课时作业24 点到直线的距离 两条平行直线间的距离
——基础巩固类——
1．两平行直线x＋y－1＝0与2x＋2y＋1＝0之间的距离是( A )
A.
B.
C．2
D．1
解析：2x＋2y＋1＝0可化为x＋y＋＝0，由两平行直线间的距离公式，得＝.
2．已知两点A(2,1)和B(－1,1)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m＝( D )
A．0或－2
B．－2或－8
C．－2或－6
D．0或－8
解析：∵两点A(2,1)和B(－1,1)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，
∴＝，化为|2m＋4|＝|－m＋4|.
∴2m＋4＝±(－m＋4)，解得m＝0或－8.
3．直线x－2y＝0与直线2x－4y＋a＝0间的距离为，则a的值为( B )
A．±5
B．±10
C．10
D．2
解析：x－2y＝0化为2x－4y＝0，
∵直线x－2y＝0与直线2x－4y＋a＝0间的距离为，∴＝，
化为|a|＝10，解得a＝±10.故选B.
4．若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是，则m＋n＝( C )
A．0
B．1
C．－2
D．－1
解析：由题意得n－2×(－2)＝0，解得n＝－4，所以直线l2：x－2y－3＝0，所以两平行直线之间的距离d＝＝，解得m＝2(m＝－8舍去)，所以m＋n＝－2，故选C.
5．已知P(a，b)是第二象限点，那么它到直线x－y＝0的距离是( C )
A.(a－b)
B．b－a
C.(b－a)
D.
解析：因为P(a，b)是第二象限点，所以a<0，b>0.所以a－b<0.点P到直线x－y＝0的距离d＝＝(b－a)．
6．已知实数x，y满足2x＋y＋5＝0，那么的最小值为( D )
A.
B.
C.
D.
解析：表示直线2x＋y＋5＝0上的动点到点(0，－3)的距离，过点(0，－3)向直线2x＋y＋5＝0作垂线，由垂线段最短知的最小值为点(0，－3)到直线2x＋y＋5＝0的距离，为＝.故选D.
7．倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.
解析：因为直线斜率为tan60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得＝5?|b|＝10.所以b＝±10.所以直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.
8．已知点A(0,4)，B(2,5)，C(－2,1)，则BC边上的高等于.
解析：直线BC：x－y＋3＝0，则点A到直线BC的距离d＝＝，即BC边上的高等于.
9．在直线x＋3y＝0上求一点，使它到原点的距离和到直线x＋3y＋2＝0的距离相等，则此点的坐标是或
.
解析：由题意可设所求点的坐标为(－3a，a)，因为直线x＋3y＝0与直线x＋3y＋2＝0平行，所以两平行线间的距离为＝，根据题意有＝，解得a＝±，所以所求点的坐标为－，或.
10．(1)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，求l的方程．
(2)已知直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程．
解：(1)设所求的直线方程为2x－y＋c＝0(c≠3，c≠－1)，分别在l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0上取点A(0,3)和B(0，－1)，则此两点到2x－y＋c＝0的距离相等，即＝，解得c＝1，故直线l的方程为2x－y＋1＝0.
(2)①当直线斜率存在时，设直线的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0；由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.则点A到直线l2的距离d＝＝5，
∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝，∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
②若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．
综上，满足条件的直线方程有两组，即
l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0，
或l1：x＝0，l2：x＝5.
11.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．
解：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．∴|AD|＝，|BC|＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故
h＝＝＝(b>1)，
由梯形面积公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3.但b>1，∴b＝3.
从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0.
——能力提升类——
12．直线l过点A(3,4)，且与点B(－3,2)的距离最远，则直线l的方程是( C )
A．3x－y－5＝0
B．x－3y＋9＝0
C．3x＋y－13＝0
D．x＋3y－15＝0
解析：∵直线l过点A(3,4)且与点B(－3，2)的距离最远，∴直线l的斜率为＝＝－3，∴直线l的方程为y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0，故选C.
13．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为( A )
A．3
B．2
C.
