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2021年浙江省中考一轮复习专题：02整式运算及因式分解强化训练
一、选择题
1.计算
是（??
）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????????D.?
2.下列运算中，正确的是（??
）
A.?（﹣x）2?x3＝x5?????????B.?（x2y）3＝x6y???????C.?（a+b）2＝a2+b2???????D.?a6+a3＝a2
3.如果a2+4a-4＝0，那么代数式
的值为（????
）
A.?13?????????????????????B.?-11?????????????????????????C.?3????????????????????D.?-3
4.下列计算结果是x5的为（??
）
A.?x2?x3??????????????????B.?x6－x??????????????????C.?x10÷x2??????????????D.?(x3)2
5.如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（??
）
A.?（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2???????????????????????B.?（m+n）2＝m2+2mn+n2
C.?（m﹣n）2＝m2+n2???????????????????????????????????D.?m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）
6.南宋数学家杨辉在其著作《解：九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（??
）
A.?128??????????????????B.?256???????????????C.?512??????????????????????????D.?1024
7.若单项式2x2ya+b与-
xa-by4是同类项，则a，b的值分别为(???
)
A.?a＝3，b＝1???????B.?a＝-3，b＝1??????C.?a＝3，b＝-1???????D.?a＝-3，b＝-1
8.下列计算正确的是（???
）
A.??????????????????????????????B.?
C.???????????D.?
9.观察列数：﹣2，8，﹣32，128……按照这列数的排列规律，第n个数应该是（??
）
A.?（﹣2）n????????????B.?（﹣2）2n﹣1??????????????C.?﹣22n﹣1???????????????????D.?（﹣1）n?22n﹣1
10.如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3
，
△A3A4A5
，
△A5A6A7
，
…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2019的坐标为（?
）
A.?（﹣1008，0）?????????B.?（﹣1006，0）???????C.?（2，﹣504）????????????D.?（1，505）
二、填空题
11.按规律排列的一列数：
，
，
，
，
，…，则第2020个数是________.
12.因式分解：
________.
13.因式分解：
________.
14.计算
的结果是________.
15.如图，一个大正方形被分成两个正方形和两个一样的矩形，请根据图形，写出一个含有
的正确的等式________．
16.下列各图形都是由同样大小的圆和正三角形按一定的规律组成.其中，第①个图形由8个圆和1个正三角形组成，第②个图形由16个圆和4个正三角形组成，第③个图形由24个圆和9个正三角形组成，……则第________个图形中圆和正三角形的个数相等
.
17.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性.若把第一个三角数记为a1
，
第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an
，
计算a1+a2
，
a2+a3
，
a3+a4
，
…由此推算a399+a400＝________.
18.已知：2m＝12，2n＝48，试计算：（﹣3）m﹣n＝________.
19.观察“田”字格中各数之间的关系：
则c的值（用含n的代数式表示）为________.
20.如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1
，
△P2A1A2
，
△P3A2A3
，
…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1(3，3)，P2
，
P3
，
…均在直线
上.设△P1OA1
，
△P2A1A2
，
△P3A2A3
，
…的面积分别为
S1
，
S2
，
S3
，
…，依据图形所反映的规律，S2020=________.
三、解答题
21.计算：
（1）计算：
（2）解不等式组：
22.计算：
（1）
（2）解不等式组：
（1）解：原式
???
（2）解：
23.计算：
（1）
（2）（2x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）
24.先化简，再求值：(a+3)2
（a+b）（a
b）
2（2a+4），其中a＝
＋1，
＝
－1.
25.已知2a2+3a-6=0.求代数式3a（2a+1）-（2a+1）（2a-1）的值.
26.阅读材料
材料1：若一个自然数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”.
材料2：对于一个三位自然数
，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字
，
，
，我们对自然数
规定一个运算：
.
例如：
是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、8、2.
则
.
请解答：
（1）一个三位的“对称数”
，若
，请直接写出
的所有值，
________；
（2）已知两个三位“对称数”
，若
能被11整数，求
的所有值.
27.观察以下等式：
第1个等式：
，第2个等式：
，
第3个等式：
，第4个等式：
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式________；
（2）写出你猜想的第n（n为正整数）个等式（用含n的等式表示），并证明．
28.如图所示的是一个宽5米的餐厅，只能放8张餐桌.现计划扩建增加座位，只能对原宽度进行加长，设加长后的长度为m米.若餐厅的餐桌数为y，经计算，得到如下数据：（注：m和y都为正整数）
m（米）
5
8
11
14
……
餐桌数y（张）
8
12
16
……
（1）根据表中数据的规律，完成以上表格；
（2）求出y关于m的函数解析式；
（3）若这家餐厅至少要有80张餐桌，求m的最小值.
29.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式．
①1=1，②1+2=
=3，③1+2+3=
=6，④________…
（2）结合（1）观察下列点阵图，并在⑤后面的横线上写出相应的等式．
①1=12②1+3=22③3+6=32④6+10=42⑤________…
（3）通过猜想，写出（2）中与第n个点阵相对应的等式________．
30.如图是一个长为a，宽为b的长方形，在它的四角上个剪去一个边长为x的小正方形.
（1）用代数式表示图中阴影部分的面积；
（2）当a＝5，b＝8，x＝2时，求（1）中代数式的值.
31.观察下列各个等式的规律：
第一个等式：
，
第二个等式：
第三个等式：
第四个等式：
…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
（1）直接写出第六个等式；
（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的.
