28.2 解直角三角形及其应用-2020-2021学年九年级数学下册同步课堂帮帮帮（人教版）

第28章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
一、解直角三角形
1．任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做_______________.
2．在ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.
（1）两锐角互余，即∠A＋∠B＝_______________；
（2）三边满足勾股定理，即a2＋b2＝_______________；
（3）边与角关系sin A＝cos B＝_______________，cos A＝sin B＝_______________，tan A＝_______________，tan B＝_______________.
二、解直角三角形在实际问题中的应用
（一）俯角、仰角
在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做_______________；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做_______________.

(二)方向角
1．方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正_______________或正_______________为始边，旋转到观察目标的方向线所成的_______________，方向角也称象限角．
2．如图，我们说点A在O的北偏东30°方向上，点B在点O的南偏西45°方向上，或者点B在点O的西南方向．

(三)坡度、坡角
1．坡度通常写成1∶_______________的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝＝_______________.
2．一斜坡的坡角为30°，则它的坡度为_______________.
(四)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程
1．将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型)；
2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质解直角三角形；
3．得到数学问题的答案；
4．得到实际问题的答案．
K知识参考答案：
一、1.解直角三角形 2.90°；c2；；；.
二、（一）仰角，俯角
（二）1.北，南，锐角
（三）1.tanα 2.1∶
K—重点
会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形
K—难点
会用解直角三角形中的有关知识建立数学模型，解决某些简单的实际问题
K—易错
用三角函数计算式，忽视“在直角三角形中”这个条件
一、解直角三角形
【例1】在ABC中，∠C＝90°.
（1）已知a＝4，b＝8，求c；
（2）已知b＝10，∠B＝60°，求a，c；
（3）已知c＝20，∠A＝60°，求a，b.
【解析】（1）∵在ABC中，∠C＝90°，a＝4，b＝8，
∴；
（2）∵在ABC中，∠C＝90°，b＝10，∠B＝60°，
∴，
；
（3）∵在ABC中，∠C＝90°，c＝20，∠A＝60°，
∴，
.
二、解直角三角形在实际问题中的应用
【例2】如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21 m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB约是多少？(精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)

【解析】由题意知，∠DAC＝∠EDA＝30°.
∵在Rt△ACD中，CD＝21 m，
∴AC＝＝＝21(m)．
∵在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，
∴BC＝CD＝21 m，
∴AB＝AC－BC＝21－21≈15.3(m)．
即河的宽度AB约是15.3 m.
【例3】如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲、乙两人分别在相距6米的C、D两处测得点B和点A的仰角分别是42°和65°，且C、D、E在一条直线上．如果DE＝15米，求旗杆AB的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin 42°≈0.67，tan 42°≈0.9，sin 65°≈0.91，tan 65°≈2.1)

【解析】在ADE中，∵∠ADE＝65°，DE＝15米，
∴tan∠ADE＝，
即tan 65°＝≈2.1，解得 AE≈31.5米．
在Rt△BCE中，∵∠BCE＝42°，CE＝CD＋DE＝6＋15＝21(米)，
∴tan∠BCE＝，
即tan 42°＝≈0.9，解得 BE≈18.9米．
∴AB＝AE－BE＝31.5－18.9≈13(米)．
即旗杆AB的长大约是13米．
【例4】如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？（参考数据：tan55°≈1.43，tan25°≈0.47）

【解析】如题图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，
∴BD＝AD·tan 55°.
在ACD中，∵tan∠CAD＝，
∴CD＝AD·tan 25°.
∵BD＝BC＋CD，
∴AD·tan 55°＝20＋AD·tan 25°，
∴AD＝≈20.83(海里)．
而20.83海里>10海里，
∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险．
【名师点睛】解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．应先求出点A距BC的最近距离，若大于10海里则无危险，若小于或等于10海里则有危险．
【例5】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC＝9.8 m，路基高BE＝5.8 m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.6，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)．

【解析】如题图，过点C作CF⊥AD于点F，则CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β.