D．4
解析：由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋c＝0，则＝，解得c＝－6，∴点M在直线x＋y－6＝0上，
∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3.
14．设直线l1：(m＋1)x－(m－3)y－8＝0(m∈R)，则直线l1恒过定点(2,2)；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2间的距离最大时，直线l2的方程为x＋y＝0.
解析：(m＋1)x－(m－3)y－8＝0(m∈R)化为m(x－y)＋(x＋3y－8)＝0，
由解得x＝2，y＝2，
则直线l1恒过定点(2,2)．
过原点作直线l2∥l1，可设l2的方程为(m＋1)x－(m－3)y＝0，则经过两点(0,0)与(2,2)的直线方程为y＝x，则当直线l1与l2间的距离最大时，l2与直线y＝x垂直，所以(m＋1)×1＋(m－3)×1＝0，解得m＝1，故直线l2的方程为2x＋2y＝0，即x＋y＝0.
15．已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边所在直线的方程．
解：∵由得
∴中心坐标为(－1,0)．
∴中心到已知边的距离为＝.
设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0.
∵正方形中心到各边距离相等，
∴＝和＝.
∴m＝4或m＝－2(舍)，n＝6或n＝0.
∴其他三边所在直线的方程为x＋3y＋4＝0,3x－y＝0,3x－y＋6＝0.
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5课时作业23 两条直线的交点坐标 两点间的距离
——基础巩固类——
1．已知点A(1,2)，B(a,6)，且|AB|＝5，则a的值为( D )
A．4
B．－4或2
C．－2
D．－2或4
解析：由两点间的距离公式得|AB|＝
＝5，即(a－1)2＋16＝25，解得a＝－2或a＝4.
2．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是( C )
A．2
B．3＋2
C．6＋3
D．6＋
解析：|AB|＝＝3，|BC|＝
＝3，|AC|＝＝3，则△ABC的周长为6＋3.故选C.
3．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，并且经过原点的直线的方程是( C )
A．19x－9y＝0
B．9x＋19y＝0
C．3x＋19y＝0
D．19x－3y＝0
解析：由得
∴l1与l2的交点坐标为.
∴所求的直线方程为y＝－x，即3x＋19y＝0.故选C.
4．直线y＝3x－4关于点P(2，－1)对称的直线l的方程是( A )
A．y＝3x－10
B．y＝3x－18
C．y＝3x＋4
D．y＝4x＋3
解析：设M(x，y)是l上任一点，M关于P(2，－1)的对称点为M′(4－x，－2－y)在直线y＝3x－4上，则－2－y＝3(4－x)－4，整理得y＝3x－10.故选A.
5．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一个定点，这个定点是( B )
A．(2,3)
B．(－2,3)
C.
D．(－2,0)
解析：将直线化为a(x＋2)＋(－x－y＋1)＝0，故直线过定点(－2,3)．故选B.
6．若光线从点A(－3,5)射到直线l：3x－4y＋4＝0上，反射后经过点B(2,15)，则光线从A点经反射后到B点所经过的路程为( B )
A．5
B．5
C．5
D．5
解析：设A(－3,5)关于直线l：3x－4y＋4＝0的对称点为A′(x′，y′)，则根据题意有
解得
∵所求的路程即为|A′B|，∴由两点间的距离公式得所经过的路程为|A′B|＝＝5.
7．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝－.
解析：解方程组
得
又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上，
∴－1－2k＝0，∴k＝－.
8．两直线l1：3ax－y－2＝0和l2：(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A、B，则|AB|＝.
解析：直线l1：y＝3ax－2过定点A(0，－2)，直线l2：a(2x＋5y)－(x＋1)＝0过定点即B，
∴|AB|＝
＝.
9．已知直线ax＋3y－12＝0与直线4x－y＋b＝0互相垂直，且相交于点P(4，m)，则b＝－13.
解析：由两直线互相垂直得－·4＝－1，即a＝，由点P(4，m)在直线x＋3y－12＝0上，得3＋3m－12＝0，即m＝3，再将P(4,3)的坐标代入4x－y＋b＝0，得16－3＋b＝0，即b＝－13.
