二次函数综合题（共38张ppt）
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(共38张PPT)
第五节 二次函数的应用
1．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
考点一
二次函数的实际应用
考点二
二次函数的综合应用
命题角度? 线段、周长问题
例2
(2019·肥城二模)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴
于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．
(1)求二次函数的表达式和直线BD的表达式；
(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当
点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
(3)在抛物线上是否存在异于B，D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2
？
若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】(1)利用顶点式求得二次函数的表达式，再求出点D的坐标，即可
求得直线BD的表达式；
(2)设P点横坐标为m，则P(m，－m＋3)，M(m，－m2＋2m＋3)，可得PM＝－
M2＋3m＝－(m－
)2＋
，即可得解；
(3)过Q作QE⊥x轴，交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，连接QD，
QB，设Q(x，－x2＋2x＋3)，G(x，－x＋3)，可得QG，利用等腰直角三角
形的性质、根的判别式，即可得解．
【自主解答】(1)∵抛物线的顶点C的坐标为(1，4)，
∴可设抛物线表达式为y＝a(x－1)2＋4.
把B(3，0)代入得0＝a(3－1)2＋4，解得a＝－1，
∴抛物线表达式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3.
∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，
∴D点坐标为(0，3)，
∴可设直线BD表达式为y＝kx＋3.
把B点坐标代入可得3k＋3＝0，解得k＝－1，
∴直线BD表达式为y＝－x＋3.
(2)设P点横坐标为m(m>0)，则P(m，－m＋3)，M(m，－m2＋2m＋3)，
∴PM＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m＝－(m－
)2＋
，
∴当m＝
时，PM有最大值，最大值为
.
(
3)如图，过Q作QE⊥x轴，交BD于点G，交x轴于点E，作
QH⊥BD
于H，连
接QD，QB.
设Q(x，－x2＋2x＋3)，则G(x，－x＋3)，
∴QG＝|－x2＋2x＋3－(－x＋3)|＝|－x2＋3x|.
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO＝45°，
∴∠HGQ＝∠BGE＝45°.
当△BDQ中BD边上的高为2
时，
即QH＝HG＝2
，
∴QG＝
×2
＝4，
∴|－x2＋3x|＝4，
当－x2＋3x＝4时，Δ＝9－16<0，方程无实数根，
当－x2＋3x＝－4时，解得x＝－1或x＝4，
∴Q(－1，0)或(4，－5)．
综上可知，存在满足条件的点Q，其坐标为(－1，0)或(4，－5)．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝
，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
y＝﹣
x2+x+4
3．(2018·泰安模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于A，B两点，
与y轴交于点C，AB＝4.矩形OADC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，作PH⊥EO，垂足为H，求PH的
最大值；
(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若四边形ACMN是平行四边
形，求点M，N的坐标．
解：(1)将x＝0代入抛物线的表达式得y＝2，
∴C(0，2)．
∵四边形OADC为矩形，∴OA＝CD＝1，
∴A(－1，0)．
又∵AB＝4，∴B(3，0)．
设抛物线的表达式为y＝a(x－3)(x＋1)．
将点C的坐标代入得－3a＝2，解得a＝－
，
∴抛物线的表达式为y＝－
x2＋
x＋2.
(2)∵点E在DC的延长线上，∴y＝2.
将y＝2代入二次函数表达式得－
x2＋
x＋2＝2，
解得x1＝0(舍去)，x2＝2，
∴E(2，2)，∴EC＝OC＝2，∴∠COE＝45°.
如图，过点P作PG∥y轴交直线OE于点G，
∴∠PGH＝∠COE＝45°.
又∵PH⊥OE，∴PH＝
PG.
设直线OE的表达式为y＝kx，将点E的坐标代入得2k＝2，
解得k＝1，
∴直线OE的表达式为y＝x，
∴设点P的坐标为(m，－
m2＋
m＋2)，则点G的坐标为(m，m)，
∴PH的最大值为
(3)由(1)可得抛物线的对称轴为x＝1，
设点N的坐标为(1，n)，点M的坐标为(e，f)．
过点M作MQ垂直于对称轴，垂足为Q.
