27.3 位似-2020-2021学年九年级数学下册同步课堂帮帮帮（人教版）
文档属性
| 名称 | 27.3 位似-2020-2021学年九年级数学下册同步课堂帮帮帮（人教版） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 3.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-23 10:52:05 | ||
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文档简介
第二十七章 相似
27.3 位似
1．位似图形
（1）如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做__________，这个点叫做__________．
（2）位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形．
（3）位似图形具有两个特点：一是相似图形；二是对应点的连线交于一点．
（4）利用位似，可以将一个图形放大或缩小．
2．位似图形的性质
（1）位似图形的对应角相等，对应边成比例．
（2）位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心．
（3）位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上．
（4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
3．位似图形的画法
画位似图形的一般步骤：
（1）确定位似中心；
（2）分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；
（3）根据相似比，确定能代表所画的位似图形的关键点；
（4）按照原图的形状，顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形．
4．位似图形对应点的坐标的变化规律
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（–kx，–ky）．
K知识参考答案：
1．（1）位似图形；（2）位似中心．
K—重点
理解位似图形的概念，理解位似变化是特殊的相似变化．
K—难点
画位似图形，根据相似比把一个图形放大或缩小
K—易错
混淆位似与相似，忽略位似中心的位置
一、位似图形
（1）位似中心可以在两个图形的内部，可以在两个图形的外部，也可以在两个图形上．
（2）判断两个图形是否位似，首先看它们是否相似，再看对应的连线是否经过同一点．
【例1】下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
【答案】A
【解析】①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，错误；
②位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，且对应边平行或共线，那么，这两个图形是位似图形，故正确；
④位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于形式比，错误；
正确答案为：②③．故选A．
二、位似图形的性质
位似图形的对应角相等，对应边成比例；位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心；位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上；位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
【例2】如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是
A．位似中心是点B，相似比是2：1
B．位似中心是点D，相似比是2：1
C．位似中心在点G，H之间，相似比为2：1
D．位似中心在点G，H之间，相似比为1：2
【答案】C
【解析】如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，连接AF，CE，
∴位似中心在点G，H之间，
又∵AC=2EF，∴相似比为2：1，故选C．
三、画位似图形
用在对应点所在直线上截取的方法画位似图形时，关键是准确地按比例画出各线段的长，只有这样画出的图形才准确．
【例3】（1）图1中，以O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍；
（2）图2中，以O为位似中心，把△ABC缩小为原来的．
【解析】（1）如图1，①连接OA、OB、OC，
②分别延长OA至D，OB至E，OC至F，使AD=OA，BE=BO，CF=CO；
③顺次连接D、E、F得△DEF，
∴△DEF是所求作的三角形；
（2）如图2，①连接OA、OB、OC，
②作射线CP，在CP上取点M、N、Q使MN=NQ=CQ，
③连接OM，
④作NF∥OM交OC于F，
⑤再依次作EF∥BC交OB于E，DE∥AB交OA于D，
⑥连接DF，∴△DEF是所求作的三角形．
四、平面直角坐标系中的位似变化
位似、平移、轴对称、旋转都是图形变化的基本形式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变化都是全等变化，而位似变化是相似（扩大、缩小或不变）变化．
【例4】如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（6，0），则点A的坐标为
A．（2，5） B．（2.5，5）
C．（3，5） D．（3，6）
【答案】D
【解析】∵以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，D（2，0），点B的坐标为（6，0），∴=，∴位似比为，∵C（1，2），∴点A的坐标为：（3，6）．故选D．
一、单选题
1．如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，将缩小，使变换后得到的与对应边的比为，则线段的中点变换后对应的点的坐标为（ ）
A．(2,) B．(-2,?-) C．(2,?)或(-2,?-) D．(8,?6)或(-8,?-6)
2．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，2），B（﹣2，4），C（﹣4，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′．若点C的对应点C′的坐标为（2，﹣2），则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（2，﹣1） C．（3，﹣2） D．（1，﹣2）
3．下列各选项的两个图形（实线部分），不属于位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列语句正确的是（ ）
A．相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形
B．位似图形一定是相似图形，而且位似比等于相似比
C．利用位似变换只能放大图形，不能缩小图形
D．利用位似变换只能缩小图形，不能放大图形
5．如图，五边形ABCDE和五边形是位似图形，点A和点是一对对应点，P是位似中心，且，则五边形ABCDE和五边形的相似比等于
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A． B．2 C．4 D．
7．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E，若AD=BE，则△A′DE的面积是（ ）
A．3 B．5 C．11 D．6
二、填空题
9．已知：如图，，，以原点为位似中心，相似比，把在点另一侧缩小，则点的对应点的坐标为________．
10．如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则点P的坐标为______．
11．已知：如图，在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是________；
的面积是________平方单位．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于A点，交y轴于B点，点C是线段AB的中点，连接OC，然后将直线OC绕点C逆时针旋转30交x轴于点D，再过D点作直线DC1∥OC，交AB与点C1，然后过C1点继续作直线D1C1∥DC，交x轴于点D1，并不断重复以上步骤，记△OCD的面积为S1，△DC1D1的面积为S2，依此类推，后面的三角形面积分别是S3，S4…，那么S1=________，若S=S1+S2+S3+…+Sn，当n无限大时，S的值无限接近于________．
三、解答题
13．已知平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．画出以点为位似中心，放大到原来的倍的．
14．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（－2，4）、（－2，0）、（－4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）将△ABC绕O点逆时针旋转90°，得到△A1B1C1；
（2）以点P（－1，1）为位似中心，在△ABC的异侧作位似变换，且使△ABC的面积扩大为原来的4倍，得到△A2B2C2，并写出点A2的坐标.
15．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于点B中心对称的△，并直接写出点的坐标；
（2）以原点O为位似中心，相似比为，在y轴的左侧画出放大后的，并直接写出点的坐标．
16．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点E与的斜边BC的中点重合将绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
如图，当点Q在线段AC上，且时，和的形状有什么关系，请证明；
如图，当点Q在线段CA的延长线上时，和有什么关系，说明理由；
当，时，求P、Q两点间的距离．
参考答案
1．C
【解析】【分析】
根据△ABC的位置可知△DEF有两种情况,一种是△DEF位于第一象限, 另一种是位于第三象限;根据中点坐标公式可求出点P的坐标, 根据已知条件可得△DEF与△ABC的相似比为1:2, 再结合点P的对应点所在的象限即可解答题目.
【详解】
解: 根据题意可知△DEF有两种情况, 一种是△DEF位于第一象限, 另一种是位于第三象限.
下面以△DEF在第一象限为例进行计算:
△DEF是△ABC缩小后的图形, 且对应边的比为1:2,
△DEF△ABC,且相似比为1:2.
A(2,2),C(6,4),
AC的中点P的坐标为 (4, 3) .
△DEF与△ABC的相似比为1:2,
AC的中点P变换后的坐标为 (2,)
同样的, 按照上面的过程, 可以求出当△DEF位于第三象限时,P点变换后的坐标为 (-2, -).
综上所述, P变换后的坐标为(2,) 或(-2, -)
故选C.
【点睛】本题考查了位似变换,坐标与图形性质,熟练掌握位似变换的性质是解题的关键,难点在于点P的对应点有两种情况.
2．B
【解析】【分析】
利用已知对应点坐标变化得出位似比为: 2: 1, 进而得出A' 点坐标.
【详解】
解：ABC 的顶点坐标分别为A(-4,2),B(-2,4),C(-4,4),以原点O为位似中心,将△ABC 缩小后得到△A'B'C',点C的对应点C'的坐标为(2,-2), 可得出位似比为: 2: 1
.点A的对应点A'的坐标为: (2,-1).
故选:B.
【点睛】本题主要考查位似变化及坐标与图形的性质.
3．C
【解析】选项A,B,D,均可以找到位似中心，图象相似，选项C,图象全等.所以选C.