10．求过两条直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点P，且满足下列条件的直线方程．
(1)过点Q(2，－1)；
(2)与直线3x－4y＋5＝0垂直．
解：由得∴P(0,2)．
(1)∵kPQ＝－.
∴直线PQ：y－2＝－x，即3x＋2y－4＝0.
(2)直线3x－4y＋5＝0的斜率为，
∴所求直线的斜率为－，其直线方程为：y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.
11．在△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC为等腰三角形．
证明：作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)．
因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以，由距离公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c.所以|AB|
＝|AC|，即△ABC为等腰三角形．
——能力提升类——
12．设A，B是x轴上的不同两点，点P的横坐标为2，|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是( A )
A．x＋y－5＝0
B．2x－y－1＝0
C．2y－x－4＝0
D．2x＋y－7＝0
解析：设P(2，y)，由点P在直线x－y＋1＝0上得P(2,3)，设A(x0,0)，由点A在直线x－y＋1＝0上得A(－1,0)，由|PA|＝|PB|得B的坐标为(5,0)，所以直线PB的方程为x＋y－5＝0.故选A.
13．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为( C )
A．y＝2x＋4
B．y＝x－3
C．x－2y－1＝0
D．3x＋y＋1＝0
解析：设B关于直线y＝x＋1的对称点为B′(x，y)，则解得即B′(1,0)．
则AC的方程为＝，即x－2y－1＝0.故选C.
14．三条直线x＋y＋1＝0,2x－y＋8＝0，ax＋3y－5＝0不能围成三角形，则a的取值集合是.
解析：因为x＋y＋1＝0与2x－y＋8＝0相交，所以三条直线不能围成三角形可分为三线共点或其中有两条直线平行，由x＋y＋1＝0与ax＋3y－5＝0平行得a＝3，由2x－y＋8＝0与ax＋3y－5＝0平行得a＝－6，由三线共点得a＝，故a的取值集合是.
15．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．
解：设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
，解得，
∴A的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.由方程组，解得，∴反射光线与直线l的交点坐标为.
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4课时作业22 直线的一般式方程
——基础巩固类——
1．直线3x＋y＋6＝0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则( B )
A．k＝3，b＝6
B．k＝－3，b＝－6
C．k＝－3，b＝6
D．k＝3，b＝－6
解析：直线3x＋y＋6＝0的斜截式为y＝－3x－6，
∴k＝－3，b＝－6，故选B.
2．过点M(－4,3)和N(－2,1)的直线方程是( B )
A．x－y＋3＝0
B．x＋y＋1＝0
C．x－y－1＝0
D．x＋y－3＝0
解析：由两点式得＝，
整理得x＋y＋1＝0.
3．直线l的斜率为－，且不过第一象限，则其方程有可能是( B )
A．3x＋4y＋7＝0
B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0
D．3x＋4y－42＝0
4．已知三点坐标A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为线段BC，CA，AB的中点，则直线EF的方程为( A )
A．x＋5y＋8＝0
B．x－y＋2＝0
C．x＋y＝0
D．x＋y＋4＝0
解析：由题意，E(－3，－1)，F(2，－2)，∴直线EF的方程为y＋1＝(x＋3)，即x＋5y＋8＝0，故选A.
5．直线ax＋by－1＝0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积S为( D )
A.ab
B.|ab|
C.
D.
解析：令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝.
∴S＝＝.故选D.
6．直线mx－y－m＋2＝0过定点A，若直线l过点A且与2x＋y－2＝0平行，则直线l的方程为( A )
A．2x＋y－4＝0
B．2x＋y＋4＝0
C．x－2y＋3＝0
D．x－2y－3＝0
解析：由mx－y－m＋2＝0，得y－2＝m(x－1)，故直线mx－y－m＋2＝0过定点A(1,2)，直线2x＋y－2＝0的斜率k＝－2，故直线l的方程是y－2＝－2(x－1)，整理得2x＋y－4＝0.
