28.1 锐角三角函数-2020-2021学年九年级数学下册同步课堂帮帮帮（人教版）

第28章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
1．正弦、余弦、正切的概念
如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.

（1）∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦 ，即sin A＝_________________；
（2）∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，即cos A＝_________________；
（3）∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，即tan A＝_________________；
锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的_________________.
2．特殊角的三角函数值
（1）sin 30°＝____________，cos 30°＝____________，tan 30°＝____________.
（2）sin 60°＝____________，cos 60°＝____________，tan 60°＝____________.
（3）sin 45°＝____________，cos 45°＝____________，tan 45°＝____________.
3．锐角三角函数之间的关系
同一锐角的三角函数之间的关系：
（1）;
（2）.
K知识参考答案：
1．（1） 锐角三角函数
2．（1） （2） （3）
K—重点
锐角三角函数的概念，特殊角的三角函数值，利用计算器求锐角三角函数值
K—难点
锐角三角函数之间的关系
K—易错
混淆特殊角的三角函数值
一、锐角三角函数概念
熟记锐角三角函数的概念，可以简记为“正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻”.
【例1】已知在ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinB的值是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC=，
∴sinB= = ，
故选：A．
【名师点睛】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
【例2】在中，，，，则________，________．
【答案】，
【解析】如图：
∵ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，
∴BC==5，
∴cosB=，
tanB=．
故答案为：；．
【名师点睛】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
二、锐角三角函数之间的关系
同一锐角的三角函数之间的关系：
（1）;
（2）.
【例3】在ABC中，∠C＝90°，已知cosA＝，请你求出sinA、cosB、tanA、tanB的值.
【答案】sin A=；cos B=；tan A=；tan B=.
【解析】∵sin2A+cos2A=1， cosA＝，
∴sin A=，
∵∠A+∠B=90°，
∴cosB=sinA=，sinB=cosA= ，
∴tanA== ，tanB==.
三、30°，45°，60°角的三角函数值及有关计算
熟记特殊角的锐角三角函数值是进行锐角三角函数计算的关键.
【例4】计算：
（1）3tan30°＋cos60°；
（2）2cos30°－2sin30°＋3tan60°.
【答案】（1） ；（2 ）.
【解析】(1)原式＝3×＋
＝＋.
（2）原式＝2×－2×＋3×
＝－1＋3
＝4－1.
四、利用计算器求锐角三角函数值或锐角
化简形如的式子时，先转化为|a|的形式，再根据a的符号去绝对值．
【例5】如图，在ABC中，∠C=90°．
（1）若AC=5，BC=12，则AB=______，tanA=_______，∠A≈______（精确到1″）；
（2）若AC=3，AB=5，则sinA=______，tanB=______，∠A≈_______，∠B≈______（精确到1″）．
【答案】（1）13，，67°22′48″；（2），，53°7′48″，36°52′12″.
【解析】（1）根据题意得：AB==13，
∴tanA==，
则用计算器求得：∠A≈67°22′48″；
（2）根据题意得：BC==4，
∴sinA==，tanB==，
则用计算器求得：∠A≈53°7′48″，∠B≈36°52′12″.
五、对概念本质理解不透
锐角三角函数值的本质是一个比值，它的大小只与锐角A的大小（即度数）有关，与所在的直角三角形的边的长度无关，即只要锐角A确定，其三角函数值也随之确定.
【例6】在中，如果各边长度都扩大为原来的倍，则锐角的余弦值
A．扩大为原来的3倍 B．没有变化
C．缩小为原来的 D．不能确定
【错解】A
【错因分析】误认为直角三角形各边的长度都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值也扩大为原来的3倍.
