课时作业21 模拟方法——概率的应用
时间：45分钟 满分：100分
——基础巩固类——
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．在区间[0,3]上任取一点，则此点落在区间[2,3]上的概率是( A )
A. B.
C. D.
解析：区间[2,3]长度为1，总区间[0,3]的长度为3，
∴P＝.
2.为了测算图中阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800粒芝麻，已知恰有200粒芝麻落在阴影部分内，据此可估计阴影部分的面积是( B )
A．12
B．9
C．8
D．6
解析：正方形的面积为36，估计阴影部分的面积为×36＝9.
3．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为( A )
解析：A游戏盘的中奖概率为，B游戏盘的中奖概率为，C游戏盘的中奖概率为＝，D游戏盘的中奖概率为＝，A游戏盘的中奖概率最大．
4．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径的概率为( D )
A. B.
C. D.
5．已知函数f(x)＝log2x，x∈，在区间上任取一点x0，则使f(x0)≥0的概率为( C )
A．1
B.
C.
D.
解析：欲使f(x)＝log2x≥0，则x≥1，而x∈，∴x0∈[1,2]，从而由几何概型概率公式知所求概率P＝＝.
6．已知集合A＝{x|－1
A.
B.
C.
D.
解析：A∩B＝{x|27．如图，在矩形区域ABCD的A、C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率为( A )
A．1－
B.－1
C．2－
D.
解析：本题考查几何概率的计算．无信号的区域面积为S1＝2×1－2××π×12＝2－，而基本事件空间表示区域为矩形ABCD，其面积S＝2×1＝2，所以P＝＝＝1－.选A.
8．在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD?A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( B )
A.
B．1－
C.
D．1－
解析：因为正方体的体积为8，而半球的体积为×13×π＝，那么点P到点O的距离大于1的概率为＝1－.本题考查几何概型的概率，只要能确定所求概率为正方体减去半球的体积与正方体的体积之比即可得到结论．
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．函数f(x)＝x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5，5]，使f(x0)≤0的概率是.
解析：由f(x0)≤0得x0－2≤0，x0≤2，又x0∈[－5,5]，∴x0∈[－5，2]．设使f(x0)≤0为事件A，则事件A构成的区域长度是2－(－5)＝7，全部结果构成的区域长度是5－(－5)＝10，则P(A)＝.
10．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为.
解析：记事件A＝“打篮球”，则P(A)＝＝.
记事件B＝“在家看书”，则P(B)＝－P(A)＝－＝.
故P()＝1－P(B)＝1－＝.
11．已知点P是边长为4的正方形内任一点，则P到四个顶点的距离均大于2的概率是1－.
解析：如图所示，边长为4的正方形ABCD，分别以A、B、C、D为圆心，并以2为半径画圆截正方形ABCD后剩余部分是阴影部分．
则阴影部分的面积是
42－4××π×22＝16－4π，
所以所求概率是＝1－.
三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
12．(12分)现向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率．
解：∵正方形的面积为2×2＝4.
又∵A(1，)，B(1，－1)，C(，－1)，
∴|AB|＝－(－1)＝，|BC|＝1－＝.
∴S△ABC＝·|AB|·|BC|＝.
∴飞镖落在阴影部分的概率P＝＝.
13．(13分)设m在[0,5]上随机的取值，求方程x2＋mx＋＋＝0有实数根的概率．
解：方程有实数根，
∴Δ＝m2－4≥0，
∴m≤－1或m≥2.
又∵m∈[0,5]，
∴方程x2＋mx＋＋＝0有实数根的m的取值范围为[2,5]．
∴方程x2＋mx＋＋＝0有实数根的概率为
P＝＝.
——能力提升类——
14．(5分)在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则( B )
A．p1B．p2C．p3D．p3解析：x，y∈[0,1]，事件“x＋y≥”表示的区域如图(1)中阴影部分S1，事件“|x－y|≤”表示的区域如图(2)中阴影部分S2，事件“xy≤”表示的区域如图(3)中阴影部分S3.由图知，阴影部分的面积S215．(15分)甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待．求甲、乙两人能见面的概率．
解：用x轴、y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间．
若甲早到，当y－x≤30时，两人仍可见面；若乙早到，则两人不可能见面，因此，必须有x≤y.