7．在下列各种情况下，直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的系数A，B，C之间各有什么关系：
(1)直线与x轴平行时：A＝0且B≠0；
(2)直线与y轴平行时：B＝0且A≠0；
(3)直线过原点时：C＝0.
解析：∵A，B不同时为零，故当A＝0且B≠0时，直线与x轴平行；当B＝0且A≠0时，直线与y轴平行；当C＝0时，直线过原点．
8．若直线(2t－3)x＋y＋6＝0不经过第一象限，则t的取值范围为.
解析：方程可化为y＝(3－2t)x－6，因为直线不经过第一象限，所以3－2t≤0，得t≥.
9．平行于直线3x＋2y－6＝0，且在两坐标轴上截距之和为－2的直线方程为15x＋10y＋12＝0.
解析：设所求直线的方程为3x＋2y＋λ＝0.令x＝0，则y＝－，令y＝0，则x＝－，所以－－＝－2，解得λ＝.所求直线方程为3x＋2y＋＝0，即15x＋10y＋12＝0.
10．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．
(1)求实数m的范围．
(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．
解：(1)由解得m＝2，若方程表示直线，则m2－3m＋2与m－2不能同时为0，故m≠2.
(2)由－＝1，解得m＝0.
11.如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y－2＝0，点C(2,0)．
(1)求直线CD的方程；
(2)求AB边上的高CE所在的直线方程．
解：(1)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，
设直线CD的方程为2x－y＋m＝0，
将点C(2,0)代入上式得m＝－4，
所以直线CD的方程为2x－y－4＝0.
(2)设直线CE的方程为x＋2y＋n＝0，
将点C(2,0)代入上式得n＝－2.
所以直线CE的方程为x＋2y－2＝0.
——能力提升类——
12．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则该直线方程为( A )
A．15x－3y－7＝0
B．15x＋3y－7＝0
C．3x－15y－7＝0
D．3x＋15y－7＝0
解析：由题意得所以所以直线方程为－5x＋y＋＝0，即15x－3y－7＝0.故选A.
13．直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为( A )
A．－12
B．－2
C．0
D．10
解析：由两直线垂直得2m－20＝0，得m＝10，将(1，p)代入第一条直线的方程得10＋4p－2＝0，则p＝－2，将(1，－2)代入第二条直线的方程得2＋10＋n＝0，则n＝－12.
14．已知A(0,1)，点B在直线l：2x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的方程为x－2y＋2＝0.
解析：当线段AB最短时，AB⊥l，故kAB＝，直线AB的方程为y－1＝x，即x－2y＋2＝0.
15．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
解：(1)证明：将直线l的方程整理为
y－＝a，
∴l的斜率为a，且过定点A.
又点A在第一象限，
∴不论a为何值，直线l总经过第一象限．
(2)设O为坐标原点，则由(1)知直线OA的斜率为
k＝＝3.
∵l过定点A，不经过第二象限，∴a≥3.
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4课时作业21 直线的两点式方程
——基础巩固类——
1．经过两点(5,0)，(2，－5)的直线方程为( B )
A．5x＋3y－25＝0
B．5x－3y－25＝0
C．3x－5y－25＝0
D．5x－3y＋25＝0
解析：经过两点(5,0)，(2，－5)的直线方程为＝，整理得5x－3y－25＝0.故选B.
2．下列说法中正确的是( D )
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)来表示
B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b来表示
C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1来表示
D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)来表示
解析：直接根据方程的定义判断即可．
3．已知M(3，)，A(1,2)，B(3,1)，则过点M和线段AB的中点的直线方程为( B )
A．4x＋2y＝5
B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5
D．x－2y＝5
解析：线段AB中点为，又M3，，所以所求直线方程为＝，即4x－2y－5＝0.
4．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( C )
A．1
B．－2
C．－2或1
D．2或1
解析：由题意知a≠0，令x＝0得y＝a＋2；令y＝0得x＝，由a＋2＝得a＝－2或a＝1.