【解析】设原来三角形的各边分别为a，b，c，
则cosA=，
若把各边扩大为原来的3倍，
则各边为3a，3b，3c，
那么cosA==，
所以余弦值不变．
故选B．
【正解】B
一、单选题
1．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，城关镇某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为m米，那么这两树在坡面上的距离AB为(　　)
A．mcosα B． C．msinα D．
3．如果∠A是锐角，且sinA＝，那么cos(90°－∠A)等于( )
A． B． C． D．
4．如图，一个山坡的垂直高度为，坡长为．问，这个山坡的坡度是多少（ ）
A．0.6 B．0.75 C．0.8 D．不能确定
二、填空题
5．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则cos∠A＝_____．
6．某同学沿坡比为1：的斜坡前进了90米,那么他上升的高度是______米
7．如图，设是的三条高，若则线段的长为_______．
8．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2=_____．
三、解答题
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝.点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠DAC＝30°，求△ABC的周长(结果保留根号)．
10．如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求AC和AB的长（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin34°≈0.56；cos34°≈0.83；tan34°≈0.67）
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
首先利用直径所对的圆周角为90°得到△ABD是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD边的长，然后求得∠B的正弦即可求得答案．
【详解】
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵⊙O的半径是13，
∴AB＝2×13＝26，
由勾股定理得：AD＝10，
∴sin∠B＝
∵∠ACD＝∠B，
∴sin∠ACD＝sin∠B＝，
故选D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三角形并利用锐角三角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大．
2．B
【解析】
【分析】
根据余弦三角函数的定义,直接利用锐角三角函数关系得出cosα=,进而得出答案．
【详解】
解:由题意可得:cosα=,
则AB=．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用,正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．
3．A
【解析】
【分析】
根据互为余角三角函数关系,解答即可．
【详解】
解：∵α为锐角,sinα＝,
∴cos（90°-α）=sinα=,
故选A．
【点睛】
本题主要考查了互为余角的三角函数值,解决本题的关键是要熟记三角函数关系式.
4．B
【解析】
【分析】
根据坡度的定义和已知条件求出水平的长度，列出算式,再进行计算即可.
【详解】
解:山坡的垂直高度为300m,坡长为500m,
水平的长度为=400 m,
.这个山坡的坡度是=0.75,
所以B选项是正确的.
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用,用到的知识点是坡度的定义,是一道基础题,关键是根据根据坡度的定义列出算式.
5．
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出斜边长，根据余弦的定义计算即可．
【详解】
由勾股定理得：AB10，则cos∠A=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
6．45
【解析】
【分析】
首先利用坡比得∠A的度数,再利用直角三角形的性质得出答案.
【详解】
解：如图
坡比为1：,tanA =
∠A=,
AB=90米,
BH=45米.
故答案为:45.
【点睛】
本题要考查三角函数及其应用.
7．
【解析】
【分析】
根据AD，BE，CF为三角形的三条高，可得B，C，E，F四点共圆，证得△AEF∽△ABC，最后根据相似三角形的性质，代入数值进行求解．
【详解】
解：∵AD，BE，CF为△ABC的三条高，
∴B，C，E，F四点共圆，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
即cos∠BAC=，
∴sin∠BAC=，
∴在Rt△ABE中，
BE=ABsin∠BAC=6×=，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质以及三角函数的知识．
8．45°
【解析】
【分析】
根据等角的正切值相等得出∠1=∠3，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案．
【详解】
解：如图所示：
由题意可得：
∠1=∠3，
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数以及等角三角函数关系，由图得出∠1=∠3是解题的关键．
9．2＋5＋.
【解析】
【分析】
要求△ABC的周长,只要求得BC及AB的长度即可.根据Rt△ADC中∠ADC的正弦值,可以求得AD的长度,也可求得CD的长度;再根据已知条件求得BD的长度,继而求得BC的长度;运用勾股定理可以求得AB的长度,求得△ABC的周长.
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则由勾股定理得AD2＝AC2＋CD2.
∵∠DAC＝30°，
∴AD＝2DC，
由，AC＝，得：DC＝1，AD＝2，BD＝2AD＝4 ，BC＝BD＋DC＝5
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝5
由勾股定理得：AB＝＝2
所以Rt△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝2＋5＋
【点睛】
本题考查了解直角三角形中三角函数的应用,要熟练掌握好边角之间的关系.
