26.1 反比例函数-2020-2021学年九年级数学下册同步课堂帮帮帮（人教版）
文档属性
| 名称 | 26.1 反比例函数-2020-2021学年九年级数学下册同步课堂帮帮帮（人教版） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 3.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-23 11:21:41 | ||
图片预览
文档简介
第26章 反比例函数
26.1 反比例函数
1．反比例函数的概念
（1）一般地，形如y=__________（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
反比例函数解析式还有其他两种形式：
①y=kx-1（k为常数，k≠0）；
②xy=k（k为常数，k≠0）．
（2）反比例函数y=中的x，y成反比例，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数，若k=0，则y=0恒成立，为一常数函数，失去了反比例函数的意义．
2．用待定系数法求反比例函数的解析式
用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
（1）设——根据题意，设反比例函数的解析式为；
（2）代——把它的一对对应值（x，y）代入中，得到关于k的方程；
（3）解——解方程，求出常数k；
（4）写——把k的值代入反比例函数的解析式中即可写出解析式．
3．反比例函数的图象和性质
（1）反比例函数图象的画法
①列表：自变量的取值以原点O为中心，一般地，在点O的两边分别取三列表对或三对以上互为相反数的数，并计算相应的y值，以表格的形式表示出来；
②描点：以表格中各对对应值为点的坐标，描出各点；
③连线：按照从左到右的顺序用平滑的连线曲线顺次连接各点并向两端延伸．
（2）反比例函数图象的特点
①反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限；
②双曲线有两个分支，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交；
③双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点），又是轴对称图形（对称轴是直线y=x或直线y=-x）．
（3）①自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；
②必须用平滑的曲线连接各点，而不能用折线；
③因为x≠0，y≠0，所以图象不可能经过原点，且与x轴、y轴都没有交点；
④为了更好地反映图象的全貌，要尽可能多地取一些数值，多描一些点．
（4）反比例函数的性质如下表：
反比例函数
k的符号
k>0
k<0
图象
性质
（1）自变量x的取值范围为x≠0；
（2）图象的两个分支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而__________
（1）自变量x的取值范围为x≠0；
（2）图象的两个分支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而__________
4．反比例函数中比例系数k的几何意义
如图，过双曲线上任意一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得长方形PMON的面积S=PM·PN
=|y|·|x|=|xy|．因为，所以xy=k，所以S=|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得长方形的面积为|k|．
K知识参考答案：
1． 3．减小 增大
K—重点
用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质
K—难点
反比例函数中比例系数k的几何意义
K—易错
反比例函数解析式的条件忽略k≠0
一、反比例函数的概念
识别一个函数是不是反比例函数，可对照反比例函数的基本形式或变形形式xy=k（k是常数，k≠0），（k是常数，k≠0）进行筛选．
【例1】下列式子中，表示是的反比例函数的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A．由原式得到y=，符合反比例函数的定义．故本选项正确；
B．该函数式表示y与x2成反比例关系，故本选项错误；
C．该函数式表示y与x成正比例关系，故本选项错误；
D．该函数式表示y与（x+1）成正比例关系，故本选项错误．故选A．
二、用待定系数法求反比例函数的解析式
确定反比例函数解析式的方法是待定系数法，由于在反比例函数中只有一个待定系数，因此只需要一对对应的x，y值或图象上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
【例2】已知反比例函数的图象过点，则该反比例函数的图象位于
一、单选题
1．反比例函数图象的一支如图所示,的面积为2,则该函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，AD，BE两垂线段交于点G．若图中阴影部分的面积为3，则△OAB的面积为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．函数 y＝的图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
4．已知反比例函数,下列结论中不正确的是（ ）
A．其图像分别位于第二、四象限
B．其图像关于原点对称
C．其图像经过点(2，-4)
D．若点都在图像上，且,则
5．若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值可能是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
6．如图，反比例函数的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，AC平行于y轴交x轴于点C，四边形ABOC的面积为5，则反比例函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
7．已知反比例函数的图象过点M（－1，2），则此反比例函数的表达式为
A．y= B．y=－ C．y= D．y=－
8．如图，点D是内一点，与x轴平行，与y轴平行，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是（ ）
A． B．4 C． D．6
二、填空题
9．如图所示，在直角坐标系中，O为原点，等腰△A0B的顶点B在x轴土，AO＝AB，A点坐标是(，5)，反比例函数y＝的图象与AO交于点C，与AB交于点D，且OC＝2BD，则k的值是_____．
10．如图，点B是反比例函数（）图象上一点，过点B作x轴的平行线，交轴于点A，点C是轴上一点，△ABC的面积是2，则=______．
11．已知反比例函数y=（k为常数，k≠2）的图像有一支在第二象限，那么k的取值范围是_______.
12．反比例函数的图像经过点，则在每一个象限内，随的增大而________. (填“增大”或“减小”)
三、解答题
13．反比例函数的图象如图所示，，是该图象上的两点，
（1）求的取值范围；（2）比较与的大小.
14．某商贩出售一批进价为l元的钥匙扣，在销售过程中发现钥匙扣的日销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：
（1）根据表中数据在平面直角坐标系中，描出实数对（x，y）对应的点；
（2）猜想并确定y与x的关系式，并在直角坐标系中画出x>0时的图像；
（3）设销售钥匙扣的利润为T元，试求出T与x之间的函数关系式：若商贩在钥匙扣售价不超过8元的前提下要获得最大利润，试求销售价x和最大利润T．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴的正半轴上，是边上的一点，，.反比例函数在第一象限内的图像经过点，交于点，.
(1)求这个反比例函数的表达式，
(2)动点在矩形内，且满足.
①若点在这个反比例函数的图像上，求点的坐标，
②若点是平面内一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标.
16．已知：如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点.轴于点，轴于点. 一次函数的图象分别交轴、轴于点、点，且，.
（1）求点的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据反比例函数系数k的几何意义, 由△POM的面积为2, 可知|k|=2, 再结合图象所在的象限, 确定k的值, 则函数的解析式即可求出.
【详解】
解:△POM的面积为2,
S=|k|=2,,
又图象在第四象限,
k<0,
k=-4,
反比例函数的解析式为:.
故选D.
【点睛】
本题考查了反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、 坐标轴、 向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系, 即S= |k|.
2．D
【解析】
【分析】
首先根据反比例函数图象上的点与坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积等于|k|，利用阴影部分的面积为3，推导出线段比例关系，比例关系转化为求矩形OFPK的面积，用割补法可求△OAB的面积．
【详解】
解：
设FB与KA的延长线相交于点P，
HM垂直平分EK，
∵A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，
A点向x轴，y轴作垂线段分别是AD、AK
∴s矩形ODAK＝|k|＝9
同理：s矩形OFBE＝9
∵s矩形ODGE＝3
∴s矩形DFBG＝s矩形EGAK＝9﹣3＝6
∵HM垂直平分EK
∴OE＝EH＝HK
∴s矩形OFPK＝3s矩形OFBE＝3×9＝27
且s矩形AGBP＝2s△ABP＝12
即s△ABP＝6
∴s△AOB＝S矩OFPK-S△AOK -S△OFB-S△ABP＝27﹣6﹣9＝12
故选D．
【点睛】
主要考查了反比例函数y＝中的k几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积为，利用割补法求解比较容易.
3．B
【解析】
【分析】
首先根据分式有意义的条件知x≠0，然后分x＞0和x＜0两种情况，根据反比例函数的性质作答．注意本题中函数值y的取值范围．
【详解】
解：当x＞0时，函数y＝即y＝，其图象在第一象限；
当x＜0时，函数y＝即y＝-，其图象在第二象限．
故选B．
【点睛】
反比例函数的性质：反比例函数y= 的图象是双曲线．当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
4．D
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可 ．
【详解】
解：A.反比例函数中，，此函数的图象在二、 四象限， 故本选项说法正确，不合题意；
B.反比例函数的图像是关于原点的中心对称，故本选项说法正确，不合题意；
C.∵，图象必经过点(2，-4)，故本选项说法正确，不合题意；
D.反比例函数中，，此函数的图象在每一象限内随的增大而增大，∴当,在同一象限时则，在不同象限时则， 故本选项错误，符合题意.
故选D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质， 即反比例函数的图象是双曲线：
（1） 当时， 双曲线的两支分别位于第一、 第三象限， 在每一象限内随的增大而减小；
（2） 当，双曲线的两支分别位于第二、 第四象限， 在每一象限内随的增大而增大 ．
5．A
【解析】
【分析】
根据反比例函数的图像与性质解答即可.
【详解】
∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，
∴k<0，
∴k的取值可能是-1.
故选A.
【点睛】
本题考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数(k是常数，k≠0)的图像是双曲线，当k＞0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内；当 k＜0，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限.
6．C
【解析】
【分析】
根据反比例函数系数k的几何意义知=四边形ABOC的面积.
【详解】
=四边形ABOC的面积=5
∴k=5或-5
又函数图象位于第一象限
∴k=5，则反比例函数解析式为
故选C.
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，本题是中考的重点，同学们应高度重视.