4．B
【解析】相似图形对应点的连线不一定都经过同一点，所以不一定是位似图形，故选项A错误；位似图形一定是相似图形，而且位似比等于相似比，故选项B正确；利用位似变换能放大图形，也能缩小图形，故C和D选项错误，
故选B．
5．B
【解析】【分析】
直接利用位似图形的性质得出五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的相似比为：，进而求出即可．
【详解】
∵五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，点A和点A1是一对对应点，P是位似中心，且2PA=3PA1，
∴五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的相似比为：．
故选B．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似比=相似比得出是解题关键．
6．D
【解析】【分析】
把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
【详解】
解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝=，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或?k．
7．D
【解析】【分析】
利用位似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案．
【详解】
解：根据位似比可得：△ABC的面积：△A′B′C′的面积=1:4，
则△A′B′C′的面积=12.
故选：D
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键．
8．D
【解析】解：Rt△ABC中，AB==10，由旋转的性质，设AD=A′D=BE=x，则DE=10﹣2x．∵△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，∴∠A′=∠A，∠A′DE=∠C=90°，∴△A′DE∽△ACB，∴=，即=，解得：x=3，∴S△A′DE=DE×A′D=×（10﹣2×3）×3=6．故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理及旋转的性质的运用．关键是根据旋转的性质得出相似三角形，利用相似比求解．
9．
【解析】【分析】
根据题意，可得，且点在第四象限，又由的坐标，计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，可得，
且点在第四象限；
又由的坐标为，
则对应点的坐标为．
故答案是：
【点睛】本题主要考查位似图形的坐标特征，熟练掌握坐标系中位似图形对应点的坐标特征，是解题的关键．
10．?
【解析】分析：由矩形OABC中，点B的坐标为（2，4），可求得点C的坐标，又由矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点C的对应点点E的坐标为（-1，2），即可求得其位似比，继而求得答案．
详解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（2，4）， ∴OC=AB=4，OA=2，
∴点C的坐标为：（0，4），
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为（-1，2），
∴位似比为：2， ∴OP：AP=OD：AB=1：2， 设OP=x，则， 解得：x=2，
∴OP=2， 即点P的坐标为：（-2，0）．
点睛：此题考查了位似变换的性质，难度中等．注意求得矩形OABC与矩形ODEF的位似比是解此题的关键．
11．； 10
【解析】【分析】
（1）如图，根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出△的面积．
【详解】
（1）如图，根据位似图形的性质，△为所求作的图形．
点?的坐标为：（1，0），
（2）∵==20，==20， ==40，
∴+=
∴△是等腰直角三角形，
∴△面积是： × ×=10平方单位．
故答案为（1）（1，0）；（2）10
【点睛】主要考查位似图形，尺规作图， 熟练掌握位似图形的性质是解题关键.
12．，
【解析】解：过O作OC0⊥AB于C0，过D作DE⊥OC于E；
由直线AC的解析式可知：
当y=0时，x=3，则OA=3；
当x=0时，y=，则OB=；
故∠OBA=60°，∠OAB=30°；
由于C是Rt△AOB斜边AB的中点，所以OC=CB，则△OBC是等边三角形；
∴∠BOC=60°，∠DOC=∠DCO=30°；
∴OE=CE=；
（1）△ODE中，OE=，∠DOE=30°，则DE=，S△OCD=OC?DE=；
（2）易知：S△AOB=OA?OB=，S△BOC=S△AOB=，S△OBC0=S△OCC0=S△OBC=；
∴S△OC0A=S△OAB﹣S△OBC0=﹣=；
由题意易得：△OC0C、△DCC1、△D1C1D2…都相似，△ODC、△OD1C1、△D1C2D2…也都相似；设△OC0C、△DCC1、△D1C1D2…的面积和为S′，则：
S′：S=：S△OCD==3：2，∴S==×=；
故答案为．
点睛：本题主要考查了图形面积的求法，涉及到一次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、直角三角形的性质、等边三角形及等腰三角形的性质等知识，注意此题中整体思想的运用．
13．见解析
【解析】【分析】
利用位似图形的性质分别得出符合题意的图形即可.
【详解】
如图所示：和″″″即为所求．
【点睛】此题主要考查了位似变换,注意在原点两侧有两个符合题意的图形.
14．（1）作图见解析（2）作图见解析，点A2的坐标为：（1，－5）
【解析】【分析】
（1）根据旋转的意义，分别连接OA、OB、OC，将它们绕点O分别逆时针旋转90°即可.
（2）根据相似的性质，得出两图形的相似比，相似比即为位似比，然后根据位似的作图方法进行位似作图即可.通过观察图形即可确定A2的坐标.
【详解】
解：（1）分别连接OA、OB、OC
将OA、OB、OC分别以点O为旋转中心，逆时针旋转90°，到，连接，如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）根据相似的性质，面积之比等于相似比的平方，可知变换后的图形与三角形ABC相似，且相似比为，位似比等于相似比，连接AP并延长AP到,使=2AP,连接CP并延长CP到,使=2CP,连接BP,并延长BP至,使，连接如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图可知：点A2的坐标为：（1，－5）.
【点睛】本题考查了旋转作图和位似作图，解决本题的关键是熟练掌握旋转和位似的意义以及它们的作图方法.
15．（1）见解析，点的坐标为；（2）见解析，点的坐标为．
【解析】【分析】
（1）分别画出各个顶点关于点B中心对称的对应点，再顺次连接起来，即可；
（2）连接OA，OB，OC，并延长使，再顺次连接，即可．
【详解】
（1）如图所示，即为所求，点的坐标为．
（2）如图所示，即为所求，点的坐标为．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，图形的旋转变换与位似变换，理解位似图形的定义，是解题的关键．
16．（1）见解析；（2）∽．理由见解析；（3）．
【解析】【分析】
（1）依据△ABC是等腰直角三角形，E是BC的中点，运用SAS即可判定△BPE≌△CQE；
（2）依据∠B=∠C=∠DEF=45°，即可得到∠BEP=∠EQC，再根据∠B=∠C，即可判定△BPE∽△CEQ；
（3）先根据△BPE∽△CEQ，得到=，进而得到BE=CE=，BC=，最后根据勾股定理，求得△APQ中，PQ=.
【详解】
≌．
理由是等腰直角三角形，
，，
，
，
是BC的中点，
，
在和中，
，
≌；
∽．
理由：和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
∽；
如图，连结PQ，
∽，
，
，，，
，
，
，
在中，，
，
，，
在中，．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是辅助线构造直角三角形，依据相似三角形的对应边成比例，列式计算求得BE，CE的长，并运用勾股定理进行计算．
一、单选题
1．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径AC=6，对角线AC、BD交于E点，且AB=BD，EC=1，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．3
2．如图，以点为位似中心，作的一个位似三角形，，，的对应点分别为，，，与的比值为，若两个三角形的顶点及点均在如图所示的格点上，则的值和点的坐标分别为（ ）
A．2，(2,?8) B．4，(2,?8) C．2，(2,?4) D．2，(4,?4)
3．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是(???? )
A．△ABC∽△A'B'C' B．点C、点O、点C'三点在同一直线上 C．AO：AA'=1∶2 D．AB∥A'B'
4．如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为(a，b)，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为( )
A．(﹣a，﹣2b) B．(﹣2a，﹣b)
C．(﹣2a，﹣2b) D．(﹣b，﹣2a)
5．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（ ）
A．（4，4） B．（3，3） C．（3，1） D．（4，1）
6．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A．或 B． C． D．或
8．在平面直角坐标系中，第一个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4），延长CB交x轴于点A1，作第二个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第三个正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为（ ）
A．20×（）2017 B．20×（）2018 C．20×（）4036 D．20×（）4034
二、填空题
9．如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则四边形ABFE的面积为_____．
10．如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且=，若点A（﹣1，0），点C（，1），则A′C′=_____．
11．如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是，则的面积是________．
12．如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似形，已知A（0，5），D（0，3），E（0，1），H（0，4），则位似中心的坐标是_____．
三、解答题
13．已知：在△ABC中，BC=80cm，边BC上的高AD=60cm，在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在BC上，另两个顶点分别在边AB，AC上，问当这个矩形面积最大时，它的边长各为多少？（请画出图形，然后解答.）
14．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．
（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；
（2）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O′A′B；
（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，M的对应点M′的坐标为 ．
15．如图，在△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，点P从点A出发，沿AB边以1厘米/秒的速度向点B匀速移动；点Q从点B出发，沿BC边以2厘米/秒的速度向点C匀速移动．如果P、Q同时出发，当Q点到达C点时，P点随之停止运动．用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6）．
（1）当PQ∥AC时，求t的值；
（2）当t为何值时，P、B、Q三点构成直角三角形．
16．如图，已知，，点在轴上，点在轴上，，，点．
分别求点、的坐标及的值；
在第一象限中，画出以原点为位似中心，将缩小后所得的，使与的对应边之比．
?
