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第28章锐角三角函数章末检测
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（ ）
A．3
B．
C．
D．
2．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（ ）
A．29.1米
B．31.9米
C．45.9米
D．95.9米
3．如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)(
)
A．22.48海里
B．41.68海里
C．43.16海里
D．55.63海里
4．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A．米2
B．米2
C．米2
D．米2
5．如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°
7．如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，则k的值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
8．如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=8
AB=6cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（
）
A．18cm2
B．12cm2
C．9cm2
D．3cm2
9．一个公共房门前的台阶高出地面1.2
m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是(
)
A．斜坡AB的坡度是10°
B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC＝1.2tan10°
m
D．AB＝m
10．如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米，已知，则小车上升的高度是（
）
A．5米
B．6米
C．6.5米
D．12米
11．下列式子错误的是（ ）
A．cos40°=sin50°
B．tan15°?tan75°=1
C．sin225°+cos225°=1
D．sin60°=2sin30°
12．如图1，在等腰梯形ABCD中，∠B=60°，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿B-A-D-C和B-C-D方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），△BPQ的面积为S（平房单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（
）
A．当t=4秒时，S=4
B．AD=4
C．当4≤t≤8时，S=2t
D．当t=9秒时，BP平分梯形ABCD的面积
二、填空题
13．规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx?cosy+cosx?siny．
据此判断下列等式成立的是
（写出所有正确的序号）
①cos（﹣60°）=﹣；
②sin75°=；
③sin2x=2sinx?cosx；
④sin（x﹣y）=sinx?cosy﹣cosx?siny．
14．如图，旗杆高AB＝8m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16m，则tanC＝_____．
15．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为______m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
16．如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行_____小时即可到达．（结果保留根号）
三、解答题
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0?＜α＜90?）得到△A1B1C1，连结BB1.设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F．
（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（△ABC与△A1B1C1全等除外）；
（2）当△BB1D是等腰三角形时，求α；
（3）当α＝60?时，求BD的长．
18．为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）．
19．如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽．（精确到0.1m）参考数据：≈1.414，≈1.732
20．把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．
（1）sin2A1+cos2A1=
，sin2A2+cos2A2=
，sin2A3+cos2A3=
；
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A=
；
（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：
（4）已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且sinA=，求cosA．
21．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗．请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
22．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
23．如图，某无人机于空中处探测到目标的俯角分别是,此时无人机的飞行高度为，随后无人机从处继续水平飞行m到达处.
（1）求之间的距离
（2）求从无人机上看目标的俯角的正切值.
24．学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：
（1）在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°；
（2）在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器（C、D与B在同一直线上，且C、D之间的距离可以直接测得），测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°；
（3）测得测倾器的高度CF=DG=1．5米，并测得CD之间的距离为288米；
已知红军亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB（取1．732，结果保留整数）
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第28章
锐角三角函数
章末检测
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴∠A的正切值为=3，
故选A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．
2．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（ ）
A．29.1米
B．31.9米
C．45.9米
D．95.9米
【答案】A
【解析】【分析】
【详解】
试题分析：作DE⊥AB于E点，作AF⊥DE于F点，如图，设DE=xm，CE=2.4xm，由勾股定理，得
x2+（2.4x）2=1952，解得x=75m，DE=75m，CE=2.4x=180m，EB=BC﹣CE=306﹣180=126m．
∵AF∥DG，∴∠1=∠ADG=20°，tan∠1=tan∠ADG==0.364．
AF=EB=126m，tan∠1==0.364，DF=0.364AF=0.364×126=45.9，AB=FE=DE﹣DF=75﹣45.9≈29.1m，
故选A．
考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
3．如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)(
)
A．22.48海里
B．41.68海里
C．43.16海里
D．55.63海里
【答案】B
【解析】【分析】
过点P作PA⊥MN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可
【详解】
解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，MN=30×2=60（海里），
∵∠MNC=90°，∠CPN=46°，
∴∠MNP=∠MNC+∠CPN=136°，
∵∠BMP=68°，∴∠PMN=90°﹣∠BMP=22°，
∴∠MPN=180°﹣∠PMN﹣∠PNM=22°，
∴∠PMN=∠MPN，∴MN=PN=60（海里），
∵∠CNP=46°，∴∠PNA=44°，
∴PA=PN·sin∠PNA=60×0.6947≈41.68（海里）
考点：锐角三角函数的应用
4．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A．米2
B．米2
C．米2
D．米2
【答案】D
【解析】【分析】
【详解】
解：在Rt△ABC中，BC=AC×tan∠CAB=4tanq，
∴所需地毯的长度为AC+BC=4+4tanq（米）．
面积为：（4+4tanq）×1=4+4tanq（米2）．
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．
5．如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【分析】设直角三角形的直角边长分别为x、y（x>y），根据大正方形的面积为169，小正方形的面积为49可得关于x、y的方程组，解方程组求得x、y的值，然后利用正弦、余弦的定义进行求解即可得.