由AAS易证△MNQ≌△ACO，
∴QN＝OC＝2，MQ＝AO＝1，
∴点M的横坐标为2.
代入抛物线y＝－
x2＋
x＋2得
Y＝－
×4＋
×2＋2＝2，
∴点M的坐标为(2，2)，∴N的纵坐标为0，
∴点N的坐标为(1，0)．
考点三
二次函数的综合应用
1.若一次函数
的图象与
轴，
轴分别交于
，
两点，点
的坐标为
，二次函数的
图象过
，
，
三点，如图
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（1），过点
作
轴交抛物线于点
，点
在抛物线上（
轴左侧），若
恰好平分
.求直线
的表达式；
（3）如图（2），若点
在抛物线上（点
在轴右侧）,连接
交
于点
，连接
，
.
①当
时，求点
的坐标；
②求
的最大值.
1．如图，直线y＝
x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣
x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．点D是AC上方抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，如图1，△CDE，△BCE的面积分别为S1，S2，求
的最大值；
（3）过点D作DF⊥AC于F，连接CD，如图2，是否存在点D，使得△CDF中的某个角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，说明理由．
y＝﹣
x2﹣
x+2；
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝
+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），经过点A的射线AM与y轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，且
．
（1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；
（2）求∠FAB的余切值；
（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且∠AFP＝∠DAB，求点P的坐标．
2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0），与y轴交于C
（1）求该抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；
（2）设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE＝
，求点E的坐标；
（3）若P是直线y＝x+1上的一点，P点的横坐标为
，M是第二象限抛物线上的一点，当∠MPD＝∠ADC时，求M点的坐标．
y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．
3.2019秋?肥城市期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝﹣
x+2经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．求△PBC面积最大值和此时m的值；
（3）Q是抛物线上一点，若∠ABC＝∠CBQ，直线BQ与y轴交于点M，请直接写出M的坐标．
命题角度? 图形面积问题
例3
(2018·泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx
＋c交x轴于点A(－4，0)，B(2，0)，交y轴于点C(0，6)，在y轴上有一点
E(0，－2)，连接AE.
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；
(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形，若存在，请直
接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】(1)把已知点坐标代入函数表达式，得出方程组求解即可；
(2)根据函数表达式设出点D坐标，过点D作DH与y轴平行，交AE于点F，表
示出△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；
(3)设出点P坐标，分PA＝PE，PA＝AE，PE＝AE三种情况讨论分析即可．
【自主解答】(1)由题意可得
∴二次函数的表达式为y＝－
x2－
x＋6.
(2)由A(－4，0)，E(0，－2)，
可求得AE所在直线表达式为
y＝－
x－2.
如图，过点D作DH与y轴平行，交AE于点F，
交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H.
设D点坐标为(x0，－
x02－
x0＋6)，则F点坐标为(x0，－
x0－2)，
则DF＝－
x02－
x0＋6－(－
x0－2)＝－
x02－x0＋8.
又∵S△ADE＝
S△ADF＋
S△EDF，
∴S△ADE＝DF·AG＋DF·EH
＝
×4DF
＝2×(－
x02－x0＋8)
＝－
(x0＋
)2＋
，
∴当x0＝－
时，△ADE的面积取得最大值
.
