11-12学年高一数学：必修4综合模块测试 25（人教B版必修4）

必修四模块测试25
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列叙述中正确的是( )
A.三角形的内角必是第一象限或第二象限的角
B.角α的终边在x轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点
C.终边相同的角必相等
D.终边在第二象限的角是钝角
思路解析：由正弦线、正切线的定义可知B正确,A中漏了直角的情况，直角终边在y轴上，不属于第一象限也不属于第二象限.
答案：B
2.若α、β的终边关于y对称，则下列等式正确的是( )
A.sinα=sinβ B.cosα=cosβ C.tanα=tanβ D.cotα=cotβ
思路解析：因为α、β的终边关于y对称，所以β=2kπ+π-α,k∈Z，sinβ=sin(2kπ+π-α)=sinα.或者通过定义sinα=,也可判断.
答案：A
3.函数y=sin2xcos2x是( )
A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数
C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数
思路解析：y=sin4x,T==,又f（-x）=sin（-4x）=-sin4x=-f（x），它是奇函数.
答案：A
4.已知向量a=(3,2)，b=(x,4),且a∥b，则x的值为( )
A.6 B.-6 C. D.
思路解析：因为a∥b，所以3×4-2x=0，解得x=6.
答案：A
5.下面给出四种说法，其中正确的个数是( )
①对于实数m和向量a、b，恒有m(a-b)=ma-mb；②对于实数m、n和向量a，恒有(m-n)a=ma-na；③若ma=mb(m∈R)，则a=b；④若ma=na(a≠0)，则m=n.
A.1 B.2 C.3 D.4
思路解析：正确的命题有①②④，③当且仅当m≠0时成立.
答案：C
6.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°，c=2a+3b,d=ka-b(k∈R)，且c⊥d，那么k的值为( )
A.-6 B.6 C. D.
思路解析：a·b=1×2×cos60°=1.∵c⊥d,
∴c·d=(2a+3b)·(ka-b)=2ka2-2a·b+3ka·b-3b2=2k-2+3k-12=0.
∴k=.
答案：D
7.函数y=cos2x+sinxcosx-的周期是( )
A. B. C.π D.2π
思路解析：y=sin2x+cos2x=sin(2x+)，
T==π.
答案：C
8.若α∈(0,2π),且tanα＞cotα＞cosα＞sinα,则α的取值范围是( )
A.(,) B.(,π) C.(,) D.(,2π)
思路解析：排除法.
当α=时，cosα＜sinα，排除A；
当α=时，cotα＜cosα，排除B;
当α=时，tanα＜cosα，排除D.
答案：C
9.已知|p|=,|q|=3,p、q的夹角为，如图1，若=5p+2q,=p-3q,D为BC的中点，则||为( )
图1
A. B. C.7 D.18
思路解析：=()=(5p+2q+p-3q)=(6p-q)，
∴||=
=.
答案：A
10.要得到函数y=sin(2x-)的图象，只要将函数y=sin2x的图象( )
A.向左平行移动个单位 B.向左平行移动个单位
C.向右平行移动个单位 D.向右平行移动个单位
思路解析：由y=sin2x到y=sin(2x-)关键是看x的变化，即由x到x-，所以需向右平行移动个单位.
答案：D
11.使函数y=sin(2x+φ)+3cos(2x+φ)为奇函数，且在［0,］上是减函数的φ的一个值为( )
A. B. C. D.
思路解析：可考虑代入法.
y=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+).
当φ=时，y=2sin(2x+φ+)=2sin(2x+)是非奇非偶函数，因此排除A.
当φ=时，y=2sin(2x+φ+)=2sin2x是奇函数，但在［0, ］上是增函数，因此排除B.
当φ=时，符合题意，同样可排除D.
答案：C
12.函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的部分图象如图2所示，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)的值等于( )
图2
A.2 B.2+ C.2+2 D.-2-2
思路解析：由图象可知f(x)=2sinx的周期为8，
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)=f(1)+f(2)+f(3)=2sin+2sin+2sin=2+.
答案：C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)
13．已知tanx=6，那么sin2x+cos2x=________________.
思路解析：原式=
答案：
14.已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2，若A、B、D三点共线，则k=______________.
思路解析：若A、B、D三点共线，则∥，设=λ.
∵==e1-4e2,
∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2.
∴λ=2,k=-4λ.∴k=-8.
答案：-8
15.若|a+b|=|a-b|，则a与b的夹角为_______________.
思路解析：方法一：考虑夹角公式.
∵|a+b|=|a-b|,∴(a+b)2=(a-b)2.整理得a·b=0,∴a⊥b.∴a与b的夹角为90°.
