29.2 三视图-2020-2021学年九年级数学下册同步课堂帮帮帮（人教版）

第29章投影与视图
29.2三视图
1．三视图的有关概念
（1） 当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个__________．
（2）一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面得到的由前向后观察物体的视图，叫做__________；在水平面内得到由上向下观察物体的视图，叫做__________；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做__________．
（3）常见几何体的三视图

2．三视图的特征及画法
（1）画三视图要注意三要素：
主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．
简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”．
（2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线．
3．根据三视图描述物体原来的形状及计算展开图的面积
由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左面，然后综合起来考虑几何体的形状．再根据“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个方向的尺寸．观察三视图，并综合考虑各视图所表示的意义以及各视图间的联系，可以想象出三视图所表示的立体图形的形状，这是由视图转化为立体图形的过程.
由立体图形可以确定三视图和展开图，立体图形的三视图和展开图是平面图形，立体图形、三视图和展开图中，三者知其一，我们就能确定另外两种图形，即三者之间可以互相转化．
K知识参考答案：
1．（1）视图；（2）主视图；俯视图；左视图
K—重点
理解三视图的概念，掌握三视图之间的位置与数量关系，能熟练画出简单几何体的三视图
K—难点
能用一个物体的三视图来描述这个物体，并能应用三视图的知识解决一些实际问题
K—易错
画物体的三视图时用线易出现错误
一、物体的三视图
三视图中的各视图，分别从不同方面表示物体的形状，三者合起来能够较全面地反映物体的形状，单独一个视图难以全面地反映物体的形状，在实际生活中常用三视图描述物体的形状．
【例1】如图，在下面的四个几何体中，从它们各自的正面和左面看，不相同的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、左视图和主视图都是相同的正方形，所以A选项错误；
B、左视图和主视图虽然都是长方形，但是左视图的长方形的宽为三棱柱的底面三角形的高，主视图的长方形的宽为三棱柱的底面三角形的边长，所以B选项正确；
C、左视图和主视图都是相同的长方形，所以C选项错误；
D、左视图和主视图都是相同的等腰三角形，所以D选项错误．
故选B．
【例2】如图所示的几何体是由7个大小相同的小正方体组合而成的立体图形，则它的主视图是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】该几何体的主视图是
故选A．
二、根据三视图确定几何体
1.由三视图想象立体图时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形．
2.从实线和虚线想象几何体看得见和看不见的部分的轮廓线．
【例3】某一几何体的三视图均如图所示，则搭成该几何体的小立方体的个数为
A．9 B．5
C．4 D．3
【答案】C
【解析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视图右边的一列有一个，说明俯视图中的右边一列有一个正方体，所以此几何体共有4个正方体．故选C．
【名师点睛】本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．
三、由视图确定几何体的表面积和体积
某些立体图可沿其中一些线剪开成一个平面展开图，在实际生产中，常将立体图、三视图和平面展开图相结合进行相关运算．
【例4】一个长方体的主视图与左视图如图所示，则这个长方体的表面积是
A．27cm2 B．54cm2
C．94cm2 D．120cm2
【答案】C
【解析】该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形，俯视图也为一个矩形，可确定这个几何体是一个长方体，依题意可得这个长方体的表面积为：2×（5×4+5×3+4×3）=94（cm2）．故选C．
【名师点睛】此题考查了由三视图判断几何体，本题要先判断出几何体的形状，然后根据其表面积公式进行计算即可．
【例5】如图，是一个几何体的三视图（单位：cm），则图中几何体的体积是
A．30πcm3 B．24πcm3
C．15πcm3 D．12πcm3
【答案】D
【解析】由三视图可得：几何体为圆锥，所以圆锥的体积=?π×32×4=12πcm3，故选D．
一、单选题
1．如图是由6个大小相同的小正方体搭成的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
2．一个几何体如图所示，则该几何体的三视图正确的是( )
A． B．
C． D．
3．从正面看得到的图形（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．一天，小明的爸爸送给小明一个礼物，小明打开包装后画出它的主视图和俯视图如图所示．根据小明画的视图，你猜小明的爸爸送给小明的礼物是_______.
