课时作业29 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式
——基础巩固类——
1．在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为( B )
A．(－1,2,3)
B．(1，－2，－3)
C．(－1，－2,3)
D．(－1,2，－3)
解析：关于x轴对称，横坐标不变．
2．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为( A )
A．(－3,4,5)
B．(－3，－4,5)
C．(3，－4，－5)
D．(－3,4，－5)
解析：关于yOz平面对称，y，z不变．
3．如图，在正方体OABC－O1A1B1C1中，棱长为2，E是B1B上的点，且|EB|＝2|EB1|，则点E的坐标为( D )
A．(2,2,1)
B．(2,2，)
C．(2,2，)
D．(2,2，)
解析：∵EB⊥xOy平面，而B(2,2,0)，故设E(2,2，z)，又因|EB|＝2|EB1|，
所以|BE|＝|BB1|＝，
故E(2,2，)．
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( B )
A．9
B.
C．5
D．2
解析：由已知求得C1(0,2,3)，
∴|AC1|＝.
5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)(a∈R)，则|AB|的最小值是( B )
A．3
B．3
C．2
D．2
解析：|AB|2＝(2a－1)2＋(－7－a)2＋(－2＋5)2＝5a2＋10a＋59＝5(a＋1)2＋54.∴a＝－1时，|AB|2的最小值为54.
∴|AB|min＝＝3.
6．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( C )
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：由两点间的距离公式得|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝，满足|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，故选C.
7．点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则|AB|＝10.
解析：∵点B的坐标为B(2，－3，－5)，
∴|AB|＝＝10.
8．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为(0,0,3)．
解析：设P(0,0，c)，由题意得
＝
解之得c＝3，∴点P的坐标为(0,0,3)．
9．已知空间点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则点A到平面yOz的距离是2或6.
解析：∵|AB|＝2，
∴(x－2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝24，
即(x－2)2＝16，∴x＝－2或x＝6，
∴点A到平面yOz的距离为2或6.
10.如图所示，在长方体ABCO－A1B1C1O1中，OA＝1，OC＝2，OO1＝3，A1C1与B1O1交于P，分别写出A，B，C，O，A1，B1，C1，O1，P的坐标．
解：点A在x轴上，且OA＝1，
∴A(1,0,0)．
同理，O(0,0,0)，C(0,2,0)，O1(0,0,3)．
B在xOy平面内，且OA＝1，OC＝2，∴B(1,2,0)．
同理，C1(0,2,3)，A1(1,0,3)，B1(1,2,3)．
∴O1B1的中点P的坐标为(，1,3)．
11．(1)已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)，
①在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；
②在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离，求M点轨迹．
(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．
解：(1)①设P(a,0,0)，则由已知得
＝，
即a2－2a＋6＝a2－4a＋8，解得a＝1，
所以P点坐标为(1,0,0)．
②设M(x,0，z)，则有
＝，
整理得2x＋6z－2＝0，即x＋3z－1＝0.
故M点的轨迹是xOz平面内的一条直线．
(2)由已知，可设M(x,1－x,0)，则
|MN|＝
＝.
所以当x＝1时，|MN|min＝，此时点M(1,0,0)．
——能力提升类——
12．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( A )
A.
B.
C.
D.
解析：设P(x，y，z)，由题意可知
∴x2＋y2＋z2＝.∴＝.
13．点P(x，y，z)满足＝2，则点P在( C )
A．以点(1,1，－1)为圆心，以2为半径的圆上
B．以点(1,1，－1)为中心，以2为棱长的正方体上
C．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上
D．无法确定
解析：＝2的几何意义是动点P(x，y，z)到定点(1,1，－1)的距离为2的点的集合．故选C.
14．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于.
解析：设正方体的棱长为a，由|AM|＝＝可知，正方体的体对角线长为a＝2，故a＝＝.
15．在空间直角坐标系中，已知点A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问：
(1)在y轴上是否存在点M满足|MA|＝|MB|?
(2)在y轴上是否存在点M，使得△MAB为等边三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)假设在y轴上存在点M满足|MA|＝|MB|.
由点M在y轴上，可设M(0，y,0)，由|MA|
＝|MB|，可得＝，显然此式对任意y∈R恒成立，故y轴上所有的点都满足|MA|＝|MB|.
(2)假设在y轴上存在点M，使得△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任意一点都满足|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB为等边三角形．因为|MA|＝＝，
|AB|＝＝，
所以＝，解得y＝±.