∵BE＝5.8 m, i＝1∶1.6, i′＝1∶2.5，
∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF＝2.5×5.8＝14.5(m)，
∴AD＝AE＋EF＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．
即铁路路基下底宽AB为33.6 m.
【名师点睛】利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中，没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．
三、用三角函数计算时，忽视了“在直角三角形中”这个条件
解锐角三角形或钝角三角形时，要注意添加适当的辅助线，构造直角三角形.
【例6】如图，在ABC中，∠A=30°，AC=4，AB=，求BC的长.
【错解】∵在ABC中，∠A=30°，AB=，∴.
∴
【错因分析】误将ABC当作直角三角形即误认为.
【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，
在中，∠A=30°，AC=4，
∴CD=2，AD=.
∵AB=,∴.
∴.
一、单选题
1．如图，一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45?，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB为（ ）
A．3米 B．4.5米 C．6米 D．8米
2．如果α是锐角，且，那么cos（90°﹣α）的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，即BC：AC＝1：2，若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为（　　）
A．4米 B．6米 C．6米 D．24米
4．在△ABC中，∠C=90°，以下条件不能解直角三角形的是（ ）
A．已知a与∠A B．已知a与c
C．已知∠A与∠B D．已知c与∠B
二、填空题
5． 如图所示，某人在D处测得山顶C的仰角为30°，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度i=1∶0.5，则山的高度为____________米.
6．如图，某部门计划在火车站和大学城之间修一条长为公里的公路，经测量在火车站北偏东度方向，西偏北度方向处有一圆形公园，要想计划修筑的公路不会穿过公园，则公园半径最大为________．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝10，那么∠B＝____．
8．在中，，，，则的面积是______.
三、解答题
9．如图，大楼AD与塔CB之间的距离AC长为27m，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D处测得塔顶B的仰角为30°，分别求大楼AD的高与塔BC的高（结果精确到0.1m，参考数据：≈2.24，≈1.732，≈1.414）
10．如图所示，某建筑物楼顶有信号塔EF，卓玛同学为了探究信号塔EF的高度，从建筑物一层A点沿直线AD出发，到达C点时刚好能看到信号塔的最高点F，测得仰角∠ACF＝60°，AC长7米．接着卓玛再从C点出发，继续沿AD方向走了8米后到达B点，此时刚好能看到信号塔的最低点E，测得仰角∠B＝30°．（不计卓玛同学的身高）求信号塔EF的高度（结果保留根号）．
参考答案
1．B
【解析】【分析】
如图，由已知可得∠DPE=∠E=45，AB=BE，设AB=x米,BD=(x-1.5)米，可得
△ABD~△FCD, 则，代入各数据可得答案.
【详解】
解：如图所示,
设两个交点分别为F、P, 根据题意得FC=DP=DE=1.5米,故
∠DPE=∠E, 在Rt△PDE中, ∠DPE=∠E=45,
又知DP//BA,故∠BAE=∠DPE=∠E,则AB=BE.
设AB=x米,BD=(x-1.5)米.因为FC//AB,即∠DFC=∠DAB,∠FDC=∠ADB,
所以△ABD~△FCD, 则
即：，移项并合并系数化为1, 解得：x=4.5,
即AB=4.5米，
故选B.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质.
2．A
【解析】【分析】
根据互为余角三角函数关系, 解答即可.
【详解】
解: α是锐角，且sin，
cos（90°﹣α）=sina=.
故选B.
【点睛】本题主要查考同角三角函数的关系.
3．C
【解析】【分析】
根据坡面AB的坡比以及AC的值，求出BC，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
【详解】
解：∵大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，AC＝12米，
∴，
∴BC＝6，
∴AB＝＝＝6（米）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
4．C
【解析】【分析】
根据解直角三角形的方法和计算进行判断．
【详解】
解：∵已知a和A，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠B＝∠C－∠A，c＝，b＝csinB.
