第三章 整式及其加减 3 整式 精讲精练
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第三章 整式及其加减
3 整式
考点知识清单
考点1 单项式的概念
例1 下列各式哪些是单项式？为什么？
，，，，。
思路提示: 单项式中数与字母之间必须是乘积关系，通常把看作结果，而不是除法，即是单项式。含有加减运算关系或字母作除数的均不是单项式.
方法归纳
1.凡字母出现在分母中的式子一定不是单项式.
2.书写单项式时，一定要把数字因数放在字母的前面，乘号可以省略；当数字因数是带分数时要化成假分数。
题组训练
1.下列各式中不是单项式的是（ ）
A. B. C. 0 D.
2.判断下列各式哪些是单项式。
（1）；（2）xyz；（3）b2；（4）－5ab2；（5）y；（6）－xy2；（7）－5.
考点2 单项式的系数和次数
例2 指出下列单项式的系数和次数:
；；；；；；；.
思路提示: （1）单项式的系数即为其数字因数，是负数的不要漏写负号；（2）对只含有一个字母的单项式，字母的指数就是这个单项式的次数；对于有两个或两个以上字母的单项式，所有字母的指数的和就是这个单项式的次数。
方法归纳
单项式中的数字因数是单项式的系数；字母前没有数字因数的，其系数为1或-1；其中要注意π是常数，所以π是系数。
题组训练
3.单项式－ab2的系数是（ ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. 3
4.单项式－3πxy2z3的系数和次数分别是（ ）
A.－π，5 B.－1，6 C.－3π，6 D. －3，7
5.在下列代数式中，次数为3的单项式是（ ）
A. B. C. x?y D. 3xy
6.写出下列各单项式的系数和次数:
30a －x? y ab?c?
系数
次数
考点3 多项式的概念
例3 在代数式2x－y，m，x2－2xy＋3y2，，0，－xy，中，多项式有________________________________。
思路提示: 多项式由几个单项式的和构成，若一个式子中有不是单项式的，则该式子不是多项式，如x＋不是多项式.多项式中含有加减运算，如是由两个单项式，－组成的，故为多项式.
方法归纳
多项式是几个单项式的和，含有加减运算，但不能有以字母为除式的除法运算.
题组训练
7.下列式子:xy2＋1，，a，，其中是多项式的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
考点4 多项式的项
例4 已知多项式－x2y＋5xy－3x＋2y－10。
（1）指出多项式是由哪几个单项式组成的；
（2）第三项的系数和次数分别是多少？
思路提示: 多项式与单项式是“整体与部分”的关系，多项式的项数均由组成它的单项式决定。
方法归纳
多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
注意:多项式的项，包括它前面的符号。
题组训练
8.x2y3－3xy3－2的次数和项数分别为（ ）
A. 5，3 B. 5，2 C. 2，3 D. 3，3
9.多项式3x2－2x－1的各项分别是（ ）
A. 3x2，2x，1 B. 3x2，－2x，1 C. －3x2，2x，－1 D. 3x2，－2x，－1
考点5 整式
例5 下列代数式中，哪些是整式？
①x2＋y2；②－x；③；④6xy＋1；⑤；⑥0；⑦。
思路提示: 一个整式不是单项式就是多项式，区分一个式子是否为整式的关键是看分母中是否含有字母。
方法归纳
判断一个式子是不是整式，只需看它是否为单项式或多项式，并非所有的代数式都是整式，整式中分母不含字母。
题组训练
10.下列式子中，不是整式的是（ ）
A. B. C. D.
11.在代数式－2x?，3xy，，－，0，mx－ny中，整式的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
12.下列代数式中，哪些是整式？
①x?；②＋6；③ax?－y；④－4；⑤5x?－y＋2；⑥。
提分突破
A 基础巩固
1.下列关于单项式－xy2的说法中，正确的是（ ）
A.系数是3，次数是2 B.系数是，次数是2
C.系数是，次数是3 D.系数是－，次数是3
2.下列式子中不是整式的是（ ）
A. －23x B. 0 C. 12x＋5y D.
3.代数式5abc，－7x2＋1，－x，21，中，单项式共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.在多项式2x?－xy?＋18中，次数最高的项是（ ）
A. 2 B. 18 C. 2x? D. －xy?
5.组成多项式2x?－x－3的单项式是下列儿组中的（ ）
A. 2x2，x，3 B. 2x2，－x，－3 C. 2x2，x，－3 D. 2x2，－x，3
6.若单项式的次数是8，则m的值是（ ）
A. 8 B. 6 C. 5 D. 15
7.下列说法中，正确的是（ ）
A. 2不是单项式 B. －ab?的系数是－1，次数是3
C. 6πx?的系数是6 D. 的系数是－2
8.找出下列各式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数。
（1）；（2）5a＋2b；（3）－y；（4）x2y；（5）25x7.