5．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是_____个．
6．如右图是一个立体图形的三视图，那么这个立体图形的体积为______．
三、解答题
7．5个棱长为1的正方体组成如图所示的几何体．
(1)该几何体的体积是__ __(立方单位)，表面积是__ __(平方单位)；
(2)画出该几何体的主视图和左视图．
8．已知一个模型的三视图如图所示(单位：m)．
(1)请描述这个模型的形状；
(2)若制作这个模型的木料密度为360 kg/m3，则这个模型的质量是多少？
(3)如果用油漆漆这个模型，每千克油漆可以漆4 m2，那么需要多少千克油漆？
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
左侧观察图形，数好正方形的数量即可求解．
【详解】
几何体的左视图，第一列有两个正方体，第二列有一个正方体，下面一行有2个正方体
故选A．
【点睛】
本题考查了三视图，主视图：从几何体的正面观察，左视图：从几何体的左面观察，俯视图：从几何体的上面俯视观察．
2．A
【解析】
从正面看应该是一个趴着的“L”形状，左视图应该是个矩形，且被一条虚线隔开，表示棱，俯视图也是一个矩形，有一条虚线表示棱．故选A
3．A
【解析】
【分析】
找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】
从正面看圆锥可得到一个等腰三角形，
故选A
4．生日蛋糕
【解析】
【分析】
由主视图确定几何体是柱体,由俯视图确定几何体是圆柱.
【详解】
由主视图可判断该几何体上下两部分都是柱体,再由俯视图判断该几何体上下两部分都是圆柱.从而得出答案: 生日蛋糕.
【点睛】
本题考查了几何体的三视图,直接利用三视图即可判断几何体的形状.
5．7
【解析】
【分析】
根据几何体的三视图可进行求解．
【详解】
解：根据题意得：
则搭成该几何体的小正方体最多是1+1+1+2+2=7（个）．
故答案为7．
【点睛】
本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．
6．250π
【解析】
【分析】
根据三视图可得这个几何体是一个底面直径为10，高为10的圆柱，再根据圆柱的体积公式列式计算即可．
【详解】
解：根据这个立体图形的三视图可得：这个几何体是一个圆柱，底面直径为10，高为10，
则这个立体图形的体积为：π×52×10=250π，
故答案为：250π．
【点睛】
本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
7．（1）5；22；（2）作图见解析.
【解析】
（1）几何体的体积为5个正方体的体积和，表面积为22个正方形的面积；
（2）主视图从左往右看3列正方形的个数依次为2，1，2；左视图1列正方形的个数为2．
解：（1）每个正方体的体积为1，∴组合几何体的体积为5×1=5；
∵组合几何体的前面和后面共有5×2=10个正方形，上下共有6个正方形，左右共6个正方形，每个正方形的面积为1，
∴组合几何体的表面积为22．
故答案为5，22；
（2）作图如下：
8．（1）详见解析；（2）43380kg；（3）41.625kg．
【解析】
【分析】
(1)由三视图可判断该模型的形状.
(2)先求出模型体积,再根据质量=体积密度.
(3)先求出表面积,再求出需要的质量.
【详解】
解：(1)此模型由两个长方体组成：上面的是小长方体，下面的是大长方体．
(2)模型的体积＝3×6×6＋2.5×2.5×2＝120.5(m3)，模型的质量＝120.5×360＝43380(kg)．
(3)模型的表面积＝2×2.5×2.5＋2×2×2.5＋2×6×3＋2×3×6＋2×6×6＝166.5(m2)，
需要油漆：166.5÷4＝41.625(kg)．
【点睛】
本题主要考查了几何体三视图的基本概念,求几何体的表面积和体积,熟练掌握该知识点即可求解.
一、单选题
1．长方体的主视图与俯视图如图1所示，则这个长方体的体积是（ ）．
A．52 B．32
C．24 D．9
2．如图，你能看出这个倒立的水杯的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．下图是由一些相同的小正方体搭成的几何体从不同方向看它得到的平面图形，那么搭成这个几何体的小正方体的个数为（ ）
A．3 B．4
C．6 D．9
4．由个相同的小正方体堆成的几何体，两种视图如右图所示，则的最大值是（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
二、填空题
5．由几个相同小正方体搭成的几何体的主视图与左视图如图所示，则该几何体最少由________个小正方体搭成．
6．如图，这是一个长方体的主视图和俯视图，由图示数据(单元：cm)可以得出该长方体的体积是______cm3.
7．由n个相同的小正方体堆成的几何体，其视图如下所示，则n的最大值是_____．
8．一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体是由若干个小正方体搭成的，则最多由_______个小正方体搭成，最少由__________个小正方体搭成.
