角形面积的比等于相似比的平方”而不是等于相似比，即相似比应等于面积比的算术平方根．
【例3】如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB∶DE=1∶2，那么下列等式一定成立的是
A．BC∶DE=1∶2
B．△ABC的面积∶△DEF的面积=1∶2
C．∠A的度数∶∠D的度数=1∶2
D．△ABC的周长∶△DEF的周长=1∶2
【答案】D
【解析】A、BC与EF是对应边，所以，BC∶DE=1∶2不一定成立，故本选项错误；
B、△ABC的面积∶△DEF的面积=1∶4，故本选项错误；
C、∠A的度数∶∠D的度数=1∶1，故本选项错误；
D、△ABC的周长∶△DEF的周长=1∶2正确，故本选项正确．故选D．
三、相似三角形应用举例
解相似三角形应用题的两个原则：
（1）核心是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体的高度或宽度一般是其中的一边．
（2）构造三角形的方法多种多样，只需把握住所构造的三角形除被测量的边以外，其余的对应边易测这一原则．
【例4】如图，阳光通过窗口照到某个房间内，竖直窗框AB在地面上留下的影子长度DE=1.8m，已知点E到窗下墙角的距离CE=3.9m，窗框底边离地面的距离BC=1.4m，试求窗框AB的长．
【解析】连接AB，
由于阳光是平行光线，即AE∥BD，
所以∠AEC=∠BDC．
又因为∠C是公共角，
所以△AEC∽△BDC，
从而有．
又AC=AB+BC，DC=EC–ED，EC=3.9，ED=1.8，BC=1.4，
于是有，
解得AB=1.42m．
答：窗框AB的长为1.42m．
一、单选题
1．如图，△ABC与△DEF形状完全相同，且AB=3.6，BC=6，AC=8，EF=2，则DE的长度为（ ）
A．1.2 B．1.8 C．3 D．7.2
2．点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，若AC＝2，则BC的长为（ ）
A． B． C．+1 D．﹣1
3．矩形中，，，点为的中点，将矩形右下角沿折叠，使点落在矩形内部点位置，如图所示，则的长度为( )
A． B． C． D．
4．如图，正方形ABCD边长为4，M，N分别是边BC，CD上的两个动点且AM⊥MN，则AN的最小值是( )
A．4 B．5 C．2 D．4
5．如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F，若AB=6,AD=8，AE=4，则△EBF周长的大小为( )
A．8 B．10 C．12 D．6
6．如图，在中，、分别是边、上的点，下列命题中，假命题是（ ）
A．若，则与相似 B．若，则与相似
C．若，则与相似 D．若，则与相似
7．如图，已知是P是△ABC的边AB上一点，则在下列四个条件中，不能作为判定△ACP与△ABC相似条件的是 （ ）
A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C． D．
8．如图，的对角线相交于点，平分，分别交于点，连接，，，则下列结论：①；②；③S平行四边形ABCD；④；⑤，正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．如图，已知∠1＝∠2＝∠3，图中有_______对相似三角形．
10．如图，点C为半圆的中点，AB是直径，点D是半圆上一点，AC，BD交于点E．若AD=1，BD=7，则CE的长为_____.
11．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点E为边AB上一点，AE=2，点F为线段AB上一点，且BF=3，过点E作AC的平行线交BC于点D，作直线FD交AC于点G，则FG=________?．
?
12．已知我校三班试验小组在某一时刻测得操场上米长的旗杆在地面的影子长为米，同时测得附近教学大楼的影子长为米，则教学大楼高为________米．
三、解答题
13．如图1中，△ABC为等腰三角形，AB=AC，点E为腰AB上任意一点，以CE为底边作等腰△DEC．且∠BAC=∠EDC=α，连结AD：
(1)如图2中，当α=60°时，∠DAC=______，=______；
(2)如图3中，当α=90°时，求∠DAC的度数与的值；
(3)如图1中，当BC=AC．∠DAC=___(用α的代数式表示)=___．
14．在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米；
小丽：测量甲树的影长为4米（如图1）；
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
（1）请直接写出甲树的高度为 米；
（2）求乙树的高度．
15．已知和中，有,且和的周长之差为15厘米，求和的周长.
16．如图，四边形是平行四边形，在边的延长线上截取，点在的延长线上，和交于点，和交于．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：．
参考答案
1．A
【解析】【分析】
利用△ABC∽△DEF，对应线段成比例即可求出DE的长.
【详解】
∵△ABC∽△DEF，
∴=，即=
∴DE=1.2
故选A.
【点睛】此题主要考察相似三角形的对应线段成比例.
2．D
【解析】【分析】
根据黄金分割的定义可得出较长的线段BC＝AC，将AC＝2代入即可得出BC的长度．
【详解】
∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，
∴BC＝AC，
∵AC＝2，
∴BC＝﹣1．
故选：D．
【点睛】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的 倍．
3．A
【解析】【分析】
作EM⊥AF，则AM=FM，利用相似三角形的性质，构建方程求出AM即可解决问题．
【详解】
解：如图中，作EM⊥AF，则AM=FM，
∵AE=EB=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，
∴∠BEC=∠EAF，
∴AF∥EC，
在Rt△ECB中，EC=，
∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，
∴△CEB∽△EAM，
∴ ，
∴ ，
，
∴AF=2AM=，
故选A．
【点睛】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
4．B
【解析】【分析】
在Rt△ADN，，而AD=4为定值，所以当DN取最小值时，AN也取最小值．于是设BM=x，利用△ABM∽△MCN，求出CN的长，即可表示出DN的长，根据二次函数的最值求法即可得到正确结果．
【详解】
解：∵AM⊥MN
∴∠AMB+∠CMN＝90°
而∠AMB+∠MAB＝90°
∴∠MAB＝∠NMC
又∵∠B＝∠C＝90°
∴△ABM∽△MCN
∴
若设BM＝x，则CM＝4﹣x
于是有
∴CN＝x(4﹣x)
∴DN＝4﹣CN＝x2﹣x+4
＝ (x﹣2)2+3
即：当BM＝2时，DN取最小值为3，
而AN＝，而AD＝4为定值，所以当DN取最小值时，AN也取最小值
此时AN＝＝5
即当DN取最小值3时，AN也取最小值5．
故选B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质应用与二次函数求最值的结合，把代数与几何问题进行了相互渗透，本题中运用二次函数求线段的最值是解题的关键．
5．A
【解析】【分析】
根据折叠之后对应边相等，找出等量关系，再根据相似三角形的周长比等于相似比进而求出三角形EBF的周长．
【详解】
解:设AH=a,则DH=AD-AH=8-a,在Rt△AEH中,∠EAH=90,AE=4,AH=a,EH=DH=8-a,EH=AE+AH,即(8-a)=4+a,解得:a=3.
∠BFE+∠BEF=90,∠BEF+∠AEH=90,
∠BFE=∠AEH.
又∠EAH=∠FBE=90,
△EBF~△HAE,
===,
=AE+EH+AH=AE+AD=12
= =8,
故选A.
【点睛】本题主要考查勾股定理与折叠及相似三角形的判定与性质，综合性大，注意运算的准确形.
6．A
【解析】【分析】
三角形相似的判定方法:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似;两角对应相等的两个三角形相似;根据三角形相似的判定方法容易得出结论.
【详解】
解:若,不满足三角形相似的判定方法,不一定相似,A是假命题;
若,则DE∥BC，△ADE~ △ACB B正确;
若又∠A=∠A,△ADE~△ACB, C正确;
若∠ADE=∠B,又∠A=∠A,
△ADE~△ABC, D正确;
所以选A.
【点睛】本题考查相似三角形的判定方法;熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键.
7．D
【解析】【分析】
利用两边及其夹角法、 两角法判断两个三角形相似,进行选择即可.
【详解】
解:A: ∠A=∠A, ∠ACP=∠B,
△ACP ~△ABC,故A项不符合题意;
B: ∠A=∠A, ∠APC=∠ACB,
△ACP ~△ABC,故B项不符合题意;
C: ∠A=∠A,
△ACP ~△ABC,故C项不符合题意;
D:不能作为判定△ACP ~△ABC;
故选D.
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定方法.
8．C
【解析】【分析】
①先利用角平分线和平行四边形的性质判断三角形ABE为等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得∠ACE=30°，最后由平行的性质得到最后结论；
②先根据三角形中位线定理得：OE=AB=，OE∥AB，根据已知条件可推出∠COE＝90°，∠ACD=90°，根据勾股定理和平行四边形的性质可计算OC和OD的长，最终可得BD的长；
③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断；
⑤先判断出，根据△ABP∽△EOP得到AP：OE=2∶1，同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得到，，故可将⑤作出判断．
【详解】
①∵平分，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正确；
②∵BE=EC，OA＝OC，
∴OE=AB=，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，在RT△EOC中，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，在RT△OCD中，，
∴BD=2OD=，
故②正确；
③由②知，∠DCA=∠BAC=90°，
∴S平行四边形ABCD
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE=，
∵AB=，
∴OE=，
故④正确；
⑤∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=，
∴，
∵OE∥AB，△EOP∽△ABP，
∴,
∴,
∴；
故⑤错误；
本题正确的有4个，
故选择C．
【点睛】本题是一道几何的综合题目，掌握平行四边形的性质及求面积方法、等腰三角形的性质、勾股定理、中位线定理、相似等是解答本题的关键．
9．4
【解析】【分析】
根据已知先判定线段DE∥BC,再根据相似三角形的判定方法进行分析,从而得到答案.