如图，事件A“两人可以见面”的可能结果是阴影部分的区域．
故P(A)＝＝.
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6课时作业20 互斥事件
时间：45分钟 满分：100分
——基础巩固类——
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.6，则P(B)等于( A )
A．0.4
B．0.5
C．0.6
D．1
解析：P(B)＝1－P(A)＝1－0.6＝0.4.
2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( C )
A．“至少有1个白球”和“都是红球”
B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”
C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”
D．“至多有1个白球”和“都是红球”
解析：该试验有三种结果：“恰有1个白球”“恰有2个白球”“没有白球”，故“恰有1个白球”和“恰有2个白球”是互斥事件且不是对立事件．
3．从一批产品中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品至少有一件是次品}，则下列结论正确的是
( A )
A．A与C互斥
B．任何两个均互斥
C．B与C互斥
D．任何两个均不互斥
解析：∵从一批产品中取出三件产品包含4个基本事件．D1＝{没有次品}，D2＝{1件次品}，D3＝{2件次品}，D4＝{3件次品}，∴A＝D1，B＝D4，C＝D2∪D3∪D4，故A与C互斥，A与B互斥，B与C不互斥．
4．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为
( D )
A．60%
B．30%
C．10%
D．50%
解析：甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.
5．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述事件中，是对立事件的是
( C )
A．①
B．②④
C．③
D．①③
解析：从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数，故选C.
6．甲袋中有大小相同的4只白球、2只黑球，乙袋中有大小相同的6只白球、5只黑球，现从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：基本事件总数有6×11＝66，而两球颜色相同包括两种情况：两白或两黑，其包含的基本事件有4×6＋2×5＝34(个)，故两球颜色相同的概率P＝＝.
7．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意知，表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝＝.
8．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于( A )
A.
B.
C.
D.
解析：设事件A＝“至少摸到2个黑球”，则它包含两种情况：“恰好摸到3个黑球”记为事件B和“恰好摸到2个黑球”记为事件C，很明显事件B、C互斥，又事件B中有1种结果，事件C中有×3×2×5＝15种结果，而试验总共有8×7×6÷3÷2＝56种结果，所以P(A)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝＝.本题也可用对立事件性质解答．
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．某一时期内，一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下：
最高水位/m
[8,10)
[10,12)
[12,14)
概率
0.2
0.3
0.5
则在同一时期内，河流在这一处的最高水位不超过12
m的概率为0.5.
解析：法1：记“最高水位在[8,10)内”为事件A1，记“最高水位在[10,12)内”为事件A2，记“最高水位不超过12
m”为事件A3，由题意知，事件A1，A2彼此互斥，而事件A3包含基本事件A1，A2，所以P(A3)＝P(A1)＋P(A2)＝0.2＋0.3＝0.5.
法2：记“最高水位在[12,14)内”为事件B1，记“最高水位不超过12
m”为事件B2，由题意知，事件B1和B2互为对立事件，所以P(B2)＝1－P(B1)＝1－0.5＝0.5.
10．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为.
解析：设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都为男生}，则A，B为对立事件，所以P(B)＝1－P(A)＝.
11．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为0.2.
解析：由5根竹竿一次随机抽取2根竹竿的种数为4＋3＋2＋1＝10，它们的长度恰好相差0.3m的是2.5和2.8、2.6和2.9两种，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为P＝＝0.2.
三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
12．(12分)在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80分～89分的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：
(1)小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率；
(2)小明考试及格的概率．
解：记小明的成绩“在90分以上”、“在80分～89分”、“在70分～79分”、“在60分～69分”为事件A，B，C，D，这四个事件彼此互斥．
(1)小明成绩在80分以上的概率是：
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)小明及格的概率是：P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93，
∴小明及格的概率为0.93.
13．(13分)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
解：将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种．
令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则
(1)P(D)＝.
(2)P(E)＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝.
——能力提升类——
14．(5分)在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3的概率分别是0.2,0.3,0.5，则下列说法正确的个数是( B )
①A1＋A2与A3是互斥事件，也是对立事件；
②A1＋A2＋A3是必然事件；
③P(A2＋A3)＝0.8；
④P(A1＋A2)≤0.5.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由题意知，A1，A2，A3不一定是互斥事件，所以P(A1＋A2)≤0.5，P(A2＋A3)≤0.8，P(A1＋A3)≤0.7，易知只有④正确，所以说法正确的个数为1，选B.