三、解答题
9．一个几何体由大小相同的正方体搭成，从上面看到的几何体的形的形状状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，
（1）请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图.
（2）若每个小正方图的棱长都为1，则搭成的这个几何体的体积为 .
10．已知一个直八棱柱，它的底面边长都是5cm，侧棱长都是8cm，回答下列问题：
（1）这个八棱柱一共有多少个顶点？有多少个面？
（2）这个八棱柱的侧面积是多少？
参考答案
1．C
【解析】
由主视图可知，这个长方体的长和高分别为4和3，由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为4和2，因此这个长方体的长、宽、高分别为4、2、3，因此这个长方体的体积为4×2×3=24平方单位，故选C
2．B
【解析】
分析：找到倒立的水杯从上面看所得到的图形即可．
解答：解：从上面看应是一个圆环，都是实心线．
故选B．
3．B
【解析】
【分析】
根据三视图,该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行一列,故可得出该几何体的小正方体的个数．
【详解】
解：综合三视图,我们可得出,这个几何体的底层应该有3个小正方体,第二层应该有1个小正方体,因此搭成这个几何体的小正方体的个数为3+1=4个,故选B．
【点睛】
本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,解决本题的关键是要熟练掌握口诀“俯视图打地基,正视图疯狂盖,左视图拆违章”．
4．A
【解析】
试题分析：综合主视图和俯视图，底面最多有2+3+2=7个，第二层最多有2+3+2=7个，第三层最多有2+0+2=4个，
所以n的最大值是7+7+4=18．故选A．
考点：由三视图判断几何图形
点评：根据三视图，从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
5．
【解析】
【分析】
仔细观察该几何体的主视图和左视图，发挥空间想象能力，便可得出几何体的形状．
【详解】
仔细观察物体的主视图和左视图可知：该几何体的下面最少要有三个小正方体，上面最少要有一个小正方体，
故该几何体最少有4个小正方体组成，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了由三视图判断几何体，主视图是从物体的前面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，熟练掌握是关键.
6．24
【解析】
【分析】
根据主视图和俯视图求出长方体的长宽高即可解题.
【详解】
解：由主视图可知长方体长为4,高为3,由俯视图可知长方体宽为2,
∴长方体体积==24 cm3
【点睛】
本题考查了利用三视图求立体图形的体积,属于简单题,看懂三视图是解题关键.
7．18
【解析】
【分析】
根据主视图和俯视图得出几何体的可能堆放，从而即可得出答案．
【详解】
综合主视图和俯视图，底面最多有个，第二层最多有个，第三层最多有个
则n的最大值是
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了三视图中的主视图和俯视图，掌握三视图的相关概念是解题关键．
8．9 7
【解析】
【分析】
主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．由俯视图可知，底层是4个小正方体，结合主视图可知中间层最少2个，最多3个，最上层最少1个，最多2个，从而求解．
【详解】
解：最少需要7个如图（1），最多需要9个如图（2）．
图（1） 图（2）
故答案为：9；7
【点睛】
本题考查了有三视图判断几何体的知识，根据题目中要求的以最少或最多的小正方体搭建这个几何体，可以想象出左视图的样子，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数．
9．（1）见详解；（2）10
【解析】
【分析】
（1）从正面看：第一列有3个正方形，第二列有2个正方形，第三列有3个正方形，都是前端对齐；从左面看：第一列有1个正方形，第二列有3个正方形，第三列有3个正方形，都是前端对齐；
（2）根据每个正方体的体积，然后乘以小正方体的数量即可得到几何体的体积.
【详解】
解：（1）如下图：分别是从正面看和从左面看得到的图形；

（2）每个小正方体的体积为：1，
∴几何体的体积：（1+3+1+2+3）1=10；
故答案为10.
【点睛】
本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，是培养学生的观察能力，解题的关键是掌握几何体中正方体的个数，并熟练画出图形.
10．（1）八棱柱有16个顶点，10个面.
（2）八棱柱的侧面积为
【解析】
【分析】
（1）根据八棱柱的特征求解即可；（2）根据展开图为长方形，求出为厘米，宽为8厘米，即可求出面积.
【详解】
（1）八棱柱一共八棱柱有16个顶点，10个面；（2）根据展开图为长方形，求出为厘米，宽为8厘米，则面积为（平方厘米）
【点睛】
解决本题的关键是了解棱柱的构造特点.