参考答案
1．A
【解析】【分析】
根据题意作出合适的辅助线,然后根据三角形的相似可以求得CD的长,然后根据勾股定理可以求得AD的长.
【详解】
解:如图
连接BO交AD于点F,连接OD,
BA=BD,OA=OD,BF是线段AD的垂直平分线,
BF⊥AD,
AC是O0的直径, ∠ADC=,
即AD⊥DC, BF//CD,
△BOE~△DCE,
,AC=6,EC=1,
OB=3,OC=3,OE=2,
,解得,CD=
在Rt△ADC中,∠ADC=,AC=6, CD=,
AD=,
故选A.
【点睛】本题主要考查圆与相似三角形的综合，注意灵活做辅助线是解题的关键.
2．A
【解析】【分析】
利用勾股定理求出DA1与DA的值，然后相比即可求出k值；连接DB并延长至B1，使DB1=2DB，连接DC并延长至C1，使DC1=2DC，然后顺次连接A1，B1，C1，然后根据平面直角坐标系写出点C1的坐标即可得解．
【详解】
根据勾股定理DA=，
DA1=，
∴k==2，
C1的坐标为（2，8）．
故选A．
【点睛】本题考查了利用位似变换作图，以及位似变换的性质，位似比的求解，是基础题，找出对应点的位置是解题的关键．
3．C
【解析】【分析】
直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【详解】
解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，
∴ △ABC∽△A'B'C' ，点O、C、C'共线，AO：OA'=BO：OB '=1:2，
∴AB∥A'B'，AO：OA'=1:3．
∴A、B、D正确，C错误．
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题的关键．
4．C
【解析】试题分析：根据位似图形的性质可得（a，b）的对应顶点为（－2a，－2b）.
考点：位似图形的性质.
5．A
【解析】【分析】
利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．
【详解】
∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，
∴A点与C点是对应点，
∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2，
∴点C的坐标为：（4，4）
故选A．
【点睛】本题考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．
6．A
【解析】【分析】
根据位似的性质得△ABC∽△A′B′C′，再根据相似三角形的性质进行求解即可得.
【详解】
由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
7．D
【解析】【分析】
利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或-即可得到点B′的坐标．
【详解】
解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．
故选D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
8．D
【解析】【分析】
根据勾股定理求得AB=AD=BC=，再根据两对对应角相等的三角形相似，证明△ABA1∽△DOA，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的边长等于正方形ABCD边长的，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的，然后即可求出第2018个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第2018个正方形的面积．
【详解】
∵点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4），
∴OA=2，OD=4
∵∠AOD=90°，
∴AB=AD=BC=，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠ABA1=90°，∠OAD+∠BAA1=90°，
∴∠ODA=∠BAA1，
∴△ABA1∽△DOA，
∴OD：AO=AB：A1B=2，
∴BC=2A1B，
∴A1C=BC，
以此类推A2C1= A1C，A3C2=A2C1，…，
即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍，
∴第2018个正方形的边长为（ ）2017BC，
∴正方形A2018B2018C2018C2017，即第2018个正方形的面积为[（）2017BC]2=20×（）4034．
故选D．
【点睛】本题是正方形的性质题，主要考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是求出几个正方形的边长，找出规律．
9．5．
【解析】【分析】
根据平行四边形的性质和三角形的相似性即可求
解.
【详解】
解：在ABCD中, E为AD的中点,
AD//BC,DE=BC,△DEF∽ △BCF, 相似比为,
设△DEF 的高为h, 则△BCF的高为2h ,
△DEF 的面积为1,即DE·h=1,即
,h=,
=12.
,
故答案：5.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质.
10．
【解析】【分析】
根据位似图形的性质和已知求出A′、C′的坐标，根据两点间的距离公式求出A′C′即可．
【详解】
∵△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且=，点A（﹣1，0），点C（，1），∴A′（﹣2，0），C′（1，2），∴A′C′===．
故答案为．
【点睛】本题考查了位似变换、坐标与图形性质、两点间的距离公式等知识点，求出点A′和C′的坐标是解答此题的关键．
11．
【解析】【分析】
先由点与点是对应点，原点O是位似中心，从而求得△ABC和△A′B′C′的位似比，继而求得△ABC和△A′B′C′的面积的比，即可求得答案.
【详解】
∵点A（1，0）与点A′（-2，0）是对应点，原点O是位似中心，
∴△ABC和△A′B′C′的位似比是1：2，
∴△ABC和△A′B′C′的面积的比是1：4，
∴△A′B′C′的面积是6，
故答案为：6.
【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
12．（0，），（﹣6，7）．
【解析】由图可得：B（－2，5），C（－2，3），F（3，1），
当B、F是对应点时，E、A是对应点，故位似中心位于直线BF与y轴的交点处，
设直线BF的解析式为：y=kx+b，
则，
解得，
∴直线BF的解析式是：y=－x+，
则x=0时，y=，
∴位似中心是（0，）；
当C、E是对应点时，D、F是对应点，故位似中心位于直线CE与直线DF的交点处，
设直线CE的解析式为：y=ax+c，
则，
解得，
∴直线CE的解析式是：y=－x+1，
设直线DF的解析式为：y=dx+e，
则，
解得，
∴直线DF的解析式是：y=－x+3，
,
解得：，
∴位似中心是（－6，7）；
故答案为（0，），（－6，7）．
点睛：已知两个图形位似，要确定位似中心，若已知对应点，那么对应点的连线的交点即为位似中心；若对应点未知，要对对应点进行分类讨论.
13．图形见解析；S为最大值时，PN=40，PQ=30.
【解析】【分析】
设PN=x，用x表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．
【详解】
解：画图，设
由条件可得～
∴，即，
解得 ，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键，此题规律性较强，是道好题．
14．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）（2，7）
【解析】【分析】
（1）根据旋转的性质即可画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；
（2）根据位似变换即可以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O′A′B；
（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，即可得M的对应点M′的坐标．
【详解】
（1）如图，△O′A′B即为所求；
（2）如图，△O″A″B即为所求；
（3）如图，∵点M是OA的中点，
∴经过（1）旋转后坐标变为（，）
∴经过（1）位似变换后，M的对应点M′的坐标为（2，7）．
故答案为：（2，7）．
【点睛】本题考察了画旋转图形和位似图形，中点坐标公示，严格按照旋转和位似图形的性质，做出正确的图形，是解决本题的关键．
15．（1）t=；（2）当t为秒或秒时，P、B、Q三点构成直角三角形
【解析】【分析】
（1）根据平行可以得到相似，然后根据相似三角形对应边的比等于相似比求得t值即可；
（2）分∠PQB=90°和∠QPB=90°两种情况分类讨论即可．
【详解】
（1）∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC，∴，即 ，解得：t=（秒）；
（2）过点A作AD⊥BC于D，如图1．
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=BC=6．
∵∠B≠90°，∴P、B、Q三点构成直角三角形情况有两种：
①∠PQB=90°，即PQ∥AD，∴，即 ，解得：t=（秒）；
②∠QPB=90°．而∠ADB=90°，∠B=∠B，∴△BPQ∽△BDA，∴，即 ，解得：t=（秒）；
综上所述：当t为秒或秒时，P、B、Q三点构成直角三角形．
【点睛】本题考查了相似形的综合知识．分类讨论是解答本题的关键．
16． ；如图所示见解析．
【解析】【分析】
(1) 利用已知得出△AOB∽△BMC, 进而求出BO, AO的长即可得出m的值;
(2) 利用位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案.