【详解】
解:由题意的:∠1=∠2=∠3
DE∥BC△ADE~△ABC,
DE//BC∠EDC=∠DCB,又∠ACD=∠ABC,
△EDC~△DCB,
同理:∠3=∠2,∠A=∠A, △ABC~△ACD,
△ADE~ △ABC, △ABC~△ACD,
△ADE~△ACD
相似三角形共4对.
故答案：4.
【点睛】本题考查考查了平行线的判定;及相似三角形的判定:
(1)两角对应相等的两个三角形相似;
(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;
(3)三边对应成比例的两个三角形相似;
(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
10．.
【解析】【分析】
直径所对应的的圆周角为90°，再利用勾股定理求出AB的值，然后利用C点为半圆的中点判断出ΔABC为等腰直角三角形，利用勾股定理求出BC的值，最后利用三角形相似，对应边成比例求出DE的长度.
【详解】
∵ 点C为半圆的中点 ，∴AC=BC,∵ AB是直径 ,∴∠C=∠D=90°,在Rt△ADB中， AD=1，BD=7 ，∴AB=5,在等腰Rt△ACB中，∴AC=BC=5,∵∠CBE=∠CAD,∠C=∠D,∴△ADE∽△BCE，∴=， 即=,∴CE=5DE,∴BE=7-DE,在Rt△CEB中,利用勾股定理得：52+（5DE）2=(7-DE)2,解得 :DE=-(舍去）或DE=， ∴CE=
故答案为.
【点睛】直径所对的圆周角等于90°；两个角对应相等的三角形相似，相似三角形线段成比例；勾股定理.
11．
【解析】【分析】
根据已知条件得到AF=3,EF=1,由DE∥AC,得到△BED~△ABC,根据相似三角形的性质得到,即,求得DE=,通过△DEF~△GAF,得到,于是得到,可得AG=16,根据勾股定理即可得到结论.
【详解】
解:如图
AB=6,BF=3,AF=3,
AE=2,EF=1,
DE∥AC,
△BED~△ABC,
即:
DE=，
DE∥AC,
ADEF~AGAF,
AG=16,
FG==.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及勾股定理，注意运算的准确性.
12．18
【解析】【分析】
根据同时同地的物高与影长成正比例列出比例式进行计算即可得解.
【详解】
解:设教学大楼高为x米,
根据题意得,=,
解得x=18米.
故答案为:18.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用,主要利用了同时同地的物高与影长成正比例的性质.
13．(1)60°，1；(2)∠DAC=45°，=(3) ，.
【解析】【分析】
(1)由三角形ABC与三角形CDE都为正三角形，得到AB=AC，CE=CD，以及内角为60°，利用等式的性质得到∠ECB=∠DCA，利用SAS得到三角形ECB与三角形DCA全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=AD，即可求出所求之比；
(2)由三角形CDE与三角形ABC都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到CE=CD，BC=AC，以及锐角为45°，利用等式的性质得到∠ECB=∠DCA，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角形ECB与三角形DCA相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出所求之比；
(3)仿照前两问，以此类推得到一般性规律，求出所求之比即可．
【详解】
解：(1)∵△ABC和△CDE都是正三角形，
∴∠B=∠ACB=∠DCE=60°，AB=AC，CE=DC，
∵∠ECB=∠ACB-∠ACE=60°-∠ACE，
∠DCA=∠DCE-∠ACE=60°-∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
在△ECB和△DCA中，
，
∴△ECB≌△DCA(SAS)，
∴BE=AD，∠B=∠DAC=60°，
则=1；
故答案为60°；1；
(2)∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，
∴∠B=∠ACB=∠DCE=45°，CE=DC，BC=AC，
∴，
∵∠ECB=∠ACB-∠ACE=45°-∠ACE，
∠ACD=∠DCE-∠ACE=45°-∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB∽△DCA，
∴∠B=∠DAC=45°，
∴；
(3)依此类推，当BC=AC时，，理由为：
∵等腰△ABC和等腰△CDE中，
∴∠B=∠ACB=∠DCE，CE=DC，BC=AC，
∴，
∵∠ECB=∠ACB-∠ACE，∠ACD=∠DCE-∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB∽△DCA，
∴∠B=∠DAC=，
∴．
故答案为180°-2α；．
【点睛】此题属于三角形综合题，涉及的知识有：等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
14．（1）5；（2）4.2m．
【解析】【分析】
(1)根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米,利用比例式直接得出树高;
(2)根据辅助线作法得出假设没有墙时影子长度,即可求出答案.
【详解】
（1）根据题意得：设甲树的高度为x米，可得
＝，解得：x＝5（米）．
故答案为：5．
（2）如图：
假设AB是乙树，
∴BC＝2.4m，CD＝1.2m，∴＝，∴＝，∴CE＝0.96（m），
∴＝，∴AB＝4.2（m），答：乙树的高度为4.2m．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用,根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键.
15．分别是30厘米和45厘米.
【解析】【分析】
根据已知的三边对应成比例,得到△ABC和△DEF相似,再根据相似三角形的周长之比等于相似比,得到△ABC和△DEF的周长之比,由和的周长之差为15厘米,可出△ABC和△DEF的周长的方程，可求出答案.
【详解】
解：设和的周长分别是x厘米和y厘米.
①..
由题意可得： ②
由①式得 ③
将③式代入①式得：
...
将代入②式得：
...
答：和的周长分别是30厘米和45厘米.
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,要求学生掌握相似三角形的相似比,周长比及面积比之间的关系,即相似三角形的对应边之比与周长之比都等于相似比,面积比等于相似比的平方.
16．（1）见解析；（2）见解析
【解析】【分析】
（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据对应边成比例且夹角相等证得∽，根据平行四边形的性质和等量代换得到，结合，可以证明∽，因此对应边成比例，又因为，所以可以证明题目．
【详解】
（1）证明： ∵四边形是平行四边形，
∴∥，；
∵，
∴；
又∥，
∴四边形是平行四边形．
（2） 证明：∵，
∴，
又，
∴∽，
∴；
∵∥，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴∥，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴∥，
∴；
∴；
又，
∴∽，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，熟练掌握两部分的相关性质和定理是本题的关键．
一、单选题
1．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE//BD，且交AB于点E，GF//AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知是线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，若点在直线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知菱形，是动点，边长为4， ，则下列结论正确的有几个（ ）
①； ②为等边三角形
③ ④若，则
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，已知?ABCD，AB＝2，AD＝6，将?ABCD绕点A顺时针旋转得到?AEFG，且点G落在对角线AC上，延长AB交EF于点H，则FH的长为（ ）
A． B． C．5 D．无法确定
6．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上如果，的面积是6，那么这个正方形的边长是
A． B． C． D．
7．如图，在中，，点为坐标系的原点，点在函数的图象上，则点所在图象的函数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，在中，分别是的中点，分别交于点.下列命题中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．如图，在中，、、分别在、、上，，，，，则的长为________．
10．如图，一电线杆的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起米高的直杆，量得其影长为米，量得电线杆落在地上的影子长米，落在墙上的影子的高为米，则电线杆的高为________米．
11．已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．
12．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是_________．
三、解答题
13．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙的高度CD．
14．如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：．
15．如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5，AB＝4，当BD的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？
16．如图，已知P是菱形ABCD中CD边上一点，AP交对角线BD于点E，将沿AP翻折得，FP交边BC于点G，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
参考答案
1．B
【解析】【分析】
通过平行线可得到△DFE∽△BFA，然后根据相似三角形的性质得到两三角形高的比等于相似比，然后根据三角形面积公式计算即可．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴，
∴，
∵△DFE和△DAE同底
∴
又∵，
∴．
?故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的高的比等于相似比是解题的关键．
2．D
【解析】【分析】
根据平行线截得的线段对应成比例以及相似三角形的性质定理，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】
∵
∴?AEG~?ABD
∴
∴?DFG~?DCA
∴A错误，
∵，
∴，
∴B错误，
∵?DFG~?DCA， ?AEG~?ABD，
∴，，
∴，
∴C错误，
∵，，
∴，
∴D正确，
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线截线段定理以及相似三角形的性质定理，掌握平行线截得的线段对应成比例是解题的关键．
3．A
【解析】【分析】
当点M在AB上运动时，MN⊥MC交y轴于点N，此时点N在y轴的负半轴移动，定有△AMC∽△NBM；只要求出ON的最小值，也就是BN最大值时，就能确定点N的坐标，而直线y=kx+b与y轴交于点N（0，b），此时b的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．
【详解】
解：连接，则四边形是矩形，
，
又，
，
，
，
，
设．则，
，
即：
当时，
直线与轴交于
当最大，此时最小，点越往上，的值最大，
，
此时，
的最大值为．
故选A．
【点睛】本题综合考查相似三角形的性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的性质等知识；构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键所在．
4．D
【解析】【分析】
①易证△ABC为等边三角形，得AC=BC，∠CAF=∠B，结合已知条件BE=AF可证△BEC≌△AFC；②得FC=EC，∠FCA=∠ECB，得∠FCE=∠ACB，进而可得结论；③证明∠AGE=∠BFC则可得结论；④分别证明△AEG∽△FCG和△FCG∽△ACF即可得出结论.
【详解】
在四边形是菱形中，
∵，
∴
∵
∴
∴△ABC为等边三角形，
∴
又，
∴，故①正确；
∴，
∴∠FCE=∠ACB=60°,
∴为等边三角形，故②正确；
∵∠AGE+∠GAE+∠AEG=180°，∠BEC+∠CEF+∠AEG=180°，
又∵∠CEF=∠CAB=60°,
∴∠BEC=∠AGE，
由①得，∠AFC=∠BEC，
∴∠AGE=∠AFC，故③正确；
∴∠AEG=∠FCG
∴△AEG∽△FCG，
∴，
∵∠AGE=∠FGC，∠AEG=∠FCG
∴∠CFG=∠GAE=∠FAC，
∴△ACF∽△FCG，
∴
∴
∵AF=1，
∴BE=1，
∴AE=3，
∴，故④正确.