(3)P点的坐标为(－1，1)，(－1，±
)，(－1，－2±
)．
2．(2019·泰安中考)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴、y轴分别交
于点A(3，0)，B(0，－2)，且过点C(2，－2)．
(1)求二次函数表达式；
(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；
(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点
M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y＝﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当DE＝4时，求四边形CAEB的面积．
（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．
4．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．
（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；
（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
y＝﹣x2+6x﹣5；
5．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8＝0的两个根．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
命题角度? 动点、存在点问题
例4
(2017·泰安中考)如图，是将抛物线y＝－x2平移后得到的抛物线，
其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为A(－1，0)，
另一交点为B，与y轴的交点为C.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
(3)点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y＝
x＋
的图象上一点，若四
边形OAPQ为平行四边形，这样的点P，Q是否存在？若存在，分别求出点
P，Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】(1)设出顶点式，利用待定系数法求函数表达式；
(2)易证△BOC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y轴，根据CH＝NH即可列方
程求解；
(3)四边形OAPQ是平行四边形，则PQ＝OA＝1，且PQ∥OA，设P点坐标，代
入y＝
x＋
即可求解．
【自主解答】(1)设抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋k.
∵A(－1，0)在抛物线上，
∴0＝－(－1－1)2＋k，∴k＝4，
∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.
(2)当x＝0时，y＝－(0－1)2＋4＝3，
∴点C(0，3)，∴OC＝3.
又B(3，0)，∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°.
如图，过点N作NH⊥y轴，垂足为H.
∵∠NCB＝90°，∴∠NCH＝45°，
∴NH＝CH，
∴HO＝OC＋CH＝3＋CH＝3＋NH，
则设点N为(a，－a2＋2a＋3)，
∴a＋3＝－a2＋2a＋3，
解得a＝0(舍去)或a＝1，
∴N(1，4)．
(3)∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ＝OA＝1，
且PQ∥OA，
设P(t，－t2＋2t＋3)，则Q(t＋1，－t2＋2t＋3)．
将点Q(t＋1，－t2＋2t＋3)代入y＝
x＋
得
－t2＋2t＋3＝
(t＋1)＋
，
整理得2t2－t＝0，解得t1＝0，t2＝
.
∴－t2＋2t＋3的值为3或
，
∴点P，Q的坐标为(0，3)，(1，3)或(
，
)，(
，
)．
1．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2（2016?潍坊）如图，已知抛物线y＝
x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
y＝
x2+2x+1，
3．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交x轴于点B、交y轴于点C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x＝2．
（1）求A点的坐标；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）连接AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
y＝x2﹣4x+3．
第五节 二次函数的应用
1．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
考点一
二次函数的实际应用
考点二
二次函数的综合应用
命题角度? 线段、周长问题
例2
(2019·肥城二模)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴
于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．
(1)求二次函数的表达式和直线BD的表达式；
(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当
点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
(3)在抛物线上是否存在异于B，D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2
？
若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】(1)利用顶点式求得二次函数的表达式，再求出点D的坐标，即可
求得直线BD的表达式；
(2)设P点横坐标为m，则P(m，－m＋3)，M(m，－m2＋2m＋3)，可得PM＝－
M2＋3m＝－(m－
)2＋
，即可得解；
(3)过Q作QE⊥x轴，交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，连接QD，
QB，设Q(x，－x2＋2x＋3)，G(x，－x＋3)，可得QG，利用等腰直角三角
形的性质、根的判别式，即可得解．
【自主解答】(1)∵抛物线的顶点C的坐标为(1，4)，
∴可设抛物线表达式为y＝a(x－1)2＋4.
把B(3，0)代入得0＝a(3－1)2＋4，解得a＝－1，
∴抛物线表达式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3.
∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，
∴D点坐标为(0，3)，
∴可设直线BD表达式为y＝kx＋3.
把B点坐标代入可得3k＋3＝0，解得k＝－1，
∴直线BD表达式为y＝－x＋3.
(2)设P点横坐标为m(m>0)，则P(m，－m＋3)，M(m，－m2＋2m＋3)，
∴PM＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m＝－(m－
)2＋
，
∴当m＝
时，PM有最大值，最大值为
.
(
3)如图，过Q作QE⊥x轴，交BD于点G，交x轴于点E，作
QH⊥BD
于H，连
接QD，QB.
设Q(x，－x2＋2x＋3)，则G(x，－x＋3)，
∴QG＝|－x2＋2x＋3－(－x＋3)|＝|－x2＋3x|.
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO＝45°，
∴∠HGQ＝∠BGE＝45°.