32.观察下列两个等式：
2-
=2×
+1,5-
=5x
+1,给出定义如下：
我们称使等式a-b=ab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为（a，b)，
（1）通过计算判断数对“-2，1”，“4，
”是不是“共生有理数对”；
（2）若（6，a)是“共生有理数对”，求a的值；
（3）若（m，n)是“共生有理数对”，则“-n，-m”________“共生有理数对”（填“是”或“不是”），并说明理由；
（4）如果(m，n)是“共生有理数对”（其中n≠1)，直接用含n的代数式表示m．
33.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左、右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等．
（1）（a+b）n展开式中项数共有________项．
（2）写出（a+b）5的展开式：（a+b）5＝________．
（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
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一、整式的有关概念
1、代数式
用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2、单项式
只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。
二、多项式
1、多项式
几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
单项式和多项式统称整式。
用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。
注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。
（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。
2、同类项
所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。
3、去括号法则
（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。
（2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。
4、整式的运算法则
整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。
整式的乘法：
整式的除法：
注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。
（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。
（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。
（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
（6）
（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。
三、因式分解
1、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2、因式分解的常用方法
（1）提公因式法：
（2）运用公式法：
（3）分组分解法：
（4）十字相乘法：
3、因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
选择题
1.
（2020·浙江省台州市）计算2a2?3a4的结果是（ ）
A．5a6
B．5a8
C．6a6
D．6a8
2．(2020浙江省杭州市)（1+y）（1﹣y）＝（ ）
A．1+y2
B．﹣1﹣y2
C．1﹣y2
D．﹣1+y2
3．(2020浙江省丽水市)下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是
A．
B．
C．
D．
4．(2020浙江省宁波市)下列计算正确的是（ ）
A．a3?a2＝a6
B．（a3）2＝a5
C．a6÷a3＝a3
D．a2+a3＝a5
5．(2020浙江省衢州市)计算（a2）3，正确结果是（ ）
A．a5
B．a6
C．a8
D．a9
6.（2020聊城）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③的次序铺设地砖，把第个图形用图表示，那么第50个图形中的白色小正方形地砖的块数是
A．150
B．200
C．355
D．505
6．（2020四川省）已知，，其中，为正整数，则
A．
B．
C．
D．
7.（2020年湖南省益阳市）下列因式分解正确的是（ ）
A．a（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝
（a﹣b）（a+b）
B．a2﹣9b2＝（a﹣3b）2
C．a2+4ab+4b2＝（a+2b）2
D．a2﹣ab+a＝a（a﹣b）
8.（2020?黑龙江省龙东地区）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a2+2a2＝3a4
B．x8﹣x2＝x6
C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2
D．（﹣3x2）3＝﹣27x6
9．（2020郴州）如图1，将边长为的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式
A．
B．
C．
D．
10.
(2020?山东省潍坊市)若m2+2m＝1，则4m2+8m－3的值是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
填空题
1．(2020浙江省宁波市)分解因式：2a2﹣18＝ ．
2．(2020浙江省衢州市)定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）※x的结果为 ．
3．(2020浙江省绍兴市)分解因式： ．
4．(2020浙江省台州市)因式分解：x2﹣9＝ ．
5．(2020浙江省温州市)分解因式： ．
6.
（2020浙江省舟山市、嘉兴市）分解因式：x2﹣9＝ ．
7.（2020湖北黄冈）若，则__________．
8．(2020山东枣庄)若，，则 ．
9．（2020青海）观察下列各式的规律：
①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1．
请按以上规律写出第4个算式 ．
用含有字母的式子表示第n个算式为 ．
10．（2020泰安）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，，第个数记为，则 ．
三、解答题
1.
（2020浙江省温州市）化简：（x﹣1）2﹣x（x+7）．
2.
（2020四川省攀枝花市）已知x＝3，将下面代数式先化简，再求值．（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）+（x﹣3）（x﹣1）．
3.（2020北京）已知，求代数式的值.
4.（2020湖北武汉）计算：．
5．（2020浙江宁波）计算：（a+1）2+a（2﹣a）．
6.
（2020浙江省舟山市、嘉兴市）比较x2+1与2x的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①当x＝1时，x2+1 ＝ 2x；
②当x＝0时，x2+1 ＞ 2x；
③当x＝﹣2时，x2+1 ＞ 2x．
（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．
选择题
1.（2020年西藏）下列分解因式正确的一项是（ ）
A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
B．2xy+4x＝2（xy+2x）
C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2
D．x2+y2＝（x+y）2
2.（2020年山东省东营市）下列运算正确的是（ ）
A．（x3）2＝x5
B．（x﹣y）2＝x2+y2
C．﹣x2y3?2xy2＝﹣2x3y5
D．﹣（3x+y）＝﹣3x+y
3．（2020年辽宁省辽阳市）下列运算正确的是（ ）
A．m2+2m＝3m3
B．m4÷m2＝m2
C．m2?m3＝m6
D．（
m2）3＝m5
4.
(2020?山东省枣庄市)图(1)是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是( )
A．ab
B．(a+b)2
C．(a－b)2
D．a2－b2
5.（2020年云南省）按一定规律排列的单项式：a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n个单项式是（ ）
A．（﹣2）n﹣1a
B．（﹣2）na
C．2n﹣1a
D．2na
填空题
1.（2020宁夏省）分解因式：3a2﹣6a+3＝ ．
2.（2020辽宁省葫芦岛市）分解因式：ab2﹣9a＝ ．
3.（2020宁夏省）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为 ．
3.