故选D.
【点睛】本题主要考查了运用菱形的性质求解，主要的知识点有：全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，是一道好题.
5．B
【解析】【分析】
先利用平行四边形的性质得到CD＝AB＝2，BC＝AD＝6，∠D＝∠ABC，再根据旋转的性质得到∠DAG＝∠BAE，AE＝AB＝2，EF＝BC＝6，∠E＝∠ABC，接着证明△ADC∽△AEH，然后利用相似比求出EH，从而得到FH的长．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝2，BC＝AD＝6，∠D＝∠ABC，
∵?ABCD绕点A顺时针旋转得到?AEFG，且点G落在对角线AC上，
∴∠DAG＝∠BAE，AE＝AB＝2，EF＝BC＝6，∠E＝∠ABC，
∴∠E＝∠D，
而∠DAC＝∠HAE，
∴△ADC∽△AEH，
∴AD：AE＝DC：EH，即6：2＝2：EH，解得EH＝，
∴FH＝EF﹣EH＝6﹣．
故选：B．
【点睛】本题考察了平行四边形的性质，旋转、三角形相似的判定利用三角形相似比求线段的长，根据旋转的性质得到∠DAG＝∠BAE，然后根据两组对应角分别相等的两三角形相似得出AD：AE＝DC：EH是本题的关键．
6．A
【解析】【分析】
作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得=，然后解关于x的方程即可．
【详解】
作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，∵△ABC的面积是6，∴BC?AH=6，∴AH==3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x．
∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴=，即=，解得：x=，即正方形DEFG的边长为．
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质．
7．C
【解析】【分析】
作轴于点，作轴于点，则，结合反比例函数的几何意义，求得，结合点B所在象限即可求解．
【详解】
解：作轴于点，作轴于点，
∴∠AMO=∠ONB=90°,
∴∠MAO+∠MOA=90°,
∵
∴∠AOB=90°, ∠ABO=30°,
∴∠AOM+∠BON=90°, ，
∠MAO=∠NOB
∴
又∵点在第四象限
∴过点的反函数是
故选：C
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义和三角形的相似，根据题意构造“K”形图，是解题关键．
8．A
【解析】【分析】
证出四边形AMCN是平行四边形，由平行四边形的性质得出选项B正确，由相似三角形的性质得出选项C正确，由平行四边形的面积公式得出选项D正确，即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，
∵M、N分别是边AB、CD的中点，
∴CN＝CD，AM＝AB，
∴CN＝AM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AN∥CM，∠MAN＝∠NCM，
∴∠DAN＝∠BCM，选项B正确；
∴△BMQ∽△BAP，△DPN∽△DQC，
∴BQ：BP＝BM：AB＝1：2，DP：DQ＝DN：CD＝1：2，
∴DP＝PQ，BQ＝PQ，
∴DP＝PQ＝QB，
∴BP＝DQ，选项C正确；
∵AB＝2AM，
∴S?AMCN：S?ABCD＝1：2，选项D正确；
故选A．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
9．10
【解析】【分析】
根据两组对边分别平行证明四边形DBFE为平行四边形，得到DE=BF，然后证明，根据三角形相似的性质得到对应边成比例即可求解．
【详解】
∵，
∴四边形DBFE为平行四边形，，
∴，DE=BF
∴，即，解得DE=10
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质，属于基础题型．
10．8
【解析】【分析】
过C点作CG⊥AB于点G，把直角梯形ABCD分割成一个直角三角形和一个矩形，由于太阳光线是平行的，就可以构造出相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】
过C点作CG⊥AB于点G，
∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米，
∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，
∴∠NFM＝∠ACG，
∴△NMF∽△AGC，
∴，
∴AG＝＝6，
∴AB＝AG＋GB＝6＋2＝8(米)，
故电线杆AB的高为8米
故答案为8．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是作出辅助线，将原图形转化为一个直角三角形和矩形．
11．； ．
【解析】【分析】
由于F的位置不确定，需分情况进行讨论，（1）当点F在线段AD上时（2）点F在AD的延长线上时两种情况，然后通过证两三角形相似从而得到AG和CG的比，进一步得到AG和AC的比．
【详解】
解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，
∵AB//CD，
∴△EAF∽△HDF,
∴HD：AE=DF：AF=1:2，
即HD=AE，
∵AB//CD，
∴△CHG∽△AEG，
∴AG：CG=AE：CH，
∵AB=CD=2AE，
∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，
∴AG：CG=2：5，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），
即AG：AC=2：7；
（2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，
∵AB//CD，
∴△EAF∽△HDF，
∴HD：AE=DF：AF=1：2，
即HD=AE，
∵AB//CD，
∴AG：CG=AE：CH
∵AB=CD=2AE，
∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，
∴AG：CG=2：3，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），
即AG：AC=2：5．
故答案为：或．
【点睛】本题考查相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中相似三角形的性质得出的比例式是解题关键，特别注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．
12．2或
【解析】【分析】
设BF=，根据折叠的性质用x表示出B′F和FC，然后分两种情况进行讨论（1）△B′FC∽△ABC和△B′FC∽△BAC，最后根据两三角形相似对应边成比例即可求解．
【详解】
设BF=，则由折叠的性质可知：B′F=，FC=，
（1）当△B′FC∽△ABC时，有，
即：，解得：；
（2）当△B′FC∽△BAC时，有，
即：，解得：；
综上所述，可知：若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是2或
故答案为2或．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，解本题时，由于题目中没有指明△B′FC和△ABC相似时顶点的对应关系，所以根据∠C是两三角形的公共角可知，需分：（1）△B′FC∽△ABC；（2）△B′FC∽△BAC；两种情况分别进行讨论，不要忽略了其中任何一种．
13．CD=8米
【解析】【分析】
由题意得到两对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到△ABP与△CDP相似，由相似得比例求出CD的长即可．
【详解】
由题意知：∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，
∴△ABP∽△CDP，
∴=，
得：=，
解得：CD=8．
答：该古城墙CD的高度为8米．
故答案为CD=8米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
14．见解析．
【解析】【分析】
根据两角相等的两个三角形相似证明△ADC∽△BEC即可．
【详解】
证明：∵AD，BE分别是BC，AC上的高
∴∠D=∠E=90°
又 ∠ACD=∠BCE（对顶角相等）
∴△ADC∽△BEC
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握形似三角形的判定方法是解答本题的关键．①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
15．当BD的长是或时，图中的两个直角三角形相似
【解析】【分析】
先利用勾股定理计算出BC＝3，再根据相似三角形的判定方法进行讨论：当时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即，当时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即，然后利用比例性质求出对应的BD的长即可．
【详解】
在Rt△ABC中，BC3．
∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∴分两种情况讨论：
①当时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即，解得：BD；
②当时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即，解得：BD．
综上所述：当BD的长是或时，图中的两个直角三角形相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
16．（1）证明见解析；（2）．
【解析】【分析】
（1）先证明DE=PD，再根据三角形的性质，证明BG=DP即可．
（2）连结AC，证明△ABE∽△PDE，设CP=，用含的式子表达AB，AM，ME，利用勾股定理，即可求解．
【详解】
（1）证明：在菱形ABCD中，BC=CD
∵FPBD
∴∠DEP＝∠APF＝∠APD，BG=DP，
∴DE=PD
又∵BG＝DP ，DE=PD
∴BG＝DE ．
（2）连结AC，交BD，FP分别为M，N两点．
∵四边形ABCD是菱形
，BM＝DM，PN=GN．
∵ABCD
∴∠ABE=∠PDE，∠BAE=∠DPE
在△ABE和△PDE中
∴△ABE∽△PDE
∵DP=DE，
∴ AB=BE
又∵CP:DP=1:3，AP=7，设CP=
DP=DE=3CP=3，AB=BE=4， BD=7，，
在Rt△ADM和Rt△AEM中，
AM2=，
得=2．
，
得．
．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，图形翻折的性质，相似三角形的判定定理和勾股定理；正确掌握菱形的性质，图形翻折的性质，相似三角形的判定定理和勾股定理是解题的关键．
一、单选题
1．（2020·四川内江·中考真题）如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（ ）
A．30 B．25 C．22．5 D．20
2．（2015·内蒙古巴彦淖尔·中考真题）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，，．若S=3，则的值为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
3．（2020·西藏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2015·青海中考真题）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2017·江苏常州·中考真题）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（ ）
A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）
6．（2018·四川泸州·中考真题）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是
A． B． C． D．
7．（2015·山东济南·中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )
A． B． C．1 D．
8．（2013·贵州贵阳·中考真题）如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
二、填空题
9．如图，把沿边平移到的位置，图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5，若，则此三角形移动的距离是____________．
10．（2016·天津中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于_____．
11．（2020·四川宜宾·中考真题）在直角三角形ABC中，是AB的中点，BE平分交AC于点E连接CD交BE于点O，若，则OE的长是________．
12．（2020·山东济宁·中考真题）如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D．AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=2．则BO的长是_________．
三、解答题
13．（2019·江苏宿迁·中考真题）如图①，在钝角中，，，点为边中点，点为边中点，将绕点逆时针方向旋转度（）．
（1）如图②，当时，连接、．求证：；
（2）如图③，直线、交于点．在旋转过程中，的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；
（3）将从图①位置绕点逆时针方向旋转，求点的运动路程．
14．（2020·广西中考真题）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．
（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）求证：CD平分∠ACB；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF?BF．
15．（2020·四川成都·中考真题）在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值．
16．（2017·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点E在边BC上移动（点E不与点B、C重合），满足，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分．
17．（2016·吉林长春·中考真题）如图．在□ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE．EF与CD交于点G．
（1）求证：BD∥EF ．
（2）若，BE=4，求EC的长．
18．（2020·四川凉山·中考真题）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
参考答案
1．D
【解析】【分析】
首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．
【详解】
解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知：=1：4，则：=3：4，题中已知，故可得=5，=20
故本题选择D
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．
2．B
【解析】【分析】
【详解】
过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，
∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP==12．
故选B．
3．C
【解析】【分析】
解析式联立，解方程求得的横坐标，根据定义求得的横坐标，把横坐标代入反比例函数的解析式求得的坐标，代入即可求得的值．
【详解】
解：直线与反比例函数的图象交于点，
解求得，
的横坐标为2，
如图，过C点、A点作y轴垂线，
OA//BC，
∴，
∴，
，
∴，
∴，解得=1，
的横坐标为1，
把代入得，，
，
将直线沿轴向上平移个单位长度，得到直线，
把的坐标代入得，求得，
故选：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及函数的交点、一次函数平移、待定系数法求函数解析式等知识，求得交点坐标是解题的关键．
4．A
【解析】试题分析：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，BC=AD，∴△DEF∽△BCF，∴，设ED=k，则AE=2k，BC=3k，∴==，故选A．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．
5．A
【解析】过C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠ADO，∴△CDE∽△ADO，
∴，
∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，
∴OA=3，CD：AD=，∴CE=OD=2，DE=OA=1，
∴OE=7，∴C（2，7），
故选A．
6．C
【解析】【分析】
如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.