15．(15分)在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是多少？
解：方法1：(用对立事件)从6个球中任取3个，可以按顺序来取，第一步有6种，第二步有5种，第三步有4种，共有6×5×4＝120(种)取法．但对(1,2,3)这3个球来说，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,3,1)，(2,1,3)，(3,1,2)，(3,2,1)是同一种情况，所以从6个球中取3个球共有＝20(种)可能结果，选取的3个球“都是白球”这一事件共有＝4(种)可能结果．故所求概率P＝1－＝.
方法2：(用互斥事件)设白球标号为1,2,3,4，红球标号为5,6，从6个球中任选三球包括：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,2,6)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(1,5,6)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(3,5,6)，(4,5,6)，共20种，其中至少有1个红球的情形包括(1,2,5)，(1,2,6)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(1,5,6)，(2,3,5)，(2,3,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(3,5,6)，(4,5,6)，共16种，所以所选3个球中至少有1个红球的概率为＝.
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5课时作业19 建立概率模型
时间：45分钟 满分：100分
——基础巩固类——
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．从装有两个白球和一个红球的袋中逐个不放回地摸两个球，则摸出的两个小球中恰有一个红球的概率为( B )
A.
B.
C.
D.
解析：不放回地摸出两球共有6种情况，即(白1，红)，(白2，红)，(白1，白2)，(白2，白1)，(红，白1)，(红，白2)，而恰有一个红球的结果有4个．所以P＝.
2．在5张卡片上分别写1,2,3,4,5，然后将它们混合，再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是( C )
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.8
解析：一个数能否被2或5整除取决于个位数字，故可只考虑个位数字的情况．因为组成的五位数中，个位数共有1,2,3,4,5五种情况，其中个位数为2,4时能被2整除，个位数为5时能被5整除．故所求概率为P＝＝0.6.
3．从{1,2,3,4,5}中随机选一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率为( D )
A.
B.
C.
D.
解析：从{1,2,3,4,5}中随机选一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，所得情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)15种，b>a的情况有(1,2)，(1,3)，(2,3)3种，∴所求的概率为＝.
4．某农科院在2×2的4块试验田中选出2块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为( D )
A.
B.
C.
D.
解析：据题意若在4块试验田里选2块种植，且每行每列均有1块，只有2种可能(只能是对角线两块)，故其概率为＝.
5．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和集合B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为( D )
A．3
B．4
C．2或5
D．3或4
解析：分别从A和B中各取一个数，一共有6种取法，点P(a，b)恰好落在直线x＋y＝2上的取法只有1种：(1,1)；恰好落在直线x＋y＝3上的取法有2种：(1,2)，(2,1)；恰好落在直线x＋y＝4上的取法也有2种：(1,3)，(2,2)；恰好落在直线x＋y＝5上的取法只有1种：(2,3)，故事件Cn的概率分别为，，，(n＝2,3,4,5)，故当n＝3或4时概率最大．
6．从标有1,2,3,4,5,6的6张纸片中任取2张，那么这2张纸片上的数字之积为偶数的概率为( B )
A.
B.
C.
D.
解析：Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，基本事件总数为15.而数字之积为偶数，即至少有一个数是偶数，记为事件A.
则A＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，包含基本事件的个数为12，
∴P(A)＝＝.
7．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{1,2,3,4}．若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为( A )
A.
B.
C.
D.
解析：甲、乙所猜数字的情况有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16种情况，其中满足|a－b|≤1的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)共10种情况，故所求概率为＝.
8．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( C )
A.
B.
C.
D.
解析：正方形四个顶点可以确定6条直线，甲、乙各自任选一条共有36个基本事件．两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)，其包括10个基本事件，所以所求概率等于＝.
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．设集合P＝{－2，－1,0,1,2}，x∈P且y∈P，则点(x，y)在圆x2＋y2＝4内部的概率为.
解析：以(x，y)为基本事件，用列表法或坐标轴法可知满足x∈P且y∈P的基本事件有25个，且每个基本事件发生的可能性都相等．点(x，y)在圆x2＋y2＝4内部，则x，y∈{－1,1,0}，用列表法或坐标轴法可知满足x∈{－1,1,0}且y∈{－1,1,0}的基本事件有9个．所以点(x，y)在圆x2＋y2＝4内部的概率为.