故选项A错误．
∵已知c和a，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴b＝，sinA＝，sinB＝.
故选项B错误．
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知A和B，∠A＋∠B＝∠C＝90°，
∴只能知道直角三角形的三个角的大小，而三条边无法确定大小．
故选项C正确．
∵已知c和B，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A＝∠C－∠B，a＝csinA，b＝csinB．
故选项D错误．
故选C．
【点睛】此题主要考查解直角三角形的方法，解题的关键是熟知解直角三角形的方法．
5．
【解析】本题是把实际问题转化为解直角三角形问题，由题意，已知DA=200，∠CDB=30°，CB：AB=1：0.5，∠CBD=90°，求CB．设AB=x，则CB=2x，由三角函数得：=tan30°，即=，求出x，从求出CB．即求出山的高度．
解：已知山坡AC的坡度i=1：0.5，
∴设AB=x，则CB=2x，又某人在D处测得山顶C的仰角为30°，即，∠CDB=30°，
∴=tan30°，即=，
解得：x=，
∴CB=2x=，
故答案为．
6．公里
【解析】【分析】
过点C作CH⊥AB,H是垂足.AH与BH都可以根据三角函数用CH表示出来.根据AB的长,得到一个关于CH的方程,解出CH的长,即为公园半径的最大值.
【详解】
解:如图,
过C作CH⊥AB于H,设CH=x,
可得：∠CAB=30,∠CBH=45.
在Rt△ACH中,tan∠CAH=,
AH==x，
在Rt△HBC中,BH=CH=x,
AH+HB=AB,
x +x=4,
解得x=.
答:公园半径最大为公里.
故答案为公里.
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用,解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线.
7．30°．
【解析】【分析】
根据题意求出cosB,故可求解．
【详解】
解：如图所示：
cosB＝，
故∠B＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】此题主要考查三角形的角度，解题的关键是熟知三角函数的定义及特殊角的三角函数值．
8．
【解析】【分析】
根据题意画出图形，根据解直角三角形的知识依次求出AD,BC的长度，再根据三角形的面积计算公式即可得到结果。
【详解】
解：如图所示，过点A作AD⊥BC,
在Rt△ACD中，
AD=AC
=5=3.
CD==4
∵
∴∠B=45°，
∴BD=AD=3.
∴BC=BD+CD=4+3=7.
∴三角形ABC的面积= 7 3=.
【点睛】本题考查了三角函数的应用和三角形的面积计算公式，正确作出辅助线是解题的关键.
9．大楼AD的高约31.2m，塔BC的高约46.8m．
【解析】【分析】
先解Rt△DBE,求出BE=9,再解Rt△ABC,求出BC=27≈46.8,那么
AD=CE=27-9=18≈31.2.
【详解】
解：
由题意，可知∠BDE=30°，∠BAC=60°，四边形ACED是矩形，
∴DE=AC=27．
在Rt△DBE中，
tan∠BDE= ，
∴=，
∴BE=9．
在Rt△ABC中，
tan∠BAC= ，
∴=，
∴BC=27≈46.8，
AD=CE=27﹣9=18≈31.2．
答：大楼AD的高约31.2m，塔BC的高约46.8m．
【点睛】本题主要考查三角形的实际应用-仰角俯角类问题,牢记三角函数的定义是解题的关键.