【详解】设直角三角形的直角边长分别为x、y（x>y），由题意得，
解得：或（舍去），
∴直角三角形的斜边长为13，
∴sinα-cosα=，
故选D.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出直角三角形的三边长是解题的关键.
6．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°
【答案】D
【解析】【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求出∠AOB的度数，再根据圆周定理求出∠C的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠E的度数即可．
【详解】由图可知，OA=10，OD=5，
在Rt△OAD中，
∵OA=10，OD=5，AD==，
∴tan∠1=，∴∠1=60°，
同理可得∠2=60°，
∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，
∴∠C=60°，
∴∠E=180°-60°=120°,
即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°，
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等，正确画出图形，熟练应用相关知识是解题的关键.
7．如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，则k的值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【解析】【分析】
【详解】
解：设点C坐标为（x，y），作CD⊥BO′交边BO′于点D，
∵tan∠BAO=2，
∴，
∵S△ABO=?AO?BO=4，
∴AO=2，BO=4，
∵△ABO≌△A'O'B，
∴AO=A′O′=2，BO=BO′=4，
∵点C为斜边A′B的中点，CD⊥BO′，
∴CD=A′O′=1，BD=BO′=2，
∴x=BO-CD=4-1=3，y=BD=2，
∴k=x?y=3×2=6．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意，作出合适的辅助线，求出点C的坐标，然后根据点C的横纵坐标之积等于k值求解即可．
8．如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=8
AB=6cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（
）
A．18cm2
B．12cm2
C．9cm2
D．3cm2
【答案】C
【解析】试题分析：先根据已知求边长BC，再根据点P和Q的速度表示BP和BQ的长，设△PBQ的面积为S，利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式，并求最值即可．
∵tan∠C=，AB=6cm，
∴=，
∴BC=8，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
设△PBQ的面积为S，则S=×BP×BQ=×2t×（6﹣t），
S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9，
P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，
∴当t=3时，S有最大值为9，
即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2；
考点：（1）解直角三角形；（2）二次函数的最值．
9．一个公共房门前的台阶高出地面1.2
m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是(
)
A．斜坡AB的坡度是10°
B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC＝1.2tan10°
m
D．AB＝m
【答案】B
【解析】【分析】
根据坡度是坡角的正切值，可得答案．
【详解】
解：斜坡AB的坡度是tan10°=，故B正确；
故选B．
【点睛】本题考查了坡度坡角，利用坡度是坡角的正切值是解题关键．
10．如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米，已知，则小车上升的高度是（
）
A．5米
B．6米
C．6.5米
D．12米
【答案】A
【解析】试题解析：如图AC=13，作CB⊥AB，
∵cosα=，
∴AB=12，
∴BC==132﹣122=5，
∴小车上升的高度是5m．
故选A．
考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
11．下列式子错误的是（ ）
A．cos40°=sin50°
B．tan15°?tan75°=1
C．sin225°+cos225°=1
D．sin60°=2sin30°
【答案】D
【解析】【分析】
【详解】
试题分析：选项A，sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；选项Btan15°?tan75°=tan15°?cot15°=1，式子正确；选项C，sin225°+cos225°=1正确；选项D，sin60°=，sin30°=，则sin60°=2sin30°错误．故答案选D．
考点：互余两角三角函数的关系；同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值．
12．如图1，在等腰梯形ABCD中，∠B=60°，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿B-A-D-C和B-C-D方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），△BPQ的面积为S（平房单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（
）
A．当t=4秒时，S=4
B．AD=4
C．当4≤t≤8时，S=2t
D．当t=9秒时，BP平分梯形ABCD的面积
【答案】C
【解析】试题分析：A．由图2可得，当t=4秒时，S=4.
故选项A正确.
B．设梯形的高为h，
∵当t=4秒时，S=4，∴.
∵∠B=60°，AB=
由图2可得，当t=8秒时，点P运动到点D，即AB+CD=8，
∴AD=4.
故选项B正确.
C．设当4≤t≤8时，S与t的函数关系式为，
∵当t=4秒时，S=4；当t=8秒时，S=8，
∴，解得.
∴当4≤t≤8时，S=t.
故选项C错误.
D．如答图，过点D作DH⊥BC于点H，过点P作PG⊥DH于点G，
由上可知，AD=4，BC=8，DH=，
∴.
∵当t=9秒时，DP=1，∴DG=，GH=.
∴.
∴当t=9秒时，BP平分梯形ABCD的面积.
