27.1 图形的相似-2020-2021学年九年级数学下册同步课堂帮帮帮（人教版）
文档属性
| 名称 | 27.1 图形的相似-2020-2021学年九年级数学下册同步课堂帮帮帮（人教版） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 3.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-23 11:39:57 | ||
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文档简介
第27章 相似
27.1 图形的相似
1．相似图形的定义
（1）我们把形状相同的图形叫做__________．
（2）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形__________得到．
（3）全等图形可以看成是一种特殊的相似图形，即不仅形状相同，大小也相等．
2．比例线段
（1）对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如（即ad=bc），我们就说这四条线段__________．
（2）比例的相关性质
①比例的基本性质：若，则__________；若ad=bc（bd≠0），则．
②比例的有关性质：
合比性质：若，则或（a+b，c+d均不为0）．
分比性质：若，则或（a–b，c–d均不为0）
更比性质：若，则或（a，b，c，d均不为0）．
等比性质：若，则．
3．相似多边形
（1）两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做__________．
（2）相似多边形对应边的比叫做__________．
K知识参考答案：
1．（1）相似图形；（2）放大或缩小；
2．（1）成比例；（2）ad=bc．
3．（1）相似多边形；（2）相似比．
K—重点
了解线段的比和成比例的线段
K—难点
相似多边形的有关性质
K—易错
求线段的比时，线段的长度单位不一致；找错相似多边形的对应边
一、相似图形
判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与图形的大小、位置无关，这也是相似图形的本质．
【例1】下列四组图形中，不是相似图形的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，故不符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，故不符合题意；
D、形状不相同，不符合相似图形的定义，故符合题意；
故选D．
【例2】下列各组图形一定相似的是
A．各有一角是70°的两个等腰三角形
B．任意两个等边三角形
C．任意两个矩形
D．任意两个菱形
【答案】B
【解析】A、各有一角是70°的两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似；
B、两个等边三角形相似对应边的比相等，对应角相等，一定相似；
C、两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似；
D、任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似；
故选B．
二、比例线段
一般地，四条线段a，b，c，d的单位应该一致，有时为了计算方便，a，b的单位一致，c，d的单位一致也可以．
【例3】下列线段（单位：cm）成比例的是
A．1，2，3，4 B．5，6，7，8
C．1，2，2，4 D．3，5，6，9
【答案】C
【解析】A、1×4≠2×3，故四条线段不成比例；
B、5×8≠7×6，故四条线段不成比例；
C、1×4=2×2，故四条线段成比例；
D、3×9≠5×6，故四条线段不成比例．
故选C．
三、相似多边形
两个多边形相似，必须同时具备两个条件：（1）角分别相等；（2）边成比例．
【例4】下列说法正确的是
A．对应边成比例的多边形都相似
B．四个角对应相等的梯形都相似
C．有一个角相等的两个菱形相似
D．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似
【答案】C
【解析】A、对应边成比例且对应角相等的多边形都相似，故原说法错误；
B、四个角对应相等且对应边成比例的梯形都相似，故原说法错误；
C、有一个角相等即可利用菱形的性质得到其余的角对应相等，且对应边的比相等，故这样的菱形相似，正确；
D、有一个锐角相等的两个等腰三角形不一定相似，故原说法错误．
故选C．
一、单选题
1．已知两数x，y，且3x＝2y，则下列结论一定正确的是（ ）
A．， B． C． D．
2．如图，若正方形A1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．一个运动场的实际面积是6400m2，它在比例尺为1∶1000的地图上的面积是（ ）
A．6.4cm2 B．640cm2 C．64cm2 D．8cm2
4．下列图形中不是相似关系的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
5．如图，已知，那么下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若：，则（ ）
A． B． C． D．
7．下面给出了相似的一些命题：
菱形都相似；等腰直角三角形都相似；
正方形都相似；矩形都相似；正六边形都相似；
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的，称为第次操作，折痕到的距离记为；还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第次操作，折痕到的距离记为；按上述方法不断操作下去…，经过第次操作后得到的折痕，到的距离记为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知：（a≠0），则＝_____．
10．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一小题计分．
（1）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为_____．
（2）如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（请填写正确答案的序号）_____．
11．已知线段AB，点C是靠近B点的AB的黄金分割点．点G是靠近点A的黄金分割点，则 =________．
12．已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，且它们的对应边的比为3:4，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长之比为______，面积之比为______.
三、解答题
13．已知：如图，点、在的边上，点在边上，且，．
求证：．
14．已知，如图，AB、DE是直立在地面上的两根立柱，AB=12m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=4m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影．
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长6m，请你计算DE的长．
15．如图，在中，、分别是和上的点，且．
(1)若，，，求的长．
(2)若，，，求的长．
16．如图，中，，，．点从点出发沿折线以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，点从点出发沿以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，点，同时出发，当其中一点到达点时停止运动，另一点也随之停止．设点，运动的时间是秒（）．
发现：
（1）__________；
（2）当点，相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时的长．
探究：
（1）当时，的面积为_________；
（2）点，分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
拓展：当时，直接写出此时的值．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据比例的性质化简求解即可．
【详解】
∵3x＝2y
∴
等式两侧同时加1，得
变形得
故选C．
【点睛】本题考查了等式的性质和比例的性质，关键是将原式根据比例的性质进行变形，然后根据等式的性质求解．
2．B
【解析】
【分析】
根据相似多边形的性质进行求解即可.
【详解】
解:
图形中正方形A1B1C1D1和正方形ABCD一定相似,OF,OF1分别是两个正方形的边心距, △OC1F 是等腰直角三角形, 因而OF: OC1=因而则的值为 .
故选B.
【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，边数相同的正多边形一定相似, 边心距的比, 半径的比都等于相似比.
3．C
【解析】
【分析】
面积比是比例尺的平方比.根据题意进行计算即可得出地图上的面积.
【详解】
解:根据面积比是比例尺的平方比,得:图上面积是
64001000000=0.0064()=64(),所以C选项是正确的.
【点睛】本题主要考查相似图形具有的性质，其中相似图形的面积比等于相似比的平方.
4．D
【解析】
【分析】
根据相似图形的定义, 结合图形, 通过比较得到正确结果.
【详解】
解: 观察比较图形, , A, B, C选项中的图案的形状相同, 是相似图形, D选项中的两个图案的形状不相同, 所以不是相似图形, 故根据相似形的定义可知: 不相似的图形是D.
【点睛】本题主要考查相似图形的定义.
5．B
【解析】
【分析】
已知AB//CD//EF, 根据平行线分线段成比例定理, 对各项进行分析即可.
【详解】
解：由AB//CD//EF,
有,故B不正确．
故选B.
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理, 找准对应关系, 避免错选其他答案.
6．C
【解析】
【分析】
根据比例式的分比性质计算即可。
【详解】
解：已知：，即，
，，
故：a:b=15:14,
故选C.
【点睛】本题主要考查比例式的性质, 关键在于熟练运用比例式的分比性质, 认真的进行计算.
7．B
【解析】
【分析】
菱形和矩形不一定都相似，但是等腰直角三角形正方形和正六边形都相似.
【详解】
可以令矩形一边长固定，另一边长增加一倍，容易知道两矩形不相似，对于菱形，可以变换边与边之间的夹角，容易看出两菱形不相似.等腰直角三角形正方形和正六边形无论怎么变都相似，故正确的有3个.
【点睛】理解四边形的性质是解题的关键.
8．B
【解析】
【分析】
根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA'=DB，从而可得∠ADA'=2∠B，结合折叠的性质可得∠ADA'=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得A A1⊥BC，得到AA1=2，求出h1=2-1=1，同理，h2=2-，h3=2-×=2-，经过第n次操作后得到的折痕Dn-1En-1到BC的距离hn=2-．
【详解】
解：由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA=DA1，
又∵D是AB中点，
∴DA=DB，
∴DB=DA1，
∴∠BA1D=∠B，
∴∠ADA1=2∠B，
又∵∠ADA1=2∠ADE，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴AA1⊥BC，
∴AA1=2h1=2，
∴h1=2-1=1，
同理，h2=2-，h3=2-×=2-
…
∴经过第n次操作后得到的折痕Dn-1En-1到BC的距离hn=2-．
∴h2019=．
故选B．
【点睛】本题考查平面图形的有规律变化，三角形中位线的性质，平行线等分线段定理，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
9．
【解析】
【分析】
利用比例的性质可直接得结论．
【详解】
∵＝﹣，
∴＝﹣．
故答案为:﹣．
【点睛】本题考查了比例的性质，若a:b=c:d(b、d≠0)，则有：①ad=bc（即比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积），②b:a=d:c（a、c≠0）（交换比较，结果仍然相等），③a:c=b:d、c:a=d:b，④(a+b) :b=(c+d) :d，⑤a:(a+b)=c:(c+d) ( a+b≠0，c+d≠0)，⑥(a-b):(a+b)=(c-d):(c+d) ( a+b≠0，c+d≠0) ．
10．15 ②．
【解析】
【分析】
(1)解原方程可得方程的两根，=3,=6，根据三角形的性质“两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”，可得腰为6,底边长为3，可得周长；
（2）根据图形相似要求对应角相等、对应边成比例可得答案.
【详解】
解：(1)方程因式分解可得:(x-3)(x-6)=0,故原方程的解为=3,=6,
两个根是等腰三角形的底和腰, 根据构成三角形的条件“两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”,
可得等腰三角形的腰为6, 底边长为3, 所以这个等腰三角形的周长为6+6+3=15，
故本题正确答案为15.