故在y轴上存在点M使得△MAB为等边三角形，点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0)．
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1课时作业28 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用
——基础巩固类——
1．圆x2＋y2＝1和x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系为( A )
A．外切
B．内切
C．相离
D．内含
解析：方程x2＋y2－6y＋5＝0化为x2＋(y－3)2＝4，所以两圆的圆心为C1(0,0)，C2(0,3)，半径为r1＝1，r2＝2，而|C1C2|＝3＝r1＋r2.则两圆相外切，故选A.
2．已知点A，B分别在两圆x2＋(y－1)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝9上，则A，B两点之间的最短距离为( C )
A．2
B．2－2
C．2－4
D．2
解析：两圆心之间的距离为＝2>4＝r1＋r2，所以两圆相离，所以A、B两点之间的最短距离为2－4，故选C.
3．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为( A )
A．x＋y－1＝0
B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0
D．x－y＋1＝0
解析：直线AB的方程为4x－4y＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，即两圆心连线．故选A.
4．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( D )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
解析：由题意知，半径为6的圆与x轴相切，设所求圆的圆心坐标为(a，b)，则b＝6，再由＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.故选D.
5．一辆货车宽2米，要经过一个半径为米的半圆形隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度不得超过( B )
A．2.4米
B．3米
C．3.6米
D．2.0米
解析：以半圆直径所在直线为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系．
由半圆的半径为可知，半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝10(y≥0)，由图可知当车恰好在隧道中间行走时车篷可达到最高．此时x＝1或x＝－1，代入x2＋y2＝10，得y＝3(负值舍去)．故选B.
6．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( D )
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
解析：设动圆圆心为G(x，y)，当两圆内切时，有(x－5)2＋(y＋7)2＝9；当两圆外切时，有(x－5)2＋(y＋7)2＝25.故选D.
7．过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是x2＋y2－x＋y＋2＝0.
解析：设所求圆方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋2＝0.
8．两圆相交于两点A(1,3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为3.
解析：由题意知，线段AB的中点在直线x－y＋c＝0上，且kAB＝＝－1，即m＝5，又点在该直线上，所以－1＋c＝0，所以c＝－2，所以m＋c＝3.
9．圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上总存在两点到坐标原点的距离为1，则实数a的取值范围是.
解析：由题意可知，圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4和圆x2＋y2＝1相交．可得两圆圆心之间的距离d＝＝，由两圆相交可得2－1<<2＋1，平方可得1<5a2＋6a＋9<9，解得－
10．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则当m为何值时，
(1)圆C1与圆C2相切；
(2)圆C1与圆C2内含．
解：对于圆C1，圆C2的方程，经配方后有
圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，
圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
(1)①若圆C1与圆C2外切，则有
＝3＋2＝5.即m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.
②若圆C1与圆C2内切，则有
＝3－2＝1，即m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或m＝－2.
综上所述，当m＝－1或m＝－2或m＝
－5或m＝2时，两圆相切．
(2)若圆C1与圆C2内含，则有
<3－2＝1.
即m2＋3m＋2<0，解得－2故当－211.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25
km的圆形区域．一艘外籍轮船从位于海监船正东40
km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30
km的B处岛屿，速度为28
km/h.
问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
解：如图，以O为原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，
圆O方程为x2＋y2＝252，直线AB方程：＋＝1，
即3x＋4y－120＝0，
设O到AB距离为d，则d＝＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．
设监测时间为t，则t＝＝(h)．
答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5
h.
——能力提升类——
12．已知M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r>0)}，且M∩N＝N，则r的取值范围是( C )
A．(0，－1)
B．(0,1]
C．(0,2－]
D．(0,2]
解析：因为M∩N＝N，所以两个圆内含或内切，则2－r≥，得r∈(0,2－]，故选C.
13．台风中心从A地以每小时20
km的速度向东北方向移动，离台风中心30
km内的地区为危险地区，若城市B在A地正东40
km处，则B城市处于危险区内的时间为( B )
A．0.5
h
B．1
h
C．1.5
h
D．2
h
解析：
由题意画出示意图，建立如图所示的平面直角坐标系，令|BE|＝|BF|＝30.在△ABC中，|BC|＝40×＝20，而|BE|＝30，∴|EC|＝＝10，∴|EF|＝20，∴B城市处于危险区内的时间为＝1(h)．
14．已知点M(1,2)，N(3,2)，点F是直线l：y＝x－3上的一个动点，当∠MFN最大时，过点M，N，F的圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝2.
解析：根据题意，设圆心坐标为C(2，a)，当∠MFN最大时，过点M，N，F的圆与直线y＝x－3相切，
∴＝，∴a＝1或9.当a＝1时，r＝，∠MCN＝90°，∠MFN＝45°；
当a＝9时，r＝5，∠MCN<90°，∠MFN<45°.故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2.
