3.2 立体几何中的向量方法(共38张PPT)

(共38张PPT)
第七节　立体几何中的向量方法
位置关系
判断方法
线线位
置关系
直线l1的方向向量为u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．
(1)若l1∥l2，则u1∥u2?u1＝ku2?
(a1，b1，c1)
＝
k
(a2，b2，c2)
；
(2)若l1⊥l2，则u1⊥u2?u1·u2＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
线面位
置关系
直线l的方向向量为u＝
(a1，b1，c1)
，
平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)．
(1)若l∥α，则u⊥n?u·n＝0?
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)若l⊥α，则u∥n?u＝kn?
(a1，b1，c1)
＝k(a2，b2，c2)
面面位
置关系
平面α的法向量为u1＝
(a1，b1，c1)
，平面β的法向量为u2＝(a2，b2，c2)．
(1)若α∥β，则u1∥u2?u1＝ku2?
(a1，b1，c1)
＝k(a2，b2，c2)；
(2)若α⊥β，则u1⊥u2
?
u1·u2
＝0?
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
1．利用向量研究空间中的位置关系
2.利用空间向量求空间角
(1)求两条异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
图9－7－1
②设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是
(如图9－7－1②③)．
二面角的平面角的大小
3．利用空间向量求点面距离
图9－7－2
【思考感悟】　直线与平面所成的角和平面的法向量与直线的方向向量所成的角有怎样的关系？
研讨　当直线的方向向量与平面的法向量所成的角是锐角时，其余角为线面角；当直线的方向向量与平面的法向量所成的角是钝角时，其补角的余角是线面角．
利用空间向量证明平行、垂直问题
利用空间向量证明平行、垂直问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，空间向量平行与垂直的充要条件以及有关平行、垂直的定理．
如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．
(1)求证：DE∥平面ABC；
(2)求证：B1F⊥平面AEF.
【证明】建立如图所示空间直角坐标系，
令AB=AA1=4，
则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，
B(4,0,0)，B1(4,0,4)．
(1)取AB中点N，连接NC，
则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，
又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF.
练习：
如图，在正方体
中，E、F、M分别为棱
的中点.
求证：
∥
解析：（1）以D为原点，向量
的方向分别为x轴，y轴、z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1.则
设平面ADE的法向量为m=(a,b,c),
则
令c=2,得m=(0,-1,2).
∵
（2）
设平面
的法向量为n=(x,y,z)，
则
令y=2,则n=(0,2,1).
∵m·n=(0,-1,2)·(0,2,1)=0-2+2=0,
∴m⊥n,∴平面ADE⊥平面
.
利用空间向量求点面距离
利用向量法求点面距，其步骤如下：
(1)求出该平面的一个法向量；
(2)找出过该点的平面的任一条斜线段对应的向量；
(3)求出法向量与斜线段所对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离，如图9－7－4所示．
图9－7－4
如图，在三棱锥P－ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.
(1)求证：PC⊥AB；
(2)求二面角B－AP－C的余弦值；
(3)求点C到平面APB的距离．
【证明】　(1)∵AC＝BC，AP＝BP，PC＝PC，
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC，∴PC⊥BC.
∵AC∩BC＝C，∴PC⊥平面ABC.
∵AB?平面ABC，∴PC⊥AB.
∵AC=PC，AB=BP，
∴CE⊥AP，BE⊥AP，
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
(2)如图所示，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.
则C(0,0,0)，A(0,2,0)，B(2,0,0)．
设P(0,0，t)，
∴t=2，P(0,0,2)．
取AP中点E，连接BE，CE.
(3)∵AC=BC=PC，
∴C在平面APB内的射影为正三角形APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离．
如(2)建立空间直角坐标系C-xyz，
本例中，设D为BC中点，求点C到平面ADP
的距离．
如图，在三棱锥P－ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.
D
利用空间向量求直线与平面所成的角
求斜线与平面所成的角，若能作出斜线和平面所成的角，可转化为向量的夹角，若不易作出，可求平面的法向量，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面角的关系求解．
如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面B1ED交A1D1于F.
(1)指出F在A1D1上的位置，并说明理由；
(2)求直线AD与平面B1ED所成角的余弦值．
【解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系．
法二　如图所示，(1)由正方体的性质，有B1F∥ED，B1E∥FD，从而四边形DEB1F为平行四边形，
∴B1E=FD，又BB1=DD1，∴△B1BE≌△DD1F.
F
利用空间向量求二面角
求平面与平面所成的角，若能作出二面角，可转化为两向量的夹角，若不易作出，可求平面的法向量，利用两平面的法向量的夹角与二面角的关系求解．
(1)求二面角B－A1D－A的余弦值；
(2)在AC上是否存在一点F，使EF⊥平面A1BD？若存在确定其位置；若不存在，说明理由．
直三棱柱A1B1C1－ABC的三视图如图所示，D、E分别为棱CC1和B1C1的中点．
(课本选修2－1　P106例2)如图所示，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处．从A，B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值．
练习1：在棱长为1的正方体
中,M和N分别是
和
的中点,求直线AM与CN所成角的余弦值。
解析:以D为坐标原点,
为z轴建立空间直角坐标系,
练习2、在正方体AC1中，E、F分别为D1C1与AB的中点，求A1B1与截面A1EC所
成角的正弦值.
解析：如图，建立以D为原点,DA,DC,
分别为x,y,z轴的坐标系,设棱长为1,平面
的法向量n=(x,y,z),
∴
与平面
所
成角的正弦
值为
.
练习3、如图,在长方体
中,
点E在棱AB上移动.
(1)求证:
(2)AE等于何值时,二面角
的大小为
?
(2)如图，过D作DH⊥CE于H,连接D1H、DE，则D1H
⊥CE，∠DHD1是二面角D1-EC-D的平面角，
设AE=x,则BE=2-x.
解
方法一:(1)∵AE⊥平面
又∵
是正方形,
方法二:以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建
立如图所示的空间直角坐标系,设AE=x,则D(0,0,0),
A1(1,0,1),
D1
(0,0,1),
E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0).
(2)设平面D1EC的法向量n=(a,b,c),
=(1,x-2,0),
=(0,2,-1),
=(0,0,1),由
令b=1,∴c=2,a=2-x,∴n=(2-x,1,2).
依题意，得
课堂反思
1．用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．
2．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．
3．若利用向量来解，各类角都可以转化为向量的夹角来运算．
(1)求两异面直线a，b的夹角θ，须求出它们的方向向量a，b的夹角．则cosθ＝|cos〈a，b〉|.
(2)求直线l与平面α所成的角θ.
可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角．则sinθ＝|cos〈n，a〉|.
(3)求二面角α－l－β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角．
则θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．
4．求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段．