（2）图形相似即要求对应角相等、对应边成比例,
等边三角形的三个内角都是60,三条边都相等,故①中的图形相似;
矩形的四个内角都是90,对边相等,所以对应边不一定成比例,故②中的图形不一定相似;
正方形的四个内角都是90,四条边都相等,故③中的图形相似;
菱形的对角相等, 四条边都相等, 故④中的图形相似;
故答案为②.
【点睛】(1)本题主要考查一元二次方程和等腰三角形.
(2)本题考查图形相似的性质：图形相似要求对应角相等、对应边成比例.
11．1
【解析】
【分析】
根据黄金分割点的概念进行计算, 其中较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍.
【详解】
解: 由黄金分割的公式:较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍.
BC=AB,AG=AB,
=1,
故答案：1.
【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算. 把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值()叫做黄金比.
12．3:4 9:16
【解析】
【分析】
由相似多边形对应边周长的比等于相似比, 可知四边形ABCD与四边形A' B' C' D' 的周长比;
由相似多边形的面积比等于相似比的平方，可得四边形ABCD与四边形A' B' C' D' 的面积比.
【详解】
解: 四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，且它们的对应边的比为3:4,
四边形ABCD与四边形A' B' C' D' 的周长之比为3:4,
四边形ABCD与四边形A' B' C' D' 的面积之比9:16，
故答案：3:4 ； 9:16
【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，其中相似多边形的周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方.
13．证明见解析
【解析】
【分析】
由平行线分线段成比例可以得到，
则根据等量代换可以推知，即.
【详解】
∵
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例.注意找准对应关系,以防错解.
14．（1）见解析；（2）DE的长18米
【解析】
【分析】
(1)利用平行投影的性质得出即可;
(2)利用同一时刻影长与实际物体比值相等进而求出即可.
【详解】
解：（1）如图所示：
EM即为所求；
（2）∵AB=12m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=4m，
DE在阳光下的投影长6m，
∴设DE的长为xm，
则 ，
解得：x=18，
答：DE的长18米．
【点睛】此题主要考查了平行投影的性质,利用相同时刻影长与实际物体的关系得出是解题关键.
15．(1)；(2)．
【解析】
【分析】
(1)根据平行线分线段成比例,可以求得AE的长;
(2)根据平行线分线段成比例,可以求得AC的长,从而可以求得EC的长.
【详解】
(1)∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得，；
(2)）∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得，，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例.
16．发现（1）5；（2）相遇点在边上，AP＝1；探究：（1）1；（2）不能，理由见解析；拓展：
【解析】
【分析】
发现：（1）在中应用勾股定理即可求解；
（2）P和Q相遇时可得方程，求得t后，即可进一步AP的长；
探究：（1）求出当时PC和CQ的长，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）用t列出的面积表达式，然后和面积的一半列出方程，进行求解即可判断；
拓展：根据题意作出示意图，然后根据平行线截线段成比例列出方程，解方程即可求出t的值．
【详解】
发现：（1）在中，
∴AB=5；
（2）点P运动到B需要：s
点Q运动到B点需要：s
当点相遇时，有．解得．
∴相遇点在边上，
此时．
探究：（1）当时，PC=1，BQ=2，即CQ=2
∴
故答案为1；
（2）不能
理由：若的面积是面积的一半，
即，化为．
∵，
∴方程没有实数根，
即的面积不能是面积的一半．
拓展：由题可知，点先到达边，当点还在边上时，存在，如图所示．
这时，．
∵，，
∴．
解得，
即当时，．
【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次方程中的动点问题，平行线截线段成比例，一元二次方程的判别式，题目较难，综合性较强，熟练掌握不同模块知识点是本题的关键．
一、单选题
1．如图，直线a，b，c分别与直线m，n交于点A，B，C，D，E，F，直线a∥b∥c，若AB＝2，BC＝3，则 的值为( )
A． B． C． D．
2．如图，在矩形ABCD中，将△ABE沿着BE翻折，使点A落在BC边上的点F处，再将△DEG沿着EG翻折，使点D落在EF边上的点H处． 若点A，H，C在同一直线上，AB=1，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
3．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，，将矩形对折，得到折痕;沿着折叠,点的对应点为与的交点为;再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点的对应点为.下列结论:①是直角三角形:②点在同一条直线上;③;④;⑤点是的外心，其中正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．如图，在矩形ABCD中，∠CBN的正弦值等于，BN与CD交于点N，∠BND的平分线NM与AD交于点M，若CD＝7，DM＝2AM，则AD的长为（ ）
A． B． C．8 D．9
6．如图，四边形中，，，，为的中点，为线段上的点，且，则点到边的距离是（ ）
A．3 B． C．4 D．
7．如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（ ）
A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC?BA
C． D．
二、填空题
9．已知点C为线段AB的黄金分割点（AC >BC），且AB = 4，则AC ≈___（精确到0.1）．
10．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．则CP：AC＝_____．
11．如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，AD为△ABC的外角的平分线，AB＝2BC，AC＝3，CD＝4，则AB的长为_____．
12．已知：，则 的值是_______.
三、解答题
13．已知a，b，c为的三边，且，.
(1)求a，b，c的值；(2)判断的形状.
14．如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC．
（1）若AB＝6，AC＝5，AD＝4，求CE的长．
（2）连接BE，作DF∥BE交AC于点F，如图②，求证：AE2＝AF?AC．
15．如图，一个木框，内外是两个矩形和，问按图中所示尺寸，满足什么条件这两个矩形相似？
16．如图,已知A(-4,0)、B(0,2)、C(6,0),直线AB与直线CD相交于点D,D点的横纵坐标相同；
(1)求点D的坐标；
(2)点P从O出发,以每秒1个单位的速度沿x轴正半轴匀速运动,过点P作x轴的垂线分别与直线AB、CD交于E、F两点,设点P的运动时间为t秒,线段EF的长为y(y>0),求y与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围；
(3)在(2)的条件下,直线CD上是否存在点Q,使得△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出符合条件的Q点坐标,若不存在,请说明理由．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得出比例是在代入求出即可．
【详解】
∵直线a∥b∥c，
∴，
∵AB＝2，BC＝3，
∴．
所以A选项是正确的.
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用．
2．B
【解析】
【分析】
首先通过折叠的性质得出四边形ABFE，EDGH都是正方形，然后设，根据平行线分线段成比例得出，从而可求出x的值，然后AD的长度可求．
【详解】
连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
由折叠的性质可知，
，
∴四边形ABFE是正方形，
，
．
，
∴四边形EDGH是正方形，
，
．
设 ，
，
解得 或（舍去），
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查正方形的判定及性质，平行线分线段成比例，掌握正方形的判定及性质和平行线分线段成比例是解题的关键．
3．A
【解析】
【分析】
作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
【详解】
解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=2，
在Rt,AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴即，
解得CD=，
同理BE=，
∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，
∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，
故选：A.
【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。
4．D
【解析】
【分析】
根据折叠的性质得到∠DMC＝∠EMC，∠AMP＝∠EMP，于是得到∠PME＋∠CME＝×180°＝90°，求得△CMP是直角三角形，故①正确；根据平角的定义得到点C、E、G在同一条直线上，故②正确；AB＝1，则AD＝2，得到DM＝AD＝，根据勾股定理得到CM＝＝，根据射影定理得到CP＝＝，得到PC＝MP，故③正确；求得PB＝AB=，，故④正确；根据平行线等分线段定理得到CF＝PF，求得点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确．
【详解】
∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴∠DMC＝∠EMC，
∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴∠AMP＝∠EMP，
∵∠AMD＝180°，
∴∠PME＋∠CME＝×180°＝90°，
∴△CMP是直角三角形；故①正确；
∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴∠D＝∠MEC＝90°，
∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴∠MEG＝∠A＝90°，
∴∠GEC＝180°，
∴点C、E、G在同一条直线上，故②正确；
∵AD＝2AB，
∵AB＝1，则AD＝2，
∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；
∴DM＝AD＝
∴CM＝＝，
∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，
∴CM2＝CN?CP，
∴CP＝＝，
∴PN＝CP?CN＝
∴PM＝=
∴，
∴PC＝MP，故③正确；
∵PC＝AB=，
∴PB＝-=
∴，故④正确，
∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，
∴CE＝EG，
∵∠CEM＝∠G＝90°，
∴FE∥PG，
∴CF＝PF，
∵∠PMC＝90°，
∴CF＝PF＝MF，
∴点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，折叠的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，正确的识别图形，熟练掌握好相关知识是解题的关键．
5．B
【解析】
【分析】
延长NM交BA的延长线于H．设CN=a．根据BH=BN，构建方程即可解决问题，
【详解】
解：延长NM交BA的延长线于H．设CN＝a．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠C＝90°
∵∠CBN的正弦值等于，
∴BN＝3a．BC＝2a，
∵DM＝2AM，AH∥DN，
∴，∠H＝∠BNH，
∴AH＝
∵∠BNH＝∠DNH，
∴∠BNH＝∠H，
∴BN＝BH＝3a，
∴+7＝3a，
解得a＝3，
∴AD＝BC＝6．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
6．C
【解析】
【分析】
过E作EG⊥CD于G，过F作FH⊥CD于H，过E作EQ⊥BC于Q，依据平行线分线段成比例定理，即可得到HP＝CQ＝3，FP＝BQ＝1，进而得出FH＝1＋3＝4．
【详解】
解：如图所示，过E作EG⊥CD于G，过F作FH⊥CD于H，过E作EQ⊥BC于Q，
则EG∥FH∥BC，AB∥EQ∥CD，四边形CHPQ是矩形，
∵AB∥EQ∥CD，
∴，
∵E是AD的中点，
∴BQ＝CQ＝3，
∴HP＝CQ＝3，
∵FP∥BQ，
∴，
∵FE＝BE，
∴FP＝BQ＝1，
∴FH＝1＋3＝4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，解决问题的关键是作平行线，解题时注意：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例．
7．D
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．
【详解】
A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确；
B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确；
C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确；
D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误；
故选D．
【点睛】考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
8．C
【解析】
黄金分割定义知，,所以AC2=AB.