10．AC= 6.0km，AB= 1.7km；
【解析】
【分析】
在Rt△AOC, 由∠的正切值和OC的长求出OA, 在Rt△BOC, 由∠BCO的大小和OC的长求出OA,而AB=OB-0A,即可得到答案。
【详解】
由题意可得：∠AOC=90°，OC=5km．
在Rt△AOC中，
∵AC=，
∴AC=≈6.0km，
∵tan34°=，
∴OA=OC?tan34°=5×0.67=3.35km，
在Rt△BOC中，∠BCO=45°，
∴OB=OC=5km，
∴AB=5﹣3.35=1.65≈1.7km．
答：AC的长为6.0km，AB的长为1.7km．
【点睛】
本题主要考查三角函数的知识。
一、单选题
1．如图，点在第二象限，与轴负半轴的夹角是，且，则点的坐标为（）
A． B． C． D．
2．如图，B是线段AP的中点，以AB为边构造菱形ABCD，连接PD．若tan∠BDP＝，AB＝13，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，地面上点A和点B之间有一堵墙MN（墙的厚度忽略不计），在墙左侧的小明想测量墙角点M到点B的距离．于是他从点A出发沿着坡度为=1：0.75的斜坡AC走10米到点C，再沿水平方向走4米到点D，最后向上爬6米到达瞭望塔DE的顶端点E，测得点B的俯角为40°．已知AM=8米，则BM大约为（ ）米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
A．8.6 B．10.7 C．15.4 D．16.7
4．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形EBGF，此时恰好四边形AEHB为菱形，连接CH交FG于点M，则HM的长度为（　　）
A． B．2 C． D．1
二、填空题
5．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点B1，与y轴交点于D，且OB1＝1，∠ODB1＝60°，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，……依次进行下去，则点A2020的横坐标是_____．
6．中，，，，则____．
7．矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点M在对角线AC上，且AM：MC=2：3，过点M作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．在AC上取一点P，使∠MEP=∠EAC，则AP的长为_____．
8．如图，在平面直角坐标系中，有一条长为10的线段AB，其端点A、点B分别在y轴、x轴上滑动，点C为以AB为直径的⊙D上一点（C始终在第一象限），且tan∠BAC=．则当点A从A0（0，10）滑动到O（0，0），B从O（0，0）滑动到B0（10，0）的过程中，点C运动的路径长为_____．
三、解答题
9．问题探究：
（1）如图①，已知等边△ABC，边长为4，则△ABC的外接圆的半径长为　 　．
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线BD与边BC的夹角为30°，点E在为边BC上且BE＝BC，点P是对角线BD上的一个动点，连接PE，PC，求△PEC周长的最小值．
问题解决：
（3）为了迎接新年的到来，西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演．其中一个镭射灯距城墙30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图③，若将两根光线（AB，AC）和光线与城墙的两交点的连接的线段（BC）看作一个三角形，记为△ABC，那么该三角形周长有没有最小值？若有，求出最小值，若没有，说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴，交于A、B两点，点C是BO的中点且
（1）求直线AC的解析式；
（2）若点M是直线AC的一点，当时，求点M的坐标.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
过点P作PA⊥x轴于A，利用求出OA，再根据勾股定理求出PA即可得到点P的坐标.
【详解】
过点P作PA⊥x轴于A，
∵，
∴，
∴=4，
∵点在第二象限，
∴点P的坐标是（-3,4）
故选：B.
【点睛】
此题考查三角函数，勾股定理，直角坐标系中点的坐标特点，解题中注意点所在象限的坐标的符号特点.