（2020四川省成都市）已知，则代数式的值为_________．
4.(2020年浙江省杭州市)设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝ ．
5.（2020年吉林省长春市）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费 元．
解答题
1.
（2020?新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团）先化简，再求值：，其中．
2．（2020?邵阳）已知：，
（1）求，的值；
（2）先化简，再求值：．
1.某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于，各基地之间的距离之比（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
2.
已知，．若，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
3.若a+b＝1，则a2﹣b2+2b﹣2＝ ．
3.
实际问题：
某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a
(1＜a＜n)个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：
(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
所取的2个整数
1，2
1，3
2，3
2个整数之和
3
4
5
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表②
所取的2个整数
1，2
1，3
1，4
2，3
2，4
3，4
2个整数之和
3
4
5
5
6
7
如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有
种不同的结果．
(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有
种不同的结果．
探究二：
(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有
种不同的结果．
(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有
种不同的结果．
探究三：
从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有
种不同的结果．
归纳结论：
从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1＜a＜n)个整数，这a个整数之和共有
种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取5张奖券，共有 476 种不同的优惠金额．
拓展延伸：
(1)从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)
(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1＜a＜n+1)个整数，这a个整数之和共有
种不同的结果．
4.有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，，两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
5．如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，，以此类推，若．为正整数），则的值为 ．
1．下列计算正确的是
A．
B．
C．
D．
2．已知与是同类项，则的值是
A．2
B．3
C．4
D．5
3．计算的结果是
A．
B．
C．
D．
4．计算的结果是
A．
B．
C．
D．
5．按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是 ．
6．若单项式与单项式是同类项，则 ．
7．若，则代数式的值为 ．
7.ax2﹣2axy+ay2＝ ．
8.把ax2﹣4a分解因式的结果是 ．
9．先化简，再求值：，其中．
10．计算：
（1）；
（2）．
11．计算或化简
（1）
（2）
另附
72021年浙江省中考一轮复习专题：02整式运算及因式分解
一、整式的有关概念
1、代数式
用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2、单项式
只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。
二、多项式
1、多项式
几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
单项式和多项式统称整式。
用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。
注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。
（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。
2、同类项
所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。
3、去括号法则
（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。
（2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。
4、整式的运算法则
整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。
整式的乘法：
整式的除法：
注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。
（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。
（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。
（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
（6）
（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。
三、因式分解
1、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2、因式分解的常用方法
（1）提公因式法：
（2）运用公式法：
（3）分组分解法：
（4）十字相乘法：
3、因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
选择题
1.
（2020·浙江省台州市）计算2a2?3a4的结果是（ ）
A．5a6
B．5a8
C．6a6
D．6a8
解：2a2?3a4＝6a6．
故选：C．
2．(2020浙江省杭州市)（1+y）（1﹣y）＝（ ）
A．1+y2
B．﹣1﹣y2
C．1﹣y2
D．﹣1+y2
解：（1+y）（1﹣y）＝1﹣y2．
选：C．
3．(2020浙江省丽水市)下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是
A．
B．
C．
D．
解：．不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
．不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
．能运用平方差公式分解，故此选项正确；
．不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
故选：．
4．(2020浙江省宁波市)下列计算正确的是（ ）
A．a3?a2＝a6
B．（a3）2＝a5
C．a6÷a3＝a3
D．a2+a3＝a5
解：A、a3?a2＝a5，故此选项错误；
B、（a3）2＝a6，故此选项错误；
C、a6÷a3＝a3，正确；
D、a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误；
故选：C．
5．(2020浙江省衢州市)计算（a2）3，正确结果是（ ）
A．a5
B．a6
C．a8
D．a9
解：由幂的乘方与积的乘方法则可知，（a2）3＝a2×3＝a6．
故选：B．
6.（2020聊城）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③的次序铺设地砖，把第个图形用图表示，那么第50个图形中的白色小正方形地砖的块数是
A．150
B．200
C．355
D．505
解：由图形可知：第1个图形12块白色小正方形，第2个图形19个白色小正方形，第3个图形26个白色小正方形
则图的白色小正方形地砖有块，
当时，．
故选：．
6．（2020四川省）已知，，其中，为正整数，则
A．
B．
C．
D．
解：，，
，
故选：．
7.（2020年湖南省益阳市）下列因式分解正确的是（ ）
A．a（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝
（a﹣b）（a+b）
B．a2﹣9b2＝（a﹣3b）2
C．a2+4ab+4b2＝（a+2b）2
D．a2﹣ab+a＝a（a﹣b）
解：A.a（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝
（a﹣b）2，故此选项错误；
B.a2﹣9b2＝（a﹣3b）（a+3b），故此选项错误；
C.a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，正确；
D.a2﹣ab+a＝a（a﹣b+1），故此选项错误；
故选：C．
8.（2020?黑龙江省龙东地区）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a2+2a2＝3a4
B．x8﹣x2＝x6
C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2
D．（﹣3x2）3＝﹣27x6
【解答】解：A.结果是3a2，故本选项不符合题意；
B.x8和﹣x2不能合并，故本选项不符合题意；
C.结果是x2﹣2xy+y2，故本选项不符合题意；
D.结果是﹣27x6，故本选项符合题意；
故选：D．
9．（2020郴州）如图1，将边长为的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式
A．
B．
C．
D．
解：由图可知，
图1的面积为：，
图2的面积为：，
所以．
故选：．
10.