10．随意安排甲、乙、丙三人在三天节日中值班，每人值班一天，甲排在乙之前的概率是.
解析：甲、乙、丙三人排在三天中值班，每人一天，故甲排在乙前和乙排在甲前的机会相等，所以概率为.
11．抛掷甲、乙两个质地均匀且四面上分别标有数字1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则为整数的概率是.
解析：由于该正四面体每一面向下的可能性是相同的．故该概率模型为古典概型．基本事件为4×4＝16，若为整数，则x＝1，y＝1；x＝2，y＝1,2；x＝3，y＝1,3；x＝4，y＝1,2,4，共有8种，故概率为.
三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
12．(12分)用三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色．求：
(1)3个矩形颜色都相同的概率；
(2)3个矩形颜色都不同的概率．
解：按涂色顺序记录结果(x，y，z)，由于是随机的，x有3种涂法，y有3种涂法，z有3种涂法，所以试验的所有可能结果有3×3×3＝27(种)．
(1)记“3个矩形都涂同一种颜色”为事件A，则事件A的基本事件有3个，即都涂第一种颜色、都涂第二种颜色、都涂第三种颜色．因此，事件A的概率为P(A)＝＝.
(2)记“三个矩形颜色都不同”为事件B，其可能结果是(x，y，z)(x，z，y)，(y，x，z)，(y，z，x)，(z，x，y)，(z，y，x)，共6种．
所以P(B)＝＝.
13．(13分)编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
得分
15
35
21
28
25
36
18
34
运动员编号
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A16
得分
17
26
25
33
22
12
31
38
(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：
区间
[10,20)
[20,30)
[30,40]
人数
(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2人得分之和大于50的概率．
解：(1)4,6,6.
(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．
②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种．
所以P(B)＝＝.
——能力提升类——
14．(5分)第1,2,5,7路公共汽车都在一个车站停靠，有一位乘客等候着1路或5路公共汽车，假定各路公共汽车首先到站的可能性相等，那么首先到站的正好为这位乘客所要乘的车的概率是.
解析：∵4种公共汽车先到站共有4个结果，且每种结果出现的可能性相等，所以“首先到站的车正好是所乘车”的结果有2个，∴P＝＝.
15．(15分)汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性．如图所示，三个汉字可以看成轴对称图形．
小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)，则小敏获胜，否则小慧获胜．你认为这个游戏对谁有利？说明理由．
解：这个游戏对小慧有利．每次游戏时，所有可能出现的结果如下表所示：
共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中能组成上下结构的汉字的结果有4种：(土，土)“圭”，(口，口)“吕”，(木，口)“杏”或“呆”，(口，木)“呆”或“杏”．所以小敏获胜的概率为，小慧获胜的概率为，所以这个游戏对小慧有利．
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5课时作业18 古典概型的特征和概率计算公式
时间：45分钟 满分：100分
——基础巩固类——
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．下列不是古典概型的是( C )
A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
解析：A、B、D为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不适合等可能性，故不为古典概型．
2．下列对古典概型的说法中正确的是( B )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个基本事件出现的可能性相等；
④基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝.
A．②④
B．①③④
C．①④
D．③④
解析：②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确．
3．一个家庭有两个小孩，则所有的基本事件是( C )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
解析：用坐标法表示：将第一个小孩的性别放在横坐标位置，第二个小孩的性别放在纵坐标位置，可得4个基本事件(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．
4．从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于23的概率是( A )
A.
B.
C.
D.
解析：构成的两位数为12,13,21,23,31,32，共6个，这6个基本事件是等可能的，因此是古典概型．其中大于23的为31,32，共2个，所以所求概率P＝＝.
5．从1,2,3,4,5,6这6个数中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：基本事件共有15个，它们是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中两数都是偶数的有(2,4)，(2,6)，(4,6)共3个，故P＝＝.
6．欲寄出两封信，现有两个邮箱供选择，则两封信都投到一个邮箱的概率是( A )
A.
B.
C.
D.