7．B
【解析】
试题分析：设反比例函数的表达式；已知反比例函数的图象过点M（－1，2），则，解得k=-2,所以反比例函数的表达式y=－
考点：反比例函数
点评：本题考查反比例函数，解本题的关键是会用待定系数法求函数解析式，属基础题
8．D
【解析】
【分析】
作交BD的延长线于点E，作轴于点F，计算出AE长度，证明，得出AF长度，设出点A的坐标，表示出点D的坐标，使用，可计算出值．
【详解】
作交BD的延长线于点E，作轴于点F
∵
∴
∴为等腰直角三角形
∵
∴，即
∴DE=AE=
∵BC=AO，且，
∴
∴
∴
∴
设点A，
∴
解得：
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何图形的综合，利用点Ａ和点Ｄ表示出ｋ的计算是解题的关键．
9．8
【解析】
【分析】
作AE⊥OB于E，CM⊥OB于M，DN⊥OB于N，首先证得△COM∽△DBN，得出CM＝2DN，OM＝2BN，设D（，n），C（，2n），进一步得出＝2（5﹣）①，通过证得△COM∽△AOE，根据相似三角形的性质得出CM＝2OM，进一步得出k＝2n2②，把②代入①得，n＝10﹣4n，解得n＝2，即可求得k的值．
【详解】
解：作AE⊥OB于E，CM⊥OB于M，DN⊥OB于N，
∵OA＝OB，
∴∠AOB＝∠ABO，
∵∠CMO＝∠DNB＝90°，
∴△COM∽△DBN，
∴＝＝
∵OC＝2BD，
∴CM＝2DN，OM＝2BN，
设DN＝n，则D（，n），C（，2n），
∵AO＝AB，A点坐标是（，5），
∴OE＝BE＝，OB＝5，AE＝5，
∴AE＝2OE，BN＝5﹣，
∴＝2（5﹣）①，
∵CM∥AE，
∴△COM∽△AOE，
∴＝＝2，
∴CM＝2OM，
∴2n＝2×，
∴k＝2n2②
把②代入①得，n＝10﹣4n，
解得n＝2，
∴k＝2×22＝8，
故答案为8．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，表示出C、D的坐标以及横、纵坐标的关系是解题的关键．
10．4
【解析】
【分析】
根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|=2，再根据反比例函数的图象位于第一象限即可求出k的值．
【详解】
连接OB．
∵AB∥x轴，∴S△AOB=S△ACB=2，根据题意可知：S△AOB|k|=2，又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k=4．
故答案为4．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
11．k＜2.
【解析】
【分析】
由于反比例函数y=（k为常数，k≠3）的图像有一支在第二象限，故k-2＜0，求出k的取值范围即可.
【详解】
∵反比例函数y=（k为常数，k≠3）的图像有一支在第二象限，
∴k-2＜0，
解得k＜2，
故答案为k＜2.
【点睛】
此题考查反比例函数的性质,解题关键在于掌握利用其经过的象限进行解答.
12．增大
【解析】
【分析】
直接把点代入反比例函数求出k的值，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
【详解】
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得k=?10<0，
∴函数图象在每个象限内y随x的增大而增大.
故答案为增大.
【点睛】
此题考查反比例函数的性质，解题关键在于求出k值.
13．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据反比例函数的图象和性质可知2m-1＞0，从而可以解答本题；
（2）根据反比例函数的性质可以判断b1与b2的大小．
【详解】
解：（1）由，得.
（2）由图知，随增大而减小.
又∵，
.
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
14．（1）见解析；（2），见解析；（3），，（元）.
【解析】
【分析】
（1）根据已知各点坐标进而在坐标系中描出即可；
（2）利用各点坐标乘积不变进而得出函数解析式，再画图象；
（3）利用利润=销量×（每件利润），进而得出答案．
【详解】
解：（1）如图：
（2）因为各点坐标xy乘积不变，猜想y与x为形式的反比例函数，
由题提供数据可知固定k值为24，
所以函数表达式为：，
连线如图：
（3）利润 = 销量 ×（每件利润），
利润为T，销量为y，由（2）知，
每件售价为1，则每件利润为x-1，
所以，
当最大时，最小，而此时最大，
根据题意，钥匙扣售价不超过8元，
所以时，（元）.
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数增减性得出函数最值是解题关键．
15．（1）；（2）① ；②
【解析】
【分析】
（1）设点B的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m，n），点D的坐标为（m?6，n），利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m的值，结合OC：CD＝5：3可求出n值，再将m，n的值代入k＝mn中即可求出反比例函数的表达式；
（2）由三角形的面积公式、矩形的面积公式结合S△PAO＝S四边形OABC可求出点P的纵坐标．
①若点P在这个反比例函数的图象上，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；
②由点A，B的坐标及点P的纵坐标可得出AP≠BP，进而可得出AB不能为对角线，设点P的坐标为（t，4），分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑：（i）当AB＝AP时，利用勾股定理可求出t值，进而可得出点P1的坐标，结合P1Q1的长可求出点Q1的坐标；（ii）当BP＝AB时，利用勾股定理可求出t值，进而可得出点P2的坐标，结合P2Q2的长可求出点Q2的坐标．综上，此题得解．
【详解】
解：（1）设点B的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m，n），点D的坐标为（m?6，n）．
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴k＝mn＝（m?6）n，
∴m＝9．
∵OC：CD＝5：3，
∴n：（m?6）＝5：3，
∴n＝5，
∴k＝mn＝×9×5＝15，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）∵S△PAO＝S四边形OABC，
∴OA?yP＝OA?OC，
∴yP＝OC＝4．
①当y＝4时，＝4，
解得：x＝，
∴若点P在这个反比例函数的图象上，点P的坐标为（，4）．
②由（1）可知：点A的坐标为（9，0），点B的坐标为（9，5），
∵yP＝4，yA＋yB＝5，
∴y P≠，
∴AP≠BP，
∴AB不能为对角线．
设点P的坐标为（t，4）．
分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑（如图所示）：
（i）当AB＝AP时，（9?t）2＋（4?0）2＝52，
解得：t1＝6，t2＝12（舍去），
∴点P1的坐标为（6，4），
又∵P1Q1＝AB＝5，
∴点Q1的坐标为（6，9）；
（ii）当BP＝AB时，（9?t）2＋（5?1）2＝52，
解得：t3＝9?2，t4＝9＋2（舍去），
∴点P2的坐标为（9?2，4）．
又∵P2Q2＝AB＝5，
∴点Q2的坐标为（9?2，?1）．
综上所述：点Q的坐标为（6，9）或（9?2，?1）．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、矩形的面积、菱形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出点B的横纵坐标；（2）①由点P的纵坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点P的坐标；②分AP＝AB和BP＝AB两种情况，利用勾股定理及菱形的性质求出点Q的坐标．
16．（1）的坐标为；（2）， ； （3）当时，一次函数的值小于反比例函数的值.
【解析】
【分析】
（1）本题需先根据题意一次函数与y轴的交点，从而得出D点的坐标．
（2）本题需先根据在Rt△COD和Rt△CAP中，，OD=3，再根据S△DBP=27，从而得出BP得长和P点的坐标，即可求出结果．
（3）根据图形从而得出x的取值范围即可．
【详解】
解：（1）∵一次函数与轴相交，
∴令，解得，
∴的坐标为；
（2）∵，
∴，
又∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
故，
把坐标代入，得到，
则一次函数的解析式为：；
把坐标代入反比例函数解析式得，
则反比例解析式为：；
（3）如图：
根据图象可得：，
解得： 或
故直线与双曲线的两个交点为，，
∵，
∴当时，一次函数的值小于反比例函数的值.
【点睛】
本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，在解题时要注意知识的综合运用与图形相结合是解题的关键．
一、单选题
1．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
2．如图，菱形的边轴，垂足为点，顶点在第二象限，顶点在轴的正半轴上，反比例函数 (，)的图像同时经过顶点、，若点的横坐标为1，.则的值为（ ）
A． B．3 C． D．5
3．如图，函数y＝（x＞0）、y＝（x＞0）的图象将第一象限分成了A、B、C三个部分．下列各点中，在B部分的是（ ）
A．（1，1） B．（2，4） C．（3，1） D．（4，3）
4．如图，点在反比例函数，的图像上，点在反比例函数的图像上， 轴于点．且，则的值为（ ）
A．-3 B．-6 C．2 D．6
5．下列关于反比例函数图象的说法：
①y随x的增大而减小；②图象在第一、三象限；③图象是中心对称图形，但不是轴对称图形；④图象与x轴有交点.不正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数的图像经过点若与的面积之差，则的值为( ? ???)
A．2 B．4 C．6 D．8
7．若反比例函数的图像上有两个不同的点关于轴的对称点都在一次函数的图像上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
8．已知反比例函数的图象上有两点A（a-3，2b），B(a，b-2)，且a<0，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点．若菱形的面积为，则____
10．已知点P（m，n）是一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点，则m2+n2的值为_____．
11．若点A（x1，y1），B（x2，y2），是双曲线y=（x＜0）上的点，且x1＜x2，则y1_____y2（填“＞”，“＜”或“=”）．
12．如图，点A（1，a）是反比例函数y＝﹣的图象上一点，直线y＝﹣x+与反比例函数y＝﹣的图象在第四象限的交点为点B，动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，则点P的坐标是_____．
三、解答题
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B（2，n），连结BO，若S△AOB＝4．
（1）求该反比例函数y＝的表达式和直线AB：y＝kx+b对应的函数表达式；
（2）观察在第一象限内的图象，直接写出不等式kx+b＜的解集．
14．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点
（1）求一次函数的关系式；
（2）求的面积；
（3）若点在轴上，且，求点的坐标
16．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在的延长线上，轴，垂足为，与反比例函数的图象相交于点，连接，．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若，设点的坐标为，求线段的长．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
把点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）代入反比例函数的关系式求出y1，y2，y3，比较得出答案．
【详解】
把点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）代入反比例函数y＝的关系式得，
y1＝﹣1.5，y2＝﹣3，y3＝1，
∴y2＜y1＜y3，
故选：D．
【点睛】
考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
2．C
【解析】
【分析】
过点D作DF⊥BC于点F，设BC=x，在Rt△DFC中利用勾股定理列方程即可求出x，然后设OB=a，即可表示出C，D的坐标，再代入可求出a，k的值.
【详解】
解：过点D作DF⊥BC于点F，
∵点D的横坐标为1，
∴BF=DE=1，
∴DF=BE=3DE=3，
设BC=x，则CD=x，CF=x-1，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：，
∴，
解得：x=5.
设OB=a，
则点D坐标为(1，a+3)，点C坐标为(5，a)，
∵点D、C在双曲线上
∴1×(a+3)=5a
∴a=，
∴点C坐标为(5，)，
∴k=.
故选：C.
【点睛】
本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，根据勾股定理列出方程求出BC的长度是本题的关键.
3．C
【解析】
【分析】
根据反比例函数的图象和性质及题意可知，在B部分的点的坐标满足，对其变形，得2＜xy＜6，然后将选项A、B、C、D的坐标值别代入进行对比，符合要求的即是答案.