(2020?山东省潍坊市)若m2+2m＝1，则4m2+8m－3的值是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解：∵m2+2m＝1，∴4m2+8m－3＝4(m2+2m)－3＝4×1－3＝1．
故选D．
填空题
1．(2020浙江省宁波市)分解因式：2a2﹣18＝ ．
【分析】首先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式得出答案．
解：2a2﹣18＝2（a2﹣9）
＝2（a+3）（a﹣3）．
故答案为：2（a+3）（a﹣3）．
2．(2020浙江省衢州市)定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）※x的结果为 ．
解：根据题意得：
（x﹣1）※x＝（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1．
故答案为：x2﹣1．
3．(2020浙江省绍兴市)分解因式： ．
解：．
故答案为：．
4．(2020浙江省台州市)因式分解：x2﹣9＝ ．
解：原式＝（x+3）（x﹣3），
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
5．(2020浙江省温州市)分解因式： ．
解：原式，
故答案为：．
6.
（2020浙江省舟山市、嘉兴市）分解因式：x2﹣9＝ ．
解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
7.（2020湖北黄冈）若，则__________．
解：，
，，，，
，
故答案为：2．
8．(2020山东枣庄)若，，则 ．
解：，
．
，，，
故答案为：1．
9．（2020青海）观察下列各式的规律：
①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1．
请按以上规律写出第4个算式 ．
用含有字母的式子表示第n个算式为 ．
解：④4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1．
第n个算式为：n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．
故答案为：4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1；n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．
10．（2020泰安）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，，第个数记为，则 ．
解：观察“杨辉三角”可知第个数记为，
则．
故答案为：20110．
三、解答题
1.
（2020浙江省温州市）化简：（x﹣1）2﹣x（x+7）．
解：（2）（x﹣1）2﹣x（x+7）
＝x2﹣2x+1﹣x2﹣7x
＝﹣9x+1．
2.
（2020四川省攀枝花市）已知x＝3，将下面代数式先化简，再求值．（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）+（x﹣3）（x﹣1）．
解：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）+（x﹣3）（x﹣1）
＝x2+1﹣2x+x2﹣4+x2﹣x﹣3x+3
＝3x2﹣6x
将x＝3代入，原式＝27﹣18＝9．
3.（2020北京）已知，求代数式的值.
解：原式=
∵，∴，∴，∴原式=
4.（2020湖北武汉）计算：．
解：原式
．
5．（2020浙江宁波）计算：（a+1）2+a（2﹣a）．
解：（1）（a+1）2+a（2﹣a）
＝a2+2a+1+2a﹣a2
＝4a+1；
6.
（2020浙江省舟山市、嘉兴市）比较x2+1与2x的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①当x＝1时，x2+1 ＝ 2x；
②当x＝0时，x2+1 ＞ 2x；
③当x＝﹣2时，x2+1 ＞ 2x．
（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．
解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；
②当x＝0时，x2+1＞2x；
③当x＝﹣2时，x2+1＞2x．
（2）x2+1≥2x．
证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，
∴x2+1≥2x．
故答案为：＝；＞；＞．
选择题
1.（2020年西藏）下列分解因式正确的一项是（ ）
A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
B．2xy+4x＝2（xy+2x）
C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2
D．x2+y2＝（x+y）2
【易错点提示】注意提公因式法与公式法的综合运用。
解：A.原式＝（x+3）（x﹣3），符合题意；
B.原式＝2x（y+2），不符合题意；
C.原式不能分解，不符合题意；
D.原式不能分解，不符合题意．
故选：A．
2.（2020年山东省东营市）下列运算正确的是（ ）
A．（x3）2＝x5
B．（x﹣y）2＝x2+y2
C．﹣x2y3?2xy2＝﹣2x3y5
D．﹣（3x+y）＝﹣3x+y
【易错点提示】注意整式的混合运算，注意运算法则．
【解答】解：A.原式＝x6，不符合题意；
B.原式＝x2﹣2xy+y2，不符合题意；
C.原式＝﹣2x3y5，符合题意；
D.原式＝﹣3x﹣y，不符合题意．
故选：C．
3．（2020年辽宁省辽阳市）下列运算正确的是（ ）
A．m2+2m＝3m3
B．m4÷m2＝m2
C．m2?m3＝m6
D．（
m2）3＝m5
【易错点提示】注意合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方等运算．
解：A．m2与2m不是同类项，不能合并，所以A错误；
B．m4÷m2＝m4﹣2＝m2，所以B正确；
C．m2?m3＝m2+3＝m5，所以C错误；
D．（
m2）3＝m6，所以D错误；
故选：B．
4.