【详解】
过点作轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
则，
∴，，
则，
故；
如图所示：即为所求．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及位似变换, 得出△AOB∽△BMC是解题关键.
一、单选题
1．（2018·贵州毕节·中考真题）在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为(0，﹣6)，则A点的对应点A′坐标为( )
A．(﹣2，﹣4) B．(﹣4，﹣2)
C．(﹣1，﹣4) D．(1，﹣4)
2．（2012·山东东营·） 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，
OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（ ）
A．（－2，3） B．（2，－3） C．（3，－2）或（－2，3） D．（－2，3）或（2，－3）
3．（2015·辽宁朝阳·中考真题）已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，1） C．（2，1） D．（3，3）
4．（2018·山东省潍坊第八中学中考真题）在平面直角坐标系中,点是线段上一点,以原点为位似中心把放大到原来的两倍,则点的对应点的坐标为( )
A． B．或
C． D．或
5．（2018·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A．（5，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（1，5）
6．（2016·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
7．（2015·湖北咸宁·中考真题）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF 的面积之比为 ( )
A．1:2 B．1:4 C．1:5 D．1:6
8．（2016·湖北十堰·中考真题）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9
二、填空题
9．（2020·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为．若点恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为________．
10．（2019·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标是__________．
11．（2015·广西钦州·中考真题）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= ____
12．（2018·山东菏泽·中考真题）如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，，若点的坐标是，则点的坐标是__________．
三、解答题
13．（2019·四川巴中·中考真题）△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
14．（2013·宁夏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）.
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．
15．（2014·黑龙江绥化·中考真题）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 ；
（3）△A2B2C2的面积是 平方单位．
16．（2016·江苏盐城·中考真题）如果两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2满足k1=k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．如图，已知函数y=-2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y=kx+b与y=-2x+4是“平行一次函数”
（1）若函数y=kx+b的图象过点（3，1），求b的值；
（2）若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，位似比为1：2，求函数y=kx+b的表达式．
17．（2016·广西南宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．
18．（2011·河北中考真题）如图10，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点
O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.
⑴以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2
⑵连接⑴中的AA′，求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）
参考答案
1．A
【解析】【分析】
利用已知对应点的坐标变化规律得出位似比为1：2，则可求A'坐标．
【详解】
解：∵△OA′B′与△OAB关于O（0，0）成位似图形，且若B?（0，3）的对应点B′的坐标为（0，-6），
∴OB：OB'=1：2=OA：OA'
∵A（1，2），
∴A'（-2，-4）
故选A．
【点睛】此题主要考查了位似变换与坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键.
2．D
【解析】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一
条直线上，那么这两个图形叫做位似图形．把一个图形变换成与之位似的图形是位似变换．因此，
∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC．
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，∴位似比为：．
∵点B的坐标为（－4，6），∴点B′的坐标是：（－2，3）或（2，－3）．故选D．
3．A
【解析】试题分析：∵线段AB向左平移一个单位，∴A点平移后的对应点的坐标为（4，6），∴点C的坐标为（4×，6×），即（2，3）．故选A．
考点：1．位似变换；2．坐标与图形变化-平移；3．几何变换．
4．B
【解析】分析：根据位似变换的性质计算即可．
详解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n），
故选B．
点睛：本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
5．C
【解析】分析：利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
详解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，
又∵A（6，8），
∴端点C的坐标为（3，4）．
故选C．
点睛：此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
6．A
【解析】【分析】
【详解】
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴=，
∵BG=6，
∴AD=BC=2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴=，
∴=，
解得：OA=1，∴OB=3，
∴C点坐标为：（3，2），
故选A．
7．B
【解析】试题分析：利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比．∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．
故选B．
考点：位似变换．
8．D
【解析】由位似比可得出相似比，再根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
解：∵OB=3OB′，
∴OB′：OB=1：3，
∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴A′B′：AB＝OB′：OB=1：3，
∴.
故选D
9．
【解析】【分析】
直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点A′的坐标．利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式．
【详解】
∵以原点O为位似中心，将线段OA放大为原来的2倍，得到OA'，A（-2，1），
∴点A的对应点A′的坐标是：（-4，2）或（4，-2）．
设反比例函数的解析式为()，
∴，
∴反比例函数的解析式为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了位似变换、坐标与图形的性质以及待定系数法求反比例函数的解析式，正确把握位似图形的性质是解题关键．
10．或
【解析】【分析】
根据位似图形的中心和位似比例即可得到点A的对应点C.
【详解】
解：以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点的坐标为，
∴点的坐标为或，即或，
故答案为或．
【点睛】本题主要考查位似图形的对应点，关键在于原点的位似图形，要注意方向.
11．16
【解析】【分析】
【详解】
解：由已知有：OA1=OA；OA2=OA1=OA，OA3=OA2=OA，…，
∴OAn=OA， OAn=OA=，
∴=，
∴n=16．
故答案为16．
12．（2，2）
【解析】分析：首先解直角三角形得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形与是以点为位似中心的位似图形，相似比是k，上一点的坐标是 则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出即可．
详解：与是以点为位似中心的位似图形，，
，若点的坐标是，
过点作交于点E.
点的坐标为：
与的相似比为，
点的坐标为：即点的坐标为：
故答案为：
点睛：考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.
13．①作图见解析，点A1的坐标为（3，﹣3）；②作图见解析；③
【解析】【分析】
①延长AC到A1使A1C＝2AC，延长BC到B1使B1C＝2BC，则△A1B1C满足条件；
②利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2，从而得到△A2B2C．
③先计算出OB的长，然后根据弧长公式计算点B经过的路径长．
【详解】
解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
②如图，△A2B2C为所作；
③，
点B经过的路径长．
【点睛】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换．
14．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】【分析】
（1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A1B1C1；
（2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2.
【详解】
（1）如图：△A1B1C1即为所求；
（2）如图：△A2B2C2即为所求.
15．（1）（2，﹣2）；
（2）（1，0）；
（3）10．
【解析】试题分析：（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；
（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．
试题解析：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；
故答案为（2，﹣2）；
（2）如图所示：C2（1，0）；
故答案为（1，0）；
（3）∵=20，=20，=40，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是：××=10平方单位．
故答案为10．
考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理
16．见解析
【解析】【分析】
（1）根据平行一次函数的定义可知：k=﹣2，再利用待定系数法求出b的值即可；
（2）根据位似比为1：2可知：函数y=kx+b与两坐标的交点坐标，再利用待定系数法求出函数y=kx+b的表达式．
【详解】
（1）由已知得：k=﹣2，把点（3，1）和k=﹣2代入y=kx+b中得：1=﹣2×3+b，∴b=7；
（2）根据位似比为1：2得：函数y=kx+b的图象有两种情况：
①不经过第三象限时，过（1，0）和（0，2），这时表达示为：y=﹣2x+2；
②不经过第一象限时，过（﹣1，0）和（0，﹣2），这时表达示为：y=﹣2x﹣2；
17．（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），故AD=2，CD=6，AC==，∴sin∠ACB===，即sin∠A2C2B2=．
考点：作图﹣位似变换；作图﹣平移变换；解直角三角形．
18．解：⑴如图1.