【详解】
根据题意可知，在B部分的点的坐标满足，
对其变形，得2＜xy＜6.
选项A，（1，1），xy=1，不符合要求；
选项B，（2，4）,，xy=8，不符合要求；
选项C，（3，1），xy=3，符合要求；
选项D，（4，3）,，xy=12，不符合要求.
故选C.
【点睛】
此题考查反比例函数的图象和性质、定义及表达式，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键.
4．B
【解析】
【分析】
先根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知S△AOM，S△BOM=||，则S△AOM：S△BOM=3：|k|，再根据同底的两个三角形面积之比等于高之比，得出S△AOM：S△BOM=AM：MB=1：2，则3：|k|=1：2，然后根据反比例函数的图象所在的象限，即可确定k的值．
【详解】
∵点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点M，∴S△AOM，S△BOM=||，∴S△AOM：S△BOM：||=3：|k|．
∵S△AOM：S△BOM=AM：MB=1：2，∴3：|k|=1：2，∴|k|=6．
∵反比例函数的图象在第四象限，∴k＜0，∴k=﹣6．
故选B．
【点睛】
本题考查了反比例函数y的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度中等，得到3：|k|=1：2，是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标的特征及性质进行判断即可.
【详解】
反比例函数，k=2>0
∴该函数在每个图象上y随x的增大而减小，故①正确；该函数图象在第一、三象限，故②正确；根据反比例函数的图象是双曲线且是关于对称，故③错误；根据反比例函数的图象特征可知与x没有交点，故④错误.
故本题选C.
【点睛】
本题考查当k>0时反比例函数的图象与性质，熟练掌握性质是解题的关键.
6．B
【解析】
【分析】
设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论．
【详解】
设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，
则点B的坐标为(a+b,a?b).
∵点B在反比例函数y=kx的第一象限图象上，
∴(a+b)×(a?b)=a?b=k.
∴S ?S = a?b= (a?b)=.
∵，
∴=2，
∴k=4，
故选B.
【点睛】
此题考查反比例函数的性质，等腰直角三角形，解题关键在于掌握函数图象上点坐标与函数解析式的关系.
7．D
【解析】
【分析】
设反比例函数上有一点A(m，)，则关于x轴对称点B(m，)，代入一次函数可得关于m的一元二次方程，利用判别式来确定b的取值范围．
【详解】
设反比例函数上有一点A(m，)，则关于x轴对称点B(m，)
∵点B在一次函数上，代入得：
化简得：
∵有两个不同的点关于x轴的对称点都在一次函数上
∴关于m的一元二次方程有两个不同的解
∴△=＞0
解得：或
故选：D
【点睛】
本题考查一元二次方程根与判别式的关系，需要用到对称的知识，解题关键是将题目转化为一元二次方程的形式来求解．
8．C
【解析】
【分析】
由a<0可得a-3<0，再根据反比例函数的图象上有两点A(a-3，2b)，B(a，b-2)，继而可得2b<0且b-2<0，从而可得b<0，再由2b=，b-2=，得出a=，a=，继而根据a<0，可得，由此结合b<0即可求得答案.
【详解】
∵a<0，∴a-3<0，
∵反比例函数的图象上有两点A(a-3，2b)，B(a，b-2)，
∴2b=，b-2=，
∴2b<0且b-2<0，∴b<0，
∵2b=，b-2=，
∴a-3=，a=，
即a=，a=，
又a<0，
∴，
∴-1∴-1故选C.
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，解不等式组等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.
9．
【解析】
【分析】
根据题意，可以设出点C和点A的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得k的值，本题得以解决．
【详解】
解：设点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（c，），
则a?＝，点D的坐标为（），
∴
解得，k＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．5
【解析】
【分析】
将P（m，n）代入一次函数y＝﹣x+3和反比例函数的关系式可得，m+n＝3，mn＝2，进而根据完全平方公式将原式变形即可求解．
【详解】
∵点P（m，n）是一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数的图象的一个交点，
∴m+n＝3，mn＝2，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝9﹣4＝5，
故答案为：5．
【点睛】
考查了完全平方公式的应用，一次函数和反比例函数上点的坐标特点，解题关键是利用图象上点的坐标满足函数的解析式．
11．＞
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质，对于反比例函数y=，当x＜0时，函数值y随着x的增大而减小，从而得到答案．
【详解】
点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线y=（x＜0）上的点，
∵x1＜x2，
又∵对于反比例函数y=，当x＜0时，函数值y随着x的增大而减小，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
12．（4，0）
【解析】
【分析】
先把A（1，a）代入反比例函数解析式求出a的值，得到A点坐标，解方程组，得B点坐标，利用待定系数法求出AB的解析式；再设直线AB交x轴于点Q，利用x轴上点的坐标特征得到Q点坐标，则PA﹣PB≤AB（当P、A、B共线时取等号），于是可判断当P点运动到Q点时，线段PA与线段PB之差达到最大，从而得到P点坐标．
【详解】
把A（1，a）代入y＝，得a＝﹣3，则A（1，﹣3），
解方程组，得或，则B（3，﹣1），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（1，﹣3），B（3，﹣1）代入得，
解得，
所以直线AB的解析式为y＝x﹣4；
设直线AB交x轴于点Q，如图，
当y＝0时，x﹣4＝0，解得x＝4，则Q（4，0），
因为PA﹣PB≤AB（当P、A、B共线时取等号），
所以当P点运动到Q点时，线段PA与线段PB之差达到最大，此时P点坐标为（4，0）．
故答案为（4，0）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求直线的解析式以及三角形三边关系定理．
13．（1）y＝，y＝x+2；（2）0＜x＜2．
【解析】
【分析】
（1）根据S△AOB求出n的值，然后将B点坐标带入即可求得反比例函数解析式，利用待定系数法，代入A、B点坐标即可求得直线AB的解析式；
（2）观察函数图像，直线AB在BC段时在反比例函数的下方，因此根据B、C的横坐标即可求解．
【详解】
（1）由A（﹣2，0），得OA＝2；
∵点B（2，n）在第一象限内，S△AOB＝4，
∴OA?n＝4；
∴n＝4；
∴点B的坐标是（2，4）；
∵该反比例函数的解析式为y＝（a≠0），
将点B的坐标代入，得4＝a，
∴a＝8；
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点A，B的坐标分别代入，得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+2；
（2）由于B点坐标为（2，4），可知不等式kx+b＜的解集为：0＜x＜2．
故答案为（1）y＝，y＝x+2；（2）0＜x＜2．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，和一次函数于反比例函数综合，正确的识别示意图是本题的关键．
14．（1）y=；（2）12
【解析】
【分析】
（1）将点A分别代入一次函数与反比例函数，即可求出相应的解析式；
（2）如图，将△AOB的面积转化为△AOC的面积和△BOC的面积和即可求出．
【详解】
（1）解：y=x-b过A(-5，-1)
-1=-5-b；b=-4
y=x-+4
y=过A(-5，-1)，
k=-5×(-1)=5
y=
（2）如下图，直线与y轴交于点C，连接AO，BO
∵直线解析式为：y=x+4
∴C(0，4)，CO=4
由图形可知，
∴．
【点睛】
本题考查一次函数与反比例函数的综合，求△AOB面积的关键是将△AOB的面积转化为△AOC和△BOC的面积和来求解．
15．（1）；（2）2；（3）或．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）求出点的坐标即可解决问题．
（3）设，利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．
【详解】
（1）反比例函数的图象相交于点，
，
把，代入，则有，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）连接．
一次函数的解析式为交轴于，
，
，，
，
（3）设，
由题意：，
或．
【点睛】
考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
16．（1）；（2）3
【解析】
【分析】
（1）把点A（3，2）代入反比例函数y=，即可求出函数解析式；
（2）直线OA的关系式可求，由于点C（a，0），可以表示点B、D的坐标，根据
S△ACD=，建立方程可以解出a的值，进而求出BD的长．
【详解】
解：
（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数；
答：反比例函数的关系式为：；
（2）过点作，垂足为，连接，
设直线的关系式为，将代入得，，
∴直线的关系式为，
∵点，把代入，得：，把代入，得：，
∴），即，
，即
∵，
∴，即，解得：，
∴；
答：线段的长为3．
【点睛】
考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法．
一、单选题
1．（2016·山东烟台·中考真题）反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是（ ）
A．t＜ B．t＞ C．t≤ D．t≥
2．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）在同一坐标系中，若正比例函数与反比例函数的图象没有交点，则与的关系，下面四种表述①；②或；③；④．正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2020·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，是以点为圆心，半径长的圆上一动点，连结，为的中点．若线段长度的最大值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·湖南长沙·中考真题）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
5．（2018·广西玉林·中考真题）如图，点A，B在双曲线y=（x＞0）上，点C在双曲线y=（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC=BC，则AB等于（ ）
A． B．2 C．4 D．3
6．（2018·山东日照·中考真题）已知反比例函数y=﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（ ）个
A．3 B．2 C．1 D．0
7．（2017·山东日照·中考真题）反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2015·江苏苏州·中考真题）若点A（a，b）在反比例函数的图像上，则代数式ab-4的值为（ ）
A．0 B．-2 C．2 D．-6
二、填空题
9．（2008·广东深圳·中考真题）如图，一次函数y=mx与反比例函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM,若=3，则k的值是 .
10．（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与坐标原点重合，点的坐标为（0,3），点在轴的正半轴上．直线分别与边相交于两点，反比例函数的图象经过点并与边相交于点，连接．点是直线上的动点，当时，点的坐标是________________．
11．（2020·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为_____．
12．（2019·湖南益阳·中考真题）反比例函数的图象上有一点P(2，n)，将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝____________．
三、解答题
13．（2020·江苏常州·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．
（1）求a的值及正比例函数的表达式；
（2）若，求的面积．
14．（2020·山东枣庄·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为，连接，求的面积.