15．已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
解：(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．根据题意，得
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)因为四边形PAMB的面积
S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，而|PA|＝＝，
即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝＝3，
所以四边形PAMB面积的最小值为
S＝2＝2＝2.
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1课时作业27 直线与圆的位置关系
——基础巩固类——
1．直线4x－3y－2＝0与圆x2＋y2－2x＋4y－11＝0的位置关系是( D )
A．相离
B．相切
C．相交过圆心
D．相交不过圆心
解析：圆心(1，－2)到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝，圆的半径r＝4.所以d2．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为( A )
A．(－，)
B．(－3,3)
C．(－，)
D．(－2,2)
解析：由圆与直线没有公共点，可知圆心到直线的距离大于半径长，即>1，解得－3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值为( B )
A．－2
B．－4
C．－6
D．－8
解析：由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r＝.
圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝.
由r2＝d2＋()2得2－a＝2＋4，所以a＝－4.
4．若圆C的半径长为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( A )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
解析：由题意可设圆心坐标为(a，b)，且a>0，b>0.因为圆的半径长为1及圆与x轴相切，所以b＝1，又圆与直线4x－3y＝0相切，则有＝1，解得a＝2或a＝－(舍去)．故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
5．由直线y＝x＋1上的一点向圆C：x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( C )
A．1
B．2
C.
D．3
解析：方法1：切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径长为r＝1，故切线长的最小值为＝＝.
方法2：易知P(m，m＋1)在直线y＝x＋1上，由切线长公式得|PC|＝
＝，由m∈R可得|PC|min＝.
6．圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝8到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点的个数是( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：圆的半径为2，圆心C(－1,2)到直线l的距离为d＝＝，如图所示，圆上有3个点到直线l的距离等于.
7．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A、B两点，则|AB|＝2.
解析：圆心到直线的距离为d＝＝，
所以|AB|＝2＝2.
8．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于点A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为0或6.
解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，圆心C(－1，2)，半径r＝3.∵AC⊥BC，∴圆心C到直线AB的距离d＝×3＝，即d＝＝＝，即|a－3|＝3，解得a＝0或a＝6.
9．已知圆C的圆心与点(－2,1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.
解析：设点(－2,1)关于直线y＝x＋1的对称点C的坐标为(x，y)，则解得
即圆心C(0，－1)．
又圆心C到直线3x＋4y－11＝0的距离为
＝3，
从而圆的半径长为
＝3.
故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.
10．实数a(a>0)取什么值时，直线x＋y－2a＋1＝0与圆(x－a)2＋(y＋1)2＝a.
(1)相离；(2)相切；(3)相交．
解：圆(x－a)2＋(y＋1)2＝a的圆心为(a，－1)，半径为，则圆心(a，－1)到直线x＋y－2a＋1＝0的距离为
d＝＝，
(1)当>，即a>2时，直线和圆相离；
(2)当＝，即a＝2时，直线和圆相切；
(3)当<，即011．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；
(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
解：(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，
∴2r＝＝4，∴r＝2，
∴＝r＝2，
即|2a＋b＋15|＝10，①
＝r＝2，
即|2a＋b－5|＝10，②
又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，∴＝，③
由①②③解得∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.
(2)设圆心坐标为(3m，m)，
∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，
∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，
∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
——能力提升类——
12．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( A )
A.π
B.π
C．(6－2)π
D.π
解析：由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小，只需圆C的半径或直径最小．又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O到直线2x＋y－4＝0的距离，此时2r＝＝，r＝.故圆C的面积的最小值为S＝πr2＝π.
13．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的范围是( A )
A．(4,6)
B．(4,6]
C．[4,6)
D．[4,6]
解析：由圆的标准方程得圆心坐标为(3，－5)，则圆心到直线4x－3y＝2的距离为＝＝5，若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则需满足|5－r|<1，解得414．已知直线l：y＝x＋b，曲线C：y＝，它们有两个公共点，则b的取值范围是[1，)．
解析：
方程y＝x＋b表示斜率为1的平行直线系；方程y＝表示单位圆位于x轴及其上方的半圆，如图所示．
当l通过A(－1,0)，B(0,1)时，l与C有两交点，此时b＝1，记为l1；
当l与半圆相切时，此时b＝，切线记为l2；
当l夹在l1与l2之间时，l和C有两个不同的公共点．
因此1≤b<.
15．已知曲线C：x2＋y2－4ax＋2ay－20＋20a＝0.
(1)证明不论a取何实数，曲线C必过定点；
(2)当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；
(3)若曲线C与x轴相切，求a的值．
解：(1)证明：曲线C的方程可变形为(x2＋y2－20)＋(－4x＋2y＋20)a＝0.