⑵
在⊿中，=2，得；于是，
∴四边形的周长=
【解析】（2）AA′=1，CC′=2．
在Rt△OA′C′中，
OA′=1，OC′=2，得A′C′=,；
同理可得AC=．
∴四边形AA′C′C的周长=3+
27.3 位似
1．位似图形
（1）如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做__________，这个点叫做__________．
（2）位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形．
（3）位似图形具有两个特点：一是相似图形；二是对应点的连线交于一点．
（4）利用位似，可以将一个图形放大或缩小．
2．位似图形的性质
（1）位似图形的对应角相等，对应边成比例．
（2）位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心．
（3）位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上．
（4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
3．位似图形的画法
画位似图形的一般步骤：
（1）确定位似中心；
（2）分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；
（3）根据相似比，确定能代表所画的位似图形的关键点；
（4）按照原图的形状，顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形．
4．位似图形对应点的坐标的变化规律
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（–kx，–ky）．
K知识参考答案：
1．（1）位似图形；（2）位似中心．
K—重点
理解位似图形的概念，理解位似变化是特殊的相似变化．
K—难点
画位似图形，根据相似比把一个图形放大或缩小
K—易错
混淆位似与相似，忽略位似中心的位置
一、位似图形
（1）位似中心可以在两个图形的内部，可以在两个图形的外部，也可以在两个图形上．
（2）判断两个图形是否位似，首先看它们是否相似，再看对应的连线是否经过同一点．
【例1】下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
【答案】A
【解析】①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，错误；
②位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，且对应边平行或共线，那么，这两个图形是位似图形，故正确；
④位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于形式比，错误；
正确答案为：②③．故选A．
二、位似图形的性质
位似图形的对应角相等，对应边成比例；位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心；位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上；位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
【例2】如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是
A．位似中心是点B，相似比是2：1
B．位似中心是点D，相似比是2：1
C．位似中心在点G，H之间，相似比为2：1
D．位似中心在点G，H之间，相似比为1：2
【答案】C
【解析】如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，连接AF，CE，
∴位似中心在点G，H之间，
又∵AC=2EF，∴相似比为2：1，故选C．
三、画位似图形
用在对应点所在直线上截取的方法画位似图形时，关键是准确地按比例画出各线段的长，只有这样画出的图形才准确．
【例3】（1）图1中，以O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍；
（2）图2中，以O为位似中心，把△ABC缩小为原来的．
【解析】（1）如图1，①连接OA、OB、OC，
②分别延长OA至D，OB至E，OC至F，使AD=OA，BE=BO，CF=CO；
③顺次连接D、E、F得△DEF，
∴△DEF是所求作的三角形；
（2）如图2，①连接OA、OB、OC，
②作射线CP，在CP上取点M、N、Q使MN=NQ=CQ，
③连接OM，
④作NF∥OM交OC于F，
⑤再依次作EF∥BC交OB于E，DE∥AB交OA于D，
⑥连接DF，∴△DEF是所求作的三角形．
四、平面直角坐标系中的位似变化
位似、平移、轴对称、旋转都是图形变化的基本形式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变化都是全等变化，而位似变化是相似（扩大、缩小或不变）变化．
【例4】如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（6，0），则点A的坐标为
A．（2，5） B．（2.5，5）
C．（3，5） D．（3，6）
【答案】D
【解析】∵以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，D（2，0），点B的坐标为（6，0），∴=，∴位似比为，∵C（1，2），∴点A的坐标为：（3，6）．故选D．
一、单选题
1．如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，将缩小，使变换后得到的与对应边的比为，则线段的中点变换后对应的点的坐标为（ ）
A．(2,) B．(-2,?-) C．(2,?)或(-2,?-) D．(8,?6)或(-8,?-6)
2．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，2），B（﹣2，4），C（﹣4，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′．若点C的对应点C′的坐标为（2，﹣2），则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（2，﹣1） C．（3，﹣2） D．（1，﹣2）
3．下列各选项的两个图形（实线部分），不属于位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列语句正确的是（ ）
A．相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形
B．位似图形一定是相似图形，而且位似比等于相似比
C．利用位似变换只能放大图形，不能缩小图形
D．利用位似变换只能缩小图形，不能放大图形
5．如图，五边形ABCDE和五边形是位似图形，点A和点是一对对应点，P是位似中心，且，则五边形ABCDE和五边形的相似比等于
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A． B．2 C．4 D．
7．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E，若AD=BE，则△A′DE的面积是（ ）
A．3 B．5 C．11 D．6
二、填空题
9．已知：如图，，，以原点为位似中心，相似比，把在点另一侧缩小，则点的对应点的坐标为________．
10．如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则点P的坐标为______．
11．已知：如图，在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是________；
的面积是________平方单位．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于A点，交y轴于B点，点C是线段AB的中点，连接OC，然后将直线OC绕点C逆时针旋转30交x轴于点D，再过D点作直线DC1∥OC，交AB与点C1，然后过C1点继续作直线D1C1∥DC，交x轴于点D1，并不断重复以上步骤，记△OCD的面积为S1，△DC1D1的面积为S2，依此类推，后面的三角形面积分别是S3，S4…，那么S1=________，若S=S1+S2+S3+…+Sn，当n无限大时，S的值无限接近于________．
三、解答题
13．已知平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．画出以点为位似中心，放大到原来的倍的．
14．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（－2，4）、（－2，0）、（－4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）将△ABC绕O点逆时针旋转90°，得到△A1B1C1；
（2）以点P（－1，1）为位似中心，在△ABC的异侧作位似变换，且使△ABC的面积扩大为原来的4倍，得到△A2B2C2，并写出点A2的坐标.
15．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于点B中心对称的△，并直接写出点的坐标；
（2）以原点O为位似中心，相似比为，在y轴的左侧画出放大后的，并直接写出点的坐标．
16．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点E与的斜边BC的中点重合将绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
如图，当点Q在线段AC上，且时，和的形状有什么关系，请证明；
如图，当点Q在线段CA的延长线上时，和有什么关系，说明理由；
当，时，求P、Q两点间的距离．
参考答案
1．C
【解析】【分析】
根据△ABC的位置可知△DEF有两种情况,一种是△DEF位于第一象限, 另一种是位于第三象限;根据中点坐标公式可求出点P的坐标, 根据已知条件可得△DEF与△ABC的相似比为1:2, 再结合点P的对应点所在的象限即可解答题目.
【详解】
解: 根据题意可知△DEF有两种情况, 一种是△DEF位于第一象限, 另一种是位于第三象限.
下面以△DEF在第一象限为例进行计算:
△DEF是△ABC缩小后的图形, 且对应边的比为1:2,
△DEF△ABC,且相似比为1:2.
A(2,2),C(6,4),
AC的中点P的坐标为 (4, 3) .
△DEF与△ABC的相似比为1:2,
AC的中点P变换后的坐标为 (2,)
同样的, 按照上面的过程, 可以求出当△DEF位于第三象限时,P点变换后的坐标为 (-2, -).
综上所述, P变换后的坐标为(2,) 或(-2, -)
故选C.
【点睛】本题考查了位似变换,坐标与图形性质,熟练掌握位似变换的性质是解题的关键,难点在于点P的对应点有两种情况.
2．B
【解析】【分析】
利用已知对应点坐标变化得出位似比为: 2: 1, 进而得出A' 点坐标.
【详解】
解：ABC 的顶点坐标分别为A(-4,2),B(-2,4),C(-4,4),以原点O为位似中心,将△ABC 缩小后得到△A'B'C',点C的对应点C'的坐标为(2,-2), 可得出位似比为: 2: 1
.点A的对应点A'的坐标为: (2,-1).
故选:B.
【点睛】本题主要考查位似变化及坐标与图形的性质.
3．C
【解析】选项A,B,D,均可以找到位似中心，图象相似，选项C,图象全等.所以选C.