9.指出下列多项式的项:
（1）3x－1＋3x2；（2）4x3＋2x－2y2；（3）x－by3。
B 综合运用
10.的系数与次数的积为______________。
.11.已知单项式6x2y4与－3a2bm＋2的次数相同，则m2－2m的值为___________。
12.在a2＋（2k－6）ab＋b2＋9中，不含ab项，则k＝__________。
13.把下列代数式分别填在相应的括号内
2－ab；－3a?＋；；－4；－a；；－2a?＋3a＋1；；πa＋1；。
（1）单项式: { }；
（2）多项式:｛ ｝；
（3）整式:{ }。
14.已知－mxmy是关于x，y的七次单项式，求m的值及单项式的系数.
C 拓展探究
15.观察下列单项式:－x，3x2，－5x3，7x4，…，－37x19，39x20，…写出第n个单项式，为解这个问题，特提供下面的解题思路。
（1）这组单项式的系数的符号、绝对值规律是什么？
（2）这组单项式的次数的规律是什么？
（3）根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？
（4）请你根据猜想，请写出第2014个，第2015个单项式。
参考答案
考点1
例1 解: a，πr?，－3xy?z是单项式，它们都是数与字母的积；x＋1与不是单项式，因为它们都含有加法运算.
题组训练
1.D
2.解:（2）（3）（4）（5）（6）（7）是单项式
考点2
例2 解:的系数是，次数是2；－mx的系数是－1，次数是2；的系数是，次数是3；710xyz2的系数是710，次数是4；27的系数是27，次数是0；5a的系数是5，次数是1；x?的系数是1，次数是3；2πR的系数是2π，次数是1.
题组训练
3.B 4.C 5.B
6.解:填表如下:
30a －x? y ab?c?
πr?
系数 30 －1 1 1 － π
次数 1 3 1 6 4 2
考点3
例3 解: 2x－y，x2－2xy＋3y2，。
题组训练
7.B
考点4
例4 解:（1）－x2y，5xy，－3x，2y，－10；（2）－3，1。
题组训练
8.A 9.D
考点5
例5 解: ①x?＋y?是整式；②－x是整式；③是整式；④6xy＋1是整式；⑤不是整式；⑥0是整式；⑦不是整式。
题组训练
10.C 11.D
12.解:①③④⑤是整式
【提分突破】
A基础巩固
1.D 2.D 3.C 4.D 5.B 6.C 7.B
8.解:（1）（3）（4）（5）符合单项式的定义，是单项式；（2）是两个单项式的和，为多项式.（1）的系数是，次数是1；（3）－y的系数是－1，次数是1；（4）x2y的系数是，次数是3.（5）25x7的系数是25，次数是7.
9.解:（1）多项式的项为3x，－1，3x2；（2）多项式的项为4x3，2x，－2y?；（3）多项式的项为x，－by3。
B 综合运用
10. 11.0 12.3
13.解:（1）单项式:｛，－4，－a｝；
（2）多项式:｛2－ab；－3a?＋；－2a?＋3a＋1；；πa＋1；｝；
（3）整式:{ 2－ab；－3a?＋；；－4；－a；－2a?＋3a＋1；；πa＋1；}。
14.解:因为－mxmy是关于x，y的七次单项式，所以m＝6，则系数为－m＝－3.即m的值为6，系数为－3.
C 拓展探究
15.解:（1）数字为－1，3，－5，7，－9，11，…，为奇数且奇次项为负数，可得规律:（－1）n（2n－1）；字母因数为x，x2，x3，x4，x5，x6，…，可得规律:xn，故单项式的系数的符号是:（－1）n（或负号正号依次出现），绝对值规律是:2n－1（或从1开始的连续奇数）.
（2）易得，这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数.
（3）第n个单项式是（－1）n（2n－1）xn。
（4）把n＝2014、n＝2015直接代入解析式即可得到:第2014个单项式是4027x2014；第2015个单项式是－4029x2015.