(2020?山东省枣庄市)图(1)是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是( )
A．ab
B．(a+b)2
C．(a－b)2
D．a2－b2
【易错点提示】注意正确列代数式，正确表示出小正方形的边长．
解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b－2b＝a－b，则面积是(a－b)2．故选C．
5.（2020年云南省）按一定规律排列的单项式：a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n个单项式是（ ）
A．（﹣2）n﹣1a
B．（﹣2）na
C．2n﹣1a
D．2na
【易错点提示】注意正确找出单项式变化的规律。
解：∵a＝（﹣2）1﹣1a，
﹣2a＝（﹣2）2﹣1a，
4a＝（﹣2）3﹣1a，
﹣8a＝（﹣2）4﹣1a，
16a＝（﹣2）5﹣1a，
﹣32a＝（﹣2）6﹣1a，
…
由上规律可知，第n个单项式为：（﹣2）n﹣1a．
故选：A．
填空题
1.（2020宁夏省）分解因式：3a2﹣6a+3＝ ．
【易错点提示】注意先用提取公因式法再结合公式法进行分解因式．
解：原式＝3（a2﹣2a+1）＝3（a﹣1）2．
故答案为：3（a﹣1）2．
2.（2020辽宁省葫芦岛市）分解因式：ab2﹣9a＝ ．
【易错点提示】注意因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底．
解：原式＝a（b2﹣9）
＝a（b+3）（b﹣3），
故答案为：a（b+3）（b﹣3）．
3.（2020宁夏省）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为 ．
【易错点提示】注意完全平方公式在几何图形中的应用，应该熟知完全平方式的形式．
解：由题意可得在图1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，
图2中大正方形的面积为：（a+b）2，
∵（b﹣a）2＝3
a2﹣2ab+b2＝3，
∴15﹣2ab＝3
2ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，
故答案为：27．
3.
（2020四川省成都市）已知，则代数式的值为_________．
【易错点提示】本题考查完全平方公式的简单应用和整体代入思想，关键在于通过已知条件进行转换．
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：49．
4.(2020年浙江省杭州市)设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝ ．
【易错点提示】本题考查完全平方公式的简单应用和整体代入思想，关键在于通过已知条件进行转换．
解：（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，
两式相减得4xy＝﹣3，
解得xy＝﹣，
则P＝﹣．
故答案为：﹣．
5.（2020年吉林省长春市）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费 元．
【易错点提示】要把（30m+15n）看成一个整体，不要把括号丢掉。
解：根据单价×数量＝总价得，（30m+15n）元，
故答案为：（30m+15n）．
解答题
1.
（2020?新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团）先化简，再求值：，其中．
【易错点提示】本题考查的是整式的化简求值，二次根式的乘方运算，注意掌握整式加减乘除运算法则。
解：
当，原式
2．（2020?邵阳）已知：，
（1）求，的值；
（2）先化简，再求值：．
【易错点提示】本题综合考查了实数的非负性和整式的乘法。
解：（1）根据非负数得：且，
解得：，，
（2）原式，
当，，原式．
1.某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于，各基地之间的距离之比（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
解：甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于，
设甲基地的产量为吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为吨、吨、吨，
各基地之间的距离之比，
设千米，则、、、分别为千米、千米、千米、千米，
设运输的运费每吨为元千米，
①设在甲处建总仓库，
则运费最少为：；
②设在乙处建总仓库，
，，
，
则运费最少为：；
③设在丙处建总仓库，
则运费最少为：；
④设在丁处建总仓库，
则运费最少为：；
由以上可得建在甲处最合适，
【名师点评】本题考查了用字母代替数字．解决本题的关键是读懂题意，其本质就是单项式的运算。
2.
已知，．若，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解：∵，
依题意得：，．
∴，
∴，
故选：C．
【名师点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形．
3.若a+b＝1，则a2﹣b2+2b﹣2＝ ．
解：∵a+b＝1，
∴a2﹣b2+2b﹣2
＝（a+b）（a﹣b）+2b﹣2
＝a﹣b+2b﹣2
＝a+b﹣2
＝1﹣2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【名师点评】考查了平方差公式，注意整体思想的应用．
3.
实际问题：
某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a
(1＜a＜n)个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：
(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
所取的2个整数
1，2
1，3
2，3
2个整数之和
3
4
5
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表②
所取的2个整数
1，2
1，3
1，4
2，3
2，4
3，4
2个整数之和
3
4
5
5
6
7
如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有
种不同的结果．
(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有
种不同的结果．
探究二：
(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有
种不同的结果．
(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有
种不同的结果．
探究三：
从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有
种不同的结果．
归纳结论：
从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1＜a＜n)个整数，这a个整数之和共有
种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取5张奖券，共有 476 种不同的优惠金额．
拓展延伸：
(1)从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)
(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1＜a＜n+1)个整数，这a个整数之和共有
种不同的结果．
解：探究一：
(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2＝3，最大值为4+5＝9，这2个整数之和共有9－3+1＝7种不同情况；故答案为7；
(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2＝3，最大值为n+n－1＝2n－1，这2个整数之和共有2n－1－3+1＝2n－3种不同情况；故答案为2n－3；
探究二：