4．B
【解析】相似图形对应点的连线不一定都经过同一点，所以不一定是位似图形，故选项A错误；位似图形一定是相似图形，而且位似比等于相似比，故选项B正确；利用位似变换能放大图形，也能缩小图形，故C和D选项错误，
故选B．
5．B
【解析】【分析】
直接利用位似图形的性质得出五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的相似比为：，进而求出即可．
【详解】
∵五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，点A和点A1是一对对应点，P是位似中心，且2PA=3PA1，
∴五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的相似比为：．
故选B．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似比=相似比得出是解题关键．
6．D
【解析】【分析】
把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
【详解】
解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝=，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或?k．
7．D
【解析】【分析】
利用位似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案．
【详解】
解：根据位似比可得：△ABC的面积：△A′B′C′的面积=1:4，
则△A′B′C′的面积=12.
故选：D
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键．
8．D
【解析】解：Rt△ABC中，AB==10，由旋转的性质，设AD=A′D=BE=x，则DE=10﹣2x．∵△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，∴∠A′=∠A，∠A′DE=∠C=90°，∴△A′DE∽△ACB，∴=，即=，解得：x=3，∴S△A′DE=DE×A′D=×（10﹣2×3）×3=6．故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理及旋转的性质的运用．关键是根据旋转的性质得出相似三角形，利用相似比求解．
9．
【解析】【分析】
根据题意，可得，且点在第四象限，又由的坐标，计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，可得，
且点在第四象限；
又由的坐标为，
则对应点的坐标为．
故答案是：
【点睛】本题主要考查位似图形的坐标特征，熟练掌握坐标系中位似图形对应点的坐标特征，是解题的关键．
10．?
【解析】分析：由矩形OABC中，点B的坐标为（2，4），可求得点C的坐标，又由矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点C的对应点点E的坐标为（-1，2），即可求得其位似比，继而求得答案．
详解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（2，4）， ∴OC=AB=4，OA=2，
∴点C的坐标为：（0，4），
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为（-1，2），
∴位似比为：2， ∴OP：AP=OD：AB=1：2， 设OP=x，则， 解得：x=2，
∴OP=2， 即点P的坐标为：（-2，0）．
点睛：此题考查了位似变换的性质，难度中等．注意求得矩形OABC与矩形ODEF的位似比是解此题的关键．
11．； 10
【解析】【分析】
（1）如图，根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出△的面积．
【详解】
（1）如图，根据位似图形的性质，△为所求作的图形．
点?的坐标为：（1，0），
（2）∵==20，==20， ==40，
∴+=
∴△是等腰直角三角形，
∴△面积是： × ×=10平方单位．
故答案为（1）（1，0）；（2）10
【点睛】主要考查位似图形，尺规作图， 熟练掌握位似图形的性质是解题关键.
12．，
【解析】解：过O作OC0⊥AB于C0，过D作DE⊥OC于E；
由直线AC的解析式可知：
当y=0时，x=3，则OA=3；
当x=0时，y=，则OB=；
故∠OBA=60°，∠OAB=30°；
由于C是Rt△AOB斜边AB的中点，所以OC=CB，则△OBC是等边三角形；
∴∠BOC=60°，∠DOC=∠DCO=30°；
∴OE=CE=；
（1）△ODE中，OE=，∠DOE=30°，则DE=，S△OCD=OC?DE=；
（2）易知：S△AOB=OA?OB=，S△BOC=S△AOB=，S△OBC0=S△OCC0=S△OBC=；
∴S△OC0A=S△OAB﹣S△OBC0=﹣=；
由题意易得：△OC0C、△DCC1、△D1C1D2…都相似，△ODC、△OD1C1、△D1C2D2…也都相似；设△OC0C、△DCC1、△D1C1D2…的面积和为S′，则：
S′：S=：S△OCD==3：2，∴S==×=；
故答案为．
点睛：本题主要考查了图形面积的求法，涉及到一次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、直角三角形的性质、等边三角形及等腰三角形的性质等知识，注意此题中整体思想的运用．
13．见解析
【解析】【分析】
利用位似图形的性质分别得出符合题意的图形即可.
【详解】
如图所示：和″″″即为所求．
【点睛】此题主要考查了位似变换,注意在原点两侧有两个符合题意的图形.
14．（1）作图见解析（2）作图见解析，点A2的坐标为：（1，－5）
【解析】【分析】
（1）根据旋转的意义，分别连接OA、OB、OC，将它们绕点O分别逆时针旋转90°即可.
（2）根据相似的性质，得出两图形的相似比，相似比即为位似比，然后根据位似的作图方法进行位似作图即可.通过观察图形即可确定A2的坐标.
【详解】
解：（1）分别连接OA、OB、OC
将OA、OB、OC分别以点O为旋转中心，逆时针旋转90°，到，连接，如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）根据相似的性质，面积之比等于相似比的平方，可知变换后的图形与三角形ABC相似，且相似比为，位似比等于相似比，连接AP并延长AP到,使=2AP,连接CP并延长CP到,使=2CP,连接BP,并延长BP至,使，连接如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图可知：点A2的坐标为：（1，－5）.
【点睛】本题考查了旋转作图和位似作图，解决本题的关键是熟练掌握旋转和位似的意义以及它们的作图方法.
15．（1）见解析，点的坐标为；（2）见解析，点的坐标为．
【解析】【分析】
（1）分别画出各个顶点关于点B中心对称的对应点，再顺次连接起来，即可；
（2）连接OA，OB，OC，并延长使，再顺次连接，即可．
【详解】
（1）如图所示，即为所求，点的坐标为．
（2）如图所示，即为所求，点的坐标为．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，图形的旋转变换与位似变换，理解位似图形的定义，是解题的关键．
16．（1）见解析；（2）∽．理由见解析；（3）．
【解析】【分析】
（1）依据△ABC是等腰直角三角形，E是BC的中点，运用SAS即可判定△BPE≌△CQE；
（2）依据∠B=∠C=∠DEF=45°，即可得到∠BEP=∠EQC，再根据∠B=∠C，即可判定△BPE∽△CEQ；
（3）先根据△BPE∽△CEQ，得到=，进而得到BE=CE=，BC=，最后根据勾股定理，求得△APQ中，PQ=.
【详解】
≌．
理由是等腰直角三角形，
，，
，
，
是BC的中点，
，
在和中，
，
≌；
∽．
理由：和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
∽；
如图，连结PQ，
∽，
，
，，，
，
，
，
在中，，
，
，，
在中，．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是辅助线构造直角三角形，依据相似三角形的对应边成比例，列式计算求得BE，CE的长，并运用勾股定理进行计算．
一、单选题
1．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径AC=6，对角线AC、BD交于E点，且AB=BD，EC=1，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．3
2．如图，以点为位似中心，作的一个位似三角形，，，的对应点分别为，，，与的比值为，若两个三角形的顶点及点均在如图所示的格点上，则的值和点的坐标分别为（ ）
A．2，(2,?8) B．4，(2,?8) C．2，(2,?4) D．2，(4,?4)
3．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是(???? )
A．△ABC∽△A'B'C' B．点C、点O、点C'三点在同一直线上 C．AO：AA'=1∶2 D．AB∥A'B'
4．如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为(a，b)，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为( )
A．(﹣a，﹣2b) B．(﹣2a，﹣b)
C．(﹣2a，﹣2b) D．(﹣b，﹣2a)
5．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（ ）
A．（4，4） B．（3，3） C．（3，1） D．（4，1）
6．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A．或 B． C． D．或
8．在平面直角坐标系中，第一个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4），延长CB交x轴于点A1，作第二个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第三个正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为（ ）
A．20×（）2017 B．20×（）2018 C．20×（）4036 D．20×（）4034
二、填空题
9．如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则四边形ABFE的面积为_____．
10．如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且=，若点A（﹣1，0），点C（，1），则A′C′=_____．
11．如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是，则的面积是________．
12．如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似形，已知A（0，5），D（0，3），E（0，1），H（0，4），则位似中心的坐标是_____．
三、解答题
13．已知：在△ABC中，BC=80cm，边BC上的高AD=60cm，在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在BC上，另两个顶点分别在边AB，AC上，问当这个矩形面积最大时，它的边长各为多少？（请画出图形，然后解答.）
14．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．
（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；
（2）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O′A′B；
（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，M的对应点M′的坐标为 ．
15．如图，在△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，点P从点A出发，沿AB边以1厘米/秒的速度向点B匀速移动；点Q从点B出发，沿BC边以2厘米/秒的速度向点C匀速移动．如果P、Q同时出发，当Q点到达C点时，P点随之停止运动．用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6）．
（1）当PQ∥AC时，求t的值；
（2）当t为何值时，P、B、Q三点构成直角三角形．
16．如图，已知，，点在轴上，点在轴上，，，点．
分别求点、的坐标及的值；
在第一象限中，画出以原点为位似中心，将缩小后所得的，使与的对应边之比．
?