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第三章 整式及其加减
3 整式
考点知识清单
考点1 单项式的概念
例1 下列各式哪些是单项式？为什么？
，，，，。
思路提示: 单项式中数与字母之间必须是乘积关系，通常把看作结果，而不是除法，即是单项式。含有加减运算关系或字母作除数的均不是单项式.
方法归纳
1.凡字母出现在分母中的式子一定不是单项式.
2.书写单项式时，一定要把数字因数放在字母的前面，乘号可以省略；当数字因数是带分数时要化成假分数。
题组训练
1.下列各式中不是单项式的是（ ）
A. B. C. 0 D.
2.判断下列各式哪些是单项式。
（1）；（2）xyz；（3）b2；（4）－5ab2；（5）y；（6）－xy2；（7）－5.
考点2 单项式的系数和次数
例2 指出下列单项式的系数和次数:
；；；；；；；.
思路提示: （1）单项式的系数即为其数字因数，是负数的不要漏写负号；（2）对只含有一个字母的单项式，字母的指数就是这个单项式的次数；对于有两个或两个以上字母的单项式，所有字母的指数的和就是这个单项式的次数。
方法归纳
单项式中的数字因数是单项式的系数；字母前没有数字因数的，其系数为1或-1；其中要注意π是常数，所以π是系数。
题组训练
3.单项式－ab2的系数是（ ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. 3
4.单项式－3πxy2z3的系数和次数分别是（ ）
A.－π，5 B.－1，6 C.－3π，6 D. －3，7
5.在下列代数式中，次数为3的单项式是（ ）
A. B. C. x?y D. 3xy
6.写出下列各单项式的系数和次数:
30a －x? y ab?c?
系数
次数
考点3 多项式的概念
例3 在代数式2x－y，m，x2－2xy＋3y2，，0，－xy，中，多项式有________________________________。
思路提示: 多项式由几个单项式的和构成，若一个式子中有不是单项式的，则该式子不是多项式，如x＋不是多项式.多项式中含有加减运算，如是由两个单项式，－组成的，故为多项式.
方法归纳
多项式是几个单项式的和，含有加减运算，但不能有以字母为除式的除法运算.
题组训练
7.下列式子:xy2＋1，，a，，其中是多项式的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
考点4 多项式的项
例4 已知多项式－x2y＋5xy－3x＋2y－10。
（1）指出多项式是由哪几个单项式组成的；
（2）第三项的系数和次数分别是多少？
思路提示: 多项式与单项式是“整体与部分”的关系，多项式的项数均由组成它的单项式决定。
方法归纳
多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
注意:多项式的项，包括它前面的符号。
题组训练
8.x2y3－3xy3－2的次数和项数分别为（ ）
A. 5，3 B. 5，2 C. 2，3 D. 3，3
9.多项式3x2－2x－1的各项分别是（ ）
A. 3x2，2x，1 B. 3x2，－2x，1 C. －3x2，2x，－1 D. 3x2，－2x，－1
考点5 整式
例5 下列代数式中，哪些是整式？
①x2＋y2；②－x；③；④6xy＋1；⑤；⑥0；⑦。
思路提示: 一个整式不是单项式就是多项式，区分一个式子是否为整式的关键是看分母中是否含有字母。
方法归纳
判断一个式子是不是整式，只需看它是否为单项式或多项式，并非所有的代数式都是整式，整式中分母不含字母。
题组训练
10.下列式子中，不是整式的是（ ）
A. B. C. D.
11.在代数式－2x?，3xy，，－，0，mx－ny中，整式的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
12.下列代数式中，哪些是整式？
①x?；②＋6；③ax?－y；④－4；⑤5x?－y＋2；⑥。
提分突破
A 基础巩固
1.下列关于单项式－xy2的说法中，正确的是（ ）
A.系数是3，次数是2 B.系数是，次数是2
C.系数是，次数是3 D.系数是－，次数是3
2.下列式子中不是整式的是（ ）
A. －23x B. 0 C. 12x＋5y D.
3.代数式5abc，－7x2＋1，－x，21，中，单项式共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.在多项式2x?－xy?＋18中，次数最高的项是（ ）
A. 2 B. 18 C. 2x? D. －xy?
5.组成多项式2x?－x－3的单项式是下列儿组中的（ ）
A. 2x2，x，3 B. 2x2，－x，－3 C. 2x2，x，－3 D. 2x2，－x，3
6.若单项式的次数是8，则m的值是（ ）
A. 8 B. 6 C. 5 D. 15
7.下列说法中，正确的是（ ）
A. 2不是单项式 B. －ab?的系数是－1，次数是3
C. 6πx?的系数是6 D. 的系数是－2
8.找出下列各式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数。
（1）；（2）5a＋2b；（3）－y；（4）x2y；（5）25x7.