设AB=1，AC=x,
,
解得：x=. 选C.
9．2.5
【解析】
【分析】
根据黄金分割点的定义，知AC为较长线段；则，代入数据即可得出AC的值．
【详解】
∵C为线段AB=5的黄金分割点，且AC＞BC，AC为较长线段，
∴
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中是需要熟记的内容．
10．1:4
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质，可以得出AC∥DE，且AC＝DE，根据线段成比例即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴AC∥DE，BC＝AD＝CE，
∴，
∵＝，
∴＝，
∵点R为DE的中点，
∴PC：DE＝1：4，
即PC：AC＝1：4，
故答案为1：4．
【点睛】题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
11．
【解析】
【分析】
如图，作CE∥AD交AB于E．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】
如图，作CE∥AD交AB于E．
∵EC∥AD，
∴∠1=∠AEC，∠2=∠ACE，
∵∠1=∠2，
∴∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC，
∵EC∥AD，
∴AE：AB=DC：BD，
∴AC：AB=DC：BD，
∵AB=2BC，设BC=x，则AB=2x，
∴3：2x=4：（x+4），
∴x=，
∴AB=2x=，
故答案为．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题．
12．
【解析】
【分析】
根据已知等式设a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.
【详解】
解：由，可设a=2k，b=3k，(k≠0),
故：，
故答案：.
【点睛】此题主要考查比例的性质，a、b都用k表示是解题的关键.
13．（1），，；（2）是直角三角形.
【解析】
【分析】
（1）解此类含等比式的题目，解题关键是能否想到设出比例系数k，从而通过解方程组来得到a、b、c和k的值.
（2）判断△ABC的形状，通常首先想到直角三角形和等腰三角形或者等腰直角三角形，通过计算来判断出a，b，c三者之间的关系.
【详解】
解：（1）∵，
∴.
设，
则解得
又∵，
∴，解得.
∴，，.
(2)∵，
∴是直角三角形.
【点睛】此题考查比例的性质，勾股定理的逆定理，解题关键在于利用“设k法”.
14．（1）（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）如图①，根据平行线分线段成比例定理得到，则利用比例性质可计算出AE的长，然后计算AC﹣AE即可；
（2）由DF∥BE得到，由DE∥BC得到，利用等量代换得，然后利用比例的性质可得到结论．
【详解】
（1）如图①．
∵DE∥BC，∴，即，∴AE，∴CE＝AC﹣AE＝5；
（2）如图②．
∵DF∥BE，∴．
∵DE∥BC，∴，∴，∴AE2＝AF?AC．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
15．当时两个矩形相似．
【解析】
【分析】
利用相似多边形的对应边的比相等列出比例式即可求得尺寸满足的条件.
【详解】
当两个矩形和相似时，，
即：，
整理得：，
故当时两个矩形相似．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质,解题的关键是根据题意列出比例式,难度不大.
16．（1）D（4，4）；（2）y，t的取值范围为：0≤t＜4或t＞4；（3）存在，其坐标为（，）或（14，-16），见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据条件可求得直线AB的解析式，可设D为（a，a），代入可求得D点坐标；
（2）分0≤t＜4、4＜t≤6和t＞6三种情况分别讨论，利用平行线分线段成比例用t表示出PE、PF，可得到y与t的函数关系式；
（3）分0＜t＜4和t＞4，两种情况，过Q作x轴的垂线，证明三角形全等，用t表示出Q点的坐标，代入直线CD，可求得t的值，可得出Q点的坐标．
【详解】
解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A（-4，0）、B（0，2）两点代入，
解得，k＝ ，b=2，
∴直线AB解析式为y＝x+2，
∵D点横纵坐标相同，设D（a，a），
∴a＝a+2，
∴D（4，4）；
（2）设直线CD解析式为y=mx+n，
把C、D两点坐标代入，解得m=-2，n=12，
∴直线CD的解析式为y=-2x+12，
∴AB⊥CD，
当?0≤t＜4时，如图1，
设直线CD于y轴交于点G，则OG=12，OA=4，OC=6，OB=2，OP=t，
∴PC=6-t，AP=4+t，
∵PF∥OG，
,
,
,
,
当4＜t≤6时，如图2，
同理可求得PE=2+ ，PF=12-2t，
此时y=PE-PF= t+2?(?2t+12)＝t?10，
当t＞6时，如图3，
同理可求得PE=2+，PF=2t-12，
此时y=PE+PF=t-10；
综上可知y，t的取值范围为：0≤t＜4或t＞4；
（3）存在．
当0＜t＜4时，过点Q作QM⊥x轴于点M，如图4，
∵∠BPQ=90°，
∴∠BPO+∠QPM=∠OBP+∠BPO=90°，
∴∠OPB=∠QPM，
在△BOP和△PMQ中，
∴△BOP≌△PMQ（AAS），
∴BO=PM=2，OP=QM=t，
∴Q（2+t，t），
又Q在直线CD上，
∴t=-2（t+2）+12，
∴t= ，
∴Q（，）；
当t＞4时，过点Q作QN⊥x轴于点N，如图5，
同理可证明△BOP≌△PNQ，
∴BO=PN=2，OP=QN=t，
∴Q（t-2，-t），
又∵Q在直线CD上，
∴-t=-2（t-2）+12，
∴t=16，
∴Q（14，-16），
综上可知，存在符合条件的Q点，其坐标为（，）或（14，-16）．
【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式和平行线分线段成比例、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合应用．求得点的坐标是利用待定系数法的关键，在（2）中利用t表示出相应线段，化动为静是解题的关键，在（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题难度较大，知识点较多，注意分类讨论思想的应用．
一、单选题
1．（2018·四川乐山·中考真题）如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ ）
A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=GC D．EG=2GC
2．（2016·甘肃兰州·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则等于( )
A． B． C． D．
3．（2019·四川雅安·中考真题）若，且，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．20 D．14
4．（2011·湖南怀化·中考真题）两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为 )
A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm
5．（2016·山西中考真题）（2016山西省）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
6．（2015·浙江舟山·中考真题）如图，直线∥∥，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F。AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．（2015·四川乐山·中考真题）如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2020·四川乐山·中考真题）把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连结交于点．则=_________．
10．（2019·辽宁鞍山·中考真题）如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8……依此规律继续作正方形AnBn?nAn+1，且点A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一条直线上，连接A0C1交A1B1于点D1，连接A1C2交A2B2于点D2，连接A2C3交A3B3于点D3……记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3……四边形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn的面积为Sn，则S2019＝_____．
11．（2019·江苏南京·中考真题）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长为_____．
12．（2016·贵州黔南·中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OD，已知AB=6，BC=8，则四边形OECD的周长为 ．
三、解答题
13．（2019·江西中考真题）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为的铅笔斜靠在垂直于水平桌面的直尺的边沿上，一端固定在桌面上，图2是示意图．
活动一
如图3，将铅笔绕端点顺时针旋转，与交于点，当旋转至水平位置时，铅笔的中点与点重合．
数学思考
（1）设，点到的距离．
①用含的代数式表示：的长是_________，的长是________；
②与的函数关系式是_____________，自变量的取值范围是____________．
活动二
（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格．
6
5
4
3.5
3
2.5
2
1
0.5
0
0
0.55
1.2
1.58
1.0
2.47
3
4.29
5.08
②描点：根据表中数值，描出①中剩余的两个点．
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考
（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．
14．（2019·山东潍坊·中考真题）如图，正方形的边在正方形的边上，连接，过点作，交于点．连接，，其中交于点．
（1）求证：为等腰直角三角形．（2）若，，求的长．
15．（2015·江苏镇江·中考真题）（7分）某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）．
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；
（2）求小明原来的速度．
16．（2015·福建厦门·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．
17．（2012·福建龙岩·中考真题）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．
（1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；
（2）①观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是 时，四边形AEA′F是菱形；②在①的条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形．
18．（2014·山东济宁·中考真题）如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF.
(1)求证：BF=DF；
(2)连接CF，请直接写出的值为__________（不必写出计算过程）.