2．D
【解析】
【分析】
证明△CED∽△AEP，根据相似三角形对应边成比例得：=，设CE＝x，得AE＝2x，由三角函数得tan∠BDP＝tan∠ODE＝=，得OD＝x＝OB，由勾股定理列方程可得结论．
【详解】
解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AP，AC⊥BD，CD＝AB，
∴△CED∽△AEP，
∴=，
设CE＝x，
∵B是AP的中点，
∴AP＝2AB＝2CD，
∴=，
∴AE＝2x，
∴AC＝3x，
∴AO＝OC＝x，
∴OE＝x﹣x＝x，
∵AC⊥BD，
∴∠DOE＝90°，
tan∠BDP＝tan∠ODE＝=，
∴OD＝x＝OB，
Rt△AOB中，由勾股定理得：AB2＝AO2+OB2，
132＝x2+（x）2，
x＝2，
∴BD＝4．
故选D．
【点睛】
本题考查菱形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，正确的识别图形是解题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
过E点作DF⊥AB于F点，过C点作CG⊥AB于G点，利用坡比求出CG=8，所以EF=DE+DF=14，又∠B=40°，得BF===16.7，再求出BM=AB-AM=AF+BF-AM即可.
【详解】
如图，过E点作DF⊥AB于F点，过C点作CG⊥AB于G点，
∵AC=10，坡比为=1：0.75，
∴CG=8，AG=6，
∴EF=ED+DF=6+8=14，
又∠B=40°，
∴BF===16.7，
又GM=AM-AG=2，
∴AF=AM-FG-GM=2，
∴BM=AB-AM=16.7+2-8=10.7，
故选B.
【点睛】
此题主要考察坡比及正切函数的实际应用.
4．A
【解析】
【分析】
由旋转的性质得到AB=BE, 根据菱形的性质得到AE=AB, 推出△ABE是等边三角形,得到AB=6, AD=, 根据三角函数的定义得到∠BAC=, 求得AC⊥BE,推出C在对角线AH上,得到A, C, H共线,于是得到结论.
【详解】
解：如图
连接AC交BE与O点，
将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形EBGF,
AB=BE,
四边形AEHB为菱形,
AE=AB,AB=AE=BE,
△ABE 是等边三角形,
AB=6,AD=,
tan ∠CAB=∠BAC=,
AC⊥BE,
C在对角线AH上,A, C, H共线,
AO=OH=
OC=BC=.
∠COB=∠OBG=∠G= ,
四边形OBGM是矩形,
OM=BG=BC=,
HM=OH-OM=
故选A.
【点睛】
本题主要考查三角函数、菱形的性质，矩形的性质及旋转的性质，需综合运用所学知识求解.
5．
【解析】
【分析】
观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可．
【详解】
解：∵OB1＝1，∠ODB1＝60°，
∴OD＝，B1（1，0），∠OB1D＝30°，
∴D（0，），
如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA＝OB1＝，
即A1的横坐标为＝，
由题可得∠A1B2B1＝∠OB1D＝30°，∠B2A1B1＝∠A1B1O＝60°，
∴∠A1B1B2＝90°，
∴A1B2＝2A1B1＝2，
过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B＝A1B2＝1，
即A2的横坐标为+1＝＝，
过A3作A3C⊥A2B3于C，
同理可得，A2B3＝2A2B2＝4，A2C＝A2B3＝2，
即A3的横坐标为+1+2＝＝，
同理可得，A4的横坐标为+1+2+4＝＝，
由此可得，An的横坐标为，
∴点A2020的横坐标是，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系点的坐标规律及特殊三角函数值，关键是根据题意及三角函数值得到点的坐标规律即可．
6．6.5
【解析】
【分析】
直接利用锐角三角函数关系进而得出AB的值．
【详解】
解：∵△ABC中，∠C=90°，BC=2.5，=，
∴，
∴AB=6.5．
故答案为6.5．
【点睛】
锐角三角形正弦（sin）等于对边比斜边；=，正确掌握边角关系是解题关键．
7．或
【解析】
【分析】
由AB=6，AD=8，可得tan∠CAD=tan∠EAC=,由∠MEP=∠EAC，可得
tan∠MEP= tan∠EAC=,在RT△MPE中，可求得ME、MP的值，可求得AP的长.