故选项G正确.
综上所述，结论错误的是选项C.
故选C.
考点：1.双动点问题的函数图象分析；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.待定系数法的应用；4.等腰梯形的性质；5.
锐角三角函数定义；6.特殊角的三角函数值；7.三角形和梯形的面积.
二、填空题
13．规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx?cosy+cosx?siny．
据此判断下列等式成立的是
（写出所有正确的序号）
①cos（﹣60°）=﹣；
②sin75°=；
③sin2x=2sinx?cosx；
④sin（x﹣y）=sinx?cosy﹣cosx?siny．
【答案】②③④．
【解析】【分析】
根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断．
【详解】
根据题意，得，①cos(－60°)＝cos60°=
≠
，故错误；
②sin75°=sin（45°+30°)=sin45°×cos30°+cos45°×sin30°=
＝，故正确；
③sin2x＝sinx﹒cosx+cosx·sinx=2sinx·cosx，故正确；
④sin(x－y)＝sinx·cos（-y）+cosx·sin(-y)=sinx·cosy-cosx·siny，故正确，
故答案为②③④.
【点睛】本题主要考查新定义题，主要考查学生的阅读理解能力以及运用知识解决问题的能力，解题的关键是能根据新规定正确地进行运算.
14．如图，旗杆高AB＝8m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16m，则tanC＝_____．
【答案】．
【解析】【分析】
根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】
∵旗杆高AB=8m，旗杆影子长BC=16m，
∴tanC=＝＝，
故答案为：
【点睛】此题考查解直角三角形的应用，关键是根据正切值是对边与邻边的比值解答．
15．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为______m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【答案】9.5
【解析】分析：根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．
详解：过D作DE⊥AB，
∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，
∴∠ADE＝53°，
∵BC＝DE＝6m，
∴AE＝DE?tan53°≈6×1.33≈7.98m，
∴AB＝AE＋BE＝AE＋CD＝7.98＋1.5＝9.48m≈9.5m，
故答案为9.5
点睛：此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．
16．如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行_____小时即可到达．（结果保留根号）
【答案】
【解析】【分析】
如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．
【详解】
如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，
在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以
BQ=PQ﹣90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ?tan30°=PQ（海里），
所以
PQ﹣90=PQ，
所以
PQ=45（3+）（海里），
所以
MN=PQ=45（3+）（海里），
在直角△BMN中，∠MBN=30°，
所以
BM=2MN=90（3+）（海里），
所以（小时），
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
三、解答题
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0?＜α＜90?）得到△A1B1C1，连结BB1.设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F．
（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（△ABC与△A1B1C1全等除外）；
（2）当△BB1D是等腰三角形时，求α；
（3）当α＝60?时，求BD的长．
【答案】解：（1）全等的三角形有：
等．（只需写一个即可）
以证为例：
证明：
（2）在△CBB1中，∵CB=CB1，
又△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°
①若，则∠B1DB=∠B1BD，∵∠B1DB=45°+α
（舍去）
②，即BD≠B1D
③若BB1=BD，则，即
由①②③可知，当△BB1D为等腰三角形时，α=30°
（3）作DG⊥BC于G，设CG=x
在Rt△CDG中，
在Rt△DGB中，
【解析】（1）依据全等三角形的判定，可找出全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等．由旋转的意义可证∠A1CF=∠BCD，A1C=BC，∠A1=∠CBD=45°，所以△CBD≌△CA1F．
（2）当△BBD是等腰三角形时，要分别讨论B1B=B1D、BB1=BD、B1D=DB三种情况，第一，三种情况不成立，只有第二种情况成立，求得α=30°．
（3）作DG⊥BC于G，在直角三角形CDG和直角三角形DGB中，由三角函数即可求得BD的长．
18．为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）．
【答案】100米.
【解析】【分析】如图，作PC⊥AB于C，构造出Rt△PAC与Rt△PBC，求出AB的长度，利用特殊角的三角函数值进行求解即可得.
【详解】如图，过P点作PC⊥AB于C，
由题意可知：∠PAC=60°，∠PBC=30°，
在Rt△PAC中，tan∠PAC=，∴AC=PC，
在Rt△PBC中，tan∠PBC=，∴BC=PC，
∵AB=AC+BC=PC+PC=10×40=400，
∴PC=100，
答：建筑物P到赛道AB的距离为100米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值进行解答是关键.