参考答案
1．B
【解析】
分析：根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．
详解：∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，
∴=3．
故选B．
点睛：此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键．
2．C
【解析】
试题解析：：∵DE∥BC，
∴，
故选C．
考点：平行线分线段成比例．
3．A
【解析】
【分析】
根据比例的性质得到，结合求得的值，代入求值即可．
【详解】
解：由a：b＝3：4知，
所以．
所以由得到：，
解得．
所以．
所以．
故选A．
【点睛】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若，则．
4．A
【解析】
试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．
解：两个相似多边形的面积比是9：16，
面积比是周长比的平方，
则大多边形与小多边形的相似比是4：3．
相似多边形周长的比等于相似比，
因而设大多边形的周长为x，
则有=，
解得：x=48．
大多边形的周长为48cm．
故选A．
考点：相似多边形的性质．
5．D
【解析】
【分析】
先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
【详解】
解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．
6．D
【解析】
试题分析：根据AH=2，HB=1求出AB的长，根据平行线分线段成比例定理得到=，计算得到答案．
解：∵AH=2，HB=1，
∴AB=3，
∵l1∥l2∥l3，
∴==，
故选：D．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键．
7．D
【解析】
试题分析：∵∥∥，，∴===，故选D．
考点：平行线分线段成比例．
8．B
【解析】
【分析】
过作，交于点，可得，得到与平行，再由为中点，得到，同时得到四边形为矩形，再由角平分线定理得到，进而求出的长，得到的长．
【详解】
解：过作，交于点，
，
，
，
，
为中点，
，
，即，
，
四边形为矩形，
，
平分，，，
，
，
则．
故选：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，角平分线定理，以及平行线的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
9．
【解析】
【分析】
连接CE，设CD=2x，利用两个直角三角形的性质求得AD=4x，AC=2x，BC=x，AB=3，再由已知证得CE∥AB，则有，由角平分线的性质得，进而求得的值.
【详解】
连接CE，设CD=2x，
在RtΔACD和RtΔABC中，∠BAC=∠CAD=30?，
∴∠D=60?，AD=4x，AC=，
BC==x，AB=x，
∵点E为AD的中点，
∴CE=AE=DE==2x，
∴ΔCED为等边三角形，
∴∠CED=60?，
∵∠BAD=∠BAE+∠CAD=30?+30?=60?，
∴∠CED=∠BAD，
∴AB∥CE，
∴，
在ΔBAE中，∵∠BAE=∠CAD=30?
∴AF平分∠BAE，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了含30?的直角三角形、等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、角平分线的性质等知识，是一道综合性很强的填空题，解答的关键是认真审题，找到相关知识的联系，确定解题思路，进而探究、推理并计算.
10．×42018
【解析】
【分析】
由正方形的性质得出A1D1∥A2C1，则＝，得出A1D1＝，同理可得A2D2＝，S1＝1﹣×1×＝40﹣×40，S2＝4﹣×4，S3＝42﹣×42，…，Sn＝4n﹣1﹣×4n﹣1＝×4n﹣1，即可得出答案.
【详解】
解：∵四边形A0B0C0A1与四边形A1B1C1A2都是正方形，
∴A1D1∥A2C1，
∴＝，
∴＝，
∴A1D1＝，
同理可得：A2D2＝，
∴S1＝1﹣×1×＝40﹣×40，S2＝4﹣×4，S3＝42﹣×42，…，Sn＝4n﹣1﹣×4n﹣1＝×4n﹣1，
∴S2019＝×42018，
故答案为：×42018．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正方形的性质、平行线的性质、正方形与三角形面积的计算等知识，熟练掌握正方形的性质与平行线的性质是解题的关键．
11．
【解析】
【分析】
作AM⊥BC于E，由角平分线的性质得出，设AC＝2x，则BC＝3x，由线段垂直平分线得出MN⊥BC，BN＝CN＝x，得出MN∥AE，得出，NE＝x，BE＝BN＋EN＝x，CE＝CN?EN＝x，再由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果．
【详解】
解：作AM⊥BC于E，如图所示：
∵CD平分∠ACB，
∴，
设AC＝2x，则BC＝3x，
∵MN是BC的垂直平分线，
∴MN⊥BC，BN＝CN＝x，
∴MN∥AE，
∴，
∴NE＝x，
∴BE＝BN＋EN＝x，CE＝CN?EN＝x，
由勾股定理得：AE2＝AB2?BE2＝AC2?CE2，
即52?（x）2＝（2x）2?（x）2，
解得：x＝，
∴AC＝2x＝；
故答案为．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
12．18．
【解析】
试题分析：∵AB=6，BC=8，∴AC==10，∵矩形ABCD的对角线AC的中点为O，∴OD=AC=5，又∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴CE=BC=4，OE=AB=3，∵CD=AB=6，∴四边形OECD的周长为5+3+4+6=18．故答案为18．
考点：矩形的性质；勾股定理；平行线分线段成比例．
13．(1) ），，;(2)见解析；（3）①随着的增大而减小；②图象关于直线对称；③函数的取值范围是．
【解析】
【分析】
（1）①利用线段的和差定义计算即可．
②利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）①利用函数关系式计算即可．
②描出点，即可．
③由平滑的曲线画出该函数的图象即可．
（3）根据函数图象写出两个性质即可（答案不唯一）．
【详解】
解：（1）①如图3中，由题意，
，
，，
故答案为：，．
②作于．
，，
，
，
，
，
故答案为：，．
（2）①当时，，当时，，
故答案为2，6．
②点，点如图所示．
③函数图象如图所示．
（3）性质1：函数值的取值范围为．
性质2：函数图象在第一象限，随的增大而减小．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线分线段成比例定理，函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．（1）见解析；（2），
【解析】
【分析】
(1)通过证明四边形是平行四边形，可得，，由“”可证，可得，，可证，，即可得结论；
(2)由题意可得，由平行线分线段成比例可得，即可求的长．
【详解】
(1)∵四边形，四边形都是正方形
∴，，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，且，
∴为等腰直角三角形；
(2)∵，，
∴，，，
∵，
∴，且，
∴，
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识点，灵活运用这些知识进行推理是本题的关键．
15．（1）作图见试题解析；（2）1.5m/s．
【解析】
试题分析：（1）利用中心投影的定义作图；
（2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=（4x﹣1.2）m，EG=3xm，BM=13.2﹣4x，由△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，得到，即代入解方程即可．
试题解析：（1）如图，
（2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=AF﹣MF=（4x﹣1.2）m，EG=2×1.5x=3xm，BM=AB﹣AM=12﹣（4x﹣1.2）=13.2﹣4x，∵点C，E，G在一条直线上，CG∥AB，∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，∴，，∴，即，解得x=1.5，经检验x=1.5为方程的解，∴小明原来的速度为1.5m/s．
答：小明原来的速度为1.5m/s．
考点：1．相似三角形的应用；2．中心投影．
16．
【解析】
试题分析：根据平行线分线段成比例定理得出=，再根据AD=3，AB=5，即可得出答案．
试题解析：∵DE∥BC，∴=，∵AD=3，AB=5，∴=．
考点：相似三角形的判定与性质．
17．（1）当A′与B重合时，EF=5，当折痕EF过点D时EF=，（2）①，②证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由于矩形对折，于是EF=AD=5；根据折叠的性质得到DC=AB=3，A′F=AD=5，在Rt△A′CF中利用勾股定理可计算出A′C=4，设AE=t，则BE=3-t，EA′=t，在Rt△EBA′中，利用勾股定理得（3-t）2+12=t2，解得t=，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理即可计算出EF；
（2）①当折痕FE过B点时，四边形AEA′F是正方形，BA′最小，此时BA′=BA=3；当点A的对应点A′落在C点时，BA′=5，于是得到x的取值范围是3≤x≤5，四边形AEA′F是菱形；
②根据折叠的性质得到EA=EA′，FA=FA′，∠AEF=∠A′EF，根据平行线的性质可得∠A′EF=∠AFE，则有∠A′FE=∠A′EF，于是A′E=A′F，易得AE=EA′=A′F=FA，根据菱形的判定即可得到结论．
【详解】
（1）当A′与B重合时，如图1，把矩形对折，所以EF=AD=5．
故答案为5；
如图2，DC=AB=3，A′F=AD=5，
在Rt△A′CF中，A′C==4，
设AE=t，则BE=3-t，EA′=t，
在Rt△EBA′中，BA′=BC-A′C=5-4=1，
∵BE2+BA′2=EA′2，
∴（3-t）2+12=t2，解得t=，
在Rt△AEF中，AE=，AF=5，
∴EF=；
（2）①当折痕FE过B点时，四边形AEA′F是正方形，BA′最小，此时BA′=BA=3；当点A的对应点A′落在C点时，BA′=5，于是得到x的取值范围是3≤x≤5，四边形AEA′F是菱形，
故答案为3≤x≤5；
②如图4，∵△AEF沿EF折叠到△A′EF，
∴EA=EA′，FA=FA′，∠AEF=∠A′EF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AF∥EC，
∴∠A′EF=∠AFE，
∴∠A′FE=∠A′EF，
∴A′E=A′F，
∴AE=EA′=A′F=FA，
∴四边形AEA′F是菱形．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，折痕垂直平分对应点的连线段．也考查了矩形的性质、勾股定理以及菱形的判定与性质．
18．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质得出BE=DG，再利用△BEF≌△DGF求得BF=DF，
（2）由BF=DF得点F在对角线AC上，再运用平行线间线段的比求解．
【详解】
（1）∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°，
∴BE=AB-AE，DG=AD-AG，
∴BE=DG，
∴△BEF≌△DGF（SAS），
∴BF=DF；
（2）连接AC，
∵BF=DF
∴点F在对角线AC上，
∵AD∥EF∥BC，
∴CF：BE=AF：AE=AE：AE=，
∴CF：BE=．
【点睛】本题主要考查正方形的性质及三角形全等的判定和性质，要熟练掌握基本基础知识，灵活应用解决问题．
27.1 图形的相似
1．相似图形的定义
（1）我们把形状相同的图形叫做__________．
（2）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形__________得到．
（3）全等图形可以看成是一种特殊的相似图形，即不仅形状相同，大小也相等．
2．比例线段