10．2米
【解析】【分析】
在Rt△ACF中，根据三角函数的定义得到AF＝AC?tan60°＝7米，在Rt△ABE中，根据三角函数的定义得到AE＝AB?tan30°＝15×＝5米，进而得到结论．
【详解】
解：在Rt△ACF中，∵∠ACF＝60°，AC＝7米，
∴AF＝AC?tan60°＝7米，
∵BC＝8米，
∴AB＝15米，
在Rt△ABE中，∵∠B＝30°，
∴AE＝AB?tan30°＝15×＝5米，
∴EF＝AF﹣AE＝7﹣5＝2（米），
答：信号塔EF的高度为2米．
【点睛】本题考查了解直角三角形仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是找到并运用题中相等的线段．
一、单选题
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（　　）
A．6 B．3 C．3 D．6﹣6
2．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内⊙C上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为（　　）
A．6 B．5 C．3 D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosB＝，则BC的长为( )
A．6 B．2 C． D．
4．如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其东北方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（　　）海里．
A．15+15 B．30+30 C．45+15 D．60
二、填空题
5．要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是_____米．
6．如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC＝___米（结果保留根号）．
7．如图，一人乘雪橇沿坡角为α的斜坡笔直滑行了82米，那么他下降的高度为_____米（用含α的式子表示）．
8．如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝1，cosB＝，则这个菱形的面积是____．
三、解答题
9．如图，某楼房顶部有一根天线，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点，，，在点处测得天线顶端的仰角为，从点走到点，测得米，从点测得天线底端的仰角为，已知，，在同一条垂直于地面的直线上，米．
（1）求与之间的距离；
（2）求天线的高度．（参考数据：，结果保留整数）
10．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且tan∠ABC＝2；
（1）利用尺规过点A作⊙O的切线AD（点D在直线AB右侧），且AD＝AB，连接OD交AC于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）条件下，
①求证：OD∥BC；
②连接BD交⊙O于点F，求证：DE?OD＝DF?BD．
参考答案
1．D
【解析】【分析】
根据 B 关于 AE 的对称点为 B′，可得，等腰直角三角形，可得三点共线，可求出BE的长．
【详解】
解：,
又△DB′F 为等腰直角三角形，,
又在矩形 ABCD，,,
又， 等腰直角三角形,
,,
三点共线，
在等腰直角△RCE，CE=CD=6,
BE=BC-CE=,
故选D..
【点睛】本题考查三角形的性质及解直角三角形，找出三点共线是解题关键．
2．C
【解析】【详解】
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴∠BAM+∠OAM=∠BOM+∠OBM=180°﹣120°=60°，
∴∠BAO=60°，
∵点A的坐标为（0，3），
∴AO=3，
∴cos∠BAO=，
∴AB==6，
∴⊙C的半径为3，
故选：C．
3．A
【解析】【分析】
余弦是指在直角三角形中,一个锐角的邻边与斜边的比值,利用余弦函数的定义即可直接求解．
【详解】
解：因为在直角△ABC中,cosB=,
所以,
解得:BC=6．
故选A。
【点睛】本题主要考查了解直角三角形,解决本题的关键是要熟练掌握余弦函数的定义.
4．B
【解析】【分析】
由题意得到△APC是等腰直角三角形，则AC=PC；△BPC是含30度角的直角三角形，通过解直角△BPC得到PC==BC，结合BP=2BC求得结论．
【详解】
解：作PC⊥AB，垂足为C，根据题意，得∠PAC=45°，∴AC=PC，即30+BC=PC．
又∵∠BPC=30°，∴BP=2BC，PC==BC，∴30+BC=BC，即BC==15（+1），∴BP=2BC=30（+1）=30+30．
故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
5．20
【解析】【分析】
由AB、ED垂直于BD,即可得到∠ABC＝∠EDC＝90°，从而证明△ABC≌△EDC 此题得解.
【详解】
解：∵AB⊥BD，ED⊥AB，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED＝20．
故答案为：20．
【点睛】考查了三角形全等的判定和性质，解题是熟练判定方法，本题属于三角形全等的判定应用.