19．如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽．（精确到0.1m）参考数据：≈1.414，≈1.732
【答案】该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．
【解析】【分析】
利用锐角三角函数，在Rt△CDE中计算出坝高DE及CE的长，通过矩形ADEF，利用等腰直角三角形的边角关系，求出BF的长，得到坝底的宽．
【详解】
解：在Rt△CDE中，
∵sin∠C=，cos∠C=，
∴DE=sin30°×DC=×14=7（m），
CE=cos30°×DC=×14=7≈12.124≈12.12，
∵四边形AFED是矩形，
∴EF=AD=6m，AF=DE=7m，
在Rt△ABF中，
∵∠B=45°，
∴DE=AF=7m，
∴BC=BF+EF+EC≈7+6+12.12=25.12≈25.1（m），
答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据已知的边角熟练应用三角函数进行求解是关键．
20．把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．
（1）sin2A1+cos2A1=
，sin2A2+cos2A2=
，sin2A3+cos2A3=
；
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A=
；
（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：
（4）已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且sinA=，求cosA．
【答案】（1）1、1、1；（2）1；（3）证明见解析；（4）．
【解析】试题分析：（1）根据正弦函数和余弦函数的定义分别计算可得；
（2）由（1）中的结论可猜想sin2A+cos2A=1；
（3）由sinA=、cosA=且a2+b2=c2知sin2A+cos2A=（）2+（）2===1；
（4）根据直角三角形中sin2A+cos2A=1知（）2+cosA2=1，据此可得答案．
试题解析：解：（1）sin2A1+cos2A1=（）2+（）2==1，sin2A2+cos2A2=（）2+（）2=+=1，sin2A3+cos2A3=（）2+（）2==1，故答案为1、1、1；
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A=1，故答案为1；
（3）在图2中，∵sinA=，cosA=，且a2+b2=c2，则sin2A+cos2A=（）2+（）2===1，即sin2A+cos2A=1；
（4）在△ABC中，∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，∵sin2A+cos2A=1，∴（）2+cosA2=1，解得：cosA=或cosA=﹣（舍），∴cosA=．
点睛：本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数和余弦函数的定义是解题的关键．
21．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗．请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
【答案】此车没有超速，理由见解析．
【解析】【分析】
根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速度，进而得出答案．
【详解】
解：此车没有超速．
理由：过C作CH⊥MN，
∵∠CBN=60°，BC=200米，
∴CH=BCsin60°=200×=100（米），
BH=BCcos60°=100（米），
∵∠CAN=45°，
∴AH=CH=100米，
∴AB=100﹣100≈73（m），
∵60千米/小时=m/s，
∴=14.6（m/s）＜≈16.7（m/s），
∴此车没有超速．
【点睛】本题考查勾股定理以及锐角三角函数关系的应用．
22．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】（1）10米；（2）11.4米
【解析】【分析】
（1）延长DC交AN于H．只要证明BC=CD即可；
（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在
Rt△ADH中求出AH即可解决问题.
【详解】
（1）如图，延长DC交AN于H，
∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，
∴∠BDH=30°，
∵∠CBH=30°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，
∴BC=CD=10（米）；
（2）在Rt△BCH中，CH=BC=5，BH=5≈8.65，
∴DH=15，
在Rt△ADH中，AH=≈=20，
∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65=11.4（米）．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
23．如图，某无人机于空中处探测到目标的俯角分别是,此时无人机的飞行高度为，随后无人机从处继续水平飞行m到达处.
（1）求之间的距离
（2）求从无人机上看目标的俯角的正切值.
【答案】（1）120米；（2）.
【解析】【分析】
（1）解直角三角形即可得到结论；
（2）过作交BC的延长线于E，连接，于是得到，
，在Rt△ABC中，求得DC=AC=20，然后根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，
在Rt△ABC中，AC=60m，
AB===120（m）
（2）过作交BC的延长线于E，连接，
则，
，
在Rt△ABC中，
AC=60m，∠ADC=60°，
DC=AC=20
DE=50
tan∠AD=
tan∠DC===
答：从无人机上看目标D的俯角的正切值是．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.
24．学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：
（1）在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°；
（2）在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器（C、D与B在同一直线上，且C、D之间的距离可以直接测得），测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°；
（3）测得测倾器的高度CF=DG=1．5米，并测得CD之间的距离为288米；
已知红军亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB（取1．732，结果保留整数）
【答案】411米．
【解析】试题分析：首先分析图形，构造直角三角形．本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造边角关系，从而可求出答案．
试题解析：设AH=x米，在RT△EHG中，∵∠EGH=45°，∴GH=EH=AE+AH=x+12，∵GF=CD=288米，∴HF=GH+GF=x+12+288=x+300，在RT△AHF中，∵∠AFH=30°，∴AH=HF?tan∠AFH，即x=（x+300）?，解得x=150（+1）．∴AB=AH+BH≈409．8+1．5=411（米）．
答：凤凰山与中心广场的相对高度AB大约是411米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
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精品试卷·第
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