(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3＝6，最大值为2+3+4＝9，这3个整数之和共有9－6+1＝4种不同情况；故答案为4；
(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3＝6，最大值为n+(n－1)+(n－2)＝3n－3，这3个整数之和共有3n－3－6+1＝3n－8种不同结果，故答案为3n－8；
探究三：
从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和的最小值为1+2+3+4＝10，最大值为n+(n－1)+(n－2)+(n－3)＝4n－6，因此这4个整数之和共有4n－6－10+1＝4n－15种不同结果，
归纳总结：
从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取a个整数，这a个整数之和的最小值为1+2+…+a＝，最大值为n+(n－1)+(n－2)+(n－3)+…+(n－a+1)＝na－，因此这a个整数之和共有na－－+1＝a(n－a)+1种不同结果，
故答案为a(n－a)+1；
问题解决：
将n＝100，a＝5，代入a(n－a)+1得；5×(100－5)+1＝476，故答案为476；
拓展延伸：
(1)设从1，2，3，…，36这36个整数中任取a个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果，由上述结论得，a(36－a)+1＝204，解得，a＝7或a＝29；
答：从1，2，3，…，36这36个整数中任取7个整数或取29个整数，能使取出的这些整数之和共有204种不同的结果；
(2)根据上述规律，从(n+1)个连续整数中任取a个整数，这a个整数之和共有a(n+1－a)+1，
故答案为a(n+1－a)+1．
【名师点评】本题考查用代数式表示数字的变化规律，确定任取的a个整数之和的最大值和最小值是得出正确答案的关键．
4.有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，，两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
解：（1）A区显示结果为：
，
B区显示结果为：；
（2）初始状态按4次后A显示为：
B显示为：
∴A+B=
=
=
∵恒成立，
∴和不能为负数．
【名师点评】读懂题意，熟练进行单项式的运算和因式分解。
5．如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，，以此类推，若．为正整数），则的值为 ．
解：由图形知，，，
，
，
，
，
，
，
解得，
经检验：是分式方程的解，
故答案为：4039．
【名师点评】认真看图总结规律。
1．下列计算正确的是
A．
B．
C．
D．
解：，因此选项不正确；
，因此选项正确；
，因此选项不正确；
，因此选项不正确；
故选：．
2．已知与是同类项，则的值是
A．2
B．3
C．4
D．5
解：与是同类项，
，
解得，，
故选：．
3．计算的结果是
A．
B．
C．
D．
解：．
故选：．
4．计算的结果是
A．
B．
C．
D．
解：原式
．
故选：．
5．按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是 ．
解：把代入程序中得：
，
把代入程序中得：
，
最后输出的结果是．
故答案为：．
6．若单项式与单项式是同类项，则 ．
解：单项式与单项式是同类项，
，
，
故答案为：4．
7．若，则代数式的值为 ．
解：，
，
．
故答案为：4
7.ax2﹣2axy+ay2＝ ．
解：ax2﹣2axy+ay2
＝a（x2﹣2xy+y2）
＝a（x﹣y）2．
故答案为：a（x﹣y）2．
8.把ax2﹣4a分解因式的结果是 ．
解：ax2﹣4a＝a（x2﹣4）＝a（x+2）（x﹣2）．
故答案为：a（x+2）（x﹣2）．
9．先化简，再求值：，其中．
解：
，
当时，原式．
10．计算：
（1）；
（2）．
解：（1）；
（2）；
11．计算或化简
（1）
（2）
解：（1）
（2）
另附
7中小学教育资源及组卷应用平台
2021年浙江省中考一轮复习专题：02整式运算及因式分解强化训练（教师版）
一、选择题
1.计算
是（??
）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????????D.?
【考点】积的乘方
解：
，
故答案为：D.
2.下列运算中，正确的是（??
）
A.?（﹣x）2?x3＝x5?????????B.?（x2y）3＝x6y???????C.?（a+b）2＝a2+b2???????D.?a6+a3＝a2
【考点】同底数幂的乘法，完全平方公式及运用，合并同类项法则及应用，积的乘方
A.（﹣x）2?x3＝x5
，
此选项正确；
B.（x2y）3＝x6y3
，
此选项错误；
C.（a+b）2＝a2+2ab+b2
，
此选项错误；
D.a6与a3不是同类项，不能合并，此选项错误；
故答案为：A.
3.如果a2+4a-4＝0，那么代数式
的值为（????
）
A.?13?????????????????????B.?-11?????????????????????????C.?3????????????????????D.?-3
【考点】代数式求值，完全平方式
解：
，
由已知得a2+4a-4=0，整理得：a2+4a=4，
则原式
，
故答案为：D．
4.下列计算结果是x5的为（??
）
A.?x2?x3??????????????????B.?x6－x??????????????????C.?x10÷x2??????????????D.?(x3)2
【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则及应用，幂的乘方
A.
=
，符合题意；
B.
?x不能进一步计算，不符合题意；
C.
÷
=
，不符合题意；
D.
=
，不符合题意；
故答案为：A.
5.如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（??
）
A.?（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2???????????????????????B.?（m+n）2＝m2+2mn+n2
C.?（m﹣n）2＝m2+n2???????????????????????????????????D.?m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）
【考点】平方差公式的几何背景
图（1）中，①、②两部分的面积和为：m2﹣n2
，
图（2）中，①、②两部分拼成长为（m+n），宽为（m﹣n）的矩形面积为：（m+n）（m﹣n），
因此有m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），
故答案为：D.
6.南宋数学家杨辉在其著作《解：九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（??
）
A.?128??????????????????B.?256???????????????C.?512??????????????????????????D.?1024
【考点】探索数与式的规律
解：由“杨辉三角”的规律可知，（a+b）9展开式中所有项的系数和为（1+1）9＝29＝512
故答案为：C.
7.若单项式2x2ya+b与-
xa-by4是同类项，则a，b的值分别为(???
)
A.?a＝3，b＝1???????B.?a＝-3，b＝1??????C.?a＝3，b＝-1???????D.?a＝-3，b＝-1
【考点】同类项
解：∵单项式
与
是同类项，
∴
，解得：a=3，b=1，
故答案为：A.
8.下列计算正确的是（???
）
A.??????????????????????????????B.?
C.???????????D.?
【考点】单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式及运用，平方差公式及应用
解：A、
，本选项不符合题意；
B、
，本选项不符合题意；
C、
，本选项不符合题意；
D、
，本选项符合题意．
故答案为：D．
9.观察列数：﹣2，8，﹣32，128……按照这列数的排列规律，第n个数应该是（??