参考答案
1．A
【解析】【分析】
根据题意作出合适的辅助线,然后根据三角形的相似可以求得CD的长,然后根据勾股定理可以求得AD的长.
【详解】
解:如图
连接BO交AD于点F,连接OD,
BA=BD,OA=OD,BF是线段AD的垂直平分线,
BF⊥AD,
AC是O0的直径, ∠ADC=,
即AD⊥DC, BF//CD,
△BOE~△DCE,
,AC=6,EC=1,
OB=3,OC=3,OE=2,
,解得,CD=
在Rt△ADC中,∠ADC=,AC=6, CD=,
AD=,
故选A.
【点睛】本题主要考查圆与相似三角形的综合，注意灵活做辅助线是解题的关键.
2．A
【解析】【分析】
利用勾股定理求出DA1与DA的值，然后相比即可求出k值；连接DB并延长至B1，使DB1=2DB，连接DC并延长至C1，使DC1=2DC，然后顺次连接A1，B1，C1，然后根据平面直角坐标系写出点C1的坐标即可得解．
【详解】
根据勾股定理DA=，
DA1=，
∴k==2，
C1的坐标为（2，8）．
故选A．
【点睛】本题考查了利用位似变换作图，以及位似变换的性质，位似比的求解，是基础题，找出对应点的位置是解题的关键．
3．C
【解析】【分析】
直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【详解】
解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，
∴ △ABC∽△A'B'C' ，点O、C、C'共线，AO：OA'=BO：OB '=1:2，
∴AB∥A'B'，AO：OA'=1:3．
∴A、B、D正确，C错误．
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题的关键．
4．C
【解析】试题分析：根据位似图形的性质可得（a，b）的对应顶点为（－2a，－2b）.
考点：位似图形的性质.
5．A
【解析】【分析】
利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．
【详解】
∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，
∴A点与C点是对应点，
∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2，
∴点C的坐标为：（4，4）
故选A．
【点睛】本题考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．
6．A
【解析】【分析】
根据位似的性质得△ABC∽△A′B′C′，再根据相似三角形的性质进行求解即可得.
【详解】
由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
7．D
【解析】【分析】
利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或-即可得到点B′的坐标．
【详解】
解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．
故选D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
8．D
【解析】【分析】
根据勾股定理求得AB=AD=BC=，再根据两对对应角相等的三角形相似，证明△ABA1∽△DOA，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的边长等于正方形ABCD边长的，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的，然后即可求出第2018个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第2018个正方形的面积．
【详解】
∵点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4），
∴OA=2，OD=4
∵∠AOD=90°，
∴AB=AD=BC=，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠ABA1=90°，∠OAD+∠BAA1=90°，
∴∠ODA=∠BAA1，
∴△ABA1∽△DOA，
∴OD：AO=AB：A1B=2，
∴BC=2A1B，
∴A1C=BC，
以此类推A2C1= A1C，A3C2=A2C1，…，
即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍，
∴第2018个正方形的边长为（ ）2017BC，
∴正方形A2018B2018C2018C2017，即第2018个正方形的面积为[（）2017BC]2=20×（）4034．
故选D．
【点睛】本题是正方形的性质题，主要考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是求出几个正方形的边长，找出规律．
9．5．
【解析】【分析】
根据平行四边形的性质和三角形的相似性即可求
解.
【详解】
解：在ABCD中, E为AD的中点,
AD//BC,DE=BC,△DEF∽ △BCF, 相似比为,
设△DEF 的高为h, 则△BCF的高为2h ,
△DEF 的面积为1,即DE·h=1,即
,h=,
=12.
,
故答案：5.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质.
10．
【解析】【分析】
根据位似图形的性质和已知求出A′、C′的坐标，根据两点间的距离公式求出A′C′即可．
【详解】
∵△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且=，点A（﹣1，0），点C（，1），∴A′（﹣2，0），C′（1，2），∴A′C′===．
故答案为．
【点睛】本题考查了位似变换、坐标与图形性质、两点间的距离公式等知识点，求出点A′和C′的坐标是解答此题的关键．
11．
【解析】【分析】
先由点与点是对应点，原点O是位似中心，从而求得△ABC和△A′B′C′的位似比，继而求得△ABC和△A′B′C′的面积的比，即可求得答案.
【详解】
∵点A（1，0）与点A′（-2，0）是对应点，原点O是位似中心，
∴△ABC和△A′B′C′的位似比是1：2，
∴△ABC和△A′B′C′的面积的比是1：4，
∴△A′B′C′的面积是6，
故答案为：6.
【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
12．（0，），（﹣6，7）．
【解析】由图可得：B（－2，5），C（－2，3），F（3，1），
当B、F是对应点时，E、A是对应点，故位似中心位于直线BF与y轴的交点处，
设直线BF的解析式为：y=kx+b，
则，
解得，
∴直线BF的解析式是：y=－x+，
则x=0时，y=，
∴位似中心是（0，）；
当C、E是对应点时，D、F是对应点，故位似中心位于直线CE与直线DF的交点处，
设直线CE的解析式为：y=ax+c，
则，
解得，
∴直线CE的解析式是：y=－x+1，
设直线DF的解析式为：y=dx+e，
则，
解得，
∴直线DF的解析式是：y=－x+3，
,
解得：，
∴位似中心是（－6，7）；
故答案为（0，），（－6，7）．
点睛：已知两个图形位似，要确定位似中心，若已知对应点，那么对应点的连线的交点即为位似中心；若对应点未知，要对对应点进行分类讨论.
13．图形见解析；S为最大值时，PN=40，PQ=30.
【解析】【分析】
设PN=x，用x表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．
【详解】
解：画图，设
由条件可得～
∴，即，
解得 ，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键，此题规律性较强，是道好题．
14．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）（2，7）
【解析】【分析】
（1）根据旋转的性质即可画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；
（2）根据位似变换即可以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O′A′B；
（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，即可得M的对应点M′的坐标．
【详解】
（1）如图，△O′A′B即为所求；
（2）如图，△O″A″B即为所求；
（3）如图，∵点M是OA的中点，
∴经过（1）旋转后坐标变为（，）
∴经过（1）位似变换后，M的对应点M′的坐标为（2，7）．
故答案为：（2，7）．
【点睛】本题考察了画旋转图形和位似图形，中点坐标公示，严格按照旋转和位似图形的性质，做出正确的图形，是解决本题的关键．
15．（1）t=；（2）当t为秒或秒时，P、B、Q三点构成直角三角形
【解析】【分析】
（1）根据平行可以得到相似，然后根据相似三角形对应边的比等于相似比求得t值即可；
（2）分∠PQB=90°和∠QPB=90°两种情况分类讨论即可．
【详解】
（1）∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC，∴，即 ，解得：t=（秒）；
（2）过点A作AD⊥BC于D，如图1．
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=BC=6．
∵∠B≠90°，∴P、B、Q三点构成直角三角形情况有两种：
①∠PQB=90°，即PQ∥AD，∴，即 ，解得：t=（秒）；
②∠QPB=90°．而∠ADB=90°，∠B=∠B，∴△BPQ∽△BDA，∴，即 ，解得：t=（秒）；
综上所述：当t为秒或秒时，P、B、Q三点构成直角三角形．
【点睛】本题考查了相似形的综合知识．分类讨论是解答本题的关键．
16． ；如图所示见解析．
【解析】【分析】
(1) 利用已知得出△AOB∽△BMC, 进而求出BO, AO的长即可得出m的值;
(2) 利用位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案.
