人教版数学九年级下册27.2.5 相似三角形的性质课件（27张）

学习目标
理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题.
理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题.
复习回顾
1. 相似三角形的判定方法有哪几种？
?定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似.
?平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似.
?三边成比例的两个三角形相似.
?两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
?两角分别相等的两个三角形相似.
?一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似.
2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?
如果两个三角形相似，那
么，对应的这些要素
有什么关系呢？
高
中线
角平分线
周长
面积
复习回顾
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
知识精讲
∵△ABC ∽△A′B′C′
∴∠B＝∠B'
解：如图，分别作出 △ABC 和 △A' B' C' 的高 AD 和 A' D'
则∠ADB =∠A' D' B'=90°
∴△ABD ∽△A' B' D'
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
∴
以高为例
知识精讲
A
B
C
A'
B'
C'
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
D
D
D'
D'
对应中线
对应角平分线
知识精讲
相似三角形对应线段的比

由此我们可以得到：
相似三角形对应高的比、对应中线与对应角平分线的比都等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
知识精讲
解：∵ △ABC ∽△DEF 　
D
E
F
H
例1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG= 4.8 cm. 求 EH 的长.
∴
(相似三角形对应角平分线的比等于相似比)
∴ ，解得 EH = 3.2
A
G
B
C
∴ 故 EH 的长为 3.2 cm.
典例解析
1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是 ______.
2. △ABC 与 △A’B’C’ 的相似比为3 : 4，若 BC 边上的高 AD＝12 cm，则 B’C’ 边上的高 A’D’ ＝_______ .
2 : 3
2 : 3
16 cm
针对练习
相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？
思考：
解：如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
因此
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
从而
A
B
C
A'
B'
C'
知识精讲
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
思考：
知识精讲
由前面的结论，我们有
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
知识精讲
相似三角形周长、面积的比
?相似三角形面积的比等于相似比的平方.
?相似三角形周长的比等于相似比.
知识精讲
A
B
C
A'
B'
C'
1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：
相似比
2
k
……
周长比
……
面积比
10000
……
2
4
100
100
k
k2
针对练习
2. 把一个三角形变成和它相似的三角形，
(1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为原来的______倍；
(2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大为原来的______倍.
25
10
针对练习
3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm，
(1) 它们的周长差 60 cm，这两个三角形的周长分别是____________；
(2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面积分别是___________.
100 cm、40 cm
50 cm2、8 cm2
解：在 △ABC 和 △DEF 中
∵ AB=2DE，AC=2DF
又 ∵∠D=∠A
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2
A
B
C
D
E
F
∴
例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3，
面积为
典例解析
如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为______.
针对练习
例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积. 　
∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它们的相似比为 3 : 5，
∴ 面积比为 9 : 25.
B
C
A
D
E
解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且
典例解析
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，
∴ △ADE 的面积为 36 cm2 .
∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm2).
△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和△EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积.
A
B
C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，EF∥AB
∴ △ADE ∽△ABC,∠AED=∠C，∠A =∠CEF
∴△ADE ∽△EFC
又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9
∴ AE : EC=2:3
则 AE : AC =2 : 5
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25
∴ S△ABC = 25
针对练习
达标检测
1. 判断：
(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( )
(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ( )
√
×
达标检测
3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_____.
1 : 2
1 : 4
2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF，∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ的值为( )
A．2 B．4 C．1 D.
C
4. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则较小三角形的周长____cm，面积为____cm2.
14
达标检测
5. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 (点A) 发出的光线照 射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位小数)？
A
D
E
F
C
B
H
解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，
桌面的直径为 1.2 米，
∴ AF = AH－FH = 2 (米)，
DF = 1.2÷2 = 0.6 (米).
∵DF∥CH，
∴△ADF ∽△ACH，
∴ 即
解得 CH = 0.9米.
∴ 阴影部分的面积为：
(平方米).
答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米.
6. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和△EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积.
A
B
C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
∴△ADE ∽△EFC.
又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
∴ AE : EC=2:3，
则 AE : AC =2 : 5，
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25.
达标检测
7. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于点 D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求 S△ADE ∶S△ABC
解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则
∴
又∵ DE∥BC，
∴ △ADE ∽△ABC.
A
B
C
D
E
达标检测
∴
即 S△ADE : S△ABC ＝4 : 9.
相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似三角形性质的运用
小结梳理