解析：可记两封信为1,2，两个邮箱为甲、乙，则寄出两封信，有两个邮箱供选择，有以下几种结果：
1放在甲中，而2放在乙中；2放在甲中，而1放在乙中；1,2均放于甲中；1,2均放于乙中．
由上可知，两封信都投到一个邮箱的结果数为2.
所以，两封信都投到一个邮箱的概率为.
7．一个袋中装有大小相同的3个红球，1个白球，从中随机一次取出2个球，则取出的2个球不同色的概率是( C )
A.
B.
C.
D.
解析：设3个红球分别为a1，a2，a3,1个白球为b.从中任取2个球，有以下结果：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，b)，共6种，其中取出的两个球不同色的有：(a1，b)，(a2，b)，(a3，b)，共3种，故P＝＝.
8．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( C )
A.
B.
C.
D.
解析：本题主要考查了古典概型，从集合A、B中任取一个数的所有情况有：(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种，和为4的有(2,2)，(3,1)共2种，则所求概率为P＝＝.
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为.
解析：三张卡片的排列方法有EEB，EBE，BEE，共3种．且等可能出现，则恰好排成英文单词BEE的概率为.
10．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成64个同样大小的小正方体，从这些正方体中任取一个，其中恰有两面涂有颜色的概率是.
解析：恰有两面涂色的有24块，故所求概率为＝.
11．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是.
解析：从1,2,3,4这四个数中随机取两数的所有情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，其中满足一个数是另一个数的两倍的组合为(1,2)，(2,4)，故P＝＝.
三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
12．(12分)某旅游公司为甲、乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团均可任选其中一条旅游线路．
(1)甲、乙两个旅游团所选旅游线路共有多少种不同的情况？请列出所有的情况；
(2)求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率．
解：设四条旅游线路分别为a，b，c，d.若甲旅游团选a旅游线路，乙旅游团选b旅游线路，则表示为(a，b)，其他同此．
(1)甲、乙两个旅游团所选旅游线路共有16种不同的情况．
列举如下：
(a，a)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(b，d)，(c，a)，(c，b)，(c，c)，(c，d)，(d，a)，(d，b)，(d，c)，(d，d)．
(2)甲、乙两个旅游团所选的旅游线路不同的情况有12种：
(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，a)，(b，c)，(b，d)，(c，a)，(c，b)，(c，d)，(d，a)，(d，b)，(d，c)．
故甲、乙两个旅游团所选的旅游线路不同的概率为P＝＝.
13．(13分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．
(1)若以A表示事件“和为6”，求P(A)；
(2)若以B表示事件“和大于4而小于9”，求P(B)；
(3)这种游戏公平吗？试说明理由．
解：将所有可能情况列表如下：
甲乙
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
由上表可知，该试验共包括25个等可能发生的基本事件，属于古典概型．
(1)“和为6”的结果有：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5种结果，故所求的概率为＝.
(2)“和大于4而小于9”包含了(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共16个基本事件，所以P(B)＝.
(3)这种游戏不公平．因为“和为偶数”包括13个基本事件，即甲赢的概率为，乙赢的概率为＝，所以它不公平．
——能力提升类——
14．(5分)设a，b随机取自集合{1,2,3}，则直线ax＋by＋3＝0与圆x2＋y2＝1有公共点的概率是.
解析：将a，b的取值记为(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种可能．
当直线与圆有公共点时，可得≤1，从而符合条件的有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5种可能，故所求概率为.
15．(15分)在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；…；第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．
在选取的40名学生中，
(1)求成绩在区间[80,90)内的学生人数；
(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间[90,100]内的概率．
解：(1)因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80,90)的频率为1－(0.005×2＋0.015＋0.020＋0.045)×10＝0.1.所以，40名学生中成绩在区间[80,90)的学生人数为40×0.1＝4(人)．
(2)设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选两名学生，至少有一名学生成绩在区间[90,100]内”，
由已知和(1)的结果可知成绩在区间[80,90)内的学生有4人，
记这四个人分别为a，b，c，d，
成绩在区间[90,100]内的学生有2人，
记这两个人分别为e，f，则选取学生的所有可能结果为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，
基本事件数为15，
事件“至少一人成绩在区间[90,100]之间”的可能结果为：(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)基本事件数为9，所以P(A)＝＝.