【详解】
如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∵FN∥AD，
∴四边形ANFD是平行四边形，
∵∠D=90°，
∴四边形ANFD是矩形，
∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，
∵AN=BN，MN∥AE，
∴BM=ME，
∴MN=a，
∴FM=a，
∵AE∥FM，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
7．C
【解析】【分析】
作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=AM=，再根据角平分线性质得BM=MH=，则AB=2+，于是利用正方形的性质得到AC=AB=2+2，OC=AC=+1，所以CH=AC-AH=2+，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．
【详解】
试题分析：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH=AM=×2=，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH=，
∴AB=2+，
∴AC=AB=（2+）=2+2，
∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴，即，
∴ON=1．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．
8．C
【解析】【分析】
过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
【详解】
过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．因此，
∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条．
故选C．
9．
【解析】【分析】
根据题意可知△A1BD∽△ABC，又根据已知条件“图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5”可得与的面积比为4∶9，即得出A1B∶AB=2∶3，已知，故可求A1B，最终求出．
【详解】
∵根据题意“把沿边平移到的位置”，
∴AC∥A1D，故判断出△A1BD∽△ABC，
∵图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5，
∴与的面积比为4∶9，
∴A1B∶AB=2∶3，
∵，
∴A1B=，
∴=AB－A1B=4－=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解答本题的关键．
10．
【解析】【分析】
根据辅助线的性质得到∠ABD=∠CBD=45°，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，即可得到结论．
【详解】
解：在正方形ABCD中， ∵∠ABD=∠CBD=45°，
∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，
∴∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，
∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，
∴FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，
同理DQ=MQ，
，
考点：正方形的性质
11．
【解析】【分析】
过E点作EG⊥AB于G点，根据三角形面积公式求出CE=EG=3，延长CD交过B作BF⊥BC于F，可得△ACD≌△BFD，得到BF=8,再根据△CEO∽△FBO，找到比例关系得到EO=BE，再求出BE即可求解．
【详解】
过E点作EG⊥AB于G点，
∵BE平分
∴CE=EG,
设CE=EG=x,
∵,
∴AB=
∵S△ABC= S△ABE+S△BCE，
故
即
解得x=3
∴CE=3,
延长CD交过B作BF⊥BC于F，
∵D是AB中点
∴AD=BD
又AC∥BF
∴∠A=∠DBF,由∠ADC=∠DBF
∴△ACD≌△BFD，
∴BF=AC=8,
∵AC∥BF
∴△CEO∽△FBO，
∴
∴EO=BE=×=，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定、角平分线的性质及相似三角形的判定与性质．
12．4
【解析】【分析】
连结OC，设⊙O的半径为r，由DC2=CE?CA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，利用等腰三角形的判定得BC=DC，证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到，则，然后证明，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值即可．
【详解】
解：连结，如图，设的半径为，
，
，
而，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
即OB=4.
故答案为：4.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．也考查了圆周角定理．
13．（1）见解析（2）的大小不发生变化，（3）
【解析】【分析】
(1）如图①利用三角形的中位线定理，推出，可得，在图②中，利用两边成比例夹角相等证明三角形细相似即可．
（2）利用相似三角形的性质证明即可．
（3）点的运动路程，是图③﹣1中的的长的两倍，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算即可．
【详解】
（1）如图②中，
由图①，∵点为边中点，点为边中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）的大小不发生变化，.
理由：如图③中，设交于点．
∵，
∴，
∵，，，
∴.
（3）如图③﹣1中．设的中点为，连接，以为边向右作等边，连接，．
以为圆心，为半径作，
∵，，
∴，
∴点在上运动，
以为圆心，为半径作，当直线与相切时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴的长，
观察图象可知，是的长的两倍.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题
14．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析
【解析】【分析】
（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，判断出OA＝OB＝OC＝OD，即可得出结论；
（2）先求出∠COD＝150°，利用等腰三角形的性质得出∠ODC＝15°，进而求出∠BDC＝30°，进而求出∠BCD＝45°，即可得出结论；
（3）先判断出，得出DF2＝BF?EF，再利用勾股定理得出OD2+OF2＝DF2，即可得出结论．
【详解】
证明：（1）如图，连接OD，OC，
在Rt中，∠ACB＝90°，点O是AB的中点，
∴OC＝OA＝OB，
在Rt中，∠ADB＝90°，点O是AB的中点，
∴OD＝OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上；
（2）连接OC，OD，由（1）知，OA＝OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
在Rt中，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠BOC＝60°，
在Rt中，∠DAB＝45°，
∴∠ABD＝45°＝∠DAB，
∴AD＝BD，
∵点O是AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°，∠ODB＝∠ADB＝45°，
∴∠COD＝150°，
∴∠OCD＝∠ODC＝15°，
∴∠BDC＝∠ODB﹣∠ODC＝30°，
∵∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝105°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠BDC＝45°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝45°＝∠BCD，
∴CD平分∠ACB；
（3）由（2）知，∠BCD＝45°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BEC＝75°，
∴∠AED＝75°，
∵DF∥BC，
∴∠BFD＝∠ABC＝60°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠ABD＝75°＝∠AED，
∵∠DFE＝∠BFD，
∴，
∴，
∴DF2＝BF?EF，
连接OD，则∠BOD＝90°，OB＝OD，
在Rt中，根据勾股定理得，OD2+OF2＝DF2，
∴OB2+OF2＝BF?EF，
即BO2+OF2＝EF?BF．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，四点共圆的判定，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
15．（1）15°；（2）；（3）
【解析】【分析】
（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到，再由折叠的性质可得到；
（2）由三等角证得，从而得，，再由勾股定理求出DE，则；
（3）过点作于点，可证得．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解．
【详解】
（1）∵矩形，
∴，
由折叠的性质可知BF=BC=2AB，，
∴，
∴，
∴
（2）由题意可得，
，
∴
∴
∴，
∴
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴；
（3）过点作于点．
∴
又∵
∴．
∴．
∵，即
∴，
又∵BM平分，，
∴NG=AN，
∴，
∴
整理得：．
【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题．
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】【分析】
(1)根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再由∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，，即可判定，根据相似三角形的判定方法即可得△BDE∽△CEF；（2）由相似三角形的性质可得，再由点E是BC的中点，可得BE=CE，即可得，又因，即可判定△CEF∽△EDF，根据相似三角形的性质可得，即可证得即FE平分∠DFC．
【详解】
解：（1）因为AB=AC,所以∠B=∠C，
因为∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
所以,
所以△BDE∽△CEF；
（2）因为△BDE∽△CEF，所以,
因为点E是BC的中点，所以BE=CE,即,
所以，又,故△CEF∽△EDF,
所以,即FE平分∠DFC．
17．（1）证明见解析；（2）6．
【解析】【分析】
【详解】
试题分析：（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．
∵DF=BE，∴四边形BEFD是平行四边形，∴BD∥EF；
（2）∵四边形BEFD是平行四边形，∴DF=BE=4．
∵DF∥EC，∴△DFG∽CEG，∴，∴CE===6．
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
18．48mm
【解析】【分析】
设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【详解】
设正方形的边长为x mm，
则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴,
即，
解得x＝48 mm，
∴这个正方形零件的边长是48mm．
【点睛】本题主要考查了相似三角形判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
27.2 相似三角形
1．相似三角形的判定
（1）三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做__________，相似用符号“∽”表示，△ABC与
△DEF相似记作△ABC∽△DEF．
（2）平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__________．
（3）相似三角形的判定定理：
