人教版数学九年级下册27.2.3 相似三角形的判定㈡课件（23张）
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级下册27.2.3 相似三角形的判定㈡课件（23张） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-19 12:20:13 | ||
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文档简介
学习目标
探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理.
会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进
行相关计算.
A
B
C
A′
B′
C′
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。
∵∠A=∠A’， ∠B=∠B’， ∠C=∠C’
?
∴△ABC∽△A′B′C′
相似三角形的定义
复习回顾
由此我们得到判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
三角形相似的两种常见类型：
“A ”型
“X ”型
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
相似三角形判定的预备定理
复习回顾
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似.
∵
∴ △ ABC ∽ △A′B′C
符号语言：
复习回顾
相似三角形的判定定理（一）
知识精讲
利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △A′B′C′，使∠A=∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？
两个三角形相似
改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
B
A
C
B'
A'
C'
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， .
证明：
在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，使 A′D = AB，
过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E。
∵ DE∥B′C′，
∴ △A′DE∽△A′B′C′
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
知识精讲
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， .
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴ A′E = AC
又 ∠A′ = ∠A
∴ △A′DE ≌ △ABC
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC
∵ A′D=AB，
∴
知识精讲
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′
相似三角形的判定定理（二）
知识精讲
对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC，∠B= ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不一定，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.
A
B
C
思考：
A′
B′
B″
C′
重点强调：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
知识精讲
例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm，
∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm.
解：∵
∴
又∵ ∠A′ = ∠A，
∴ △ABC ∽ △A′B′C′
典例解析
1.在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm.求证：△DEF∽△ABC.
A
C
B
F
E
D
证明：
∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，
DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
又 ∵∠C =∠F = 70°
∴ △DEF ∽△ABC
∴
针对练习
2. 如图,△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形,AD=AE,AB=AC,∠DAB=∠CAE.
求证：△ABC ∽△ADE.
证明：
∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形
AD =AE，AB = AC
∴
又 ∵∠DAB = ∠CAE
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE
即 ∠DAE =∠BAC
∴△ABC ∽ △ADE
A
B
C
D
E
练习巩固
解：∵ AE=1.5，AC=2
例2如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长.
A
C
B
E
D
∴
又∵∠EAD=∠CAB
∴ △ADE ∽△ABC
∴
∴
提示：解题时要找准对应边.
典例解析
典例解析
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ∠ACB=90°．
A
B
C
D
∵
【点睛】解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
达标检测
1. 判断
(1) 两个等边三角形相似 ( )
(2) 两个直角三角形相似 ( )
(3) 两个等腰直角三角形相似 ( )
(4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似 ( )
×
√
√
×
达标检测
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使△ABC ∽ △DBA的条件是 ( )
A. AC : BC=AD : BD
B. AC : BC=AB : AD
C. AB2 = CD · BC
D. AB2 = BD · BC
D
A
B
C
D
达标检测
3. 如图 △AEB 和 △FEC (填 “相似” 或 “不相似”) .
54
30
36
45
E
A
F
C
B
1
2
相似
达标检测
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，
AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ，
解得 AP = 9；
当 △ADP ∽△ABC 时，
AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，
解得 AP = 4.
∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，
△ADP 和 △ABC 相似．
4. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
A
B
C
D
4 或 9
P
P
达标检测
5. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的长．
A
B
C
D
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，
∴
又∵∠B=∠ACD，
∴ △ABC ∽ △DCA，
∴ ，
∴
6. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC，求证 △ABC ∽△AED.
A
B
C
D
E
证明：∵ AB · AD = AE·AC，
∴
又∵ ∠DAB =∠CAE，
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC，
∴ △ABC ∽△AED.
达标检测
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
利用两边及夹角判定三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
小结梳理
探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理.
会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进
行相关计算.
A
B
C
A′
B′
C′
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。
∵∠A=∠A’， ∠B=∠B’， ∠C=∠C’
?
∴△ABC∽△A′B′C′
相似三角形的定义
复习回顾
由此我们得到判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
三角形相似的两种常见类型：
“A ”型
“X ”型
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
相似三角形判定的预备定理
复习回顾
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似.
∵
∴ △ ABC ∽ △A′B′C
符号语言：
复习回顾
相似三角形的判定定理（一）
知识精讲
利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △A′B′C′，使∠A=∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？
两个三角形相似
改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
B
A
C
B'
A'
C'
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， .
证明：
在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，使 A′D = AB，
过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E。
∵ DE∥B′C′，
∴ △A′DE∽△A′B′C′
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
知识精讲
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， .
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴ A′E = AC
又 ∠A′ = ∠A
∴ △A′DE ≌ △ABC
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC
∵ A′D=AB，
∴
知识精讲
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′
相似三角形的判定定理（二）
知识精讲
对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC，∠B= ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不一定，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.
A
B
C
思考：
A′
B′
B″
C′
重点强调：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
知识精讲
例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm，
∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm.
解：∵
∴
又∵ ∠A′ = ∠A，
∴ △ABC ∽ △A′B′C′
典例解析
1.在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm.求证：△DEF∽△ABC.
A
C
B
F
E
D
证明：
∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，
DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
又 ∵∠C =∠F = 70°
∴ △DEF ∽△ABC
∴
针对练习
2. 如图,△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形,AD=AE,AB=AC,∠DAB=∠CAE.
求证：△ABC ∽△ADE.
证明：
∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形
AD =AE，AB = AC
∴
又 ∵∠DAB = ∠CAE
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE
即 ∠DAE =∠BAC
∴△ABC ∽ △ADE
A
B
C
D
E
练习巩固
解：∵ AE=1.5，AC=2
例2如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长.
A
C
B
E
D
∴
又∵∠EAD=∠CAB
∴ △ADE ∽△ABC
∴
∴
提示：解题时要找准对应边.
典例解析
典例解析
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ∠ACB=90°．
A
B
C
D
∵
【点睛】解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
达标检测
1. 判断
(1) 两个等边三角形相似 ( )
(2) 两个直角三角形相似 ( )
(3) 两个等腰直角三角形相似 ( )
(4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似 ( )
×
√
√
×
达标检测
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使△ABC ∽ △DBA的条件是 ( )
A. AC : BC=AD : BD
B. AC : BC=AB : AD
C. AB2 = CD · BC
D. AB2 = BD · BC
D
A
B
C
D
达标检测
3. 如图 △AEB 和 △FEC (填 “相似” 或 “不相似”) .
54
30
36
45
E
A
F
C
B
1
2
相似
达标检测
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，
AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ，
解得 AP = 9；
当 △ADP ∽△ABC 时，
AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，
解得 AP = 4.
∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，
△ADP 和 △ABC 相似．
4. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
A
B
C
D
4 或 9
P
P
达标检测
5. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的长．
A
B
C
D
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，
∴
又∵∠B=∠ACD，
∴ △ABC ∽ △DCA，
∴ ，
∴
6. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC，求证 △ABC ∽△AED.
A
B
C
D
E
证明：∵ AB · AD = AE·AC，
∴
又∵ ∠DAB =∠CAE，
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC，
∴ △ABC ∽△AED.
达标检测
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
利用两边及夹角判定三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
小结梳理