6．100．
【解析】【分析】
作DF⊥AC于F．解直角三角形分别求出BE、EC即可解决问题．
【详解】
解：作DF⊥AC于F．
∵DF：AF＝1：，AD＝200米，
∴tan∠DAF＝，
∴∠DAF＝30°，
∴DF＝AD＝×200＝100（米），
∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴EC＝DF＝100（米），
∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，
∴∠ABC＝45°，
∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，
∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE＝45°﹣30°＝15°，∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝45°﹣30°＝15°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴AD＝BD＝200（米），
在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，
∴BE＝BD?sin∠BDE＝200×＝100（米），
∴BC＝BE+EC＝100+100（米）；
故答案为：100．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
7．82?sinα
【解析】【分析】
如图，设下滑的距离为AB=82米，下降的高度为线段AC．解直角三角形求出AC即可；
【详解】
解：如图，设下滑的距离为AB=82米，下降的高度为线段AC．
在Rt△ABC中，AC=AB?sinα=82?sinα，
故答案为82?sinα．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．
8．
【解析】【分析】
解直角三角形ABE，求出AB、AE后计算．
【详解】
解：设菱形的边长为x，则BE的长为x-1．
∵cosB=，∴，可得：x=，
∴BE=，
∵AB2=BE2+AE2，即，
∴AE=．
故：S菱形=BC×AE=×=．
故填：
【点睛】本题考查了菱形性质和解三角形等知识，关键是根据三角函数和菱形的特殊性质可求出菱形的边及高．
9．（1）之间的距离为30米；（2）天线的高度约为27米．
【解析】【分析】
（1）根据题意，∠BAD=90°，∠BDA=45°，故AD=AB，已知CD=5，不难算出A与C之间的距离．
（2）根据题意，在中，，利用三角函数可算出AE的长，又已知AB，故EB即可求解．
【详解】
（1）依题意可得，在中， ，
米，
米，米.
即之间的距离为30米．
（2）在中，，米，
（米），
米，米．
由．并精确到整数可得米．
即天线的高度约为27米．
【点睛】（1）本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
（2）本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键．
10．（1）见解析 （2）①见解析；②见解析．
【解析】【分析】
（1）直接利用线段垂直平分线的作法作出AD⊥OA，根据解直角三角形可得tan∠AOD＝tan∠ABC，进而得出答案；
（2）易证△ADO∽△ADE可得AD2＝DO?DE，再证明△ABD∽△AFD，可得AD2＝BD?DF解答即可．
【详解】
解：（1）作图所示，
（2）∵AB为⊙O直径，且点C在⊙O上
∴∠C＝90°
∵tan∠ABC＝2
设BC＝a，
则AC＝2a，AB＝，
∴，
∵AD⊥AB而且AD=AB＝，
∴在Rt△OAD中，，
∴tan∠AOD＝tan∠ABC
∴∠AOD＝∠ABC
∴OD∥BC；
②连接AF，
∵OD∥BC，
且∠C＝90°
∴∠AED＝90°
∵∠ADO＝∠ADE
∴△ADO∽△ADE，
∴即AD2＝DO?DE，
∵AB为⊙O直径，且点F在⊙O上即∠AFB＝90°，
∵∠BAD＝90°且∠ADB＝∠ADF
∴△ABD∽△AFD，
∴即AD2＝BD?DF，
即DO?DE＝BD?DF．
【点睛】此题考查圆的综合题，关键是根据基本作图以及相似三角形的判定和性质解答．
一、单选题
1．（2020·黑龙江穆棱·朝鲜族学校中考真题）如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．2
2．（2020·贵州遵义·中考真题）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）
A． B．﹣1 C． D．
3．（2018·内蒙古包头·中考真题）如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．2﹣ B．2﹣ C．4﹣ D．4﹣
4．（2019·四川凉山·中考真题）如图，在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2020·湖南怀化·中考真题）如图，，，，…，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，…，都在反比例函数的图象上，点，，，…，，都在轴上，则的坐标为________．
6．（2018·湖北荆州·中考真题）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为_____米（≈1.73，结果精确到0.1）．
7．（2017·湖北荆州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在轴的负半轴、轴的正半轴上，点B在第二象限.将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y=（x＜0）的图象交AB于点N，的图象交AB于点N, S矩形OABC=32，tan∠DOE=,,则BN的长为______________.