①判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
②判定定理2：__________成比例的两个三角形相似．
③判定定理3：__________成比例且夹角相等的两个三角形相似．
④判定定理4：__________分别相等的两个三角形相似．
（4）直角三角形相似的判定方法：如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．
2．相似三角形的性质
（1）相似三角形具备相似多边形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
（2）相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于__________．
（3）相似三角形周长的比等于__________．
（4）相似三角形的面积的比等于__________．
3．相似三角形应用举例
相似三角形的实际应用主要包括：
（）利用相似三角形的性质测量不能直接到达的河的宽度；
（2）利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度．
K知识参考答案：
1．（1）相似三角形；（2）成比例；（3）②三边；③两边；④两角
2．（2）相似比；（3）相似比；（4）相似比的平方．
K—重点
探索两个三角形相似的条件，会选择恰当的方法识别两个三角形相似
K—难点
探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；综合运用相似三角形的判定和性质解决生活中的实际问题
K—易错
相似三角形的对应元素出错；用相似三角形相似比求面积关系时出错
一、相似三角形的判定
判定三角形相似的几条思路：
（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；
（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；
（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
【例1】下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD?AC D．
【答案】D
【解析】A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD?AC，∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选D．
【例2】如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE=∠B．那么下列各判断中，错误的是
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD
C．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB
【答案】D
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，
∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE，
又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；
∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；
∵∠B=∠ADE，但是∠BCD<∠AED，且∠BCD≠∠A，
∴△ADE与△DCB不相似；
正确的判断是A、B、C，错误的判断是D；
故选D．
二、相似三角形的性质
运用相似三角形性质的前提是先判定两三角形相似.特别注意“相似三角形面积的比等于相似比的平方”而不是等于相似比，即相似比应等于面积比的算术平方根．
【例3】如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB∶DE=1∶2，那么下列等式一定成立的是
A．BC∶DE=1∶2
B．△ABC的面积∶△DEF的面积=1∶2
C．∠A的度数∶∠D的度数=1∶2
D．△ABC的周长∶△DEF的周长=1∶2
【答案】D
【解析】A、BC与EF是对应边，所以，BC∶DE=1∶2不一定成立，故本选项错误；
B、△ABC的面积∶△DEF的面积=1∶4，故本选项错误；
C、∠A的度数∶∠D的度数=1∶1，故本选项错误；
D、△ABC的周长∶△DEF的周长=1∶2正确，故本选项正确．故选D．
三、相似三角形应用举例
解相似三角形应用题的两个原则：
（1）核心是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体的高度或宽度一般是其中的一边．
（2）构造三角形的方法多种多样，只需把握住所构造的三角形除被测量的边以外，其余的对应边易测这一原则．
【例4】如图，阳光通过窗口照到某个房间内，竖直窗框AB在地面上留下的影子长度DE=1.8m，已知点E到窗下墙角的距离CE=3.9m，窗框底边离地面的距离BC=1.4m，试求窗框AB的长．
【解析】连接AB，
由于阳光是平行光线，即AE∥BD，
所以∠AEC=∠BDC．
又因为∠C是公共角，
所以△AEC∽△BDC，
从而有．
又AC=AB+BC，DC=EC–ED，EC=3.9，ED=1.8，BC=1.4，
于是有，
解得AB=1.42m．
答：窗框AB的长为1.42m．
一、单选题
1．如图，△ABC与△DEF形状完全相同，且AB=3.6，BC=6，AC=8，EF=2，则DE的长度为（ ）
A．1.2 B．1.8 C．3 D．7.2
2．点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，若AC＝2，则BC的长为（ ）
A． B． C．+1 D．﹣1
3．矩形中，，，点为的中点，将矩形右下角沿折叠，使点落在矩形内部点位置，如图所示，则的长度为( )
A． B． C． D．
4．如图，正方形ABCD边长为4，M，N分别是边BC，CD上的两个动点且AM⊥MN，则AN的最小值是( )
A．4 B．5 C．2 D．4
5．如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F，若AB=6,AD=8，AE=4，则△EBF周长的大小为( )
A．8 B．10 C．12 D．6
6．如图，在中，、分别是边、上的点，下列命题中，假命题是（ ）
A．若，则与相似 B．若，则与相似
C．若，则与相似 D．若，则与相似
7．如图，已知是P是△ABC的边AB上一点，则在下列四个条件中，不能作为判定△ACP与△ABC相似条件的是 （ ）
A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C． D．
8．如图，的对角线相交于点，平分，分别交于点，连接，，，则下列结论：①；②；③S平行四边形ABCD；④；⑤，正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．如图，已知∠1＝∠2＝∠3，图中有_______对相似三角形．
10．如图，点C为半圆的中点，AB是直径，点D是半圆上一点，AC，BD交于点E．若AD=1，BD=7，则CE的长为_____.
11．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点E为边AB上一点，AE=2，点F为线段AB上一点，且BF=3，过点E作AC的平行线交BC于点D，作直线FD交AC于点G，则FG=________?．
?
12．已知我校三班试验小组在某一时刻测得操场上米长的旗杆在地面的影子长为米，同时测得附近教学大楼的影子长为米，则教学大楼高为________米．
三、解答题
13．如图1中，△ABC为等腰三角形，AB=AC，点E为腰AB上任意一点，以CE为底边作等腰△DEC．且∠BAC=∠EDC=α，连结AD：
(1)如图2中，当α=60°时，∠DAC=______，=______；
(2)如图3中，当α=90°时，求∠DAC的度数与的值；
(3)如图1中，当BC=AC．∠DAC=___(用α的代数式表示)=___．
14．在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米；
小丽：测量甲树的影长为4米（如图1）；
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
（1）请直接写出甲树的高度为 米；
（2）求乙树的高度．
15．已知和中，有,且和的周长之差为15厘米，求和的周长.
16．如图，四边形是平行四边形，在边的延长线上截取，点在的延长线上，和交于点，和交于．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：．
参考答案
1．A
【解析】【分析】
利用△ABC∽△DEF，对应线段成比例即可求出DE的长.
【详解】
∵△ABC∽△DEF，
∴=，即=
∴DE=1.2
故选A.
【点睛】此题主要考察相似三角形的对应线段成比例.
2．D
【解析】【分析】
根据黄金分割的定义可得出较长的线段BC＝AC，将AC＝2代入即可得出BC的长度．
【详解】
∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，
∴BC＝AC，
∵AC＝2，
∴BC＝﹣1．
故选：D．
【点睛】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的 倍．
3．A
【解析】【分析】
作EM⊥AF，则AM=FM，利用相似三角形的性质，构建方程求出AM即可解决问题．
【详解】
解：如图中，作EM⊥AF，则AM=FM，
∵AE=EB=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，
∴∠BEC=∠EAF，
∴AF∥EC，
在Rt△ECB中，EC=，
∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，
∴△CEB∽△EAM，
∴ ，
∴ ，
，
∴AF=2AM=，
故选A．
【点睛】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
4．B
【解析】【分析】
在Rt△ADN，，而AD=4为定值，所以当DN取最小值时，AN也取最小值．于是设BM=x，利用△ABM∽△MCN，求出CN的长，即可表示出DN的长，根据二次函数的最值求法即可得到正确结果．
【详解】
解：∵AM⊥MN
∴∠AMB+∠CMN＝90°
而∠AMB+∠MAB＝90°
∴∠MAB＝∠NMC
又∵∠B＝∠C＝90°
∴△ABM∽△MCN
∴
若设BM＝x，则CM＝4﹣x
于是有
∴CN＝x(4﹣x)
∴DN＝4﹣CN＝x2﹣x+4
＝ (x﹣2)2+3
即：当BM＝2时，DN取最小值为3，
而AN＝，而AD＝4为定值，所以当DN取最小值时，AN也取最小值
此时AN＝＝5
即当DN取最小值3时，AN也取最小值5．
故选B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质应用与二次函数求最值的结合，把代数与几何问题进行了相互渗透，本题中运用二次函数求线段的最值是解题的关键．
5．A
【解析】【分析】
根据折叠之后对应边相等，找出等量关系，再根据相似三角形的周长比等于相似比进而求出三角形EBF的周长．
【详解】
解:设AH=a,则DH=AD-AH=8-a,在Rt△AEH中,∠EAH=90,AE=4,AH=a,EH=DH=8-a,EH=AE+AH,即(8-a)=4+a,解得:a=3.
∠BFE+∠BEF=90,∠BEF+∠AEH=90,
∠BFE=∠AEH.
又∠EAH=∠FBE=90,
△EBF~△HAE,
===,
=AE+EH+AH=AE+AD=12
= =8,
故选A.
【点睛】本题主要考查勾股定理与折叠及相似三角形的判定与性质，综合性大，注意运算的准确形.
6．A
【解析】【分析】
三角形相似的判定方法:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似;两角对应相等的两个三角形相似;根据三角形相似的判定方法容易得出结论.
【详解】
解:若,不满足三角形相似的判定方法,不一定相似,A是假命题;
若,则DE∥BC，△ADE~ △ACB B正确;
若又∠A=∠A,△ADE~△ACB, C正确;
若∠ADE=∠B,又∠A=∠A,
△ADE~△ABC, D正确;
所以选A.
【点睛】本题考查相似三角形的判定方法;熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键.
7．D
【解析】【分析】
利用两边及其夹角法、 两角法判断两个三角形相似,进行选择即可.
【详解】
解:A: ∠A=∠A, ∠ACP=∠B,
△ACP ~△ABC,故A项不符合题意;
B: ∠A=∠A, ∠APC=∠ACB,
△ACP ~△ABC,故B项不符合题意;
C: ∠A=∠A,
△ACP ~△ABC,故C项不符合题意;
D:不能作为判定△ACP ~△ABC;
故选D.
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定方法.