方法二：考虑平行四边形模型.
在平行四边形OABC中，=a,=b,
则=a+b,=a-b，
∵|a+b|=|a-b|，即||=||，
∴平行四边形OABC为矩形.
∴a与b的夹角为90°.
答案：90°
16.给出下列五种说法：
①函数y=-sin(kπ+x)(k∈Z)是奇函数；②函数y=tanx的图象关于点(kπ+,0)(k∈Z)对称；③函数f(x)=sin|x|是最小正周期为π的周期函数；④设θ为第二象限角，则tan＞cos，且sin＞cos；⑤函数y=cos2x+sinx的最小值为-1.
其中正确的是.
思路解析：①∵f(x)=-sin(kπ+x)=f(-x)=f(x)，
∴f(x)是奇函数，①对.
②由正切曲线知，点(kπ,0)(kπ+,0)是正切函数的对称中心，∴②对.③f(x)=sin|x|不是周期函数，③错.
④∵θ∈(2kπ+,2kπ+π),k∈Z，∴∈(kπ+,kπ+).
当k=2n+1,k∈Z时，sin＜cos.∴④错.
⑤y=1-sin2x+sinx=-(sinx-)2+，
∴当sinx=-1时，ymin=1-(-1)2+(-1)=-1.∴⑤对.
答案：①②⑤
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17.（本小题满分12分）
已知cosα=，且-＜α＜0,
求的值.
解：∵cosα=，且-＜α＜0，
∴sinα=,cotα=.
∴原式=.
18.（本小题满分12分）
已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-(3+m)).
（1）若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.
解：（1）已知向量=(3,-4),=(6,-3), =(5-m,-(3+m))，若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线.
∵=(3,1)，=(2-m,1-m)，
∴3(1-m)≠2-m.
∴实数m≠时满足条件.
（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则AB⊥AC，
∴3(2-m)+(1-m)=0，解得m=.
19.（本小题满分12分）
已知f(x)=sin(2x+)+sin(2x-)+2cos2x+a，当x∈［-,］时，f(x)的最小值为-3，求α的值.
解：∵f(x)=sin(2x+)+sin(2x-)+2cos2x+a
=3sin2x+cos2x+1+a=2sin(2x+)+1+a.
∵x∈［-,］,∴-≤2x+≤.
∴f(x)在［-,］上的最小值为2（-）+1+a=1-+a.
由题意,知1-+a=-3，∴a=-4.
20.（本小题满分12分）已知函数y=cos2x+sinxcosx+1,x∈R.
（1）求它的振幅、周期和初相；
（2）用五点法作出它的简图；
（3）该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？
解：y=cos2x+sinxcosx+1=cos2x+sin2x+
=sin(2x+)+.
（1）y=cos2x+sinxcosx+1的振幅为A=,周期为T==π，初相为φ=.
（2）令x1=2x+，则y=sin(2x+)+=sinx1+，列出下表，并描出图象如下图所示：
x -
x1 0 π 2π
y=sinx1 0 1 0 -1 0
y=sin(2x+)+
(3)方法一：将函数图象依次作如下变换：
函数y=sinx的图象函数y=sin(x+)的图象
函数y=sin(2x+)的图象
函数y=sin(2x+)的图象函数y=sin(2x+)+的图象,
即得函数y=cos2x+sinxcosx+1的图象.
方法二：函数y=sinx的图象函数y=sin2x的图象函数y=sin(2x+)的图象函数y=sin(2x+)+的
函数y=sin(2x+)+的图象,
即得函数y=cos2x+sinxcosx+1的图象.
21.（本小题满分12分）
已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα)，α∈(,).
（1）若||=||，求角α的值；
（2）若·=-1，求的值.
解：（1）∵=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),
∴||=，
||=.
由||=||,得sinα=cosα.
又∵α∈(, )，∴α=.
（2）由·=-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.
∴sinα+cosα=.①
又=2sinαcosα.
由①式两边平方,得1+2sinαcosα=,
∴2sinαcosα=.∴=.
22.（本小题满分14分）已知=(2,1),=(1,7),=(5,1).设M是直线OP上的一点（其中O为坐标原点），当取最小值时：
（1）求；
（2）设∠AMB=θ，求cosθ的值.
解：设=t，则=(2t,t),=(1-2t,7-t),=(5-2t,1-t).
=5t2-20t+12=5(t-2)2-8.
∴t=2时，最小，这时=（4，2）.
（2）由=(-3,5)，=(1,-1),
∴cosθ=.
∴cosθ的值是.