9.指出下列多项式的项:
（1）3x－1＋3x2；（2）4x3＋2x－2y2；（3）x－by3。
B 综合运用
10.的系数与次数的积为______________。
.11.已知单项式6x2y4与－3a2bm＋2的次数相同，则m2－2m的值为___________。
12.在a2＋（2k－6）ab＋b2＋9中，不含ab项，则k＝__________。
13.把下列代数式分别填在相应的括号内
2－ab；－3a?＋；；－4；－a；；－2a?＋3a＋1；；πa＋1；。
（1）单项式: { }；
（2）多项式:｛ ｝；
（3）整式:{ }。
14.已知－mxmy是关于x，y的七次单项式，求m的值及单项式的系数.
C 拓展探究
15.观察下列单项式:－x，3x2，－5x3，7x4，…，－37x19，39x20，…写出第n个单项式，为解这个问题，特提供下面的解题思路。
（1）这组单项式的系数的符号、绝对值规律是什么？
（2）这组单项式的次数的规律是什么？
（3）根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？
（4）请你根据猜想，请写出第2014个，第2015个单项式。
参考答案
考点1
例1 解: a，πr?，－3xy?z是单项式，它们都是数与字母的积；x＋1与不是单项式，因为它们都含有加法运算.
题组训练
1.D
2.解:（2）（3）（4）（5）（6）（7）是单项式
考点2
例2 解:的系数是，次数是2；－mx的系数是－1，次数是2；的系数是，次数是3；710xyz2的系数是710，次数是4；27的系数是27，次数是0；5a的系数是5，次数是1；x?的系数是1，次数是3；2πR的系数是2π，次数是1.
题组训练
3.B 4.C 5.B
6.解:填表如下:
30a －x? y ab?c?
πr?
系数 30 －1 1 1 － π
次数 1 3 1 6 4 2
考点3
例3 解: 2x－y，x2－2xy＋3y2，。
题组训练
7.B
考点4
例4 解:（1）－x2y，5xy，－3x，2y，－10；（2）－3，1。
题组训练
8.A 9.D
考点5
例5 解: ①x?＋y?是整式；②－x是整式；③是整式；④6xy＋1是整式；⑤不是整式；⑥0是整式；⑦不是整式。
题组训练
10.C 11.D
12.解:①③④⑤是整式
【提分突破】
A基础巩固
1.D 2.D 3.C 4.D 5.B 6.C 7.B
8.解:（1）（3）（4）（5）符合单项式的定义，是单项式；（2）是两个单项式的和，为多项式.（1）的系数是，次数是1；（3）－y的系数是－1，次数是1；（4）x2y的系数是，次数是3.（5）25x7的系数是25，次数是7.
9.解:（1）多项式的项为3x，－1，3x2；（2）多项式的项为4x3，2x，－2y?；（3）多项式的项为x，－by3。
B 综合运用
10. 11.0 12.3
13.解:（1）单项式:｛，－4，－a｝；
（2）多项式:｛2－ab；－3a?＋；－2a?＋3a＋1；；πa＋1；｝；
（3）整式:{ 2－ab；－3a?＋；；－4；－a；－2a?＋3a＋1；；πa＋1；}。
14.解:因为－mxmy是关于x，y的七次单项式，所以m＝6，则系数为－m＝－3.即m的值为6，系数为－3.
C 拓展探究
15.解:（1）数字为－1，3，－5，7，－9，11，…，为奇数且奇次项为负数，可得规律:（－1）n（2n－1）；字母因数为x，x2，x3，x4，x5，x6，…，可得规律:xn，故单项式的系数的符号是:（－1）n（或负号正号依次出现），绝对值规律是:2n－1（或从1开始的连续奇数）.
（2）易得，这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数.
（3）第n个单项式是（－1）n（2n－1）xn。
（4）把n＝2014、n＝2015直接代入解析式即可得到:第2014个单项式是4027x2014；第2015个单项式是－4029x2015.
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