由解得
点(4，－2)满足C的方程，故曲线C过定点(4，－2)．
(2)证明：配方得(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2，
∵当a≠2时，5(a－2)2>0，
∴C的方程表示圆心是(2a，－a)，半径是|a－2|的圆．
设圆心坐标为(x，y)，则有
消去a得y＝－x，故圆心必在直线y＝－x上．
(3)由题意知|a－2|＝|a|，解得a＝.
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6课时作业26 圆的一般方程
——基础巩固类——
1．已知圆的方程为x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么下列直线中经过圆心的直线方程为( C )
A．2x－y＋1＝0
B．2x－y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0
D．2x＋y－1＝0
解析：圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的圆心为(1，－3)，逐个检验可知C正确．
2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是( A )
A.
B．(－∞，0)
C.
D.
解析：由x2＋y2－x＋y＋m＝0，
得2＋2＝－m.
因为该方程表示圆，所以－m>0，即m<，故选A.
3．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的曲线关于直线y＝x对称，那么必有( A )
A．D＝E
B．D＝F
C．E＝F
D．D＝E＝F
解析：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的曲线是圆，要想圆关于直线y＝x对称，只需圆心在直线y＝x上，即D＝E即可．
4．若圆O：x2＋y2＝4和圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( D )
A．x＋y＝0
B．x＋y－2＝0
C．x－y－2＝0
D．x－y＋2＝0
解析：由题意，知两圆的圆心分别为O(0,0)，C(－2,2)．由于直线l为线段OC的垂直平分线，故直线l过线段OC的中点(－1，1)，斜率为1，所以直线l的方程是x－y＋2＝0.
5．方程(x2＋y2－2x)＝0表示的曲线是( D )
A．一个圆和一条直线
B．一个圆和一条射线
C．一个圆
D．一条直线
解析：由题意，(x2＋y2－2x)＝0可化为x＋y－3＝0或x2＋y2－2x＝0(x＋y－3≥0)．∵x＋y－3＝0在x2＋y2－2x＝0的上方，∴x2＋y2－2x＝0(x＋y－3≥0)不成立，∴x＋y－3＝0，∴方程(x2＋y2－2x)·＝0表示的曲线是一条直线．
6．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是( A )
A．x2＋y2＝4(x≠±2)
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2)
D．x2＋y2＝2
解析：由题可知，点P的轨迹是以MN为直径的圆(除去M、N两点)，所以点P的轨迹方程是x2＋y2＝4(x≠±2)，故选A.
7．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝3.
解析：圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝1，其圆心为(1,2)，半径为1，则圆心(1,2)到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝3.
8．一动点M到A(－4,0)的距离是它到B(2,0)的距离的2倍，则动点M的轨迹方程是x2＋y2－8x＝0.
解析：设动点M的坐标为(x，y)，
则|MA|＝2|MB|，
即＝2，
整理得x2＋y2－8x＝0.∴所求动点M的轨迹方程为x2＋y2－8x＝0.
9．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是(－∞，1)．
解析：由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1，2)，代入直线方程，得b＝4.圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a<5，因此，a－b<1.
10．已知方程x2＋y2＋2(m＋3)x－2(2m－1)y＋5m2＋2＝0(m∈R)表示一个圆．
(1)求m的取值范围．
(2)若m≥0，求该圆半径r的取值范围．
解：(1)依题意：4(m＋3)2＋4(2m－1)2－4(5m2＋2)>0，
即8m＋32>0，解得m>－4，
所以m的取值范围是(－4，＋∞)．
(2)r＝
＝，
因为m∈[0，＋∞)，所以r≥2，
所以r的取值范围是[2，＋∞)．
11．求经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程．
解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q点的坐标分别代入得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1、x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36.④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
——能力提升类——
12．若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是( D )
A．x－y＝0
B．x＋y＝0
C．x2＋y2＝0
D．x2－y2＝0
解析：设圆心M的坐标为(x，y)，由题意知|x|＝|y|，所以圆心M的轨迹方程为x2－y2＝0.
13．圆x2＋y2－4x＋2y＋F＝0与y轴交于A，B两点，圆心为C，若∠ACB＝，则F的值为( D )
A．－2
B．2
C．3
D．－3
解析：将原方程x2＋y2－4x＋2y＋F＝0化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5－F.因为∠ACB＝，CA＝CB，所以△ACB是等腰直角三角形．又因为C(2，－1)，点A，B在y轴上，易得AB＝4，CB＝2，所以5－F＝(2)2，解得F＝－3.