8．C
【解析】【分析】
①先利用角平分线和平行四边形的性质判断三角形ABE为等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得∠ACE=30°，最后由平行的性质得到最后结论；
②先根据三角形中位线定理得：OE=AB=，OE∥AB，根据已知条件可推出∠COE＝90°，∠ACD=90°，根据勾股定理和平行四边形的性质可计算OC和OD的长，最终可得BD的长；
③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断；
⑤先判断出，根据△ABP∽△EOP得到AP：OE=2∶1，同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得到，，故可将⑤作出判断．
【详解】
①∵平分，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正确；
②∵BE=EC，OA＝OC，
∴OE=AB=，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，在RT△EOC中，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，在RT△OCD中，，
∴BD=2OD=，
故②正确；
③由②知，∠DCA=∠BAC=90°，
∴S平行四边形ABCD
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE=，
∵AB=，
∴OE=，
故④正确；
⑤∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=，
∴，
∵OE∥AB，△EOP∽△ABP，
∴,
∴,
∴；
故⑤错误；
本题正确的有4个，
故选择C．
【点睛】本题是一道几何的综合题目，掌握平行四边形的性质及求面积方法、等腰三角形的性质、勾股定理、中位线定理、相似等是解答本题的关键．
9．4
【解析】【分析】
根据已知先判定线段DE∥BC,再根据相似三角形的判定方法进行分析,从而得到答案.
【详解】
解:由题意的:∠1=∠2=∠3
DE∥BC△ADE~△ABC,
DE//BC∠EDC=∠DCB,又∠ACD=∠ABC,
△EDC~△DCB,
同理:∠3=∠2,∠A=∠A, △ABC~△ACD,
△ADE~ △ABC, △ABC~△ACD,
△ADE~△ACD
相似三角形共4对.
故答案：4.
【点睛】本题考查考查了平行线的判定;及相似三角形的判定:
(1)两角对应相等的两个三角形相似;
(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;
(3)三边对应成比例的两个三角形相似;
(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
10．.
【解析】【分析】
直径所对应的的圆周角为90°，再利用勾股定理求出AB的值，然后利用C点为半圆的中点判断出ΔABC为等腰直角三角形，利用勾股定理求出BC的值，最后利用三角形相似，对应边成比例求出DE的长度.
【详解】
∵ 点C为半圆的中点 ，∴AC=BC,∵ AB是直径 ,∴∠C=∠D=90°,在Rt△ADB中， AD=1，BD=7 ，∴AB=5,在等腰Rt△ACB中，∴AC=BC=5,∵∠CBE=∠CAD,∠C=∠D,∴△ADE∽△BCE，∴=， 即=,∴CE=5DE,∴BE=7-DE,在Rt△CEB中,利用勾股定理得：52+（5DE）2=(7-DE)2,解得 :DE=-(舍去）或DE=， ∴CE=
故答案为.
【点睛】直径所对的圆周角等于90°；两个角对应相等的三角形相似，相似三角形线段成比例；勾股定理.
11．
【解析】【分析】
根据已知条件得到AF=3,EF=1,由DE∥AC,得到△BED~△ABC,根据相似三角形的性质得到,即,求得DE=,通过△DEF~△GAF,得到,于是得到,可得AG=16,根据勾股定理即可得到结论.
【详解】
解:如图
AB=6,BF=3,AF=3,
AE=2,EF=1,
DE∥AC,
△BED~△ABC,
即:
DE=，
DE∥AC,
ADEF~AGAF,
AG=16,
FG==.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及勾股定理，注意运算的准确性.
12．18
【解析】【分析】
根据同时同地的物高与影长成正比例列出比例式进行计算即可得解.
【详解】
解:设教学大楼高为x米,
根据题意得,=,
解得x=18米.
故答案为:18.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用,主要利用了同时同地的物高与影长成正比例的性质.
13．(1)60°，1；(2)∠DAC=45°，=(3) ，.
【解析】【分析】
(1)由三角形ABC与三角形CDE都为正三角形，得到AB=AC，CE=CD，以及内角为60°，利用等式的性质得到∠ECB=∠DCA，利用SAS得到三角形ECB与三角形DCA全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=AD，即可求出所求之比；
(2)由三角形CDE与三角形ABC都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到CE=CD，BC=AC，以及锐角为45°，利用等式的性质得到∠ECB=∠DCA，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角形ECB与三角形DCA相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出所求之比；
(3)仿照前两问，以此类推得到一般性规律，求出所求之比即可．
【详解】
解：(1)∵△ABC和△CDE都是正三角形，
∴∠B=∠ACB=∠DCE=60°，AB=AC，CE=DC，
∵∠ECB=∠ACB-∠ACE=60°-∠ACE，
∠DCA=∠DCE-∠ACE=60°-∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
在△ECB和△DCA中，
，
∴△ECB≌△DCA(SAS)，
∴BE=AD，∠B=∠DAC=60°，
则=1；
故答案为60°；1；
(2)∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，
∴∠B=∠ACB=∠DCE=45°，CE=DC，BC=AC，
∴，
∵∠ECB=∠ACB-∠ACE=45°-∠ACE，
∠ACD=∠DCE-∠ACE=45°-∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB∽△DCA，
∴∠B=∠DAC=45°，
∴；
(3)依此类推，当BC=AC时，，理由为：
∵等腰△ABC和等腰△CDE中，
∴∠B=∠ACB=∠DCE，CE=DC，BC=AC，
∴，
∵∠ECB=∠ACB-∠ACE，∠ACD=∠DCE-∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB∽△DCA，
∴∠B=∠DAC=，
∴．
故答案为180°-2α；．
【点睛】此题属于三角形综合题，涉及的知识有：等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
14．（1）5；（2）4.2m．
【解析】【分析】
(1)根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米,利用比例式直接得出树高;
(2)根据辅助线作法得出假设没有墙时影子长度,即可求出答案.
【详解】
（1）根据题意得：设甲树的高度为x米，可得
＝，解得：x＝5（米）．
故答案为：5．
（2）如图：
假设AB是乙树，
∴BC＝2.4m，CD＝1.2m，∴＝，∴＝，∴CE＝0.96（m），
∴＝，∴AB＝4.2（m），答：乙树的高度为4.2m．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用,根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键.
15．分别是30厘米和45厘米.
【解析】【分析】
根据已知的三边对应成比例,得到△ABC和△DEF相似,再根据相似三角形的周长之比等于相似比,得到△ABC和△DEF的周长之比,由和的周长之差为15厘米,可出△ABC和△DEF的周长的方程，可求出答案.
【详解】
解：设和的周长分别是x厘米和y厘米.
①..
由题意可得： ②
由①式得 ③
将③式代入①式得：
...
将代入②式得：
...
答：和的周长分别是30厘米和45厘米.
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,要求学生掌握相似三角形的相似比,周长比及面积比之间的关系,即相似三角形的对应边之比与周长之比都等于相似比,面积比等于相似比的平方.
16．（1）见解析；（2）见解析
【解析】【分析】
（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据对应边成比例且夹角相等证得∽，根据平行四边形的性质和等量代换得到，结合，可以证明∽，因此对应边成比例，又因为，所以可以证明题目．
【详解】
（1）证明： ∵四边形是平行四边形，
∴∥，；
∵，
∴；
又∥，
∴四边形是平行四边形．
（2） 证明：∵，
∴，
又，
∴∽，
∴；
∵∥，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴∥，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴∥，
∴；
∴；
又，
∴∽，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，熟练掌握两部分的相关性质和定理是本题的关键．
一、单选题
1．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE//BD，且交AB于点E，GF//AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知是线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，若点在直线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知菱形，是动点，边长为4， ，则下列结论正确的有几个（ ）
①； ②为等边三角形
③ ④若，则
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，已知?ABCD，AB＝2，AD＝6，将?ABCD绕点A顺时针旋转得到?AEFG，且点G落在对角线AC上，延长AB交EF于点H，则FH的长为（ ）
A． B． C．5 D．无法确定
6．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上如果，的面积是6，那么这个正方形的边长是
A． B． C． D．
7．如图，在中，，点为坐标系的原点，点在函数的图象上，则点所在图象的函数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，在中，分别是的中点，分别交于点.下列命题中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．如图，在中，、、分别在、、上，，，，，则的长为________．
10．如图，一电线杆的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起米高的直杆，量得其影长为米，量得电线杆落在地上的影子长米，落在墙上的影子的高为米，则电线杆的高为________米．
11．已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．
12．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是_________．
三、解答题
13．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙的高度CD．
14．如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：．
15．如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5，AB＝4，当BD的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？
16．如图，已知P是菱形ABCD中CD边上一点，AP交对角线BD于点E，将沿AP翻折得，FP交边BC于点G，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
参考答案
1．B
【解析】【分析】
通过平行线可得到△DFE∽△BFA，然后根据相似三角形的性质得到两三角形高的比等于相似比，然后根据三角形面积公式计算即可．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴，
∴，
∵△DFE和△DAE同底
∴
又∵，
∴．
?故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的高的比等于相似比是解题的关键．
2．D
【解析】【分析】
根据平行线截得的线段对应成比例以及相似三角形的性质定理，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】
∵
∴?AEG~?ABD
∴
∴?DFG~?DCA
∴A错误，
∵，
∴，
∴B错误，
∵?DFG~?DCA， ?AEG~?ABD，
∴，，
∴，
∴C错误，
∵，，
∴，
∴D正确，
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线截线段定理以及相似三角形的性质定理，掌握平行线截得的线段对应成比例是解题的关键．
3．A
【解析】【分析】
当点M在AB上运动时，MN⊥MC交y轴于点N，此时点N在y轴的负半轴移动，定有△AMC∽△NBM；只要求出ON的最小值，也就是BN最大值时，就能确定点N的坐标，而直线y=kx+b与y轴交于点N（0，b），此时b的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．
【详解】
解：连接，则四边形是矩形，
，
又，
，
，
，
，
设．则，
，
即：
当时，
直线与轴交于
当最大，此时最小，点越往上，的值最大，
，
此时，
的最大值为．
故选A．
【点睛】本题综合考查相似三角形的性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的性质等知识；构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键所在．
4．D
【解析】【分析】
①易证△ABC为等边三角形，得AC=BC，∠CAF=∠B，结合已知条件BE=AF可证△BEC≌△AFC；②得FC=EC，∠FCA=∠ECB，得∠FCE=∠ACB，进而可得结论；③证明∠AGE=∠BFC则可得结论；④分别证明△AEG∽△FCG和△FCG∽△ACF即可得出结论.
