人教版九年级数学上册27.2.4 相似三角形的判定（三）（24张）

学习目标
探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.
掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并
能进行相关计算.
掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行
相关计算.
学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干.小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？
？
？
？
情景引入
问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值.你有什么发现？
C
A
B
A'
B'
C'
画两个△ABC和 △A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列问题：
这两个三角形是相似的
知识精讲
问题二 试证明△A′B′C′∽△ABC.
证明：在 △ABC 的边 AB上，截取 AD=A′B′，过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E，则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B
∵∠B=∠B′
∴∠ADE=∠B′
又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′
∴△ADE ≌△A′B′C′
∴△A′B′C′ ∽△ABC
C
A
A'
B
B'
C'
D
E
画两个△ABC和 △A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列问题：
知识精讲
相似三角形的判定定理（三）
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'
∴ △ABC ∽ △A'B'C'
符号语言：
C
A
B
A'
B'
C'
知识精讲
证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 °,∠B=80 °
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °
∵ 在△DEF中，∠E=80 °,∠F=60 °
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F
　 ∴ △ABC ∽△DEF
例1 如图，△ABC 和 △DEF 中,∠A=40°,∠B=80°,∠E=80 °,∠F=60 ° .
求证：△ABC ∽△DEF.
A
C
B
F
E
D
典例解析
如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB
∴∠AED＝∠C，
∠A＝∠FEC
∴ △ADE∽△EFC
针对练习
例2 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证PA · PB=PC · PD.
证明:连接AC，DB
∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角
∴ ∠A= _______
同理 ∠C= _______
∴ △PAC ∽ △PDB
∴______________ 即PA ·PB = PC · PD.
∠D
∠B
O
D
C
B
A
P
典例解析
1. 如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=60°，∠B=40°，∠A' = 60°，当∠C'= 时，△ABC ∽△A’B’C’.
C
A
B
B'
C'
A'
80°
2. 如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3，PB = 8，PC = 4，则 PD = .
6
O
D
C
B
A
P
针对练习
∴
解：∵ ED⊥AB
∴∠EDA=90 °
又∵∠C=90 °，∠A=∠A
∴ △AED ∽△ABC
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
D
A
B
C
E
∴
典例解析
对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等。 那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
思考：
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°，∠C′=90°， .
求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
C
A
A'
B
B'
C'
要证明两个三角形相似，即是需要
证明什么呢？
目标：
知识精讲
证明：设____________= k ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.
由 ，得


∴ ＿＿＿＿＿＿＿＿.
∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′.
勾股定理
∴
C
A
A'
B
B'
C'
由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
知识精讲
针对练习
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.
(1) ∠A=35°，∠B′=55°： ；
(2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ；
(3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： .
相似
相似
相似
达标检测
1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相似三角形共有( )
A. 1对 　　B. 2对
C. 3对 　　D. 4对
C
达标检测
2. 如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 ( )
A.
B.
C.
D.
A
C
A
B
D
E
达标检测
A
B
D
C
3. 如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝∠ (或∠ =∠ )时， △ACD∽△ABC；

ACD
ACB
B
ADB
达标检测
4. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC = 90°，BD⊥AC于D. 若 AB=6，AD=2，则 AC= ，BD= ，BC= .
18
D
B
C
A
证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，
∴ ∠FEA=∠FDB=90°，
∠AFE =∠BFD (对顶角相等).
∴ △FEA ∽ △ FDB，
∴
5. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F．求证：
D
C
A
B
E
F
达标检测
证明：
∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC，
∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3，
∴ ∠BAC=∠DAE.
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，
∠E=180°－∠3－∠AOE，
∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠C= ∠E.
∴ △ABC∽△ADE.
6. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
A
B
C
D
E
1
3
2
O
达标检测
7. 如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高， 求证：AC · BC = BE · CD.
O
D
C
B
A
E
证明： 连接CE，
则∠A=∠E.
又∵BE是△ABC的外接圆O的直径，
∴∠BCE=90°=∠ADC，
∵∠A=∠E，∠BCE=∠ADC，
∴△ACD∽△EBC.
∴ ∴ AC · BC = BE · CD.

达标检测
达标检测
8.如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似．
C
A
B
D
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
(1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝
AB : AC， 即 : 2 =AB : ，解得 AB=3；
∴
(2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝
AB : AC ， 即 : =AB : ，解得 AB= ．
∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似．
两角分别相等的两个三角形相似
利用两角判定三角形相似
直角三角形相似的判定
小结梳理