15．（2017·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（－3，m＋8），B（n，－6）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
16．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
17．（2020·山东菏泽·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
18．（2018·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
求一次函数和反比例函数的表达式；
请直接写出时，x的取值范围；
过点B作轴，于点D，点C是直线BE上一点，若，求点C的坐标．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出x2﹣2x+1﹣6t=0，又因两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，根据根的判别式以及根与系数的关系可求解．
【详解】
由题意可得：﹣x+2=，
所以x2﹣2x+1﹣6t=0，
∵两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，
∴
解不等式组，得t＞．
故选：B．
点睛：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是利用两个函数的解析式构成方程，再利用一元二次方程的根与系数的关系求解.
2．B
【解析】
【分析】
根据题意得出k1和k2异号，再分别判断各项即可.
【详解】
解：∵同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象没有交点，
若k1＞0，则正比例函数经过一、三象限，从而反比例函数经过二、四象限，
则k2＜0，
若k1＜0，则正比例函数经过二、四象限，从而反比例函数经过一、三象限，
则k2＞0，
综上：k1和k2异号，
①∵k1和k2的绝对值的大小未知，故不一定成立，故①错误；
②或，故②正确；
③，故③正确；
④∵k1和k2异号，则，故④正确；
故正确的有3个，
故选B.
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的图像，绝对值的意义，解题的关键是得到k1和k2异号.
3．A
【解析】
【分析】
连接BP，证得OQ是△ABP的中位线，当P、C、B三点共线时PB长度最大，PB=2OQ=4，设 B点的坐标为（x，-x），根据点，可利用勾股定理求出B点坐标，代入反比例函数关系式即可求出k的值．
【详解】
解：连接BP，
∵直线与双曲线的图形均关于直线y=x对称，
∴OA=OB，
∵点Q是AP的中点，点O是AB的中点
∴OQ是△ABP的中位线，
当OQ的长度最大时，即PB的长度最大，
∵PB≤PC+BC，当三点共线时PB长度最大，
∴当P、C、B三点共线时PB=2OQ=4，
∵PC=1，
∴BC=3，
设B点的坐标为（x，-x），
则，
解得（舍去）
故B点坐标为，
代入中可得：，
故答案为：A．
【点睛】
本题考查三角形中位线的应用和正比例函数、反比例函数的性质，结合题意作出辅助线是解题的关键．
4．A
【解析】
【分析】
由总量=vt，求出v即可．
【详解】
解（1）∵vt=106，
∴v=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
5．B
【解析】
【分析】依据点C在双曲线y=上，AC∥y轴，BC∥x轴，可设C（a，），则B（3a，），A（a，），依据AC=BC，即可得到﹣=3a﹣a，进而得出a=1，依据C（1，1），B（3，1），A（1，3），即可得到AC=BC=2，进而得到Rt△ABC中，AB=2．
【详解】点C在双曲线y=上，AC∥y轴，BC∥x轴，
设C（a，），则B（3a，），A（a，），
∵AC=BC，
∴﹣=3a﹣a，
解得a=1，（负值已舍去）
∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），
∴AC=BC=2，
∴Rt△ABC中，AB=2，
故选B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
6．B
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案．
【详解】
①当x=﹣2时，y=4，即图象必经过点（﹣2，4）；
②k=﹣8＜0，图象在第二、四象限内；
③k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，错误；
④k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，若0＞x＞﹣1，﹣y＞8，故④错误，
故选B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
7．D
【解析】
【分析】
先由反比例函数的图象得到k，b同号，然后分析各选项一次函数的图象即可.
【详解】
∵y=的图象经过第一、三象限，
∴kb＞0，
∴k，b同号，
选项A图象过二、四象限，则k＜0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；
选项B图象过二、四象限，则k＜0，图象经过原点，则b=0，此时，k，b不同号，故此选项不合题意；
选项C图象过一、三象限，则k＞0，图象经过y轴负半轴，则b＜0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；
选项D图象过一、三象限，
则k＞0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b同号，故此选项符合题意；
故选D．
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．
8．B
【解析】
试题解析：∵点（a，b）反比例函数上，
∴b=，即ab=2，
∴原式=2-4=-2．
故选B．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
9．3
【解析】
由反比例函数图象的对称性和反比例函数系数k的几何意义可得：△ABM的面积为△AOM面积的2倍，S△ABM=2S△AOM=|k|．
解：由题意得：S△ABM=2S△AOM=3，S△AOM=，则k=3．
故答案为3．
10．（1，0）或（3，2）
【解析】
【分析】
根据正方形的性质以及一次函数表达式求出点D和点M坐标，从而求出反比例函数表达式，得到点N的坐标，求出MN，设点P坐标为（m，m-1），根据两点间距离表示出CP，得到方程，求解即可．
【详解】
解：∵正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），
∴B（3，3），A（3，0），
∵直线y=x-1分别与边AB，OA相交于D，M两点，
∴可得：D（3，2），M（1，0），
∵反比例函数经过点D，
k=3×2=6，
∴反比例函数的表达式为，令y=3，
解得：x=2，
∴点N的坐标为（2，3），
∴MN==，
∵点P在直线DM上，
设点P的坐标为（m，m-1），
∴CP=，
解得：m=1或3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，2）．
故答案为：（1，0）或（3，2）．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式.
11．-1．
【解析】
【分析】
根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论．
【详解】
解：点，，分别在三个不同的象限，点在第二象限，
点一定在第三象限，
在第一象限，反比例函数的图象经过其中两点，
反比例函数的图象经过，，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．
12．6
【解析】
【分析】
根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数的图象上，即可得出k＝2n＝3(n﹣1)，解出即可．
【详解】
∵点P的坐标为(2，n)，则点Q的坐标为(3，n﹣1)，
依题意得：k＝2n＝3(n﹣1)，
解得：n＝3，
∴k＝2×3＝6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义，解题的关键：由P点坐标表示出Q点坐标．
13．（1）a=2；y=2x；（2）
【解析】
【分析】
（1）已知反比例函数解析式，点A在反比例函数图象上，故a可求；求出点A的坐标后，点A同时在正比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．
（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B点坐标为(b，0)，则D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，可求b值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．
【详解】
（1）已知反比例函数解析式为y=，点A(a，4)在反比例函数图象上,将点A坐标代入，解得a=2，故A点坐标为(2，4)，又∵A点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x．
故a=2；y=2x．
（2）根据第一问的求解结果，以及BD垂直x轴，我们可以设B点坐标为(b，0)，则C点坐标为(b，)、D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B的坐标为(5，0)，D点坐标为(5，10)，C点坐标为(5，)，则在△ACD中，=．
故△ACD的面积为．
【点睛】
（1）本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法是解答本题的关键．
（2）本题根据第一问求解的结果以及BD垂直x轴，利用待定系数法，设B、C、D三点坐标，求出B、C、D三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解．
14．（1）反比例函数的表达式为；（2）的面积为.
【解析】
【分析】
（1）联立两一次函数解出A点坐标，再代入反比例函数即可求解；
（2）联立一次函数与反比例函数求出B点坐标，再根据反比例函数的性质求解三角形的面积.
【详解】
（1）由题意：联立直线方程，可得，故A点坐标为（-2,4）
将A（-2,4）代入反比例函数表达式，有，∴
故反比例函数的表达式为
（2）联立直线与反比例函数，
解得，当时，，故B（-8,1）
如图，过A，B两点分别作轴的垂线，交轴于M、N两点，由模型可知
S梯形AMNB=S△AOB，
∴S梯形AMNB=S△AOB===
【点睛】
此题主要考查一次函数与反比例函数综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数的图像与性质.