【详解】
在四边形是菱形中，
∵，
∴
∵
∴
∴△ABC为等边三角形，
∴
又，
∴，故①正确；
∴，
∴∠FCE=∠ACB=60°,
∴为等边三角形，故②正确；
∵∠AGE+∠GAE+∠AEG=180°，∠BEC+∠CEF+∠AEG=180°，
又∵∠CEF=∠CAB=60°,
∴∠BEC=∠AGE，
由①得，∠AFC=∠BEC，
∴∠AGE=∠AFC，故③正确；
∴∠AEG=∠FCG
∴△AEG∽△FCG，
∴，
∵∠AGE=∠FGC，∠AEG=∠FCG
∴∠CFG=∠GAE=∠FAC，
∴△ACF∽△FCG，
∴
∴
∵AF=1，
∴BE=1，
∴AE=3，
∴，故④正确.
故选D.
【点睛】本题主要考查了运用菱形的性质求解，主要的知识点有：全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，是一道好题.
5．B
【解析】【分析】
先利用平行四边形的性质得到CD＝AB＝2，BC＝AD＝6，∠D＝∠ABC，再根据旋转的性质得到∠DAG＝∠BAE，AE＝AB＝2，EF＝BC＝6，∠E＝∠ABC，接着证明△ADC∽△AEH，然后利用相似比求出EH，从而得到FH的长．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝2，BC＝AD＝6，∠D＝∠ABC，
∵?ABCD绕点A顺时针旋转得到?AEFG，且点G落在对角线AC上，
∴∠DAG＝∠BAE，AE＝AB＝2，EF＝BC＝6，∠E＝∠ABC，
∴∠E＝∠D，
而∠DAC＝∠HAE，
∴△ADC∽△AEH，
∴AD：AE＝DC：EH，即6：2＝2：EH，解得EH＝，
∴FH＝EF﹣EH＝6﹣．
故选：B．
【点睛】本题考察了平行四边形的性质，旋转、三角形相似的判定利用三角形相似比求线段的长，根据旋转的性质得到∠DAG＝∠BAE，然后根据两组对应角分别相等的两三角形相似得出AD：AE＝DC：EH是本题的关键．
6．A
【解析】【分析】
作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得=，然后解关于x的方程即可．
【详解】
作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，∵△ABC的面积是6，∴BC?AH=6，∴AH==3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x．
∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴=，即=，解得：x=，即正方形DEFG的边长为．
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质．
7．C
【解析】【分析】
作轴于点，作轴于点，则，结合反比例函数的几何意义，求得，结合点B所在象限即可求解．
【详解】
解：作轴于点，作轴于点，
∴∠AMO=∠ONB=90°,
∴∠MAO+∠MOA=90°,
∵
∴∠AOB=90°, ∠ABO=30°,
∴∠AOM+∠BON=90°, ，
∠MAO=∠NOB
∴
又∵点在第四象限
∴过点的反函数是
故选：C
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义和三角形的相似，根据题意构造“K”形图，是解题关键．
8．A
【解析】【分析】
证出四边形AMCN是平行四边形，由平行四边形的性质得出选项B正确，由相似三角形的性质得出选项C正确，由平行四边形的面积公式得出选项D正确，即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，
∵M、N分别是边AB、CD的中点，
∴CN＝CD，AM＝AB，
∴CN＝AM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AN∥CM，∠MAN＝∠NCM，
∴∠DAN＝∠BCM，选项B正确；
∴△BMQ∽△BAP，△DPN∽△DQC，
∴BQ：BP＝BM：AB＝1：2，DP：DQ＝DN：CD＝1：2，
∴DP＝PQ，BQ＝PQ，
∴DP＝PQ＝QB，
∴BP＝DQ，选项C正确；
∵AB＝2AM，
∴S?AMCN：S?ABCD＝1：2，选项D正确；
故选A．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
9．10
【解析】【分析】
根据两组对边分别平行证明四边形DBFE为平行四边形，得到DE=BF，然后证明，根据三角形相似的性质得到对应边成比例即可求解．
【详解】
∵，
∴四边形DBFE为平行四边形，，
∴，DE=BF
∴，即，解得DE=10
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质，属于基础题型．
10．8
【解析】【分析】
过C点作CG⊥AB于点G，把直角梯形ABCD分割成一个直角三角形和一个矩形，由于太阳光线是平行的，就可以构造出相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】
过C点作CG⊥AB于点G，
∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米，
∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，
∴∠NFM＝∠ACG，
∴△NMF∽△AGC，
∴，
∴AG＝＝6，
∴AB＝AG＋GB＝6＋2＝8(米)，
故电线杆AB的高为8米
故答案为8．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是作出辅助线，将原图形转化为一个直角三角形和矩形．
11．； ．
【解析】【分析】
由于F的位置不确定，需分情况进行讨论，（1）当点F在线段AD上时（2）点F在AD的延长线上时两种情况，然后通过证两三角形相似从而得到AG和CG的比，进一步得到AG和AC的比．
【详解】
解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，
∵AB//CD，
∴△EAF∽△HDF,
∴HD：AE=DF：AF=1:2，
即HD=AE，
∵AB//CD，
∴△CHG∽△AEG，
∴AG：CG=AE：CH，
∵AB=CD=2AE，
∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，
∴AG：CG=2：5，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），
即AG：AC=2：7；
（2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，
∵AB//CD，
∴△EAF∽△HDF，
∴HD：AE=DF：AF=1：2，
即HD=AE，
∵AB//CD，
∴AG：CG=AE：CH
∵AB=CD=2AE，
∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，
∴AG：CG=2：3，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），
即AG：AC=2：5．
故答案为：或．
【点睛】本题考查相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中相似三角形的性质得出的比例式是解题关键，特别注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．
12．2或
【解析】【分析】
设BF=，根据折叠的性质用x表示出B′F和FC，然后分两种情况进行讨论（1）△B′FC∽△ABC和△B′FC∽△BAC，最后根据两三角形相似对应边成比例即可求解．
【详解】
设BF=，则由折叠的性质可知：B′F=，FC=，
（1）当△B′FC∽△ABC时，有，
即：，解得：；
（2）当△B′FC∽△BAC时，有，
即：，解得：；
综上所述，可知：若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是2或
故答案为2或．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，解本题时，由于题目中没有指明△B′FC和△ABC相似时顶点的对应关系，所以根据∠C是两三角形的公共角可知，需分：（1）△B′FC∽△ABC；（2）△B′FC∽△BAC；两种情况分别进行讨论，不要忽略了其中任何一种．
13．CD=8米
【解析】【分析】
由题意得到两对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到△ABP与△CDP相似，由相似得比例求出CD的长即可．
【详解】
由题意知：∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，
∴△ABP∽△CDP，
∴=，
得：=，
解得：CD=8．
答：该古城墙CD的高度为8米．
故答案为CD=8米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
14．见解析．
【解析】【分析】
根据两角相等的两个三角形相似证明△ADC∽△BEC即可．
【详解】
证明：∵AD，BE分别是BC，AC上的高
∴∠D=∠E=90°
又 ∠ACD=∠BCE（对顶角相等）
∴△ADC∽△BEC
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握形似三角形的判定方法是解答本题的关键．①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
15．当BD的长是或时，图中的两个直角三角形相似
【解析】【分析】
先利用勾股定理计算出BC＝3，再根据相似三角形的判定方法进行讨论：当时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即，当时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即，然后利用比例性质求出对应的BD的长即可．
【详解】
在Rt△ABC中，BC3．
∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∴分两种情况讨论：
①当时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即，解得：BD；
②当时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即，解得：BD．
综上所述：当BD的长是或时，图中的两个直角三角形相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
16．（1）证明见解析；（2）．
【解析】【分析】
（1）先证明DE=PD，再根据三角形的性质，证明BG=DP即可．
（2）连结AC，证明△ABE∽△PDE，设CP=，用含的式子表达AB，AM，ME，利用勾股定理，即可求解．
【详解】
（1）证明：在菱形ABCD中，BC=CD
∵FPBD
∴∠DEP＝∠APF＝∠APD，BG=DP，
∴DE=PD
又∵BG＝DP ，DE=PD
∴BG＝DE ．
（2）连结AC，交BD，FP分别为M，N两点．
∵四边形ABCD是菱形
，BM＝DM，PN=GN．
∵ABCD
∴∠ABE=∠PDE，∠BAE=∠DPE
在△ABE和△PDE中
∴△ABE∽△PDE
∵DP=DE，
∴ AB=BE
又∵CP:DP=1:3，AP=7，设CP=
DP=DE=3CP=3，AB=BE=4， BD=7，，
在Rt△ADM和Rt△AEM中，
AM2=，
得=2．
，
得．
．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，图形翻折的性质，相似三角形的判定定理和勾股定理；正确掌握菱形的性质，图形翻折的性质，相似三角形的判定定理和勾股定理是解题的关键．
一、单选题
1．（2020·四川内江·中考真题）如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（ ）
A．30 B．25 C．22．5 D．20
2．（2015·内蒙古巴彦淖尔·中考真题）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，，．若S=3，则的值为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
3．（2020·西藏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2015·青海中考真题）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2017·江苏常州·中考真题）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（ ）
A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）
6．（2018·四川泸州·中考真题）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是
A． B． C． D．
7．（2015·山东济南·中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )
A． B． C．1 D．
8．（2013·贵州贵阳·中考真题）如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
二、填空题
9．如图，把沿边平移到的位置，图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5，若，则此三角形移动的距离是____________．
10．（2016·天津中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于_____．
11．（2020·四川宜宾·中考真题）在直角三角形ABC中，是AB的中点，BE平分交AC于点E连接CD交BE于点O，若，则OE的长是________．
12．（2020·山东济宁·中考真题）如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D．AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=2．则BO的长是_________．
三、解答题
13．（2019·江苏宿迁·中考真题）如图①，在钝角中，，，点为边中点，点为边中点，将绕点逆时针方向旋转度（）．
（1）如图②，当时，连接、．求证：；
（2）如图③，直线、交于点．在旋转过程中，的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；
（3）将从图①位置绕点逆时针方向旋转，求点的运动路程．
14．（2020·广西中考真题）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．
（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）求证：CD平分∠ACB；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF?BF．
15．（2020·四川成都·中考真题）在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值．
16．（2017·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点E在边BC上移动（点E不与点B、C重合），满足，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分．
17．（2016·吉林长春·中考真题）如图．在□ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE．EF与CD交于点G．
（1）求证：BD∥EF ．
（2）若，BE=4，求EC的长．
18．（2020·四川凉山·中考真题）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
参考答案
1．D
【解析】【分析】
首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．
【详解】
解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知：=1：4，则：=3：4，题中已知，故可得=5，=20
故本题选择D
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．
2．B
【解析】【分析】
【详解】
过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，
∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP==12．
故选B．
3．C
【解析】【分析】
解析式联立，解方程求得的横坐标，根据定义求得的横坐标，把横坐标代入反比例函数的解析式求得的坐标，代入即可求得的值．
【详解】
解：直线与反比例函数的图象交于点，
解求得，
的横坐标为2，
如图，过C点、A点作y轴垂线，
OA//BC，
∴，
∴，
，
∴，
∴，解得=1，
的横坐标为1，
把代入得，，
，
将直线沿轴向上平移个单位长度，得到直线，
把的坐标代入得，求得，
故选：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及函数的交点、一次函数平移、待定系数法求函数解析式等知识，求得交点坐标是解题的关键．
4．A
【解析】试题分析：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，BC=AD，∴△DEF∽△BCF，∴，设ED=k，则AE=2k，BC=3k，∴==，故选A．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．
5．A
【解析】过C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠ADO，∴△CDE∽△ADO，
∴，
∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，
∴OA=3，CD：AD=，∴CE=OD=2，DE=OA=1，
∴OE=7，∴C（2，7），
故选A．
6．C
【解析】【分析】
如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.