）
A.?（﹣2）n????????????B.?（﹣2）2n﹣1??????????????C.?﹣22n﹣1???????????????????D.?（﹣1）n?22n﹣1
【考点】探索数与式的规律
解：﹣2＝（﹣1）1×22×1﹣1；
8＝（﹣1）2×22×2﹣1；
﹣32＝（﹣1）3×22×3﹣1；
128＝（﹣1）4×22×4﹣1；
……
由上可知，第n个数为：（﹣1）n?22n﹣1.
故答案为：D.
10.如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3
，
△A3A4A5
，
△A5A6A7
，
…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2019的坐标为（?
）
A.?（﹣1008，0）?????????B.?（﹣1006，0）???????C.?（2，﹣504）????????????D.?（1，505）
【考点】点的坐标，探索图形规律
解：观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，
∵2019÷4＝504…3
∴A2019在x轴负半轴上，纵坐标为0，
∵A3、A7、A11的横坐标分别为0，﹣2，﹣4，
∴A2019的横坐标为﹣（2019﹣3）×
＝﹣1008.
∴A2019的坐标为（﹣1008，0）.
故答案为：A.
二、填空题
11.按规律排列的一列数：
，
，
，
，
，…，则第2020个数是________.
【考点】探索数与式的规律
解：
，
，
，
，
，
由上可知第
个数为：
，
第2020个数是：
.
故答案为：
.
12.因式分解：
________.
【考点】提公因式法因式分解
解：a2﹣4a=a（a﹣4）.
故答案为a（a﹣4）.
13.因式分解：
________.
【考点】提公因式法因式分解，十字相乘法因式分解
解：?=
=
故答案为：
.
14.计算
的结果是________.
【考点】多项式乘多项式
解：原式=
，
故答案为：
.
15.如图，一个大正方形被分成两个正方形和两个一样的矩形，请根据图形，写出一个含有
的正确的等式________．
【考点】完全平方公式的几何背景
解：由面积相等，得
胡答案为：
16.下列各图形都是由同样大小的圆和正三角形按一定的规律组成.其中，第①个图形由8个圆和1个正三角形组成，第②个图形由16个圆和4个正三角形组成，第③个图形由24个圆和9个正三角形组成，……则第________个图形中圆和正三角形的个数相等
.
【考点】探索图形规律
解：第①个图形由3×4-4=8个圆和1个正正三角形du组成，
第②个图形由5×4-4=16个圆和22=4个正三角形组成，
第③个图形由7×4-4=24个圆和32=9个正三角形组成，
…
所以第n个图形由（2n+1）×4-4=8n个圆和
个正三角形组成，
∵圆和正三角形的个数相等，
∴8n=
，
解得n=8，或n=0（不合题意，舍去）.
故答案是8
17.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性.若把第一个三角数记为a1
，
第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an
，
计算a1+a2
，
a2+a3
，
a3+a4
，
…由此推算a399+a400＝________.
【考点】探索数与式的规律
解：∵
；
；
；…
∴
；
∴
.
故答案为：
160000.
18.已知：2m＝12，2n＝48，试计算：（﹣3）m﹣n＝________.
【考点】同底数幂的除法，负整数指数幂的运算性质
解：∵2m＝12，2n＝48，
∴
，
∴m﹣n＝﹣2，
∴
.
故答案为：
.
19.观察“田”字格中各数之间的关系：
则c的值（用含n的代数式表示）为________.
【考点】探索数与式的规律
解：由表格中的数据可得，
a＝2n
，
b＝2n+n，c＝b﹣1＝2n+n﹣1，
故答案为：2n+n﹣1.
20.如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1
，
△P2A1A2
，
△P3A2A3
，
…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1(3，3)，P2
，
P3
，
…均在直线
上.设△P1OA1
，
△P2A1A2
，
△P3A2A3
，
…的面积分别为
S1
，
S2
，
S3
，
…，依据图形所反映的规律，S2020=________.
【考点】坐标与图形性质，探索图形规律
解：如图，分别过点
作x轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，
∵
（3，3），且△P1OA1是等腰直角三角形，
∴OC=CA1=P1C=3，
设
，则
，
∴OD=6+a，
∴点
坐标为（6+a，a），
将点
坐标代入
得到：
，
解得：
，
∴
，
同理求得
，
，
∴
，
，
，
∴
，
因此
；
故答案为：
；
三、解答题
21.计算：
（1）计算：
（2）解不等式组：
（1）解：原式
；
（2）解：解不等式
得：
，
解不等式
得：
，
故不等式组的解集为
.
【考点】整式的混合运算，解一元一次不等式组
22.计算：
（1）
（2）解不等式组：
（1）解：原式
???
（2）解：
解①的
，
解②得
，
不等式组的解集为
【考点】同底数幂的除法，解一元一次不等式组，积的乘方，幂的乘方
23.计算：
（1）
（2）（2x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）
（1）解：
＝2+2﹣
＝3
；
（2）解：（2x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）
＝4x2﹣4xy+y2﹣x2+y2
＝3x2﹣4xy+2y2.
【考点】实数的运算，整式的混合运算，特殊角的三角函数值
24.先化简，再求值：(a+3)2
（a+b）（a
b）
2（2a+4），其中a＝
＋1，
＝
－1.
解：原式＝a2+6a+9﹣（a2﹣b2）
4a
8＝2a+1+b2；
∵a＝
＋1，
＝
－1，
∴原式＝2×（
＋1）+1+(
－1)2
＝
＝6；
【考点】利用整式的混合运算化简求值
25.已知2a2+3a-6=0.求代数式3a（2a+1）-（2a+1）（2a-1）的值.