15．（1）y=-，y=-2x-4（2）8
【解析】
【分析】
（1）将点A坐标代入反比例函数求出m的值，从而得到点A的坐标以及反比例函数解析式，再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；
（2）设AB与x轴相交于点C，根据一次函数解析式求出点C的坐标，从而得到点OC的长度，再根据S△AOB=S△AOC+S△BOC列式计算即可得解．
【详解】
（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y=得，
=m+8，
解得m=﹣6，
m+8=﹣6+8=2，
所以，点A的坐标为（﹣3，2），
反比例函数解析式为y=﹣，
将点B（n，﹣6）代入y=﹣得，﹣=﹣6，
解得n=1，
所以，点B的坐标为（1，﹣6），
将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y=kx+b得，
，
解得，
所以，一次函数解析式为y=﹣2x﹣4；
（2）设AB与x轴相交于点C，
令﹣2x﹣4=0解得x=﹣2，
所以，点C的坐标为（﹣2，0），
所以，OC=2，
S△AOB=S△AOC+S△BOC，
=×2×2+×2×6，
=2+6，
=8．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
16．（1），2，3（答案不唯一）；（2）见解析；（3）m=﹣4或﹣2或2．
【解析】
【分析】
（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后再求出，只要满足=即可；
（3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．
【详解】
解：（1）∵，
∴，2，3是“和谐三数组”；
故答案为：，2，3（答案不唯一）；
（2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，
∴，，
∴，
∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，
∴，∴，
∴=，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴或或，
即或或，
解得：m=﹣4或﹣2或2．
【点睛】
本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
17．（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）（3，0）或（-5，0）
【解析】
【分析】
（1）将点A坐标代入中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【详解】
（1）将点A（1,2）坐标代入中得：m=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为，
将点B(n，-1)代入中得：
，∴n=﹣2，
∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设点P（x，0），
∵直线交轴于点，
∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），
∴PC=∣x+1∣，
∵的面积是，
∴
∴解得：，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．
18．反比例函数的解析式为，一次函数解析式为：；当或时，；当点C的坐标为或时，．
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法求出k，求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)利用数形结合思想，观察直线在双曲线上方的情况即可进行解答；
(3)根据直角三角形的性质得到∠DAC=30°，根据正切的定义求出CD，分点C在点D的左侧、点C在点D的右侧两种情况解答．
【详解】
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，
则点B的坐标为，
由题意得，，
解得，，
则一次函数解析式为：；
由函数图象可知，当或时，；
，，
，
由题意得，，
在中，，即，
解得，，
当点C在点D的左侧时，点C的坐标为，
当点C在点D的右侧时，点C的坐标为，
当点C的坐标为或时，．
【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、灵活运用分类讨论思想、数形结合思想是解题的关键．
26.1 反比例函数
1．反比例函数的概念
（1）一般地，形如y=__________（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
反比例函数解析式还有其他两种形式：
①y=kx-1（k为常数，k≠0）；
②xy=k（k为常数，k≠0）．
（2）反比例函数y=中的x，y成反比例，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数，若k=0，则y=0恒成立，为一常数函数，失去了反比例函数的意义．
2．用待定系数法求反比例函数的解析式
用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
（1）设——根据题意，设反比例函数的解析式为；
（2）代——把它的一对对应值（x，y）代入中，得到关于k的方程；
（3）解——解方程，求出常数k；
（4）写——把k的值代入反比例函数的解析式中即可写出解析式．
3．反比例函数的图象和性质
（1）反比例函数图象的画法
①列表：自变量的取值以原点O为中心，一般地，在点O的两边分别取三列表对或三对以上互为相反数的数，并计算相应的y值，以表格的形式表示出来；
②描点：以表格中各对对应值为点的坐标，描出各点；
③连线：按照从左到右的顺序用平滑的连线曲线顺次连接各点并向两端延伸．
（2）反比例函数图象的特点
①反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限；
②双曲线有两个分支，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交；
③双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点），又是轴对称图形（对称轴是直线y=x或直线y=-x）．
（3）①自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；
②必须用平滑的曲线连接各点，而不能用折线；
③因为x≠0，y≠0，所以图象不可能经过原点，且与x轴、y轴都没有交点；
④为了更好地反映图象的全貌，要尽可能多地取一些数值，多描一些点．
（4）反比例函数的性质如下表：
反比例函数
k的符号
k>0
k<0
图象
性质
（1）自变量x的取值范围为x≠0；
（2）图象的两个分支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而__________
（1）自变量x的取值范围为x≠0；
（2）图象的两个分支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而__________
4．反比例函数中比例系数k的几何意义
如图，过双曲线上任意一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得长方形PMON的面积S=PM·PN
=|y|·|x|=|xy|．因为，所以xy=k，所以S=|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得长方形的面积为|k|．
K知识参考答案：
1． 3．减小 增大
K—重点
用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质
K—难点
反比例函数中比例系数k的几何意义
K—易错
反比例函数解析式的条件忽略k≠0
一、反比例函数的概念
识别一个函数是不是反比例函数，可对照反比例函数的基本形式或变形形式xy=k（k是常数，k≠0），（k是常数，k≠0）进行筛选．
【例1】下列式子中，表示是的反比例函数的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A．由原式得到y=，符合反比例函数的定义．故本选项正确；
B．该函数式表示y与x2成反比例关系，故本选项错误；
C．该函数式表示y与x成正比例关系，故本选项错误；
D．该函数式表示y与（x+1）成正比例关系，故本选项错误．故选A．
二、用待定系数法求反比例函数的解析式
确定反比例函数解析式的方法是待定系数法，由于在反比例函数中只有一个待定系数，因此只需要一对对应的x，y值或图象上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
【例2】已知反比例函数的图象过点，则该反比例函数的图象位于
一、单选题
1．反比例函数图象的一支如图所示,的面积为2,则该函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，AD，BE两垂线段交于点G．若图中阴影部分的面积为3，则△OAB的面积为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．函数 y＝的图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
4．已知反比例函数,下列结论中不正确的是（ ）
A．其图像分别位于第二、四象限
B．其图像关于原点对称
C．其图像经过点(2，-4)
D．若点都在图像上，且,则
5．若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值可能是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
6．如图，反比例函数的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，AC平行于y轴交x轴于点C，四边形ABOC的面积为5，则反比例函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
7．已知反比例函数的图象过点M（－1，2），则此反比例函数的表达式为
A．y= B．y=－ C．y= D．y=－
8．如图，点D是内一点，与x轴平行，与y轴平行，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是（ ）
A． B．4 C． D．6
二、填空题
9．如图所示，在直角坐标系中，O为原点，等腰△A0B的顶点B在x轴土，AO＝AB，A点坐标是(，5)，反比例函数y＝的图象与AO交于点C，与AB交于点D，且OC＝2BD，则k的值是_____．
10．如图，点B是反比例函数（）图象上一点，过点B作x轴的平行线，交轴于点A，点C是轴上一点，△ABC的面积是2，则=______．
11．已知反比例函数y=（k为常数，k≠2）的图像有一支在第二象限，那么k的取值范围是_______.
12．反比例函数的图像经过点，则在每一个象限内，随的增大而________. (填“增大”或“减小”)
三、解答题
13．反比例函数的图象如图所示，，是该图象上的两点，
（1）求的取值范围；（2）比较与的大小.
14．某商贩出售一批进价为l元的钥匙扣，在销售过程中发现钥匙扣的日销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：
（1）根据表中数据在平面直角坐标系中，描出实数对（x，y）对应的点；
（2）猜想并确定y与x的关系式，并在直角坐标系中画出x>0时的图像；
（3）设销售钥匙扣的利润为T元，试求出T与x之间的函数关系式：若商贩在钥匙扣售价不超过8元的前提下要获得最大利润，试求销售价x和最大利润T．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴的正半轴上，是边上的一点，，.反比例函数在第一象限内的图像经过点，交于点，.
(1)求这个反比例函数的表达式，
(2)动点在矩形内，且满足.
①若点在这个反比例函数的图像上，求点的坐标，
②若点是平面内一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标.
16．已知：如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点.轴于点，轴于点. 一次函数的图象分别交轴、轴于点、点，且，.
（1）求点的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据反比例函数系数k的几何意义, 由△POM的面积为2, 可知|k|=2, 再结合图象所在的象限, 确定k的值, 则函数的解析式即可求出.
【详解】
解:△POM的面积为2,
S=|k|=2,,
又图象在第四象限,
k<0,
k=-4,
反比例函数的解析式为:.
故选D.
【点睛】
本题考查了反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、 坐标轴、 向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系, 即S= |k|.
2．D
【解析】
【分析】
首先根据反比例函数图象上的点与坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积等于|k|，利用阴影部分的面积为3，推导出线段比例关系，比例关系转化为求矩形OFPK的面积，用割补法可求△OAB的面积．
【详解】
解：
设FB与KA的延长线相交于点P，
HM垂直平分EK，
∵A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，
A点向x轴，y轴作垂线段分别是AD、AK
∴s矩形ODAK＝|k|＝9
同理：s矩形OFBE＝9
∵s矩形ODGE＝3
∴s矩形DFBG＝s矩形EGAK＝9﹣3＝6
∵HM垂直平分EK
∴OE＝EH＝HK
∴s矩形OFPK＝3s矩形OFBE＝3×9＝27
且s矩形AGBP＝2s△ABP＝12
即s△ABP＝6
∴s△AOB＝S矩OFPK-S△AOK -S△OFB-S△ABP＝27﹣6﹣9＝12
故选D．
【点睛】
主要考查了反比例函数y＝中的k几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积为，利用割补法求解比较容易.
3．B
【解析】
【分析】
首先根据分式有意义的条件知x≠0，然后分x＞0和x＜0两种情况，根据反比例函数的性质作答．注意本题中函数值y的取值范围．
【详解】
解：当x＞0时，函数y＝即y＝，其图象在第一象限；
当x＜0时，函数y＝即y＝-，其图象在第二象限．
故选B．
【点睛】
反比例函数的性质：反比例函数y= 的图象是双曲线．当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
4．D
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可 ．
【详解】
解：A.反比例函数中，，此函数的图象在二、 四象限， 故本选项说法正确，不合题意；
B.反比例函数的图像是关于原点的中心对称，故本选项说法正确，不合题意；
C.∵，图象必经过点(2，-4)，故本选项说法正确，不合题意；
D.反比例函数中，，此函数的图象在每一象限内随的增大而增大，∴当,在同一象限时则，在不同象限时则， 故本选项错误，符合题意.
故选D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质， 即反比例函数的图象是双曲线：
（1） 当时， 双曲线的两支分别位于第一、 第三象限， 在每一象限内随的增大而减小；
（2） 当，双曲线的两支分别位于第二、 第四象限， 在每一象限内随的增大而增大 ．
5．A
【解析】
【分析】
根据反比例函数的图像与性质解答即可.
【详解】
∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，
∴k<0，
∴k的取值可能是-1.
故选A.
【点睛】
本题考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数(k是常数，k≠0)的图像是双曲线，当k＞0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内；当 k＜0，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限.
6．C
【解析】
【分析】
根据反比例函数系数k的几何意义知=四边形ABOC的面积.
【详解】
=四边形ABOC的面积=5
∴k=5或-5
又函数图象位于第一象限
∴k=5，则反比例函数解析式为
故选C.
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，本题是中考的重点，同学们应高度重视.