8．（2013·贵州黔东南·中考真题）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是　 　．
三、解答题
9．（2012·四川内江·中考真题）水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD．如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=600，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米．
已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？
求加固后的大坝背水坡面DE的坡度．
10．（2020·四川遂宁·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）求证：＝．
（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四边形CHQE的面积．
11．（2020·山东日照·中考真题）阅读理解：
如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）．
探究活动：
如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么：　 　　 　（用＞、＝或＜连接），并说明理由．
事实上，以上结论适用于任意三角形．
初步应用：
在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．
综合应用：
如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝）
参考答案
1．B
【解析】【分析】
过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．
【详解】
解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：
由，且可知，，
由，且可知，，
∴在中，由勾股定理有：．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．
2．B
【解析】【分析】
作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【详解】
解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，
故选：B.
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.
3．A
【解析】【分析】
过A作AE⊥BC于E，依据AB=2，∠ABC=30°，即可得出AE=AB=1，再根据公式即可得到，阴影部分的面积是×4×1-=2-π．
【详解】
如图，过A作AE⊥BC于E，
∵AB=2，∠ABC=30°，
∴AE=AB=1，
又∵BC=4，
∴阴影部分的面积是×4×1-=2-π，
故选A．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积，常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．
4．D
【解析】【分析】
过点A作，垂足为D，在中可求出AD，CD的长，在中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出的值．
【详解】
解：过点A作，垂足为D，如图所示．
在中，，
；
在中，，
，
．
故选：D．
【点睛】考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的长是解题的关键．
5．
【解析】【分析】
如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，先在△OCB1中，表示出OC和B1C的长度，表示出B1的坐标，代入反比例函数，求出OC的长度和OA1的长度，表示出A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，即可发现一般规律．
【详解】
如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，
∵△OA1B1为等边三角形，
∴∠B1OC=60°，
∴，B1C= OC，
设OC的长度为x，则B1的坐标为（），代入函数关系式可得：，
解得，x=1或x=-1（舍去），
∴OA1=2OC=2，
∴A1（2，0）
设A1D的长度为y，同理，B2D为y，B2的坐标表示为，
代入函数关系式可得，
解得：y=或y=（舍去）
∴A1D=，A1A2=，OA2=
∴A2（，0）
设A2E的长度为z，同理，B3E为z，B3的坐标表示为，
代入函数关系式可得，
解得：z=或z=（舍去）
∴A2E=，A2A3=，OA3=
∴A3（，0），
综上可得：An（，0），
故答案为：．
【点睛】
本题考查图形类规律探索、反比例函数的性质、等边三角形的性质、求解一元二次方程和解直角三角形，灵活运用各类知识求出A1、A2、A3的坐标是解题的关键．
6．24.1
【解析】【分析】
设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，进而得出BE=CE=33，AE=a+33，在Rt△ACE中，依据tanA=，即可得到a的值．
【详解】
解：如图，设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，
∴CE=33，
∵∠CBE=45°=∠BCE，∠CAE=30°，
∴BE=CE=33，
∴AE=a+33，
∵tanA=，
∴tan30°=，即33=a+33，
解得a=33（﹣1）≈24.1，
∴a的值约为24.1米，
故答案为：24.1．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据在直角三角形中三角函数的定义列出算式，得出关于a的方程．
7．3
【解析】试题分析：利用矩形的面积公式得到AB?BC=32，再根据旋转的性质得AB=DE，OD=OA，接着利用正切的定义得到an∠DOE=，所以DE?2DE=32，解得DE=4，于是得到AB=4，OA=8，同样在Rt△OCM中利用正切定义得到tan∠COM=，由OC=AB=4，可求得MC=2，则M（﹣2，4），易得反比例函数解析式为y=﹣，然后确定N点坐标（﹣8，1），可知BN=4﹣1=3．
故答案为3．
考点：1、坐标与图形变化﹣旋转；2、反比例函数系数k的几何意义；3、解直角三角形
8．
【解析】试题分析：∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB∥CD．
∴△ABE∽△DCE．∴．
∵在Rt△ACB中∠B=45°，∴AB=AC．
∵在RtACD中，∠D=30°，∴．
∴．
9．解：（1）需要填土石方立方米.