【详解】
解：如图：
由AB=6，AD=8，可得AC=,tan∠CAD=，
由AM：MC=2：3，可得AM=,
过点M作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F,可得在RT△AME中，
ME=tan∠MAEAM=,
由∠MEP=∠EAC，可得在RT△MPE中，MP=MEtan∠MEP=3，
AP=AM-MP=4-=,
或AP=AM+MP=4+=，
故答案：或.
【点睛】
本题主要考查三角函数与矩形的综合，灵活运用三角函数的知识可得到解答.
8．20﹣6．
【解析】
【分析】
由∠AOB是直角,D为AB的中点,可得DO=5，由∠ACB=,AB=10,可得tan∠BAC=，可得tan∠AOC=tan∠ABC=2.可得点C在与y轴夹角为∠AOC的射线上运动，在计算出C运动的路径长即可.
【详解】
解析:如图①,
连接OD∠AOB是直角,D为AB的中点,DO=5.
原点O始终在OD上,∠ACB=,AB=10,tan∠BAC=.BC=,AC=.
连接OC,则∠AOC=∠ABC, tan∠AOC=tan∠ABC=2. 点C在与y轴夹角为∠AOC的射线上运动.
如图②,
.
如图③,.
总路径长为+=20-,
故答案：20-.
【点睛】
本题主要考查三角函数及圆的综合知识，难度较大，求出点C在与y轴夹角为∠AOC的射线上运动是解题的关键.
9．（1）；（2）；（3）△ABC的周长最小值为60 ．
【解析】
【分析】
（1）作△ABC外接圆，作直径AD，连接BD，根据等边三角形性质求出∠C＝60°，根据圆周角定理求出∠D＝∠C＝60°，解直角三角形求出AD即可．
（2）△PEC周长的最小实质是PE+PC，转化为将军饮马模型求出P点，然后利用勾股定理即可求出E′C即可解答，
（3）先由定角定高可知BC的最小值为三角形是等腰三角形AB＝AC时，BC最小，而求AB+AC，可以先将A点沿BC方向平移BC，构造平行四边形将AB转化为长，则AB+AC最小转化为AC+CD最小，作A点对称点A′，连接A′D，与BC交点与C重合，此时BC、AB+AC同时取最小值，即可知三角形周长有没有最小值．
【详解】
解：（1）如图，作三角形外接圆⊙O，作直径AD，连接BD，
∵等边△ABC内接于⊙O，AD为直径，
∴∠C＝60°＝∠D，∠ABD＝90°，
∵sin∠D＝，
∴AD＝
∴⊙0的半径是．
故答案为；
（2）如图2，作点E关于BD的对称点E′，连接E′C交BD于P，连接PE，此时△PEC周长周长最小．
连接BE′，过E′作E′H⊥BC，
∵∠DBC＝30°，AB＝CD＝4，
∴BC＝4，
又∵BE＝BC．
∴BE＝
∵点E′是关于BD的对称点E
∴∠EBH＝60°，BE′＝BE＝，
∴BH＝，E′H＝，
∴HC＝，
∴E′C＝
∵△PEC周长＝PC+PE+EC＝PE′+EC＝
（3）如图3，∵∠BAC＝60°，AH＝30米，
∴当AB＝AC时，边BC取最小值，
∴此时BC＝AC＝20，
作?ABCD，作A点关于直线BC的对称点A′，连接A′D，AB+AC＝CD+A′C，
当A′，C，D在一条直线上时，AB+AC最小，
此时，△ABC应为等边三角形，AB+AC＝
∵AB+AC和BC的最小值能够同时取到，
故△ABC的周长最小值为．
【点睛】
本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质、轴对称及勾股定理等知识的综合应用，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
10．（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)令x=0得y=4，故B（0，4），由得|AO|=2，所以A（-2，0），再由C是BO的中点，得C（0，2），设AC的解析式为y=kx+b，把点A、点C的坐标代入即可；
（2）分两种情况分别讨论即可求得．
【详解】
（1）令x=0得y=4，故B（0，4），
∴BO=4
∵
∴，即AO=2，
∴A（-2，0），
∵C是BO的中点，
∴C（0，2），
设AC的解析式为y=kx+b，则

解得：
∴直线AC的解析式为：；
（2）∵B（0，4），点C为BO中点．
∴BC=2，S△ABC=S△AOC，
∵S△ABM=2S△AOC，
当M在第一象限时，
∴S△BCM=S△AOC，
∴BC?xM=×2×2，
∴xM=2，
代入y=x+2得y=4，
∴M（2，4），
当M在第三象限时，
S△BCM=3S△AOC，
即BC?|xM|=3××2×2，
∴|xM|=6，
∴xM=-6，
代入y=x+2得y=-4，
∴M（-6，-4），
综上，M点的坐标为（2，4）或（-6，-4）．
【点睛】
本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，直线的交点以及三角形的面积等，分类讨论思想的运用是解题的关键．
一、单选题
1．（2019·广东广州·中考真题）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若，则次斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75m B．50m C．30m D．12m