（1）对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如（即ad=bc），我们就说这四条线段__________．
（2）比例的相关性质
①比例的基本性质：若，则__________；若ad=bc（bd≠0），则．
②比例的有关性质：
合比性质：若，则或（a+b，c+d均不为0）．
分比性质：若，则或（a–b，c–d均不为0）
更比性质：若，则或（a，b，c，d均不为0）．
等比性质：若，则．
3．相似多边形
（1）两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做__________．
（2）相似多边形对应边的比叫做__________．
K知识参考答案：
1．（1）相似图形；（2）放大或缩小；
2．（1）成比例；（2）ad=bc．
3．（1）相似多边形；（2）相似比．
K—重点
了解线段的比和成比例的线段
K—难点
相似多边形的有关性质
K—易错
求线段的比时，线段的长度单位不一致；找错相似多边形的对应边
一、相似图形
判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与图形的大小、位置无关，这也是相似图形的本质．
【例1】下列四组图形中，不是相似图形的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，故不符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，故不符合题意；
D、形状不相同，不符合相似图形的定义，故符合题意；
故选D．
【例2】下列各组图形一定相似的是
A．各有一角是70°的两个等腰三角形
B．任意两个等边三角形
C．任意两个矩形
D．任意两个菱形
【答案】B
【解析】A、各有一角是70°的两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似；
B、两个等边三角形相似对应边的比相等，对应角相等，一定相似；
C、两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似；
D、任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似；
故选B．
二、比例线段
一般地，四条线段a，b，c，d的单位应该一致，有时为了计算方便，a，b的单位一致，c，d的单位一致也可以．
【例3】下列线段（单位：cm）成比例的是
A．1，2，3，4 B．5，6，7，8
C．1，2，2，4 D．3，5，6，9
【答案】C
【解析】A、1×4≠2×3，故四条线段不成比例；
B、5×8≠7×6，故四条线段不成比例；
C、1×4=2×2，故四条线段成比例；
D、3×9≠5×6，故四条线段不成比例．
故选C．
三、相似多边形
两个多边形相似，必须同时具备两个条件：（1）角分别相等；（2）边成比例．
【例4】下列说法正确的是
A．对应边成比例的多边形都相似
B．四个角对应相等的梯形都相似
C．有一个角相等的两个菱形相似
D．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似
【答案】C
【解析】A、对应边成比例且对应角相等的多边形都相似，故原说法错误；
B、四个角对应相等且对应边成比例的梯形都相似，故原说法错误；
C、有一个角相等即可利用菱形的性质得到其余的角对应相等，且对应边的比相等，故这样的菱形相似，正确；
D、有一个锐角相等的两个等腰三角形不一定相似，故原说法错误．
故选C．
一、单选题
1．已知两数x，y，且3x＝2y，则下列结论一定正确的是（ ）
A．， B． C． D．
2．如图，若正方形A1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．一个运动场的实际面积是6400m2，它在比例尺为1∶1000的地图上的面积是（ ）
A．6.4cm2 B．640cm2 C．64cm2 D．8cm2
4．下列图形中不是相似关系的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
5．如图，已知，那么下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若：，则（ ）
A． B． C． D．
7．下面给出了相似的一些命题：
菱形都相似；等腰直角三角形都相似；
正方形都相似；矩形都相似；正六边形都相似；
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的，称为第次操作，折痕到的距离记为；还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第次操作，折痕到的距离记为；按上述方法不断操作下去…，经过第次操作后得到的折痕，到的距离记为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知：（a≠0），则＝_____．
10．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一小题计分．
（1）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为_____．
（2）如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（请填写正确答案的序号）_____．
11．已知线段AB，点C是靠近B点的AB的黄金分割点．点G是靠近点A的黄金分割点，则 =________．
12．已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，且它们的对应边的比为3:4，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长之比为______，面积之比为______.
三、解答题
13．已知：如图，点、在的边上，点在边上，且，．
求证：．
14．已知，如图，AB、DE是直立在地面上的两根立柱，AB=12m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=4m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影．
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长6m，请你计算DE的长．
15．如图，在中，、分别是和上的点，且．
(1)若，，，求的长．
(2)若，，，求的长．
16．如图，中，，，．点从点出发沿折线以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，点从点出发沿以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，点，同时出发，当其中一点到达点时停止运动，另一点也随之停止．设点，运动的时间是秒（）．
发现：
（1）__________；
（2）当点，相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时的长．
探究：
（1）当时，的面积为_________；
（2）点，分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
拓展：当时，直接写出此时的值．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据比例的性质化简求解即可．
【详解】
∵3x＝2y
∴
等式两侧同时加1，得
变形得
故选C．
【点睛】本题考查了等式的性质和比例的性质，关键是将原式根据比例的性质进行变形，然后根据等式的性质求解．
2．B
【解析】
【分析】
根据相似多边形的性质进行求解即可.
【详解】
解:
图形中正方形A1B1C1D1和正方形ABCD一定相似,OF,OF1分别是两个正方形的边心距, △OC1F 是等腰直角三角形, 因而OF: OC1=因而则的值为 .
故选B.
【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，边数相同的正多边形一定相似, 边心距的比, 半径的比都等于相似比.
3．C
【解析】
【分析】
面积比是比例尺的平方比.根据题意进行计算即可得出地图上的面积.
【详解】
解:根据面积比是比例尺的平方比,得:图上面积是
64001000000=0.0064()=64(),所以C选项是正确的.
【点睛】本题主要考查相似图形具有的性质，其中相似图形的面积比等于相似比的平方.
4．D
【解析】
【分析】
根据相似图形的定义, 结合图形, 通过比较得到正确结果.
【详解】
解: 观察比较图形, , A, B, C选项中的图案的形状相同, 是相似图形, D选项中的两个图案的形状不相同, 所以不是相似图形, 故根据相似形的定义可知: 不相似的图形是D.
【点睛】本题主要考查相似图形的定义.
5．B
【解析】
【分析】
已知AB//CD//EF, 根据平行线分线段成比例定理, 对各项进行分析即可.
【详解】
解：由AB//CD//EF,
有,故B不正确．
故选B.
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理, 找准对应关系, 避免错选其他答案.
6．C
【解析】
【分析】
根据比例式的分比性质计算即可。
【详解】
解：已知：，即，
，，
故：a:b=15:14,
故选C.
【点睛】本题主要考查比例式的性质, 关键在于熟练运用比例式的分比性质, 认真的进行计算.
7．B
【解析】
【分析】
菱形和矩形不一定都相似，但是等腰直角三角形正方形和正六边形都相似.
【详解】
可以令矩形一边长固定，另一边长增加一倍，容易知道两矩形不相似，对于菱形，可以变换边与边之间的夹角，容易看出两菱形不相似.等腰直角三角形正方形和正六边形无论怎么变都相似，故正确的有3个.
【点睛】理解四边形的性质是解题的关键.
8．B
【解析】
【分析】
根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA'=DB，从而可得∠ADA'=2∠B，结合折叠的性质可得∠ADA'=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得A A1⊥BC，得到AA1=2，求出h1=2-1=1，同理，h2=2-，h3=2-×=2-，经过第n次操作后得到的折痕Dn-1En-1到BC的距离hn=2-．
【详解】
解：由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA=DA1，
又∵D是AB中点，
∴DA=DB，
∴DB=DA1，
∴∠BA1D=∠B，
∴∠ADA1=2∠B，
又∵∠ADA1=2∠ADE，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴AA1⊥BC，
∴AA1=2h1=2，
∴h1=2-1=1，
同理，h2=2-，h3=2-×=2-
…
∴经过第n次操作后得到的折痕Dn-1En-1到BC的距离hn=2-．
∴h2019=．
故选B．
【点睛】本题考查平面图形的有规律变化，三角形中位线的性质，平行线等分线段定理，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
9．
【解析】
【分析】
利用比例的性质可直接得结论．
【详解】
∵＝﹣，
∴＝﹣．
故答案为:﹣．
【点睛】本题考查了比例的性质，若a:b=c:d(b、d≠0)，则有：①ad=bc（即比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积），②b:a=d:c（a、c≠0）（交换比较，结果仍然相等），③a:c=b:d、c:a=d:b，④(a+b) :b=(c+d) :d，⑤a:(a+b)=c:(c+d) ( a+b≠0，c+d≠0)，⑥(a-b):(a+b)=(c-d):(c+d) ( a+b≠0，c+d≠0) ．
10．15 ②．
【解析】
【分析】
(1)解原方程可得方程的两根，=3,=6，根据三角形的性质“两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”，可得腰为6,底边长为3，可得周长；
（2）根据图形相似要求对应角相等、对应边成比例可得答案.
【详解】
解：(1)方程因式分解可得:(x-3)(x-6)=0,故原方程的解为=3,=6,
两个根是等腰三角形的底和腰, 根据构成三角形的条件“两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”,
可得等腰三角形的腰为6, 底边长为3, 所以这个等腰三角形的周长为6+6+3=15，
故本题正确答案为15.