5．过点A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程为( C )
A．x－y－3＝0
B．2x－5y＝0
C．2x－5y＝0或x－y－3＝0
D．2x＋5y＝0或x＋y－3＝0
解析：设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a.
若a＝0，则直线过原点，其方程为2x－5y＝0.
若a≠0，则设其方程为＋＝1，
又点(5,2)在直线上，∴＋＝1，
∴a＝3.所以直线方程为x－y－3＝0.
综上，直线l的方程为2x－5y＝0或x－y－3＝0.
6．若直线l过点(－1，－1)和(2,5)，且点(1
004，b)在直线l上，则b的值为( A )
A．2
009
B．2
008
C．2
007
D．2
006
解析：由直线的两点式方程得直线l的方程为＝，即y＝2x＋1，令x＝1
004，则有b＝2×1
004＋1，即b＝2
009.
7．过点(－1,5)，且与直线＋＝1垂直的直线方程是y－5＝(x＋1)．
解析：直线＋＝1的斜率是－3，所以所求直线的斜率是，所以直线方程是y－5＝(x＋1)．
8．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是3或－3.
解析：直线3x－4y－7＝0的斜率为，所求直线垂直于该直线，所以所求直线斜率为－，设直线为y＝－x＋b，令x＝0和y＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别为b，b，所以，6＝×|b|×＝b2，所以，b＝±4，则直线在x轴上的截距为3或－3.
9．已知直线l过原点且平分?ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点分别为B(1,4)，D(5,0)，则直线l的方程为y＝x.
解析：若直线l平分平行四边形ABCD的面积，则直线l过BD的中点(3,2)，又因为直线l过原点，所以直线l的方程为y＝x.
10．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；
(2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．
解：(1)平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线．因为线段AB、AC中点坐标为，，所以这条直线的方程为＝，整理得，6x－8y－13＝0，化为截距式方程为－＝1.
(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即7x－y－11＝0，化为截距式方程为－＝1.
11．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1)令x＝0，得y＝a－2；令y＝0，得x＝(a≠－1)．
∵l在两坐标轴上的截距相等，
∴a－2＝，解之，得a＝2或a＝0，
∴所求的直线l方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∵l不过第二象限，∴
∴a≤－1，∴a的取值范围为(－∞，－1]．
——能力提升类——
12．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( A )
解析：化为截距式＋＝1，＋＝1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合．
13．已知两点A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy( D )
A．无最小值且无最大值
B．无最小值但有最大值
C．有最小值但无最大值
D．有最小值且有最大值
解析：线段AB的方程为＋＝1(0≤x≤3)，于是y＝4(0≤x≤3)，从而xy＝4x＝－2＋3，显然当x＝∈[0,3]时，xy取最大值为3；当x＝0或3时，xy取最小值0.
14．若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，－2)，则直线l的方程为＋y＝1或＋＝1.
解析：设直线l在y轴上的截距为a(a≠0)，则在x轴上的截距为a＋1，则l的方程为＋＝1，代入点A(6，－2)得－＝1，即a2－3a＋2＝0，∴a＝2或a＝1，∴直线l的方程为＋y＝1或＋＝1.
15．已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上的一点C，最后从C点反射回A点，求直线BC的方程．
解：作点A关于x轴的对称点A2，则A2(1，－2)．
设点A关于l：x－y＋3＝0的对称点为A1(x0，y0)，则解得即A1点坐标为(－1,4)．由已知条件知点A1，A2均在直线BC上，∴由直线的两点式方程得＝，即3x＋y－1＝0.故直线BC的方程为3x＋y－1＝0.
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1课时作业20 直线的点斜式方程
——基础巩固类——
1．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示( D )
A．任何一条直线
B．不过原点的直线
C．不与坐标轴垂直的直线
D．不与x轴垂直的直线
解析：点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．
2．已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于( B )
A．2
B．1
C．0
D．－1
解析：∵两直线平行，∴a＝2－a，解得a＝1.