7．B
【解析】
试题分析：设反比例函数的表达式；已知反比例函数的图象过点M（－1，2），则，解得k=-2,所以反比例函数的表达式y=－
考点：反比例函数
点评：本题考查反比例函数，解本题的关键是会用待定系数法求函数解析式，属基础题
8．D
【解析】
【分析】
作交BD的延长线于点E，作轴于点F，计算出AE长度，证明，得出AF长度，设出点A的坐标，表示出点D的坐标，使用，可计算出值．
【详解】
作交BD的延长线于点E，作轴于点F
∵
∴
∴为等腰直角三角形
∵
∴，即
∴DE=AE=
∵BC=AO，且，
∴
∴
∴
∴
设点A，
∴
解得：
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何图形的综合，利用点Ａ和点Ｄ表示出ｋ的计算是解题的关键．
9．8
【解析】
【分析】
作AE⊥OB于E，CM⊥OB于M，DN⊥OB于N，首先证得△COM∽△DBN，得出CM＝2DN，OM＝2BN，设D（，n），C（，2n），进一步得出＝2（5﹣）①，通过证得△COM∽△AOE，根据相似三角形的性质得出CM＝2OM，进一步得出k＝2n2②，把②代入①得，n＝10﹣4n，解得n＝2，即可求得k的值．
【详解】
解：作AE⊥OB于E，CM⊥OB于M，DN⊥OB于N，
∵OA＝OB，
∴∠AOB＝∠ABO，
∵∠CMO＝∠DNB＝90°，
∴△COM∽△DBN，
∴＝＝
∵OC＝2BD，
∴CM＝2DN，OM＝2BN，
设DN＝n，则D（，n），C（，2n），
∵AO＝AB，A点坐标是（，5），
∴OE＝BE＝，OB＝5，AE＝5，
∴AE＝2OE，BN＝5﹣，
∴＝2（5﹣）①，
∵CM∥AE，
∴△COM∽△AOE，
∴＝＝2，
∴CM＝2OM，
∴2n＝2×，
∴k＝2n2②
把②代入①得，n＝10﹣4n，
解得n＝2，
∴k＝2×22＝8，
故答案为8．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，表示出C、D的坐标以及横、纵坐标的关系是解题的关键．
10．4
【解析】
【分析】
根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|=2，再根据反比例函数的图象位于第一象限即可求出k的值．
【详解】
连接OB．
∵AB∥x轴，∴S△AOB=S△ACB=2，根据题意可知：S△AOB|k|=2，又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k=4．
故答案为4．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
11．k＜2.
【解析】
【分析】
由于反比例函数y=（k为常数，k≠3）的图像有一支在第二象限，故k-2＜0，求出k的取值范围即可.
【详解】
∵反比例函数y=（k为常数，k≠3）的图像有一支在第二象限，
∴k-2＜0，
解得k＜2，
故答案为k＜2.
【点睛】
此题考查反比例函数的性质,解题关键在于掌握利用其经过的象限进行解答.
12．增大
【解析】
【分析】
直接把点代入反比例函数求出k的值，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
【详解】
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得k=?10<0，
∴函数图象在每个象限内y随x的增大而增大.
故答案为增大.
【点睛】
此题考查反比例函数的性质，解题关键在于求出k值.
13．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据反比例函数的图象和性质可知2m-1＞0，从而可以解答本题；
（2）根据反比例函数的性质可以判断b1与b2的大小．
【详解】
解：（1）由，得.
（2）由图知，随增大而减小.
又∵，
.
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
14．（1）见解析；（2），见解析；（3），，（元）.
【解析】
【分析】
（1）根据已知各点坐标进而在坐标系中描出即可；
（2）利用各点坐标乘积不变进而得出函数解析式，再画图象；
（3）利用利润=销量×（每件利润），进而得出答案．
【详解】
解：（1）如图：
（2）因为各点坐标xy乘积不变，猜想y与x为形式的反比例函数，
由题提供数据可知固定k值为24，
所以函数表达式为：，
连线如图：
（3）利润 = 销量 ×（每件利润），
利润为T，销量为y，由（2）知，
每件售价为1，则每件利润为x-1，
所以，
当最大时，最小，而此时最大，
根据题意，钥匙扣售价不超过8元，
所以时，（元）.
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数增减性得出函数最值是解题关键．
15．（1）；（2）① ；②
【解析】
【分析】
（1）设点B的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m，n），点D的坐标为（m?6，n），利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m的值，结合OC：CD＝5：3可求出n值，再将m，n的值代入k＝mn中即可求出反比例函数的表达式；
（2）由三角形的面积公式、矩形的面积公式结合S△PAO＝S四边形OABC可求出点P的纵坐标．
①若点P在这个反比例函数的图象上，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；
②由点A，B的坐标及点P的纵坐标可得出AP≠BP，进而可得出AB不能为对角线，设点P的坐标为（t，4），分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑：（i）当AB＝AP时，利用勾股定理可求出t值，进而可得出点P1的坐标，结合P1Q1的长可求出点Q1的坐标；（ii）当BP＝AB时，利用勾股定理可求出t值，进而可得出点P2的坐标，结合P2Q2的长可求出点Q2的坐标．综上，此题得解．
【详解】
解：（1）设点B的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m，n），点D的坐标为（m?6，n）．
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴k＝mn＝（m?6）n，
∴m＝9．
∵OC：CD＝5：3，
∴n：（m?6）＝5：3，
∴n＝5，
∴k＝mn＝×9×5＝15，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）∵S△PAO＝S四边形OABC，
∴OA?yP＝OA?OC，
∴yP＝OC＝4．
①当y＝4时，＝4，
解得：x＝，
∴若点P在这个反比例函数的图象上，点P的坐标为（，4）．
②由（1）可知：点A的坐标为（9，0），点B的坐标为（9，5），
∵yP＝4，yA＋yB＝5，
∴y P≠，
∴AP≠BP，
∴AB不能为对角线．
设点P的坐标为（t，4）．
分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑（如图所示）：
（i）当AB＝AP时，（9?t）2＋（4?0）2＝52，
解得：t1＝6，t2＝12（舍去），
∴点P1的坐标为（6，4），
又∵P1Q1＝AB＝5，
∴点Q1的坐标为（6，9）；
（ii）当BP＝AB时，（9?t）2＋（5?1）2＝52，
解得：t3＝9?2，t4＝9＋2（舍去），
∴点P2的坐标为（9?2，4）．
又∵P2Q2＝AB＝5，
∴点Q2的坐标为（9?2，?1）．
综上所述：点Q的坐标为（6，9）或（9?2，?1）．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、矩形的面积、菱形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出点B的横纵坐标；（2）①由点P的纵坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点P的坐标；②分AP＝AB和BP＝AB两种情况，利用勾股定理及菱形的性质求出点Q的坐标．
16．（1）的坐标为；（2）， ； （3）当时，一次函数的值小于反比例函数的值.
【解析】
【分析】
（1）本题需先根据题意一次函数与y轴的交点，从而得出D点的坐标．
（2）本题需先根据在Rt△COD和Rt△CAP中，，OD=3，再根据S△DBP=27，从而得出BP得长和P点的坐标，即可求出结果．
（3）根据图形从而得出x的取值范围即可．
【详解】
解：（1）∵一次函数与轴相交，
∴令，解得，
∴的坐标为；
（2）∵，
∴，
又∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
故，
把坐标代入，得到，
则一次函数的解析式为：；
把坐标代入反比例函数解析式得，
则反比例解析式为：；
（3）如图：
根据图象可得：，
解得： 或
故直线与双曲线的两个交点为，，
∵，
∴当时，一次函数的值小于反比例函数的值.
【点睛】
本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，在解题时要注意知识的综合运用与图形相结合是解题的关键．
一、单选题
1．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
2．如图，菱形的边轴，垂足为点，顶点在第二象限，顶点在轴的正半轴上，反比例函数 (，)的图像同时经过顶点、，若点的横坐标为1，.则的值为（ ）
A． B．3 C． D．5
3．如图，函数y＝（x＞0）、y＝（x＞0）的图象将第一象限分成了A、B、C三个部分．下列各点中，在B部分的是（ ）
A．（1，1） B．（2，4） C．（3，1） D．（4，3）
4．如图，点在反比例函数，的图像上，点在反比例函数的图像上， 轴于点．且，则的值为（ ）
A．-3 B．-6 C．2 D．6
5．下列关于反比例函数图象的说法：
①y随x的增大而减小；②图象在第一、三象限；③图象是中心对称图形，但不是轴对称图形；④图象与x轴有交点.不正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数的图像经过点若与的面积之差，则的值为( ? ???)
A．2 B．4 C．6 D．8
7．若反比例函数的图像上有两个不同的点关于轴的对称点都在一次函数的图像上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
8．已知反比例函数的图象上有两点A（a-3，2b），B(a，b-2)，且a<0，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点．若菱形的面积为，则____
10．已知点P（m，n）是一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点，则m2+n2的值为_____．
11．若点A（x1，y1），B（x2，y2），是双曲线y=（x＜0）上的点，且x1＜x2，则y1_____y2（填“＞”，“＜”或“=”）．
12．如图，点A（1，a）是反比例函数y＝﹣的图象上一点，直线y＝﹣x+与反比例函数y＝﹣的图象在第四象限的交点为点B，动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，则点P的坐标是_____．
三、解答题
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B（2，n），连结BO，若S△AOB＝4．
（1）求该反比例函数y＝的表达式和直线AB：y＝kx+b对应的函数表达式；
（2）观察在第一象限内的图象，直接写出不等式kx+b＜的解集．
14．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点
（1）求一次函数的关系式；
（2）求的面积；
（3）若点在轴上，且，求点的坐标
16．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在的延长线上，轴，垂足为，与反比例函数的图象相交于点，连接，．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若，设点的坐标为，求线段的长．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
把点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）代入反比例函数的关系式求出y1，y2，y3，比较得出答案．
【详解】
把点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）代入反比例函数y＝的关系式得，
y1＝﹣1.5，y2＝﹣3，y3＝1，
∴y2＜y1＜y3，
故选：D．
【点睛】
考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
2．C
【解析】
【分析】
过点D作DF⊥BC于点F，设BC=x，在Rt△DFC中利用勾股定理列方程即可求出x，然后设OB=a，即可表示出C，D的坐标，再代入可求出a，k的值.
【详解】
解：过点D作DF⊥BC于点F，
∵点D的横坐标为1，
∴BF=DE=1，
∴DF=BE=3DE=3，
设BC=x，则CD=x，CF=x-1，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：，
∴，
解得：x=5.
设OB=a，
则点D坐标为(1，a+3)，点C坐标为(5，a)，
∵点D、C在双曲线上
∴1×(a+3)=5a
∴a=，
∴点C坐标为(5，)，
∴k=.
故选：C.
【点睛】
本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，根据勾股定理列出方程求出BC的长度是本题的关键.
3．C
【解析】
【分析】
根据反比例函数的图象和性质及题意可知，在B部分的点的坐标满足，对其变形，得2＜xy＜6，然后将选项A、B、C、D的坐标值别代入进行对比，符合要求的即是答案.