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6课时作业17 随机事件的概率
时间：45分钟 满分：100分
——基础巩固类——
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．“某彩票的中奖概率为”意味着( D )
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为
2．下列结论正确的是( C )
A．事件A发生的概率P(A)满足0B．事件A发生的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖
解析：A不正确，因为0≤P(A)≤1；B不正确；若事件A是必然事件，则P(A)＝1；D不正确，某奖券的中奖率为50%,10张奖券可能会有5张中奖，但不一定会发生．
3．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
10
11
8
8
6
10
18
9
11
9
则取到号码为奇数的频率是( A )
A．0.53
B．0.5
C．0.47
D．0.37
解析：利用公式fn(A)＝计算出频率值，取到号码为奇数的频率是＝0.53.
4．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有( C )
A．64个
B．640个
C．16个
D．160个
解析：80×(1－80%)＝16.
5．某次数学考试中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其一个选项，则一定有3题答对．”这句话( B )
A．正确
B．错误
C．不一定
D．无法解释
解析：把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是，说明做对的可能性大小是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3题的可能性较大，但是并不一定答对3道．也可能都选错，或仅有2题、3题、4题……甚至12个题都选择正确．
6．“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明( A )
A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防
B．小概率事件很少发生，不用怕
C．小概率事件就是不可能事件，不会发生
D．大概率事件就是必然事件，一定发生
解析：因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件，故选A.
7．一个口袋中有12个红球，x个白球，每次任取一球(不放回)，若第10次取到红球的概率为，则x等于( B )
A．8
B．7
C．6
D．5
解析：由概率的意义知，每次取到红球的概率都等于，∴＝，∴x＝7.
8．从1,2,3，…，20这20个自然数中任取一个数，它恰好是3的倍数的概率是( B )
A.
B.
C.
D.
解析：因为共有20个数，而其中3的倍数有3,6,9,12,15,18共6个，故抽到恰好是3的倍数的概率为＝.
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．一个口袋装有除颜色外其他均相同的白球、红球共100个，若摸出一个球为白球的概率为，则估计这100个球内，有白球75个．
解析：100×＝75.
10．利用简单抽样法抽查某校150名男学生，其中身高为1.65米的有32人，若在此校随机抽查一名男学生，则他身高为1.65米的概率大约为0.21.(保留两位小数)
解析：所求概率为≈0.21.
11．对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示：
调查件数
50
100
200
300
500
合格件数
47
92
192
285
478
根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查1_000件产品．
解析：由表中数据知：抽查5次，产品合格的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.956，可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约需抽查n件产品，则＝0.95，所以n≈1
000.
三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
12．(12分)某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
解：(1)表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89.
13．(13分)某人发现中国人在邮箱名称里喜欢用数字，于是他进行了调查，结果如下表：
每批邮箱数
60
130
265
306
1
233
2
130
4
700
6
897
名称里有数字的邮箱数
36
78
165
187
728
1
300
2
820
4
131
频率
(1)填写上表中的频率(精确到0.01)；
(2)中国人在邮箱名称里使用数字的概率约是多少？
解：(1)由频率公式可算出，表格中应填写的频率从左到右依次为0.60,0.60,0.62,0.61,0.59,0.61,0.60,0.60.
(2)由(1)知，计算出的频率虽然不全相等，但都在常数0.60附近摆动，因此，中国人在邮箱名称里使用数字的概率约为0.60.
——能力提升类——
14．(5分)如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量最多的是白球．
解析：取了10次有9个白球，则取出白球的频率是0.9，估计从该袋中任取一球，是白球的概率约是0.9，是黑球的概率约是0.1，因为取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量最多的是白球．
15．(15分)深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车和红色出租车的数量分别占整个城市出租车数量的85%和15%，据现场目击证人说事故现场的出租车是红色的，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑．请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由．
解：方法1：假设该城市有出租车1
000辆，那么依题意可得如下信息：
从表中可以看出，当证人说出租车是红色的时，它确实是红色的概率为≈0.41，而它是蓝色的概率为≈0.59，在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的．
方法2：由题意可知，证人说出租车是红色的概率为15%×80%＋85%×20%＝29%，而其中它确实是红色的概率为15%×80%＝12%，因此证人证词正确的概率为≈0.41，而证人证词错误的概率为≈0.59，在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的．
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