相似三角形中的辅助线

(共50张PPT)
相似三角形中的辅助线
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：
例题：
如图，D是△ABC的BC边上的点，
BD：DC=2：1，
求：BE：EF的值.
D
A
B
C
E
F
E是AD的中点,
连结BE并延长交AC于F,
一、作平行线
D
A
B
C
E
F
n
2k
k
解法1：
过点D作CA的平行线交BF于点P，
P
y
y
n
y
D
A
B
C
E
F
n
解法1：
过点D作CA的平行线交BF于点P，
P
n
2k
k
y
y
4y
y
∴BE：EF=5：1.
则
∴PE=EF
BP=2PF=4EF，
所以BE=5EF
D
A
B
C
E
F
n
n
2k
解法2：
过点D作BF的平行线交AC于点Q，
y
k
Q
y
2y
D
A
B
C
E
F
n
n
解法2：
过点D作BF的平行线交AC于点Q，
Q
2k
k
y
2y
5y
y
∴BE：EF=5：1.
∴
D
A
B
C
E
F
2k
解法3：
过点E作BC的平行线交AC于点S，
S
n
n
k
k
D
A
B
C
E
F
解法3：
过点E作BC的平行线交AC于点S，
S
n
n
y
5y
y
2k
k
D
A
B
C
E
F
n
n
2k
解法4：
过点E作AC的平行线交BC于点T，
T
k
k
D
A
B
C
E
F
n
n
2k
解法4：
过点E作AC的平行线交BC于点T，
T
y
y
5y
∵BD=2DC，
∴
∴BE：EF=5：1.
练习：
如图，D是△ABC的BC边上的点，
BD：DC=2：1，
求AF：CF的值.
D
A
B
C
E
F
E是AD的中点,
连结BE并延长交AC于F,
D
A
B
C
E
F
解法1：
过点D作CA的平行线交BF于点P，
P
n
n
2x
2x
2k
k
3x
AF：CF=2：3.
D
A
B
C
E
F
解法2：
过点D作BF的平行线交AC于点Q，
Q
n
n
2x
2x
2k
k
x
AF：CF=2：3.
D
A
B
C
E
F
解法3：
过点E作BC的平行线交AC于点S，
S
n
n
h
2h
4h
y
5y
4y
AF：CF=2：3.
D
A
B
C
E
F
解法4：
过点E作AC的平行线交BC于点T，
T
n
n
h
h
4h
5y
6y
4y
AF：CF=2：3.
作平行线
例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：
证明：过点C作CG//FD交AB于G
小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。
例2. 如图，△ABC中，AB分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。
方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）。
方法二：如图，过D作DN//EC交BC于N
1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。
求证：EF×BC=AC×DF
1、证明：
过D作DG∥BC交AB于G，
则△DFG和△EFB相似，∴
∵BE＝AD,∴
　①由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，
∴
　　∴
　由①②得，
∴EF×BC＝AC×DF
①
②
1、已知点D是BC的中点，过D点的直线交AC
于E,交BA的延长线于F,求证：
E
F
B
C
A
D
利用比例式够造平行线，通过中间比得结论
利用中点”倍长中线”的思想平移线段EC,使得所得四条线段分别构成两个三角形
已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求证：BC2=2AC·CD
A
B
C
D
本题的 重点在于如何解决“2”倍的 问题；让它归属一条线段，找到这一线段2倍是哪一线段。
已知：从直角三角形ABC的 直角顶点A向斜边BC引垂线，垂足为D，边AC的中点为E,直线ED与边AB的延长线交于F，
求证：AB:AC=DF:AF
F
E
A
B
C
D
利用前两题的 思想方法，借助中点构造中位线，利用平行与2倍关系的 结论，证明所得结论
找到后以比例式所在三角形与哪个三角形相似
1、如图，△ABC中，AD是BC边上中线，E是AC上一点，连接ED且交AB的延长线于F点.
求证：AE：EC=AF：BF
A
C
B
F
D
E
注意观察图形的 特殊性，有些像全等中，旋转的基本图形，因此可以没有相互关系的 成比例的四条线段转化为成比例的四条线段（通过全等找相等的 线段）
关键是要把成比例线段放在两个三角形中
2、如图，平行四边形ABCD中，E为AB边中点，点F在AD边上，且AF：FD=1：2，EF交AC于G，求 的值
.
G
E
D
A
B
C
F
1、在 ABC中，AB=AC,AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB,延长BP交AC于E，交CF于F,求证：BP2=PE·PF
P
E
A
B
C
F
D
在同一直线上的三条线段成比例，可以通过中间比转化，
也可以通过线段相等，把共线的线段转化为两个三角形中的 线段，通过相似证明。
另外在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系，有利于证明
1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，BA、CD的延长线交于E点，连结EO并延长分别交AD、BC于N、M
求证： BM=CM
j
A
D
B
C
E
M
N
O
1、如图，AD是∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，求证：ED2=EB·EC
F
A
B
C
E
D
2、如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC(AB>AE),
求证： AEF∽ ECF
E
C
D
B
A
F
2、已知，在 ABC中，若AB=BC,∠B=90 ,AD为BC边的中线，过B作直线BP⊥AD于P交AC于E，求证：AE=2EC ;∠AEB= ∠CED.
D
A
B
C
E
二、作垂线
3. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：
证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N
∴
∽
∴
∴
（1）
∽
∴
∴
（2）
又
∴ AN=CM
又
（1）+（2）
∴
2、中，，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：
2、证明：
过P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F，
则CEPF为矩形∴ PF
EC ∵
∴
∽
∴
∵ EC=PF ∴
（1） 在
和
中：CP⊥MN于Q ∴
又 ∵
∴
∴
∽
∴
即
由（1）（2）得
（2）
三、作延长线
例5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。
分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。
解：延长BA、CD交于点P
∵CH⊥AB，CD平分∠BCD
∴CB=CP，且BH=PH
∵BH=3AH
∴PA：AB=1：2
∴PA：PB=1：3
∵AD∥BC
∴△PAD∽△PBC
例6. 如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF
解析：欲证式即 由“三点定形”，ΔBFG
与ΔCFG会相似吗？显然不可能。（因为ΔBFG为RtΔ），但由E为CD的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。
不妨延长GF与AC的延长线交于H
则
又ED=EC ∴FG=FH 又易证RtΔCFH∽RtΔGFB
∴FG·FH=CF·BF
∵FG=FH ∴FG2=CF·BF
四、作中线
例7 如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。
解：取BC的中点M，连AM
∵ AB⊥AC ∴ AM=CM
∴ ∠1=∠C 又 BD=DC
∴
∴
∽
∴
又 DC=1 MC=
BC
∴
（1）
又
∽
又 ∵ EC=1 ∴
由（1）（2）得，
∴
（2）
∴
小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造
与
相似是解题关键
3、
理由？（用三种解法）
方法一：如图（1），设BC中点为E，连接AE。
方法二：如图（2），在DA上截取DE=DC
在△BED与△BCD中，
方法三：如图（3），过B作BE⊥BC于B，交CA的延长线于E。
我有哪些收获呢？
与大家共分享！