【详解】
如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∵FN∥AD，
∴四边形ANFD是平行四边形，
∵∠D=90°，
∴四边形ANFD是矩形，
∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，
∵AN=BN，MN∥AE，
∴BM=ME，
∴MN=a，
∴FM=a，
∵AE∥FM，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
7．C
【解析】【分析】
作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=AM=，再根据角平分线性质得BM=MH=，则AB=2+，于是利用正方形的性质得到AC=AB=2+2，OC=AC=+1，所以CH=AC-AH=2+，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．
【详解】
试题分析：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH=AM=×2=，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH=，
∴AB=2+，
∴AC=AB=（2+）=2+2，
∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴，即，
∴ON=1．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．
8．C
【解析】【分析】
过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
【详解】
过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．因此，
∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条．
故选C．
9．
【解析】【分析】
根据题意可知△A1BD∽△ABC，又根据已知条件“图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5”可得与的面积比为4∶9，即得出A1B∶AB=2∶3，已知，故可求A1B，最终求出．
【详解】
∵根据题意“把沿边平移到的位置”，
∴AC∥A1D，故判断出△A1BD∽△ABC，
∵图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5，
∴与的面积比为4∶9，
∴A1B∶AB=2∶3，
∵，
∴A1B=，
∴=AB－A1B=4－=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解答本题的关键．
10．
【解析】【分析】
根据辅助线的性质得到∠ABD=∠CBD=45°，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，即可得到结论．
【详解】
解：在正方形ABCD中， ∵∠ABD=∠CBD=45°，
∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，
∴∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，
∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，
∴FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，
同理DQ=MQ，
，
考点：正方形的性质
11．
【解析】【分析】
过E点作EG⊥AB于G点，根据三角形面积公式求出CE=EG=3，延长CD交过B作BF⊥BC于F，可得△ACD≌△BFD，得到BF=8,再根据△CEO∽△FBO，找到比例关系得到EO=BE，再求出BE即可求解．
【详解】
过E点作EG⊥AB于G点，
∵BE平分
∴CE=EG,
设CE=EG=x,
∵,
∴AB=
∵S△ABC= S△ABE+S△BCE，
故
即
解得x=3
∴CE=3,
延长CD交过B作BF⊥BC于F，
∵D是AB中点
∴AD=BD
又AC∥BF
∴∠A=∠DBF,由∠ADC=∠DBF
∴△ACD≌△BFD，
∴BF=AC=8,
∵AC∥BF
∴△CEO∽△FBO，
∴
∴EO=BE=×=，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定、角平分线的性质及相似三角形的判定与性质．
12．4
【解析】【分析】
连结OC，设⊙O的半径为r，由DC2=CE?CA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，利用等腰三角形的判定得BC=DC，证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到，则，然后证明，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值即可．
【详解】
解：连结，如图，设的半径为，
，
，
而，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
即OB=4.
故答案为：4.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．也考查了圆周角定理．
13．（1）见解析（2）的大小不发生变化，（3）
【解析】【分析】
(1）如图①利用三角形的中位线定理，推出，可得，在图②中，利用两边成比例夹角相等证明三角形细相似即可．
（2）利用相似三角形的性质证明即可．
（3）点的运动路程，是图③﹣1中的的长的两倍，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算即可．
【详解】
（1）如图②中，
由图①，∵点为边中点，点为边中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）的大小不发生变化，.
理由：如图③中，设交于点．
∵，
∴，
∵，，，
∴.
（3）如图③﹣1中．设的中点为，连接，以为边向右作等边，连接，．
以为圆心，为半径作，
∵，，
∴，
∴点在上运动，
以为圆心，为半径作，当直线与相切时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴的长，
观察图象可知，是的长的两倍.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题
14．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析
【解析】【分析】
（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，判断出OA＝OB＝OC＝OD，即可得出结论；
（2）先求出∠COD＝150°，利用等腰三角形的性质得出∠ODC＝15°，进而求出∠BDC＝30°，进而求出∠BCD＝45°，即可得出结论；
（3）先判断出，得出DF2＝BF?EF，再利用勾股定理得出OD2+OF2＝DF2，即可得出结论．
【详解】
证明：（1）如图，连接OD，OC，
在Rt中，∠ACB＝90°，点O是AB的中点，
∴OC＝OA＝OB，
在Rt中，∠ADB＝90°，点O是AB的中点，
∴OD＝OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上；
（2）连接OC，OD，由（1）知，OA＝OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
在Rt中，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠BOC＝60°，
在Rt中，∠DAB＝45°，
∴∠ABD＝45°＝∠DAB，
∴AD＝BD，
∵点O是AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°，∠ODB＝∠ADB＝45°，
∴∠COD＝150°，
∴∠OCD＝∠ODC＝15°，
∴∠BDC＝∠ODB﹣∠ODC＝30°，
∵∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝105°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠BDC＝45°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝45°＝∠BCD，
∴CD平分∠ACB；
（3）由（2）知，∠BCD＝45°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BEC＝75°，
∴∠AED＝75°，
∵DF∥BC，
∴∠BFD＝∠ABC＝60°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠ABD＝75°＝∠AED，
∵∠DFE＝∠BFD，
∴，
∴，
∴DF2＝BF?EF，
连接OD，则∠BOD＝90°，OB＝OD，
在Rt中，根据勾股定理得，OD2+OF2＝DF2，
∴OB2+OF2＝BF?EF，
即BO2+OF2＝EF?BF．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，四点共圆的判定，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
15．（1）15°；（2）；（3）
【解析】【分析】
（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到，再由折叠的性质可得到；
（2）由三等角证得，从而得，，再由勾股定理求出DE，则；
（3）过点作于点，可证得．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解．
【详解】
（1）∵矩形，
∴，
由折叠的性质可知BF=BC=2AB，，
∴，
∴，
∴
（2）由题意可得，
，
∴
∴
∴，
∴
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴；
（3）过点作于点．
∴
又∵
∴．
∴．
∵，即
∴，
又∵BM平分，，
∴NG=AN，
∴，
∴
整理得：．
【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题．
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】【分析】
(1)根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再由∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，，即可判定，根据相似三角形的判定方法即可得△BDE∽△CEF；（2）由相似三角形的性质可得，再由点E是BC的中点，可得BE=CE，即可得，又因，即可判定△CEF∽△EDF，根据相似三角形的性质可得，即可证得即FE平分∠DFC．
【详解】
解：（1）因为AB=AC,所以∠B=∠C，
因为∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
所以,
所以△BDE∽△CEF；
（2）因为△BDE∽△CEF，所以,
因为点E是BC的中点，所以BE=CE,即,
所以，又,故△CEF∽△EDF,
所以,即FE平分∠DFC．
17．（1）证明见解析；（2）6．
【解析】【分析】
【详解】
试题分析：（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．
∵DF=BE，∴四边形BEFD是平行四边形，∴BD∥EF；
（2）∵四边形BEFD是平行四边形，∴DF=BE=4．
∵DF∥EC，∴△DFG∽CEG，∴，∴CE===6．
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
18．48mm
【解析】【分析】
设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【详解】
设正方形的边长为x mm，
则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴,
即，
解得x＝48 mm，
∴这个正方形零件的边长是48mm．
【点睛】本题主要考查了相似三角形判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.