当△BDQ中BD边上的高为2
时，
即QH＝HG＝2
，
∴QG＝
×2
＝4，
∴|－x2＋3x|＝4，
当－x2＋3x＝4时，Δ＝9－16<0，方程无实数根，
当－x2＋3x＝－4时，解得x＝－1或x＝4，
∴Q(－1，0)或(4，－5)．
综上可知，存在满足条件的点Q，其坐标为(－1，0)或(4，－5)．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝
，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
y＝﹣
x2+x+4
3．(2018·泰安模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于A，B两点，
与y轴交于点C，AB＝4.矩形OADC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，作PH⊥EO，垂足为H，求PH的
最大值；
(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若四边形ACMN是平行四边
形，求点M，N的坐标．
解：(1)将x＝0代入抛物线的表达式得y＝2，
∴C(0，2)．
∵四边形OADC为矩形，∴OA＝CD＝1，
∴A(－1，0)．
又∵AB＝4，∴B(3，0)．
设抛物线的表达式为y＝a(x－3)(x＋1)．
将点C的坐标代入得－3a＝2，解得a＝－
，
∴抛物线的表达式为y＝－
x2＋
x＋2.
(2)∵点E在DC的延长线上，∴y＝2.
将y＝2代入二次函数表达式得－
x2＋
x＋2＝2，
解得x1＝0(舍去)，x2＝2，
∴E(2，2)，∴EC＝OC＝2，∴∠COE＝45°.
如图，过点P作PG∥y轴交直线OE于点G，
∴∠PGH＝∠COE＝45°.
又∵PH⊥OE，∴PH＝
PG.
设直线OE的表达式为y＝kx，将点E的坐标代入得2k＝2，
解得k＝1，
∴直线OE的表达式为y＝x，
∴设点P的坐标为(m，－
m2＋
m＋2)，则点G的坐标为(m，m)，
∴PH的最大值为
(3)由(1)可得抛物线的对称轴为x＝1，
设点N的坐标为(1，n)，点M的坐标为(e，f)．
过点M作MQ垂直于对称轴，垂足为Q.
由AAS易证△MNQ≌△ACO，
∴QN＝OC＝2，MQ＝AO＝1，
∴点M的横坐标为2.
代入抛物线y＝－
x2＋
x＋2得
Y＝－
×4＋
×2＋2＝2，
∴点M的坐标为(2，2)，∴N的纵坐标为0，
∴点N的坐标为(1，0)．
考点三
二次函数的综合应用
1.若一次函数
的图象与
轴，
轴分别交于
，
两点，点
的坐标为
，二次函数的
图象过
，
，
三点，如图
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（1），过点
作
轴交抛物线于点
，点
在抛物线上（
轴左侧），若
恰好平分
.求直线
的表达式；
（3）如图（2），若点
在抛物线上（点
在轴右侧）,连接
交
于点
，连接
，
.
①当
时，求点
的坐标；
②求
的最大值.
1．如图，直线y＝
x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣
x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．点D是AC上方抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，如图1，△CDE，△BCE的面积分别为S1，S2，求
的最大值；
（3）过点D作DF⊥AC于F，连接CD，如图2，是否存在点D，使得△CDF中的某个角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，说明理由．
y＝﹣
x2﹣
x+2；
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝
+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），经过点A的射线AM与y轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，且
．
（1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；
（2）求∠FAB的余切值；
（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且∠AFP＝∠DAB，求点P的坐标．
2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0），与y轴交于C
（1）求该抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；
（2）设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE＝
，求点E的坐标；
（3）若P是直线y＝x+1上的一点，P点的横坐标为
，M是第二象限抛物线上的一点，当∠MPD＝∠ADC时，求M点的坐标．
y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．
3.2019秋?肥城市期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝﹣
x+2经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．求△PBC面积最大值和此时m的值；
（3）Q是抛物线上一点，若∠ABC＝∠CBQ，直线BQ与y轴交于点M，请直接写出M的坐标．
命题角度? 图形面积问题
例3
(2018·泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx
＋c交x轴于点A(－4，0)，B(2，0)，交y轴于点C(0，6)，在y轴上有一点
E(0，－2)，连接AE.