【详解】
根据题意可知，在B部分的点的坐标满足，
对其变形，得2＜xy＜6.
选项A，（1，1），xy=1，不符合要求；
选项B，（2，4）,，xy=8，不符合要求；
选项C，（3，1），xy=3，符合要求；
选项D，（4，3）,，xy=12，不符合要求.
故选C.
【点睛】
此题考查反比例函数的图象和性质、定义及表达式，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键.
4．B
【解析】
【分析】
先根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知S△AOM，S△BOM=||，则S△AOM：S△BOM=3：|k|，再根据同底的两个三角形面积之比等于高之比，得出S△AOM：S△BOM=AM：MB=1：2，则3：|k|=1：2，然后根据反比例函数的图象所在的象限，即可确定k的值．
【详解】
∵点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点M，∴S△AOM，S△BOM=||，∴S△AOM：S△BOM：||=3：|k|．
∵S△AOM：S△BOM=AM：MB=1：2，∴3：|k|=1：2，∴|k|=6．
∵反比例函数的图象在第四象限，∴k＜0，∴k=﹣6．
故选B．
【点睛】
本题考查了反比例函数y的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度中等，得到3：|k|=1：2，是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标的特征及性质进行判断即可.
【详解】
反比例函数，k=2>0
∴该函数在每个图象上y随x的增大而减小，故①正确；该函数图象在第一、三象限，故②正确；根据反比例函数的图象是双曲线且是关于对称，故③错误；根据反比例函数的图象特征可知与x没有交点，故④错误.
故本题选C.
【点睛】
本题考查当k>0时反比例函数的图象与性质，熟练掌握性质是解题的关键.
6．B
【解析】
【分析】
设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论．
【详解】
设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，
则点B的坐标为(a+b,a?b).
∵点B在反比例函数y=kx的第一象限图象上，
∴(a+b)×(a?b)=a?b=k.
∴S ?S = a?b= (a?b)=.
∵，
∴=2，
∴k=4，
故选B.
【点睛】
此题考查反比例函数的性质，等腰直角三角形，解题关键在于掌握函数图象上点坐标与函数解析式的关系.
7．D
【解析】
【分析】
设反比例函数上有一点A(m，)，则关于x轴对称点B(m，)，代入一次函数可得关于m的一元二次方程，利用判别式来确定b的取值范围．
【详解】
设反比例函数上有一点A(m，)，则关于x轴对称点B(m，)
∵点B在一次函数上，代入得：
化简得：
∵有两个不同的点关于x轴的对称点都在一次函数上
∴关于m的一元二次方程有两个不同的解
∴△=＞0
解得：或
故选：D
【点睛】
本题考查一元二次方程根与判别式的关系，需要用到对称的知识，解题关键是将题目转化为一元二次方程的形式来求解．
8．C
【解析】
【分析】
由a<0可得a-3<0，再根据反比例函数的图象上有两点A(a-3，2b)，B(a，b-2)，继而可得2b<0且b-2<0，从而可得b<0，再由2b=，b-2=，得出a=，a=，继而根据a<0，可得，由此结合b<0即可求得答案.
【详解】
∵a<0，∴a-3<0，
∵反比例函数的图象上有两点A(a-3，2b)，B(a，b-2)，
∴2b=，b-2=，
∴2b<0且b-2<0，∴b<0，
∵2b=，b-2=，
∴a-3=，a=，
即a=，a=，
又a<0，
∴，
∴-1
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，解不等式组等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.
9．
【解析】
【分析】
根据题意，可以设出点C和点A的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得k的值，本题得以解决．
【详解】
解：设点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（c，），
则a?＝，点D的坐标为（），
∴
解得，k＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．5
【解析】
【分析】
将P（m，n）代入一次函数y＝﹣x+3和反比例函数的关系式可得，m+n＝3，mn＝2，进而根据完全平方公式将原式变形即可求解．
【详解】
∵点P（m，n）是一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数的图象的一个交点，
∴m+n＝3，mn＝2，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝9﹣4＝5，
故答案为：5．
【点睛】
考查了完全平方公式的应用，一次函数和反比例函数上点的坐标特点，解题关键是利用图象上点的坐标满足函数的解析式．
11．＞
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质，对于反比例函数y=，当x＜0时，函数值y随着x的增大而减小，从而得到答案．
【详解】
点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线y=（x＜0）上的点，
∵x1＜x2，
又∵对于反比例函数y=，当x＜0时，函数值y随着x的增大而减小，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
12．（4，0）
【解析】
【分析】
先把A（1，a）代入反比例函数解析式求出a的值，得到A点坐标，解方程组，得B点坐标，利用待定系数法求出AB的解析式；再设直线AB交x轴于点Q，利用x轴上点的坐标特征得到Q点坐标，则PA﹣PB≤AB（当P、A、B共线时取等号），于是可判断当P点运动到Q点时，线段PA与线段PB之差达到最大，从而得到P点坐标．
【详解】
把A（1，a）代入y＝，得a＝﹣3，则A（1，﹣3），
解方程组，得或，则B（3，﹣1），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（1，﹣3），B（3，﹣1）代入得，
解得，
所以直线AB的解析式为y＝x﹣4；
设直线AB交x轴于点Q，如图，
当y＝0时，x﹣4＝0，解得x＝4，则Q（4，0），
因为PA﹣PB≤AB（当P、A、B共线时取等号），
所以当P点运动到Q点时，线段PA与线段PB之差达到最大，此时P点坐标为（4，0）．
故答案为（4，0）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求直线的解析式以及三角形三边关系定理．
13．（1）y＝，y＝x+2；（2）0＜x＜2．
【解析】
【分析】
（1）根据S△AOB求出n的值，然后将B点坐标带入即可求得反比例函数解析式，利用待定系数法，代入A、B点坐标即可求得直线AB的解析式；
（2）观察函数图像，直线AB在BC段时在反比例函数的下方，因此根据B、C的横坐标即可求解．
【详解】
（1）由A（﹣2，0），得OA＝2；
∵点B（2，n）在第一象限内，S△AOB＝4，
∴OA?n＝4；
∴n＝4；
∴点B的坐标是（2，4）；
∵该反比例函数的解析式为y＝（a≠0），
将点B的坐标代入，得4＝a，
∴a＝8；
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点A，B的坐标分别代入，得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+2；
（2）由于B点坐标为（2，4），可知不等式kx+b＜的解集为：0＜x＜2．
故答案为（1）y＝，y＝x+2；（2）0＜x＜2．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，和一次函数于反比例函数综合，正确的识别示意图是本题的关键．
14．（1）y=；（2）12
【解析】
【分析】
（1）将点A分别代入一次函数与反比例函数，即可求出相应的解析式；
（2）如图，将△AOB的面积转化为△AOC的面积和△BOC的面积和即可求出．
【详解】
（1）解：y=x-b过A(-5，-1)
-1=-5-b；b=-4
y=x-+4
y=过A(-5，-1)，
k=-5×(-1)=5
y=
（2）如下图，直线与y轴交于点C，连接AO，BO
∵直线解析式为：y=x+4
∴C(0，4)，CO=4
由图形可知，
∴．
【点睛】
本题考查一次函数与反比例函数的综合，求△AOB面积的关键是将△AOB的面积转化为△AOC和△BOC的面积和来求解．
15．（1）；（2）2；（3）或．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）求出点的坐标即可解决问题．
（3）设，利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．
【详解】
（1）反比例函数的图象相交于点，
，
把，代入，则有，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）连接．
一次函数的解析式为交轴于，
，
，，
，
（3）设，
由题意：，
或．
【点睛】
考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
16．（1）；（2）3
【解析】
【分析】
（1）把点A（3，2）代入反比例函数y=，即可求出函数解析式；
（2）直线OA的关系式可求，由于点C（a，0），可以表示点B、D的坐标，根据
S△ACD=，建立方程可以解出a的值，进而求出BD的长．
【详解】
解：
（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数；
答：反比例函数的关系式为：；
（2）过点作，垂足为，连接，
设直线的关系式为，将代入得，，
∴直线的关系式为，
∵点，把代入，得：，把代入，得：，
∴），即，
，即
∵，
∴，即，解得：，
∴；
答：线段的长为3．
【点睛】
考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法．
一、单选题
1．（2016·山东烟台·中考真题）反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是（ ）
A．t＜ B．t＞ C．t≤ D．t≥
2．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）在同一坐标系中，若正比例函数与反比例函数的图象没有交点，则与的关系，下面四种表述①；②或；③；④．正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2020·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，是以点为圆心，半径长的圆上一动点，连结，为的中点．若线段长度的最大值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·湖南长沙·中考真题）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
5．（2018·广西玉林·中考真题）如图，点A，B在双曲线y=（x＞0）上，点C在双曲线y=（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC=BC，则AB等于（ ）
A． B．2 C．4 D．3
6．（2018·山东日照·中考真题）已知反比例函数y=﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（ ）个
A．3 B．2 C．1 D．0
7．（2017·山东日照·中考真题）反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2015·江苏苏州·中考真题）若点A（a，b）在反比例函数的图像上，则代数式ab-4的值为（ ）
A．0 B．-2 C．2 D．-6
二、填空题
9．（2008·广东深圳·中考真题）如图，一次函数y=mx与反比例函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM,若=3，则k的值是 .
10．（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与坐标原点重合，点的坐标为（0,3），点在轴的正半轴上．直线分别与边相交于两点，反比例函数的图象经过点并与边相交于点，连接．点是直线上的动点，当时，点的坐标是________________．
11．（2020·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为_____．
12．（2019·湖南益阳·中考真题）反比例函数的图象上有一点P(2，n)，将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝____________．
三、解答题
13．（2020·江苏常州·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．
（1）求a的值及正比例函数的表达式；
（2）若，求的面积．
14．（2020·山东枣庄·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为，连接，求的面积.