（2）图形相似即要求对应角相等、对应边成比例,
等边三角形的三个内角都是60,三条边都相等,故①中的图形相似;
矩形的四个内角都是90,对边相等,所以对应边不一定成比例,故②中的图形不一定相似;
正方形的四个内角都是90,四条边都相等,故③中的图形相似;
菱形的对角相等, 四条边都相等, 故④中的图形相似;
故答案为②.
【点睛】(1)本题主要考查一元二次方程和等腰三角形.
(2)本题考查图形相似的性质：图形相似要求对应角相等、对应边成比例.
11．1
【解析】
【分析】
根据黄金分割点的概念进行计算, 其中较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍.
【详解】
解: 由黄金分割的公式:较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍.
BC=AB,AG=AB,
=1,
故答案：1.
【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算. 把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值()叫做黄金比.
12．3:4 9:16
【解析】
【分析】
由相似多边形对应边周长的比等于相似比, 可知四边形ABCD与四边形A' B' C' D' 的周长比;
由相似多边形的面积比等于相似比的平方，可得四边形ABCD与四边形A' B' C' D' 的面积比.
【详解】
解: 四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，且它们的对应边的比为3:4,
四边形ABCD与四边形A' B' C' D' 的周长之比为3:4,
四边形ABCD与四边形A' B' C' D' 的面积之比9:16，
故答案：3:4 ； 9:16
【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，其中相似多边形的周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方.
13．证明见解析
【解析】
【分析】
由平行线分线段成比例可以得到，
则根据等量代换可以推知，即.
【详解】
∵
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例.注意找准对应关系,以防错解.
14．（1）见解析；（2）DE的长18米
【解析】
【分析】
(1)利用平行投影的性质得出即可;
(2)利用同一时刻影长与实际物体比值相等进而求出即可.
【详解】
解：（1）如图所示：
EM即为所求；
（2）∵AB=12m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=4m，
DE在阳光下的投影长6m，
∴设DE的长为xm，
则 ，
解得：x=18，
答：DE的长18米．
【点睛】此题主要考查了平行投影的性质,利用相同时刻影长与实际物体的关系得出是解题关键.
15．(1)；(2)．
【解析】
【分析】
(1)根据平行线分线段成比例,可以求得AE的长;
(2)根据平行线分线段成比例,可以求得AC的长,从而可以求得EC的长.
【详解】
(1)∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得，；
(2)）∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得，，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例.
16．发现（1）5；（2）相遇点在边上，AP＝1；探究：（1）1；（2）不能，理由见解析；拓展：
【解析】
【分析】
发现：（1）在中应用勾股定理即可求解；
（2）P和Q相遇时可得方程，求得t后，即可进一步AP的长；
探究：（1）求出当时PC和CQ的长，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）用t列出的面积表达式，然后和面积的一半列出方程，进行求解即可判断；
拓展：根据题意作出示意图，然后根据平行线截线段成比例列出方程，解方程即可求出t的值．
【详解】
发现：（1）在中，
∴AB=5；
（2）点P运动到B需要：s
点Q运动到B点需要：s
当点相遇时，有．解得．
∴相遇点在边上，
此时．
探究：（1）当时，PC=1，BQ=2，即CQ=2
∴
故答案为1；
（2）不能
理由：若的面积是面积的一半，
即，化为．
∵，
∴方程没有实数根，
即的面积不能是面积的一半．
拓展：由题可知，点先到达边，当点还在边上时，存在，如图所示．
这时，．
∵，，
∴．
解得，
即当时，．
【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次方程中的动点问题，平行线截线段成比例，一元二次方程的判别式，题目较难，综合性较强，熟练掌握不同模块知识点是本题的关键．
一、单选题
1．如图，直线a，b，c分别与直线m，n交于点A，B，C，D，E，F，直线a∥b∥c，若AB＝2，BC＝3，则 的值为( )
A． B． C． D．
2．如图，在矩形ABCD中，将△ABE沿着BE翻折，使点A落在BC边上的点F处，再将△DEG沿着EG翻折，使点D落在EF边上的点H处． 若点A，H，C在同一直线上，AB=1，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
3．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，，将矩形对折，得到折痕;沿着折叠,点的对应点为与的交点为;再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点的对应点为.下列结论:①是直角三角形:②点在同一条直线上;③;④;⑤点是的外心，其中正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．如图，在矩形ABCD中，∠CBN的正弦值等于，BN与CD交于点N，∠BND的平分线NM与AD交于点M，若CD＝7，DM＝2AM，则AD的长为（ ）
A． B． C．8 D．9
6．如图，四边形中，，，，为的中点，为线段上的点，且，则点到边的距离是（ ）
A．3 B． C．4 D．
7．如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（ ）
A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC?BA
C． D．
二、填空题
9．已知点C为线段AB的黄金分割点（AC >BC），且AB = 4，则AC ≈___（精确到0.1）．
10．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．则CP：AC＝_____．
11．如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，AD为△ABC的外角的平分线，AB＝2BC，AC＝3，CD＝4，则AB的长为_____．
12．已知：，则 的值是_______.
三、解答题
13．已知a，b，c为的三边，且，.
(1)求a，b，c的值；(2)判断的形状.
14．如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC．
（1）若AB＝6，AC＝5，AD＝4，求CE的长．
（2）连接BE，作DF∥BE交AC于点F，如图②，求证：AE2＝AF?AC．
15．如图，一个木框，内外是两个矩形和，问按图中所示尺寸，满足什么条件这两个矩形相似？
16．如图,已知A(-4,0)、B(0,2)、C(6,0),直线AB与直线CD相交于点D,D点的横纵坐标相同；
(1)求点D的坐标；
(2)点P从O出发,以每秒1个单位的速度沿x轴正半轴匀速运动,过点P作x轴的垂线分别与直线AB、CD交于E、F两点,设点P的运动时间为t秒,线段EF的长为y(y>0),求y与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围；
(3)在(2)的条件下,直线CD上是否存在点Q,使得△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出符合条件的Q点坐标,若不存在,请说明理由．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得出比例是在代入求出即可．
【详解】
∵直线a∥b∥c，
∴，
∵AB＝2，BC＝3，
∴．
所以A选项是正确的.
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用．
2．B
【解析】
【分析】
首先通过折叠的性质得出四边形ABFE，EDGH都是正方形，然后设，根据平行线分线段成比例得出，从而可求出x的值，然后AD的长度可求．
【详解】
连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
由折叠的性质可知，
，
∴四边形ABFE是正方形，
，
．
，
∴四边形EDGH是正方形，
，
．
设 ，
，
解得 或（舍去），
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查正方形的判定及性质，平行线分线段成比例，掌握正方形的判定及性质和平行线分线段成比例是解题的关键．
3．A
【解析】
【分析】
作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
【详解】
解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=2，
在Rt,AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴即，
解得CD=，
同理BE=，
∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，
∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，
故选：A.
【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。
4．D
【解析】
【分析】
根据折叠的性质得到∠DMC＝∠EMC，∠AMP＝∠EMP，于是得到∠PME＋∠CME＝×180°＝90°，求得△CMP是直角三角形，故①正确；根据平角的定义得到点C、E、G在同一条直线上，故②正确；AB＝1，则AD＝2，得到DM＝AD＝，根据勾股定理得到CM＝＝，根据射影定理得到CP＝＝，得到PC＝MP，故③正确；求得PB＝AB=，，故④正确；根据平行线等分线段定理得到CF＝PF，求得点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确．
【详解】
∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴∠DMC＝∠EMC，
∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴∠AMP＝∠EMP，
∵∠AMD＝180°，
∴∠PME＋∠CME＝×180°＝90°，
∴△CMP是直角三角形；故①正确；
∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴∠D＝∠MEC＝90°，
∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴∠MEG＝∠A＝90°，
∴∠GEC＝180°，
∴点C、E、G在同一条直线上，故②正确；
∵AD＝2AB，
∵AB＝1，则AD＝2，
∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；
∴DM＝AD＝
∴CM＝＝，
∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，
∴CM2＝CN?CP，
∴CP＝＝，
∴PN＝CP?CN＝
∴PM＝=
∴，
∴PC＝MP，故③正确；
∵PC＝AB=，
∴PB＝-=
∴，故④正确，
∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，
∴CE＝EG，
∵∠CEM＝∠G＝90°，
∴FE∥PG，
∴CF＝PF，
∵∠PMC＝90°，
∴CF＝PF＝MF，
∴点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，折叠的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，正确的识别图形，熟练掌握好相关知识是解题的关键．
5．B
【解析】
【分析】
延长NM交BA的延长线于H．设CN=a．根据BH=BN，构建方程即可解决问题，
【详解】
解：延长NM交BA的延长线于H．设CN＝a．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠C＝90°
∵∠CBN的正弦值等于，
∴BN＝3a．BC＝2a，
∵DM＝2AM，AH∥DN，
∴，∠H＝∠BNH，
∴AH＝
∵∠BNH＝∠DNH，
∴∠BNH＝∠H，
∴BN＝BH＝3a，
∴+7＝3a，
解得a＝3，
∴AD＝BC＝6．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
6．C
【解析】
【分析】
过E作EG⊥CD于G，过F作FH⊥CD于H，过E作EQ⊥BC于Q，依据平行线分线段成比例定理，即可得到HP＝CQ＝3，FP＝BQ＝1，进而得出FH＝1＋3＝4．
【详解】
解：如图所示，过E作EG⊥CD于G，过F作FH⊥CD于H，过E作EQ⊥BC于Q，
则EG∥FH∥BC，AB∥EQ∥CD，四边形CHPQ是矩形，
∵AB∥EQ∥CD，
∴，
∵E是AD的中点，
∴BQ＝CQ＝3，
∴HP＝CQ＝3，
∵FP∥BQ，
∴，
∵FE＝BE，
∴FP＝BQ＝1，
∴FH＝1＋3＝4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，解决问题的关键是作平行线，解题时注意：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例．
7．D
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．
【详解】
A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确；
B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确；
C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确；
D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误；
故选D．
【点睛】考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
8．C
【解析】
黄金分割定义知，,所以AC2=AB.