14．已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2,0)，若定点B(b,0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则：
(1)b＝－；(2)λ＝.
解析：设M(x，y)，则有|MB|＝λ|MA|，∴(x－b)2＋y2＝λ2(x＋2)2＋λ2y2，由题意，取(1,0)，(－1,0)分别代入可得(1－b)2＝λ2(1＋2)2，(－1－b)2＝λ2(－1＋2)2，∴b＝－，λ＝.
15．已知△ABC的边AB的长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
解：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC的中点D(x0，y0)，∴①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9，②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
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1课时作业25 圆的标准方程
——基础巩固类——
1．方程y＝表示的曲线是( D )
A．一条射线
B．一个圆
C．两条射线
D．半个圆
解析：方程y＝可化为x2＋y2＝9(y≥0)，所以方程y＝表示圆x2＋y2＝9位于x轴上方的部分，是半个圆．
2．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( C )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
解析：由题意得半径r＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4.
3．已知圆C过点A(1,4)，B(3,2)，且圆心C在直线y＝0上，则( C )
A．点M1(2,3)在圆上，点M2(2,4)在圆外
B．点M1(2,3)在圆内，点M2(2,4)在圆上
C．点M1(2,3)在圆内，点M2(2,4)在圆外
D．点M1(2,3)在圆外，点M2(2,4)在圆内
解析：因为圆过A，B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上．直线AB的斜率为－1，线段AB的中点坐标为(2,3)，故线段AB的垂直平分线的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0，又圆心在直线y＝0上，因此圆心坐标是方程组的解，即圆心坐标为C(－1,0)，半径长r＝＝，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝20.点M1(2,3)到圆心的距离为
＝r，所以点M2在圆外．
4．若点(4a－1,3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是( D )
A．－B．－1C．－≤a≤
D．－1≤a≤1
解析：由已知，得(4a)2＋(3a)2≤25.∴a2≤1，∴|a|≤1，即－1≤a≤1.
5．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是( D )
A．(x－)2＋y2＝5
B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5
D．(x＋5)2＋y2＝5
解析：如图所示，设圆心C(a,0)，则圆心C到直线x＋2y＝0的距离为＝，解得a＝－5，a＝5(舍去)，∴圆心是(－5，0)，即圆的方程是(x＋5)2＋y2＝5.
6．已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a,2)，B(－4，a)，C(2a＋2,2)，则△ABC的外接圆的方程是( D )
A．x2＋(y－3)2＝5
B．x2＋(y＋3)2＝5
C．(x－3)2＋y2＝5
D．(x＋3)2＋y2＝5
解析：由题意，知2a＝－4，∴a＝－2，故B(－4，－2)，
C(－2,2)．∴△ABC的外接圆的半径为＝
＝，圆心为(－3,0)．
∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5.
7．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
解析：设圆心(0，b)，设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝1，把(1,2)代入得12＋(2－b)2＝1，∴b＝2.
∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
8．使圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上的点与点(0，－5)的距离最大的点的坐标是(3，－2)．
解析：点(0，－5)与圆心(2，－3)所在直线的方程为y＝x－5，代入圆的方程化简得(x－2)2＝1，解得(舍去)或∴点(3，－2)即为所求．
9．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是4.
解析：因为点A(－1,1)关于x轴的对称点的坐标为(－1，－1)，圆心坐标为(2,3)，所以光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程为－1＝4.
10．已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，求圆C的标准方程．
解：方法1：由圆心在直线2x－y－7＝0上，可设圆心坐标为(a,2a－7)，由题意得a2＋(2a－3)2＝a2＋(2a－5)2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2，－3)，圆的半径长r＝＝，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
方法2：圆C的圆心在弦AB的垂直平分线y＝－3上，由得
故所求圆的圆心坐标为(2，－3)，
半径长r＝＝，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
方法3：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则由已知条件可得
解得
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
11．平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
解：能．理由如下：设过A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
将A，B，C三点的坐标分别代入有
解得
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
将D(－1,2)代入上式圆的方程，得
(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，
即D点坐标适合此圆的方程．
故A，B，C，D四点在同一个圆上．
——能力提升类——
12．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( B )
A．2
B．1
C.
D.
解析：由几何意义可知最小值为14－＝1.
13．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( A )
A．5－4
B.－1
C．6－2
D.
解析：由题意知C1(2,3)，C2(3,4)，两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C′1C2|
＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.
14．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝4±.
解析：依题意，圆C的半径长是2，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于×2＝，于是有＝，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±.
15．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．
解析：设P(x，y)，则x2＋y2＝4.
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y.
∵－2≤y≤2，
∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.
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