15．（2017·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（－3，m＋8），B（n，－6）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
16．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
17．（2020·山东菏泽·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
18．（2018·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
求一次函数和反比例函数的表达式；
请直接写出时，x的取值范围；
过点B作轴，于点D，点C是直线BE上一点，若，求点C的坐标．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出x2﹣2x+1﹣6t=0，又因两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，根据根的判别式以及根与系数的关系可求解．
【详解】
由题意可得：﹣x+2=，
所以x2﹣2x+1﹣6t=0，
∵两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，
∴
解不等式组，得t＞．
故选：B．
点睛：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是利用两个函数的解析式构成方程，再利用一元二次方程的根与系数的关系求解.
2．B
【解析】
【分析】
根据题意得出k1和k2异号，再分别判断各项即可.
【详解】
解：∵同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象没有交点，
若k1＞0，则正比例函数经过一、三象限，从而反比例函数经过二、四象限，
则k2＜0，
若k1＜0，则正比例函数经过二、四象限，从而反比例函数经过一、三象限，
则k2＞0，
综上：k1和k2异号，
①∵k1和k2的绝对值的大小未知，故不一定成立，故①错误；
②或，故②正确；
③，故③正确；
④∵k1和k2异号，则，故④正确；
故正确的有3个，
故选B.
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的图像，绝对值的意义，解题的关键是得到k1和k2异号.
3．A
【解析】
【分析】
连接BP，证得OQ是△ABP的中位线，当P、C、B三点共线时PB长度最大，PB=2OQ=4，设 B点的坐标为（x，-x），根据点，可利用勾股定理求出B点坐标，代入反比例函数关系式即可求出k的值．
【详解】
解：连接BP，
∵直线与双曲线的图形均关于直线y=x对称，
∴OA=OB，
∵点Q是AP的中点，点O是AB的中点
∴OQ是△ABP的中位线，
当OQ的长度最大时，即PB的长度最大，
∵PB≤PC+BC，当三点共线时PB长度最大，
∴当P、C、B三点共线时PB=2OQ=4，
∵PC=1，
∴BC=3，
设B点的坐标为（x，-x），
则，
解得（舍去）
故B点坐标为，
代入中可得：，
故答案为：A．
【点睛】
本题考查三角形中位线的应用和正比例函数、反比例函数的性质，结合题意作出辅助线是解题的关键．
4．A
【解析】
【分析】
由总量=vt，求出v即可．
【详解】
解（1）∵vt=106，
∴v=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
5．B
【解析】
【分析】依据点C在双曲线y=上，AC∥y轴，BC∥x轴，可设C（a，），则B（3a，），A（a，），依据AC=BC，即可得到﹣=3a﹣a，进而得出a=1，依据C（1，1），B（3，1），A（1，3），即可得到AC=BC=2，进而得到Rt△ABC中，AB=2．
【详解】点C在双曲线y=上，AC∥y轴，BC∥x轴，
设C（a，），则B（3a，），A（a，），
∵AC=BC，
∴﹣=3a﹣a，
解得a=1，（负值已舍去）
∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），
∴AC=BC=2，
∴Rt△ABC中，AB=2，
故选B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
6．B
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案．
【详解】
①当x=﹣2时，y=4，即图象必经过点（﹣2，4）；
②k=﹣8＜0，图象在第二、四象限内；
③k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，错误；
④k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，若0＞x＞﹣1，﹣y＞8，故④错误，
故选B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
7．D
【解析】
【分析】
先由反比例函数的图象得到k，b同号，然后分析各选项一次函数的图象即可.
【详解】
∵y=的图象经过第一、三象限，
∴kb＞0，
∴k，b同号，
选项A图象过二、四象限，则k＜0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；
选项B图象过二、四象限，则k＜0，图象经过原点，则b=0，此时，k，b不同号，故此选项不合题意；
选项C图象过一、三象限，则k＞0，图象经过y轴负半轴，则b＜0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；
选项D图象过一、三象限，
则k＞0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b同号，故此选项符合题意；
故选D．
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．
8．B
【解析】
试题解析：∵点（a，b）反比例函数上，
∴b=，即ab=2，
∴原式=2-4=-2．
故选B．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
9．3
【解析】
由反比例函数图象的对称性和反比例函数系数k的几何意义可得：△ABM的面积为△AOM面积的2倍，S△ABM=2S△AOM=|k|．
解：由题意得：S△ABM=2S△AOM=3，S△AOM=，则k=3．
故答案为3．
10．（1，0）或（3，2）
【解析】
【分析】
根据正方形的性质以及一次函数表达式求出点D和点M坐标，从而求出反比例函数表达式，得到点N的坐标，求出MN，设点P坐标为（m，m-1），根据两点间距离表示出CP，得到方程，求解即可．
【详解】
解：∵正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），
∴B（3，3），A（3，0），
∵直线y=x-1分别与边AB，OA相交于D，M两点，
∴可得：D（3，2），M（1，0），
∵反比例函数经过点D，
k=3×2=6，
∴反比例函数的表达式为，令y=3，
解得：x=2，
∴点N的坐标为（2，3），
∴MN==，
∵点P在直线DM上，
设点P的坐标为（m，m-1），
∴CP=，
解得：m=1或3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，2）．
故答案为：（1，0）或（3，2）．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式.
11．-1．
【解析】
【分析】
根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论．
【详解】
解：点，，分别在三个不同的象限，点在第二象限，
点一定在第三象限，
在第一象限，反比例函数的图象经过其中两点，
反比例函数的图象经过，，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．
12．6
【解析】
【分析】
根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数的图象上，即可得出k＝2n＝3(n﹣1)，解出即可．
【详解】
∵点P的坐标为(2，n)，则点Q的坐标为(3，n﹣1)，
依题意得：k＝2n＝3(n﹣1)，
解得：n＝3，
∴k＝2×3＝6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义，解题的关键：由P点坐标表示出Q点坐标．
13．（1）a=2；y=2x；（2）
【解析】
【分析】
（1）已知反比例函数解析式，点A在反比例函数图象上，故a可求；求出点A的坐标后，点A同时在正比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．
（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B点坐标为(b，0)，则D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，可求b值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．
【详解】
（1）已知反比例函数解析式为y=，点A(a，4)在反比例函数图象上,将点A坐标代入，解得a=2，故A点坐标为(2，4)，又∵A点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x．
故a=2；y=2x．
（2）根据第一问的求解结果，以及BD垂直x轴，我们可以设B点坐标为(b，0)，则C点坐标为(b，)、D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B的坐标为(5，0)，D点坐标为(5，10)，C点坐标为(5，)，则在△ACD中，=．
故△ACD的面积为．
【点睛】
（1）本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法是解答本题的关键．
（2）本题根据第一问求解的结果以及BD垂直x轴，利用待定系数法，设B、C、D三点坐标，求出B、C、D三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解．
14．（1）反比例函数的表达式为；（2）的面积为.
【解析】
【分析】
（1）联立两一次函数解出A点坐标，再代入反比例函数即可求解；
（2）联立一次函数与反比例函数求出B点坐标，再根据反比例函数的性质求解三角形的面积.
【详解】
（1）由题意：联立直线方程，可得，故A点坐标为（-2,4）
将A（-2,4）代入反比例函数表达式，有，∴
故反比例函数的表达式为
（2）联立直线与反比例函数，
解得，当时，，故B（-8,1）
如图，过A，B两点分别作轴的垂线，交轴于M、N两点，由模型可知
S梯形AMNB=S△AOB，
∴S梯形AMNB=S△AOB===
【点睛】
此题主要考查一次函数与反比例函数综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数的图像与性质.
15．（1）y=-，y=-2x-4（2）8
【解析】
【分析】
（1）将点A坐标代入反比例函数求出m的值，从而得到点A的坐标以及反比例函数解析式，再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；
（2）设AB与x轴相交于点C，根据一次函数解析式求出点C的坐标，从而得到点OC的长度，再根据S△AOB=S△AOC+S△BOC列式计算即可得解．
【详解】
（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y=得，
=m+8，
解得m=﹣6，
m+8=﹣6+8=2，
所以，点A的坐标为（﹣3，2），
反比例函数解析式为y=﹣，
将点B（n，﹣6）代入y=﹣得，﹣=﹣6，
解得n=1，
所以，点B的坐标为（1，﹣6），
将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y=kx+b得，
，
解得，
所以，一次函数解析式为y=﹣2x﹣4；
（2）设AB与x轴相交于点C，
令﹣2x﹣4=0解得x=﹣2，
所以，点C的坐标为（﹣2，0），
所以，OC=2，
S△AOB=S△AOC+S△BOC，
=×2×2+×2×6，
=2+6，
=8．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
16．（1），2，3（答案不唯一）；（2）见解析；（3）m=﹣4或﹣2或2．
【解析】
【分析】
（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后再求出，只要满足=即可；
（3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．
【详解】
解：（1）∵，
∴，2，3是“和谐三数组”；
故答案为：，2，3（答案不唯一）；
（2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，
∴，，
∴，
∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，
∴，∴，
∴=，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴或或，
即或或，
解得：m=﹣4或﹣2或2．
【点睛】
本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
17．（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）（3，0）或（-5，0）
【解析】
【分析】
（1）将点A坐标代入中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【详解】
（1）将点A（1,2）坐标代入中得：m=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为，
将点B(n，-1)代入中得：
，∴n=﹣2，
∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设点P（x，0），
∵直线交轴于点，
∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），
∴PC=∣x+1∣，
∵的面积是，
∴
∴解得：，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．
18．反比例函数的解析式为，一次函数解析式为：；当或时，；当点C的坐标为或时，．
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法求出k，求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)利用数形结合思想，观察直线在双曲线上方的情况即可进行解答；
(3)根据直角三角形的性质得到∠DAC=30°，根据正切的定义求出CD，分点C在点D的左侧、点C在点D的右侧两种情况解答．
【详解】
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，
则点B的坐标为，
由题意得，，
解得，，
则一次函数解析式为：；
由函数图象可知，当或时，；
，，
，
由题意得，，
在中，，即，
解得，，
当点C在点D的左侧时，点C的坐标为，
当点C在点D的右侧时，点C的坐标为，
当点C的坐标为或时，．
【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、灵活运用分类讨论思想、数形结合思想是解题的关键．