2．（2015·四川乐山·中考真题）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点，．若反比例函数经过点C，则k的值等于（ ）
A．10 B．24 C．48 D．50
4．（2019·湖南怀化·中考真题）已知为锐角，且，则 （　　）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2015·甘肃武威·中考真题）已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β=?___________．
6．（2017·海南）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是 ．
7．（2012·湖北咸宁·中考真题）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度，则AC的长度是_____cm．
8．（2014·海南中考真题）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE= ．
三、解答题
9．（2020·江苏镇江·中考真题）如图，?ABCD中，∠ABC的平分线BO交边AD于点O，OD＝4，以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，分别交边DA、DC于点M、N．点E在边BC上，OE交⊙O于点G，G为的中点．
（1）求证：四边形ABEO为菱形；
（2）已知cos∠ABC＝，连接AE，当AE与⊙O相切时，求AB的长．
10．（2020·山东淄博·中考真题）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．
（1）求y1，y2对应的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．
11．（2020·吉林中考真题）能够完全重合的平行四边形纸片和按图①方式摆放，其中，．点，分别在边，上，与相交于点．
（探究）求证：四边形是菱形．
（操作一）固定图①中的平行四边形纸片，将平行四边形纸片绕着点顺时针旋转一定的角度，使点与点重合，如图②，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为______．
（操作二）四边形纸片绕着点继续顺时针旋转一定的角度，使点与点重合，连接，，如图③若，则四边形的面积为______．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据BC的长度和的值计算出AC的长度即可解答.
【详解】
解：因为，又BC＝30，所以，，解得：AC＝75m，所以，故选A.
【点睛】
本题考查了正切三角函数，熟练掌握是解题的关键.
2．D
【解析】
【分析】
【详解】
过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，AB=，AD=，
cosA===，
故选D．
3．C
【解析】
【分析】
由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点C坐标代入解析式可求k的值．
【详解】
解：如图，过点C作于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点，
∴，
∵．
∴，
∴
∴点C坐标
∵若反比例函数经过点C，
∴
故选C．
【点睛】
本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．
4．A
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值解答．
【详解】
∵为锐角，且，
∴．
故选A．
【点睛】
此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．
5．75°
【解析】
试题分析：由已知sinα-=0，tanβ-1=0，∴α=30°，β=45°，∴α+β=75°．
考点：1．非负数的性质；2．特殊角的三角函数值．
6．.
【解析】
试题分析：根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可．
由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，
∴∠EFC+∠AFB=90°，∵∠B=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，∴∠EFC=∠BAF，cos∠BAF==，
∴cos∠EFC=，故答案为．
考点：轴对称的性质，矩形的性质，余弦的概念.
7．210
【解析】
【分析】
【详解】
过点B作BD⊥AC于D，
根据题意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm），
∵斜坡BC的坡度i=1：5，
∴BD：CD=1：5，
∴CD=5BD=5×54=270（cm），
∴AC=CD-AD=270-60=210（cm）．
∴AC的长度是210cm．
8．.