【详解】
过点作轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
则，
∴，，
则，
故；
如图所示：即为所求．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及位似变换, 得出△AOB∽△BMC是解题关键.
一、单选题
1．（2018·贵州毕节·中考真题）在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为(0，﹣6)，则A点的对应点A′坐标为( )
A．(﹣2，﹣4) B．(﹣4，﹣2)
C．(﹣1，﹣4) D．(1，﹣4)
2．（2012·山东东营·） 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，
OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（ ）
A．（－2，3） B．（2，－3） C．（3，－2）或（－2，3） D．（－2，3）或（2，－3）
3．（2015·辽宁朝阳·中考真题）已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，1） C．（2，1） D．（3，3）
4．（2018·山东省潍坊第八中学中考真题）在平面直角坐标系中,点是线段上一点,以原点为位似中心把放大到原来的两倍,则点的对应点的坐标为( )
A． B．或
C． D．或
5．（2018·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A．（5，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（1，5）
6．（2016·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
7．（2015·湖北咸宁·中考真题）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF 的面积之比为 ( )
A．1:2 B．1:4 C．1:5 D．1:6
8．（2016·湖北十堰·中考真题）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9
二、填空题
9．（2020·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为．若点恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为________．
10．（2019·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标是__________．
11．（2015·广西钦州·中考真题）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= ____
12．（2018·山东菏泽·中考真题）如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，，若点的坐标是，则点的坐标是__________．
三、解答题
13．（2019·四川巴中·中考真题）△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
14．（2013·宁夏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）.
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．
15．（2014·黑龙江绥化·中考真题）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 ；
（3）△A2B2C2的面积是 平方单位．
16．（2016·江苏盐城·中考真题）如果两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2满足k1=k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．如图，已知函数y=-2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y=kx+b与y=-2x+4是“平行一次函数”
（1）若函数y=kx+b的图象过点（3，1），求b的值；
（2）若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，位似比为1：2，求函数y=kx+b的表达式．
17．（2016·广西南宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．
18．（2011·河北中考真题）如图10，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点
O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.
⑴以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2
⑵连接⑴中的AA′，求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）
参考答案
1．A
【解析】【分析】
利用已知对应点的坐标变化规律得出位似比为1：2，则可求A'坐标．
【详解】
解：∵△OA′B′与△OAB关于O（0，0）成位似图形，且若B?（0，3）的对应点B′的坐标为（0，-6），
∴OB：OB'=1：2=OA：OA'
∵A（1，2），
∴A'（-2，-4）
故选A．
【点睛】此题主要考查了位似变换与坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键.
2．D
【解析】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一
条直线上，那么这两个图形叫做位似图形．把一个图形变换成与之位似的图形是位似变换．因此，
∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC．
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，∴位似比为：．
∵点B的坐标为（－4，6），∴点B′的坐标是：（－2，3）或（2，－3）．故选D．
3．A
【解析】试题分析：∵线段AB向左平移一个单位，∴A点平移后的对应点的坐标为（4，6），∴点C的坐标为（4×，6×），即（2，3）．故选A．
考点：1．位似变换；2．坐标与图形变化-平移；3．几何变换．
4．B
【解析】分析：根据位似变换的性质计算即可．
详解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n），
故选B．
点睛：本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
5．C
【解析】分析：利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
详解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，
又∵A（6，8），
∴端点C的坐标为（3，4）．
故选C．
点睛：此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
6．A
【解析】【分析】
【详解】
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴=，
∵BG=6，
∴AD=BC=2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴=，
∴=，
解得：OA=1，∴OB=3，
∴C点坐标为：（3，2），
故选A．
7．B
【解析】试题分析：利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比．∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．
故选B．
考点：位似变换．
8．D
【解析】由位似比可得出相似比，再根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
解：∵OB=3OB′，
∴OB′：OB=1：3，
∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴A′B′：AB＝OB′：OB=1：3，
∴.
故选D
9．
【解析】【分析】
直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点A′的坐标．利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式．
【详解】
∵以原点O为位似中心，将线段OA放大为原来的2倍，得到OA'，A（-2，1），
∴点A的对应点A′的坐标是：（-4，2）或（4，-2）．
设反比例函数的解析式为()，
∴，
∴反比例函数的解析式为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了位似变换、坐标与图形的性质以及待定系数法求反比例函数的解析式，正确把握位似图形的性质是解题关键．
10．或
【解析】【分析】
根据位似图形的中心和位似比例即可得到点A的对应点C.
【详解】
解：以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点的坐标为，
∴点的坐标为或，即或，
故答案为或．
【点睛】本题主要考查位似图形的对应点，关键在于原点的位似图形，要注意方向.
11．16
【解析】【分析】
【详解】
解：由已知有：OA1=OA；OA2=OA1=OA，OA3=OA2=OA，…，
∴OAn=OA， OAn=OA=，
∴=，
∴n=16．
故答案为16．
12．（2，2）
【解析】分析：首先解直角三角形得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形与是以点为位似中心的位似图形，相似比是k，上一点的坐标是 则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出即可．
详解：与是以点为位似中心的位似图形，，
，若点的坐标是，
过点作交于点E.
点的坐标为：
与的相似比为，
点的坐标为：即点的坐标为：
故答案为：
点睛：考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.
13．①作图见解析，点A1的坐标为（3，﹣3）；②作图见解析；③
【解析】【分析】
①延长AC到A1使A1C＝2AC，延长BC到B1使B1C＝2BC，则△A1B1C满足条件；
②利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2，从而得到△A2B2C．
③先计算出OB的长，然后根据弧长公式计算点B经过的路径长．
【详解】
解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
②如图，△A2B2C为所作；
③，
点B经过的路径长．
【点睛】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换．
14．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】【分析】
（1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A1B1C1；
（2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2.
【详解】
（1）如图：△A1B1C1即为所求；
（2）如图：△A2B2C2即为所求.
15．（1）（2，﹣2）；
（2）（1，0）；
（3）10．
【解析】试题分析：（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；
（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．
试题解析：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；
故答案为（2，﹣2）；
（2）如图所示：C2（1，0）；
故答案为（1，0）；
（3）∵=20，=20，=40，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是：××=10平方单位．
故答案为10．
考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理
16．见解析
【解析】【分析】
（1）根据平行一次函数的定义可知：k=﹣2，再利用待定系数法求出b的值即可；
（2）根据位似比为1：2可知：函数y=kx+b与两坐标的交点坐标，再利用待定系数法求出函数y=kx+b的表达式．
【详解】
（1）由已知得：k=﹣2，把点（3，1）和k=﹣2代入y=kx+b中得：1=﹣2×3+b，∴b=7；
（2）根据位似比为1：2得：函数y=kx+b的图象有两种情况：
①不经过第三象限时，过（1，0）和（0，2），这时表达示为：y=﹣2x+2；
②不经过第一象限时，过（﹣1，0）和（0，﹣2），这时表达示为：y=﹣2x﹣2；
17．（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），故AD=2，CD=6，AC==，∴sin∠ACB===，即sin∠A2C2B2=．
考点：作图﹣位似变换；作图﹣平移变换；解直角三角形．
18．解：⑴如图1.
⑵
在⊿中，=2，得；于是，
∴四边形的周长=
【解析】（2）AA′=1，CC′=2．
在Rt△OA′C′中，
OA′=1，OC′=2，得A′C′=,；
同理可得AC=．
∴四边形AA′C′C的周长=3+