3．下列四个结论：
①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一条直线；
②直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为，则其方程为x＝x1；
③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程为y＝y1；
④所有直线都有点斜式和斜截式方程．
其中正确结论的个数为( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：易知①④不正确，②③正确，故选B.
4．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( D )
A．y＝x＋4
B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4
D．y＝－x＋4
解析：∵直线y＝2x＋1的斜率为2，
∴与其垂直的直线的斜率是－，
∴直线的斜截式方程为y＝－x＋4，故选D.
5．直线y＝ax－的图象可能是( B )
解析：由y＝ax－可知，斜率和截距必须异号，故B正确．
6．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得直线的方程为( A )
A．y＝－x＋
B．y＝－x＋1
C．y＝3x－3
D．y＝x＋1
解析：直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°后，其斜率k＝－，故直线方程为y＝－x，再向右平移1个单位可得直线y＝－x＋，故选A.
7．直线l1与直线l2：y＝3x＋1平行，又直线l1过点(3,5)，则直线l1的方程为y＝3x－4.
解析：∵l1∥l2，∴l1的斜率是3.又l1过点(3,5)，∴l1的方程为y＝3(x－3)＋5＝3x－4.
8．设直线l的倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且与y轴的交点到x轴的距离是3，则直线l的方程是y＝x±3.
解析：因为已知直线的倾斜角是120°，所以直线l的倾斜角是60°，又直线l在y轴上的截距为±3，所以直线l的方程为y＝x±3.
9．已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上的高所在直线的斜截式方程为y＝x＋3.
解析：设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，
∴kBCkAD＝－1，∴·kAD＝－1，解得kAD＝，∴BC边上的高所在直线的点斜式方程是y－0＝(x＋5)，整理得斜截式方程为y＝x＋3.
10．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
解：由题意知，直线l1的斜率为－2.
∵l∥l1，∴l的斜率为－2.
由题意知，直线l2在y轴上的截距为－2，
∴l在y轴上的截距为－2，
∴直线l的方程为y＝－2x－2.
11．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的斜率为2.
(1)若直线l过点A(－2,1)，求直线l的方程；
(2)若直线l在x轴、y轴上的截距之和为3，求直线l的方程．
解：(1)由题意，直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0.
(2)由题意，直线l的斜率为2，
设直线l的方程为y＝2x＋b，
令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝－.
由题知b－＝3，解得b＝6，
所以直线l的方程为y＝2x＋6，即2x－y＋6＝0.
——能力提升类——
12．已知直线l1的方程是y＝ax＋b，l2的方程是y＝bx－a(ab≠0，a≠b)，则下列各图象中，正确的是( D )
解析：逐一判定即可．对于选项A，由l1的图象知a>0，b>0，由l2的图象知b<0，矛盾，故A错误；对于选项B，由l1的图象知a>0，由l2的图象知a<0，矛盾，故B错误；对于选项C，由l1的图象知b>0，由l2的图象知b<0，矛盾，故C错误；观察知D项正确．
13．等边三角形PQR中，P(0,0)，Q(4,0)，且R在第四象限内，则PR和QR所在直线的方程分别为( D )
A．y＝±x
B．y＝±(x－4)
C．y＝x和y＝－(x－4)
D．y＝－x和y＝(x－4)
解析：由题意易知，PR，RQ所在直线的倾斜角分别为120°，60°，∴PR，RQ所在直线的斜率分别为－，，故PR，RQ所在直线的方程分别为y＝－x和y＝(x－4)，故选D.
14．直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，若直线l在y轴上的截距为6，则a＝.
解析：令x＝0，则y＝2(a－1)＋a＝6，解得a＝.
15．已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－3解：(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)．
(2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若使当－3解得－≤k≤1.
所以，实数k的取值范围是－≤k≤1.
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1课时作业19 两条直线平行与垂直的判定
——基础巩固类——
1．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为( B )
A．0
B．－8
C．2
D．10
解析：∵直线2x＋y－1＝0的斜率等于－2，∴过点A(－2，m)和B(m,4)的直线的斜率k＝－2，∴＝－2，解得m＝－8，故选B.