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；
(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形，若存在，请直
接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】(1)把已知点坐标代入函数表达式，得出方程组求解即可；
(2)根据函数表达式设出点D坐标，过点D作DH与y轴平行，交AE于点F，表
示出△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；
(3)设出点P坐标，分PA＝PE，PA＝AE，PE＝AE三种情况讨论分析即可．
【自主解答】(1)由题意可得
∴二次函数的表达式为y＝－
x2－
x＋6.
(2)由A(－4，0)，E(0，－2)，
可求得AE所在直线表达式为
y＝－
x－2.
如图，过点D作DH与y轴平行，交AE于点F，
交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H.
设D点坐标为(x0，－
x02－
x0＋6)，则F点坐标为(x0，－
x0－2)，
则DF＝－
x02－
x0＋6－(－
x0－2)＝－
x02－x0＋8.
又∵S△ADE＝
S△ADF＋
S△EDF，
∴S△ADE＝DF·AG＋DF·EH
＝
×4DF
＝2×(－
x02－x0＋8)
＝－
(x0＋
)2＋
，
∴当x0＝－
时，△ADE的面积取得最大值
.
(3)P点的坐标为(－1，1)，(－1，±
)，(－1，－2±
)．
2．(2019·泰安中考)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴、y轴分别交
于点A(3，0)，B(0，－2)，且过点C(2，－2)．
(1)求二次函数表达式；
(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；
(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点
M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y＝﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当DE＝4时，求四边形CAEB的面积．
（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．
4．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．
（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；
（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
y＝﹣x2+6x﹣5；
5．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8＝0的两个根．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
命题角度? 动点、存在点问题
例4
(2017·泰安中考)如图，是将抛物线y＝－x2平移后得到的抛物线，
其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为A(－1，0)，
另一交点为B，与y轴的交点为C.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
(3)点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y＝
x＋
的图象上一点，若四
边形OAPQ为平行四边形，这样的点P，Q是否存在？若存在，分别求出点
P，Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】(1)设出顶点式，利用待定系数法求函数表达式；
(2)易证△BOC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y轴，根据CH＝NH即可列方
程求解；
(3)四边形OAPQ是平行四边形，则PQ＝OA＝1，且PQ∥OA，设P点坐标，代
入y＝
x＋
即可求解．
【自主解答】(1)设抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋k.
∵A(－1，0)在抛物线上，
∴0＝－(－1－1)2＋k，∴k＝4，
∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.
(2)当x＝0时，y＝－(0－1)2＋4＝3，
∴点C(0，3)，∴OC＝3.
又B(3，0)，∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°.
如图，过点N作NH⊥y轴，垂足为H.
∵∠NCB＝90°，∴∠NCH＝45°，
∴NH＝CH，
∴HO＝OC＋CH＝3＋CH＝3＋NH，
则设点N为(a，－a2＋2a＋3)，
∴a＋3＝－a2＋2a＋3，
解得a＝0(舍去)或a＝1，
∴N(1，4)．
(3)∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ＝OA＝1，
且PQ∥OA，
设P(t，－t2＋2t＋3)，则Q(t＋1，－t2＋2t＋3)．
将点Q(t＋1，－t2＋2t＋3)代入y＝
x＋
得
－t2＋2t＋3＝
(t＋1)＋
，
整理得2t2－t＝0，解得t1＝0，t2＝
.
∴－t2＋2t＋3的值为3或
，
∴点P，Q的坐标为(0，3)，(1，3)或(
，
)，(
，
)．
1．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2（2016?潍坊）如图，已知抛物线y＝
x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
y＝
x2+2x+1，
3．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交x轴于点B、交y轴于点C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x＝2．
（1）求A点的坐标；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）连接AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
y＝x2﹣4x+3．