解：
=
=
∵
∴
∴原式=7.
【考点】利用整式的混合运算化简求值
26.阅读材料
材料1：若一个自然数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”.
材料2：对于一个三位自然数
，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字
，
，
，我们对自然数
规定一个运算：
.
例如：
是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、8、2.
则
.
请解答：
（1）一个三位的“对称数”
，若
，请直接写出
的所有值，
________；
（2）已知两个三位“对称数”
，若
能被11整数，求
的所有值.
（1）515或565
（2）解：由题意得：
，
，
能被11整除，
是11的倍数.
、
在1～9中取值，
.
当
，
时，
，
；
当
，
时，
，
；
当
，
时，
，
；
当
，
时，
，
；
当
，
时，
，
；
当
，
时，
，
；
当
，
时，
，
；
当
，
时，
，
；
的值为4，8，96，108，144.
【考点】定义新运算
解：（1）∵
由运算法则可知，这个三位数首尾数字只能是5，中间数字2倍后各位数字为2，
∴中间数字为1或6，
则这个三位数为515或565
故答案为：515或565；
27.观察以下等式：
第1个等式：
，第2个等式：
，
第3个等式：
，第4个等式：
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式________；
（2）写出你猜想的第n（n为正整数）个等式（用含n的等式表示），并证明．
（1）
（2）第n个等式为：
证明：左边＝
＝右边，
∴等式成立
【考点】探索数与式的规律
28.如图所示的是一个宽5米的餐厅，只能放8张餐桌.现计划扩建增加座位，只能对原宽度进行加长，设加长后的长度为m米.若餐厅的餐桌数为y，经计算，得到如下数据：（注：m和y都为正整数）
m（米）
5
8
11
14
……
餐桌数y（张）
8
12
16
……
（1）根据表中数据的规律，完成以上表格；
（2）求出y关于m的函数解析式；
（3）若这家餐厅至少要有80张餐桌，求m的最小值.
（1）解：由表格中的数据可得，每加长3米，餐桌数就增加4张，
故当m＝14时，y＝20，
故答案为：20；
（2）解：设y与m的函数关系式为y＝km＋b，
，得
，
即与m的函数关系式为y＝
m＋
；
（3）解：根据题意有
m＋
80，
解得，m
59，
∴m的最小值是59.
【考点】一元一次不等式的应用，待定系数法求一次函数解析式，探索数与式的规律
29.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式．
①1=1，②1+2=
=3，③1+2+3=
=6，④________…
（2）结合（1）观察下列点阵图，并在⑤后面的横线上写出相应的等式．
①1=12②1+3=22③3+6=32④6+10=42⑤________…
（3）通过猜想，写出（2）中与第n个点阵相对应的等式________．
（1）10
（2）10+15=52
（3）
【考点】探索数与式的规律
解：（1）根据题中所给出的规律可知：1+2+3+4＝
＝10；（2）由图示可知点的总数是5×5=25，所以10+15=52
．
（3）由（1）（2）可知
30.如图是一个长为a，宽为b的长方形，在它的四角上个剪去一个边长为x的小正方形.
（1）用代数式表示图中阴影部分的面积；
（2）当a＝5，b＝8，x＝2时，求（1）中代数式的值.
（1）解：由题意可得，图中阴影部分的面积为：ab﹣4x2
（2）解：当a＝5，b＝8，x＝2时，
原式＝ab﹣4x2＝5×8﹣4×22＝24
【考点】列式表示数量关系，代数式求值
31.观察下列各个等式的规律：
第一个等式：
，
第二个等式：
第三个等式：
第四个等式：
…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
（1）直接写出第六个等式；
（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的.
（1）解：
（2）解：
；
等式左边＝
?＝
＝1；
∴左边＝右边，
正确
【考点】探索数与式的规律
32.观察下列两个等式：
2-
=2×
+1,5-
=5x
+1,给出定义如下：
我们称使等式a-b=ab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为（a，b)，
（1）通过计算判断数对“-2，1”，“4，
”是不是“共生有理数对”；
（2）若（6，a)是“共生有理数对”，求a的值；
（3）若（m，n)是“共生有理数对”，则“-n，-m”________“共生有理数对”（填“是”或“不是”），并说明理由；
（4）如果(m，n)是“共生有理数对”（其中n≠1)，直接用含n的代数式表示m．
（1）解：-2-1=-3，-2×1+1=-1，
∴-2-1≠2×1+1，
∴“-2，1”不是“共生有理数对”
∵
∴
“4，”
?“共生有理数对”
（2）解：由题意得：
6-a=6a+1，
解得a=
（3）解：是
理由：-n-(-m)=-n+m,
-n·(-m)+1=mn+1
∵(m，n)是“共生有理数对”
∴m-n=mn+1
∴-n+m=mn+1
（-n，-m)是“共生有理数对”
（4）解：
【考点】定义新运算
33.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左、右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等．
（1）（a+b）n展开式中项数共有________项．
（2）写出（a+b）5的展开式：（a+b）5＝________．
（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
（1）n+1
（2）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
（3）解：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1
＝25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5
＝（2﹣1）5
＝1
【考点】探索数与式的规律
解：（1）（a+b）n展开式中项数共有n+1项，
故答案为n+1；（2）（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
故答案为a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
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精品试卷·第
2
页
（共
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