（2）加固后的大坝背水坡面DE的坡度为.
【解析】【分析】
（1）分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G．在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；以CE为底，DG为高即可求出△CED的面积，再乘以大坝的长度，即为所需的填方体积.
（2）在Rt△CDG中，由勾股定理求CG的长，即可得到GE的长；Rt△DEG中，根据DG、GE的长即可求得坡角的正切值，即坡面DE的坡比.
【详解】
解：（1）如图，分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G．
在Rt△ABF中，AB=16米，∠B=60°，
，
∴，即DG=．
又∵CE=8，∴.
又∵需加固的大坝长为150，∴需要填方：.
答：需要填土石方立方米.
（2）在Rt△DGC中，DC=，DG=，
∴.∴GE=GC+CE=32.
∴DE的坡度.
答：加固后的大坝背水坡面DE的坡度为.
10．（1）见解析；（2）见解析；（3）45
【解析】【分析】
（1）连接OE，OP，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝BE，根据全等三角形的性质得到∠BEO＝∠BPO，根据切线的判定和性质定理即可得到结论．
（2）根据平行线和等腰三角形的性质即可得到结论．
（3）根据垂径定理得到EP⊥AB，根据平行线和等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠EAO，根据全等三角形的性质得到CE＝QE，推出四边形CHQE是菱形，解直角三角形得到CG＝＝12，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
（1）证明：连接OE，OP，
∵PE⊥AB，点Q为弦EP的中点，
∴AB垂直平分EP，
∴PB＝BE，
∵OE＝OP，OB＝OB，
∴△BEO≌△BPO（SSS），
∴∠BEO＝∠BPO，
∵BP为⊙O的切线，
∴∠BPO＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠OEA，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴．
（3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，
∴EP⊥AB，
∵CG⊥AB，
∴CG∥EP，
∵∠ACB＝∠BEO＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠EAQ＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，
∴△ACE≌△AQE（AAS），
∴CE＝QE，
∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，
∴∠CEH＝∠AHG，
∵∠AHG＝∠CHE，
∴∠CHE＝∠CEH，
∴CH＝CE，
∴CH＝EQ，
∴四边形CHQE是平行四边形，
∵CH＝CE，
∴四边形CHQE是菱形，
∵sin∠ABC═sin∠ACG═＝，
∵AC＝15，
∴AG＝9，
∴CG＝＝12，
∵△ACE≌△AQE，
∴AQ＝AC＝15，
∴QG＝6，
∵HQ2＝HG2+QG2，
∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62，
解得：HQ＝，
∴CH＝HQ＝，
∴四边形CHQE的面积＝CH?GQ＝×6＝45．
【点睛】此题考查了圆的综合问题，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形等知识，此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想应用．
11．探究活动：＝，＝，＝；初步应用：；综合应用：古塔高度约为36.6m．
【解析】【分析】
探究活动：过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理和正弦概念即可得出，同理得出，从而得出答案；
初步应用：根据，得出，即可得出b的值；
综合应用：由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，可知∠ACB＝30°．设古塔高DC＝x，则BC＝，灾解直角三角形即可得出答案．
【详解】
解：探究活动：，
理由如下：
如图2，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，
∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，
∴sinA＝sinD，sinD＝，
∴，
同理可证：，
∴；
故答案为：＝，＝，＝．
初步应用：
∵，
∴，
∴．
综合应用：
由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，
∴∠ACB＝30°．
设古塔高DC＝x，则BC＝，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴古塔高度约为36.6m．
【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形，添加合适的辅助线是解题的关键．