2．直线l1、l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是( D )
A．平行
B．重合
C．相交但不垂直
D．垂直
解析：设直线l1、l2的斜率分别为k1，k2，
∵直线l1、l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，
∴k1k2＝－1.∴l1⊥l2.故选D.
3．若点A(0,1)，B(，4)在直线l1上，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为( C )
A．－30°
B．30°
C．150°
D．120°
解析：直线l1的斜率为＝，l1⊥l2，故直线l2的斜率为－，则直线l2的倾斜角为150°.
4．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是( C )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
解析：kAB＝＝－，kBC＝＝－5，kAC＝＝，因为kAB·kAC＝－1，所以三角形是以A点为直角顶点的直角三角形．
5．若过点A(2，－2)，B(4,0)的直线与过点P(2m,1)，Q(－1，m)的直线垂直，则m的值为( C )
A．－1
B．1
C．－2
D.
解析：∵直线AB经过点A(2，－2)和点B(4,0)，
∴直线AB的斜率为＝1.
∵直线PQ与直线AB垂直，∴直线PQ的斜率为－1.
∵直线PQ过点P(2m,1)和点Q(－1，m)，
∴＝－1，解得m＝－2，故选C.
6．已知经过点A(3，n)，B(5，m)的直线l1与经过点P(－m,0)，Q(0，n2)(mn≠0)的直线l2平行，则的值为( C )
A．－1
B．－2
C．－1或2
D．－2或1
解析：由题意得kl1＝，kl2＝，因为l1∥l2，所以kl1＝kl2，即＝，化简得m2－mn－2n2＝0，所以m＝－n或m＝2n，又由mn≠0得＝－1或2，故选C.
7．已知l1的斜率是2，l2过点A(－1，－2)，B(x,6)，且l1∥l2，则logx＝－.
解析：∵l1∥l2，∴＝2，∴x＝3.∴log3＝－.
8．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当D点的坐标为(－，0)时，AB∥CD；当D点的坐标为(－9,0)时，AB⊥CD.
解析：设D(a,0)．若AB∥CD，则有＝，即＝，所以a＝－，从而D点的坐标为(－，0)．若AB⊥CD，则有4×＝－1，所以a＝－9，从而D点的坐标为(－9,0)．
9．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝2；若l1∥l2，则b＝－.
解析：当l1⊥l2时，k1k2＝－1，∴－＝－1，∴b＝2.当l1∥l2时，k1＝k2，∴Δ＝(－3)2＋4×2b＝0，∴b＝－.
10．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为；
(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．
解：(1)由kAB＝＝－1，得m＝－或1.
(2)∵kAB＝且＝3，
∴＝－，解得m＝或－3.
(3)令＝＝－2，解得m＝或－1.
11．已知?ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．
(1)
求点D的坐标；
(2)试判定?ABCD是否为菱形？
解：(1)设D(a，b)，由?ABCD，得kAB＝kCD，kAD＝kBC，即解得∴D(－1,6)．
(2)∵kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
∴kAC·kBD＝－1，∴AC⊥BD.∴?ABCD为菱形．
——能力提升类——
12．已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为( D )
A．1
B．0
C．0或2
D．0或1
解析：当AB与CD斜率均不存在时，m＝0，此时AB∥CD，当kAB＝kCD时，m＝1，此时AB∥CD.
13．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为( B )
A．135°
B．45°
C．30°
D．60°
解析：kPQ＝＝－1，kPQ·kl＝－1，
∴l的斜率为1，倾斜角为45°.
14．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
解析：由两点的斜率公式可得：kPQ＝＝1，
所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
15.如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5
m，宽AB＝3
m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直？
解：如图所示，以点B为坐标原点，BC、BA所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系．由AD＝5，AB＝3，可得C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．设点M的坐标为(x,0)，因为AC⊥DM，所以kAC·kDM＝－1，所以·＝－1，即x＝＝3.2，即BM＝3.2
m时，两条小路所在直线AC与DM相互垂直．
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1课时作业18 倾斜角与斜率
——基础巩固类——
1．给出下列说法：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中说法正确的个数是( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：显然①②③正确，④错误．
2．过点A(－，)与B(－，)的直线的倾斜角为( A )
A．45°
B．135°
C．45°或135°
D．60°
解析：kAB＝＝＝1，故选A.