一、单选题
1．（2008·广东深圳·中考真题）图中几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
2．（2015·辽宁朝阳·中考真题）如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ）
A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变
3．（2018·浙江宁波·中考真题）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是　　
A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．主视图和左视图
二、填空题
4．（2018·山东青岛·中考真题）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有_____种．
5．（2018·辽宁盘锦·中考真题）如图，是某立体图形的三视图，则这个立体图形的侧面展开图的面积是__．（结果保留π）
6．（2017·江西中考真题）如图，正三棱柱的底面周长为9，截去一个底面周长为3的正三棱柱，所得几何体的俯视图的周长是____．
三、解答题
7．（2015·福建宁德·中考真题）（10分）图（1）是一个蒙古包的照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体，如图（2）所示．
（1）请画出这个几何体的俯视图；
（2）图（3）是这个几何体的正面示意图，已知蒙古包的顶部离地面的高度EO1=6米，圆柱部分的高OO1=4米，底面圆的直径BC=8米，求∠EAO的度数（结果精确到0.1°）．
8．（2011·广东茂名·中考真题）画图题：
（1）如图，将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到△A1B1C1．请你画出旋转后的△A1B1C1；
（2）请你画出下面“蒙古包”的左视图．
参考答案
1．D
【解析】
本题考查了三视图的知识
找到从上面看所得到的图形即可．
从上面看可得到三个矩形左右排在一起，中间的较大，故选D．
2．D
【解析】
试题分析：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变．将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变．将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变．故选D．
【考点】简单组合体的三视图．
3．C
【解析】
【分析】根据所得到的主视图、俯视图、左视图结合中心对称图形的定义进行判断即可.
【详解】观察几何体，可得三视图如图所示：
可知俯视图是中心对称图形，
故选C.
【点睛】本题考查了三视图、中心对称图形，正确得到三视图是解决问题的关键.
4．10
【解析】
【分析】
观察图形，根据几何体的主视图每一列最大分别为4,2,3再根据左视图确定每一列最大分别为4,3,2总数要保证是16，还要保证俯视图有9个位置，从而即可得出所有的不同搭法.
【详解】
解：设俯视图有9个位置分别为：
由主视图和左视图知：①第1个位置一定是4，第6个位置一定是3；
②一定有2个2，其余有5个1；
③最后一行至少有一个2，当中一列至少有一个2；
根据2的排列不同，这个几何体的搭法共有10种：如下图所示：
故答案为10.
【点睛】
本题主要考查由三视图判断几何体.解题关键是根据主视图与左视图相同小方块数的交叉列确定不变的小立方块数量在什么位置.
5．65π
【解析】
分析：从主视图以及左视图都为一个三角形，俯视图为一个圆形看，可以确定这个几何体为一个圆锥，由三视图可知圆锥的底面半径为5，高为12，故母线长为13，据此可以求得其侧面积．
详解：由三视图可知圆锥的底面半径为5，高为12，所以母线长为13，
所以侧面积为πrl=π×5×13=65π，
故答案为65π．
点睛：本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的侧面积．牢记公式是解题的关键，难度不大．
6．8
【解析】
试题分析：根据从上边看得到的图形是俯视图，可知从上边看是一个梯形：上底是1，下底是3，两腰是2，
周长是1+2+2+3=8，
故答案为8．
考点：1、简单组合体的三视图；2、截一个几何体
7．（1）答案见试题解析；（2）26.6°．
【解析】
试题分析：（1）由图2，画出俯视图即可；
（2）连接EO1，如图所示，由EO1﹣OO1求出EO的长，由BC=AD，O为AD中点，求出OA的长，在Rt△AOE中，利用锐角三角函数定义求出tan∠EAO的值，即可确定出∠EAO的度数．
试题解析：（1）画出俯视图，如图所示：
（2）连接EO1，如图所示，∵EO1=6米，OO1=4米，∴EO=EO1﹣OO1=6﹣4=2米，∵AD=BC=8米，∴OA=OD=4米，在Rt△AOE中，tan∠EAO=，则∠EAO≈26.6°．
考点：1．圆锥的计算；2．圆柱的计算；3．作图-三视图．
8．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据图形的位置和中心对称画出即可；（2）理解得到左视图如何看，根据看到的图形画出即可．
【详解】
（1）答：如图所示：（2）答：如图所示：
（2）答：如图所示：