设AB=1，AC=x,
,
解得：x=. 选C.
9．2.5
【解析】
【分析】
根据黄金分割点的定义，知AC为较长线段；则，代入数据即可得出AC的值．
【详解】
∵C为线段AB=5的黄金分割点，且AC＞BC，AC为较长线段，
∴
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中是需要熟记的内容．
10．1:4
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质，可以得出AC∥DE，且AC＝DE，根据线段成比例即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴AC∥DE，BC＝AD＝CE，
∴，
∵＝，
∴＝，
∵点R为DE的中点，
∴PC：DE＝1：4，
即PC：AC＝1：4，
故答案为1：4．
【点睛】题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
11．
【解析】
【分析】
如图，作CE∥AD交AB于E．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】
如图，作CE∥AD交AB于E．
∵EC∥AD，
∴∠1=∠AEC，∠2=∠ACE，
∵∠1=∠2，
∴∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC，
∵EC∥AD，
∴AE：AB=DC：BD，
∴AC：AB=DC：BD，
∵AB=2BC，设BC=x，则AB=2x，
∴3：2x=4：（x+4），
∴x=，
∴AB=2x=，
故答案为．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题．
12．
【解析】
【分析】
根据已知等式设a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.
【详解】
解：由，可设a=2k，b=3k，(k≠0),
故：，
故答案：.
【点睛】此题主要考查比例的性质，a、b都用k表示是解题的关键.
13．（1），，；（2）是直角三角形.
【解析】
【分析】
（1）解此类含等比式的题目，解题关键是能否想到设出比例系数k，从而通过解方程组来得到a、b、c和k的值.
（2）判断△ABC的形状，通常首先想到直角三角形和等腰三角形或者等腰直角三角形，通过计算来判断出a，b，c三者之间的关系.
【详解】
解：（1）∵，
∴.
设，
则解得
又∵，
∴，解得.
∴，，.
(2)∵，
∴是直角三角形.
【点睛】此题考查比例的性质，勾股定理的逆定理，解题关键在于利用“设k法”.
14．（1）（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）如图①，根据平行线分线段成比例定理得到，则利用比例性质可计算出AE的长，然后计算AC﹣AE即可；
（2）由DF∥BE得到，由DE∥BC得到，利用等量代换得，然后利用比例的性质可得到结论．
【详解】
（1）如图①．
∵DE∥BC，∴，即，∴AE，∴CE＝AC﹣AE＝5；
（2）如图②．
∵DF∥BE，∴．
∵DE∥BC，∴，∴，∴AE2＝AF?AC．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
15．当时两个矩形相似．
【解析】
【分析】
利用相似多边形的对应边的比相等列出比例式即可求得尺寸满足的条件.
【详解】
当两个矩形和相似时，，
即：，
整理得：，
故当时两个矩形相似．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质,解题的关键是根据题意列出比例式,难度不大.
16．（1）D（4，4）；（2）y，t的取值范围为：0≤t＜4或t＞4；（3）存在，其坐标为（，）或（14，-16），见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据条件可求得直线AB的解析式，可设D为（a，a），代入可求得D点坐标；
（2）分0≤t＜4、4＜t≤6和t＞6三种情况分别讨论，利用平行线分线段成比例用t表示出PE、PF，可得到y与t的函数关系式；
（3）分0＜t＜4和t＞4，两种情况，过Q作x轴的垂线，证明三角形全等，用t表示出Q点的坐标，代入直线CD，可求得t的值，可得出Q点的坐标．
【详解】
解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A（-4，0）、B（0，2）两点代入，
解得，k＝ ，b=2，
∴直线AB解析式为y＝x+2，
∵D点横纵坐标相同，设D（a，a），
∴a＝a+2，
∴D（4，4）；
（2）设直线CD解析式为y=mx+n，
把C、D两点坐标代入，解得m=-2，n=12，
∴直线CD的解析式为y=-2x+12，
∴AB⊥CD，
当?0≤t＜4时，如图1，
设直线CD于y轴交于点G，则OG=12，OA=4，OC=6，OB=2，OP=t，
∴PC=6-t，AP=4+t，
∵PF∥OG，
,
,
,
,
当4＜t≤6时，如图2，
同理可求得PE=2+ ，PF=12-2t，
此时y=PE-PF= t+2?(?2t+12)＝t?10，
当t＞6时，如图3，
同理可求得PE=2+，PF=2t-12，
此时y=PE+PF=t-10；
综上可知y，t的取值范围为：0≤t＜4或t＞4；
（3）存在．
当0＜t＜4时，过点Q作QM⊥x轴于点M，如图4，
∵∠BPQ=90°，
∴∠BPO+∠QPM=∠OBP+∠BPO=90°，
∴∠OPB=∠QPM，
在△BOP和△PMQ中，
∴△BOP≌△PMQ（AAS），
∴BO=PM=2，OP=QM=t，
∴Q（2+t，t），
又Q在直线CD上，
∴t=-2（t+2）+12，
∴t= ，
∴Q（，）；
当t＞4时，过点Q作QN⊥x轴于点N，如图5，
同理可证明△BOP≌△PNQ，
∴BO=PN=2，OP=QN=t，
∴Q（t-2，-t），
又∵Q在直线CD上，
∴-t=-2（t-2）+12，
∴t=16，
∴Q（14，-16），
综上可知，存在符合条件的Q点，其坐标为（，）或（14，-16）．
【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式和平行线分线段成比例、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合应用．求得点的坐标是利用待定系数法的关键，在（2）中利用t表示出相应线段，化动为静是解题的关键，在（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题难度较大，知识点较多，注意分类讨论思想的应用．
一、单选题
1．（2018·四川乐山·中考真题）如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ ）
A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=GC D．EG=2GC
2．（2016·甘肃兰州·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则等于( )
A． B． C． D．
3．（2019·四川雅安·中考真题）若，且，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．20 D．14
4．（2011·湖南怀化·中考真题）两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为 )
A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm
5．（2016·山西中考真题）（2016山西省）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
6．（2015·浙江舟山·中考真题）如图，直线∥∥，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F。AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．（2015·四川乐山·中考真题）如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2020·四川乐山·中考真题）把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连结交于点．则=_________．
10．（2019·辽宁鞍山·中考真题）如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8……依此规律继续作正方形AnBn?nAn+1，且点A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一条直线上，连接A0C1交A1B1于点D1，连接A1C2交A2B2于点D2，连接A2C3交A3B3于点D3……记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3……四边形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn的面积为Sn，则S2019＝_____．
11．（2019·江苏南京·中考真题）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长为_____．
12．（2016·贵州黔南·中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OD，已知AB=6，BC=8，则四边形OECD的周长为 ．
三、解答题
13．（2019·江西中考真题）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为的铅笔斜靠在垂直于水平桌面的直尺的边沿上，一端固定在桌面上，图2是示意图．
活动一
如图3，将铅笔绕端点顺时针旋转，与交于点，当旋转至水平位置时，铅笔的中点与点重合．
数学思考
（1）设，点到的距离．
①用含的代数式表示：的长是_________，的长是________；
②与的函数关系式是_____________，自变量的取值范围是____________．
活动二
（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格．
6
5
4
3.5
3
2.5
2
1
0.5
0
0
0.55
1.2
1.58
1.0
2.47
3
4.29
5.08
②描点：根据表中数值，描出①中剩余的两个点．
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考
（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．
14．（2019·山东潍坊·中考真题）如图，正方形的边在正方形的边上，连接，过点作，交于点．连接，，其中交于点．
（1）求证：为等腰直角三角形．（2）若，，求的长．
15．（2015·江苏镇江·中考真题）（7分）某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）．
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；
（2）求小明原来的速度．
16．（2015·福建厦门·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．
17．（2012·福建龙岩·中考真题）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．
（1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；
（2）①观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是 时，四边形AEA′F是菱形；②在①的条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形．
18．（2014·山东济宁·中考真题）如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF.
(1)求证：BF=DF；
(2)连接CF，请直接写出的值为__________（不必写出计算过程）.