【解析】
【分析】
【详解】
由圆周角定理可知，∠E=∠C，
∵∠ABE=∠ADC=90°，∠E=∠C，
∴△ABE∽△ACD.
∴AB:AD=AE:AC，
∵AB=4，AC=5，AD=4，
∴4:4=AE:5，
∴AE=5，
故答案为5.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是证出△ABE∽△ACD.
9．（1）证明见解析；（2）2．
【解析】
【分析】
（1）先由G为的中点及同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出∠MOG＝∠MDN，再由平行四边形的性质得出AO∥BE，∠MDN+∠A＝180°，进而判定四边形ABEO是平行四边形，然后证明AB＝AO，则可得结论；
（2）过点O作OP⊥BA，交BA的延长线于点P，过点O作OQ⊥BC于点Q，设AB＝AO＝OE＝x，则由cos∠ABC＝，可用含x的式子分别表示出PA、OP及OQ，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值即可．
【详解】
解：（1）证明：∵G为的中点，
∴∠MOG＝∠MDN．
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AO∥BE，∠MDN+∠A＝180°，
∴∠MOG+∠A＝180°，
∴AB∥OE，
∴四边形ABEO是平行四边形．
∵BO平分∠ABE，
∴∠ABO＝∠OBE，
又∵∠OBE＝∠AOB，
∴∠ABO＝∠AOB，
∴AB＝AO，
∴四边形ABEO为菱形；
（2）如图，过点O作OP⊥BA，交BA的延长线于点P，过点O作OQ⊥BC于点Q，设AE交OB于点F，
则∠PAO＝∠ABC，
设AB＝AO＝OE＝x，则
∵cos∠ABC＝，
∴cos∠PAO＝，
∴＝，
∴PA＝x，
∴OP＝OQ＝x
当AE与⊙O相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知F为切点，
∴由勾股定理得：，
解得：x＝2．
∴AB的长为2．
【点睛】
本题主要考查菱形的证明，切线的性质，三角函数以及勾股定理，巧妙的作出辅助线和列出勾股定理的方程是解决本题的关键．
10．（1）y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）9；（3）x＜﹣3
【解析】
【分析】
【详解】
解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，
在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．
∴OD＝2，即点D（0，2），
把点D（0，2），C（0，3）代入直线y1＝ax+b得，
b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，
∴直线的关系式为y1＝﹣x+2；
把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2，
∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），
∴k＝﹣3×4＝﹣12，
∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；
（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+×3×2＝9．
（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3．
（1）根据OC＝3，tan∠ACO＝，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B的坐标，确定两个函数的关系式；
（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，进行计算即可；
（3）由函数的图象直接可以得出，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．
【点评】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与坐标的相互转化是解决问题的关键．
11．探究：证明见解析；操作一：56；操作二：72．
【解析】
【分析】
探究：先根据平行四边形的性质可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证；
操作一：先根据菱形的性质得出，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据全等三角形的性质、三角形的周长公式即可得；
操作二：先根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定可得是等腰三角形，且平分，再根据等腰三角形的三线合一可得，，然后利用正弦三角函数可求出DN的长，从而可得DG的长，最后根据矩形的判定可得四边形是矩形，据此利用矩形的面积公式即可得．
【详解】
探究：四边形和都是平行四边形
，即
四边形是平行四边形
又
平行四边形是菱形；
操作一：如图，设AE与DF相交于点H，AB与FG相交于点M
四边形和是两个完全重合的平行四边形
，
在和中，
，和的周长相等
同理可得：
、、、的周长均相等
又
的周长为
则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为
故答案为：56；
操作二：如图，设AB与DG相交于点N
四边形和是两个完全重合的平行四边形
是等腰三角形，且平分
，
在中，，即
解得
又
四边形是平行四边形
，即
平行四边形是矩形
则四边形的面积为
故答案为：72．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定、正弦三角函数等知识点，熟记并灵活运用各判定定理与性质是解题关键．