3．若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( D )
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°
解析：如图所示，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.
4．经过两点A(2,1)，B(1，m)的直线的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( A )
A．m<1
B．m>－1
C．－1D．m>1或m<－1
解析：kAB＝＝1－m.因为直线AB的倾斜角为锐角，所以kAB>0，即1－m>0，所以m<1.
5．在平面直角坐标系中，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为( B )
A．－2
B．0
C.
D．2
解析：如图，易知kAB＝，kAC＝－，∴kAB＋kAC＝0.
6．直线l过点A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)，则直线l斜率的取值范围是( B )
A．(－∞，－1]
B．(－∞，1]
C．[－1，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：斜率k＝＝1－m2≤1.
7．已知直线斜率的绝对值为，则此直线的倾斜角为或.
解析：设直线的倾斜角为α，则由题意知|tanα|＝，
∴tanα＝或tanα＝－.
又0≤α<π，∴α＝或α＝.
8．设P为x轴上的一点，A(－3,8)，B(2,14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为(－5,0)．
解析：∵点P在x轴上，∴设P点坐标为(a,0)．
又kPA＝2kPB，∴＝2×，解得a＝－5.
9．已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为(3,0)或(0,3)．
解析：由题意易知kPA＝－1，设x轴上的点为(m,0)，y轴上的点为(0，n)，由＝＝－1，得m＝n＝3.故点P的坐标为(3,0)或(0,3)．
10.如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上．已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率．
解：因为OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角都是60°，斜率kOD＝kBC＝tan60°＝.
因为OB与x轴重合，DC∥OB，所以直线OB，DC的倾斜角都是0°，斜率kOB＝kDC＝tan0°＝0.
由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC的倾斜角为30°，斜率kOC＝tan30°＝；
直线BD的倾斜角为∠DBx＝180°－60°＝120°，斜率kBD＝tan120°＝－.
11．(1)经过两点A(－m,6)，B(m＋1,3m)的直线倾斜角的正切值为2，求m的值；
(2)一束光线从点A(－2,3)射入，经过x轴上点P反射后，通过点B(5,7)，求点P的坐标．
解：(1)∵A(－m,6)，B(m＋1,3m)，
∴kAB＝＝.
又直线AB的倾斜角的正切值为2，
∴kAB＝2，即＝2，解得m＝－8.
(2)如图，设P(x,0)，由光的反射原理知，入射角等于反射角，即∠1＝∠2，∴α＝β.
因此kAP＝－kBP，即＝－，
解得x＝，即P.
——能力提升类——
12．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( D )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
解析：根据题意，画出图形，如图所示．
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图可知：
当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°(如图①)；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°(如图②)．故选D.
13．某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为( C )
A．5
B．7
C．9
D．11
解析：依题意，表示图象上的点(n，Sn)与原点连线的斜率．由图象可知，当n＝9时，最大，故m＝9.
14．直线l1，l2均与y轴相交，且关于y轴对称，它们的倾斜角α1与α2的关系是α1＋α2＝180°.
解析：如图，由l1，l2关于y轴对称，得α1＝α3，∵α3＋α2＝180°，∴α1＋α2＝180°.
15．(1)已知：A(2,2)，B(4,0)，C(0,4)，求证：A，B，C三点共线；
(2)若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，m)在同一条直线上，求m的值．
解：(1)证明：直线AB的斜率kAB＝＝－1，直线AC的斜率kAC＝＝－1，因此kAB＝kAC.
∵直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A，∴直线AB与直线AC为同一直线．故A，B，C三点共线．
(2)由直线上两点的斜率公式，
得kAB＝＝3，kAC＝，
由kAB＝kAC，得3＝，即m＝6.
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