参考答案
1．B
【解析】
分析：根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．
详解：∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，
∴=3．
故选B．
点睛：此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键．
2．C
【解析】
试题解析：：∵DE∥BC，
∴，
故选C．
考点：平行线分线段成比例．
3．A
【解析】
【分析】
根据比例的性质得到，结合求得的值，代入求值即可．
【详解】
解：由a：b＝3：4知，
所以．
所以由得到：，
解得．
所以．
所以．
故选A．
【点睛】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若，则．
4．A
【解析】
试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．
解：两个相似多边形的面积比是9：16，
面积比是周长比的平方，
则大多边形与小多边形的相似比是4：3．
相似多边形周长的比等于相似比，
因而设大多边形的周长为x，
则有=，
解得：x=48．
大多边形的周长为48cm．
故选A．
考点：相似多边形的性质．
5．D
【解析】
【分析】
先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
【详解】
解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．
6．D
【解析】
试题分析：根据AH=2，HB=1求出AB的长，根据平行线分线段成比例定理得到=，计算得到答案．
解：∵AH=2，HB=1，
∴AB=3，
∵l1∥l2∥l3，
∴==，
故选：D．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键．
7．D
【解析】
试题分析：∵∥∥，，∴===，故选D．
考点：平行线分线段成比例．
8．B
【解析】
【分析】
过作，交于点，可得，得到与平行，再由为中点，得到，同时得到四边形为矩形，再由角平分线定理得到，进而求出的长，得到的长．
【详解】
解：过作，交于点，
，
，
，
，
为中点，
，
，即，
，
四边形为矩形，
，
平分，，，
，
，
则．
故选：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，角平分线定理，以及平行线的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
9．
【解析】
【分析】
连接CE，设CD=2x，利用两个直角三角形的性质求得AD=4x，AC=2x，BC=x，AB=3，再由已知证得CE∥AB，则有，由角平分线的性质得，进而求得的值.
【详解】
连接CE，设CD=2x，
在RtΔACD和RtΔABC中，∠BAC=∠CAD=30?，
∴∠D=60?，AD=4x，AC=，
BC==x，AB=x，
∵点E为AD的中点，
∴CE=AE=DE==2x，
∴ΔCED为等边三角形，
∴∠CED=60?，
∵∠BAD=∠BAE+∠CAD=30?+30?=60?，
∴∠CED=∠BAD，
∴AB∥CE，
∴，
在ΔBAE中，∵∠BAE=∠CAD=30?
∴AF平分∠BAE，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了含30?的直角三角形、等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、角平分线的性质等知识，是一道综合性很强的填空题，解答的关键是认真审题，找到相关知识的联系，确定解题思路，进而探究、推理并计算.
10．×42018
【解析】
【分析】
由正方形的性质得出A1D1∥A2C1，则＝，得出A1D1＝，同理可得A2D2＝，S1＝1﹣×1×＝40﹣×40，S2＝4﹣×4，S3＝42﹣×42，…，Sn＝4n﹣1﹣×4n﹣1＝×4n﹣1，即可得出答案.
【详解】
解：∵四边形A0B0C0A1与四边形A1B1C1A2都是正方形，
∴A1D1∥A2C1，
∴＝，
∴＝，
∴A1D1＝，
同理可得：A2D2＝，
∴S1＝1﹣×1×＝40﹣×40，S2＝4﹣×4，S3＝42﹣×42，…，Sn＝4n﹣1﹣×4n﹣1＝×4n﹣1，
∴S2019＝×42018，
故答案为：×42018．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正方形的性质、平行线的性质、正方形与三角形面积的计算等知识，熟练掌握正方形的性质与平行线的性质是解题的关键．
11．
【解析】
【分析】
作AM⊥BC于E，由角平分线的性质得出，设AC＝2x，则BC＝3x，由线段垂直平分线得出MN⊥BC，BN＝CN＝x，得出MN∥AE，得出，NE＝x，BE＝BN＋EN＝x，CE＝CN?EN＝x，再由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果．
【详解】
解：作AM⊥BC于E，如图所示：
∵CD平分∠ACB，
∴，
设AC＝2x，则BC＝3x，
∵MN是BC的垂直平分线，
∴MN⊥BC，BN＝CN＝x，
∴MN∥AE，
∴，
∴NE＝x，
∴BE＝BN＋EN＝x，CE＝CN?EN＝x，
由勾股定理得：AE2＝AB2?BE2＝AC2?CE2，
即52?（x）2＝（2x）2?（x）2，
解得：x＝，
∴AC＝2x＝；
故答案为．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
12．18．
【解析】
试题分析：∵AB=6，BC=8，∴AC==10，∵矩形ABCD的对角线AC的中点为O，∴OD=AC=5，又∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴CE=BC=4，OE=AB=3，∵CD=AB=6，∴四边形OECD的周长为5+3+4+6=18．故答案为18．
考点：矩形的性质；勾股定理；平行线分线段成比例．
13．(1) ），，;(2)见解析；（3）①随着的增大而减小；②图象关于直线对称；③函数的取值范围是．
【解析】
【分析】
（1）①利用线段的和差定义计算即可．
②利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）①利用函数关系式计算即可．
②描出点，即可．
③由平滑的曲线画出该函数的图象即可．
（3）根据函数图象写出两个性质即可（答案不唯一）．
【详解】
解：（1）①如图3中，由题意，
，
，，
故答案为：，．
②作于．
，，
，
，
，
，
故答案为：，．
（2）①当时，，当时，，
故答案为2，6．
②点，点如图所示．
③函数图象如图所示．
（3）性质1：函数值的取值范围为．
性质2：函数图象在第一象限，随的增大而减小．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线分线段成比例定理，函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．（1）见解析；（2），
【解析】
【分析】
(1)通过证明四边形是平行四边形，可得，，由“”可证，可得，，可证，，即可得结论；
(2)由题意可得，由平行线分线段成比例可得，即可求的长．
【详解】
(1)∵四边形，四边形都是正方形
∴，，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，且，
∴为等腰直角三角形；
(2)∵，，
∴，，，
∵，
∴，且，
∴，
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识点，灵活运用这些知识进行推理是本题的关键．
15．（1）作图见试题解析；（2）1.5m/s．
【解析】
试题分析：（1）利用中心投影的定义作图；
（2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=（4x﹣1.2）m，EG=3xm，BM=13.2﹣4x，由△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，得到，即代入解方程即可．
试题解析：（1）如图，
（2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=AF﹣MF=（4x﹣1.2）m，EG=2×1.5x=3xm，BM=AB﹣AM=12﹣（4x﹣1.2）=13.2﹣4x，∵点C，E，G在一条直线上，CG∥AB，∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，∴，，∴，即，解得x=1.5，经检验x=1.5为方程的解，∴小明原来的速度为1.5m/s．
答：小明原来的速度为1.5m/s．
考点：1．相似三角形的应用；2．中心投影．
16．
【解析】
试题分析：根据平行线分线段成比例定理得出=，再根据AD=3，AB=5，即可得出答案．
试题解析：∵DE∥BC，∴=，∵AD=3，AB=5，∴=．
考点：相似三角形的判定与性质．
17．（1）当A′与B重合时，EF=5，当折痕EF过点D时EF=，（2）①，②证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由于矩形对折，于是EF=AD=5；根据折叠的性质得到DC=AB=3，A′F=AD=5，在Rt△A′CF中利用勾股定理可计算出A′C=4，设AE=t，则BE=3-t，EA′=t，在Rt△EBA′中，利用勾股定理得（3-t）2+12=t2，解得t=，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理即可计算出EF；
（2）①当折痕FE过B点时，四边形AEA′F是正方形，BA′最小，此时BA′=BA=3；当点A的对应点A′落在C点时，BA′=5，于是得到x的取值范围是3≤x≤5，四边形AEA′F是菱形；
②根据折叠的性质得到EA=EA′，FA=FA′，∠AEF=∠A′EF，根据平行线的性质可得∠A′EF=∠AFE，则有∠A′FE=∠A′EF，于是A′E=A′F，易得AE=EA′=A′F=FA，根据菱形的判定即可得到结论．
【详解】
（1）当A′与B重合时，如图1，把矩形对折，所以EF=AD=5．
故答案为5；
如图2，DC=AB=3，A′F=AD=5，
在Rt△A′CF中，A′C==4，
设AE=t，则BE=3-t，EA′=t，
在Rt△EBA′中，BA′=BC-A′C=5-4=1，
∵BE2+BA′2=EA′2，
∴（3-t）2+12=t2，解得t=，
在Rt△AEF中，AE=，AF=5，
∴EF=；
（2）①当折痕FE过B点时，四边形AEA′F是正方形，BA′最小，此时BA′=BA=3；当点A的对应点A′落在C点时，BA′=5，于是得到x的取值范围是3≤x≤5，四边形AEA′F是菱形，
故答案为3≤x≤5；
②如图4，∵△AEF沿EF折叠到△A′EF，
∴EA=EA′，FA=FA′，∠AEF=∠A′EF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AF∥EC，
∴∠A′EF=∠AFE，
∴∠A′FE=∠A′EF，
∴A′E=A′F，
∴AE=EA′=A′F=FA，
∴四边形AEA′F是菱形．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，折痕垂直平分对应点的连线段．也考查了矩形的性质、勾股定理以及菱形的判定与性质．
18．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质得出BE=DG，再利用△BEF≌△DGF求得BF=DF，
（2）由BF=DF得点F在对角线AC上，再运用平行线间线段的比求解．
【详解】
（1）∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°，
∴BE=AB-AE，DG=AD-AG，
∴BE=DG，
∴△BEF≌△DGF（SAS），
∴BF=DF；
（2）连接AC，
∵BF=DF
∴点F在对角线AC上，
∵AD∥EF∥BC，
∴CF：BE=AF：AE=AE：AE=，
∴CF：BE=．
【点睛】本题主要考查正方形的性质及三角形全等的判定和性质，要熟练掌握基本基础知识，灵活应用解决问题．