2020-2021学年华东师大新版九年级上册数学《第23章 图形的相似》单元测试卷（word版含答案）

2020-2021学年华东师大新版九年级上册数学《第23章
图形的相似》单元测试卷
一．选择题
1．在平面直角坐标系中，点P（n2+2，）一定在（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．在平面直角坐标系中，点（2，0）关于原点对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣2，0）
B．（0，2）
C．（0，﹣2）
D．（2，﹣2）
3．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝5：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　）
A．5：4
B．4：5
C．2：
D．：2
4．下列各组线段中，能组成比例线段的（　　）
A．2，3，4，5
B．2，3，4，6
C．2，3，5，7
D．3，4，5，6
5．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，如果AB长为20，则AC为（　　）
A．10﹣10
B．10﹣10
C．30﹣10
D．20﹣10
6．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则EF的长为（　　）
A．2.4
B．3
C．3.6
D．4.8
7．如图，在正方形ABCD中，点E为边AD上的一个动点（与点A、D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交边CD于点M，那么下列结论中，错误的是（　　）
A．△AEF∽△CBF
B．△CMG∽△BFG
C．△ABG∽△CFB
D．△ABF∽△CBG
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，若△BEF的面积为4cm2，则梯形ABCD的面积为（　　）
A．8cm2
B．12cm2
C．16cm2
D．20cm2
9．若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（　　）条．
A．1
B．2
C．3
D．4
10．如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（　　）
A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
二．填空题
11．平面直角坐标系中，点P的坐标是（2，﹣1），则点P关于原点对称的点的坐标是　
　．
12．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若AB＝2，AC＝6，DE＝3，则EF的长为　
　．
13．已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是　
　．
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝2，则CD的长为　
　．
15．在平面直角坐标系内点P（﹣3，2a+b）与点Q（a﹣b，3）关于x轴对称，则（a+b）2020的值为　
　．
16．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为　
　．
17．如图，△ABC中，若D、E、F分别是AB、AC、CD的中点，连接BF，若四边形BDEF的面积为6，则△ABC的面积＝　
　．
18．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB4C4C3的面积为　
　．
19．在如图所示的格点图中，每个小正方形的边长都是1，以点O为位似的中心，画出△A'B′C′，使△ABC与△A′B'C′的相似比为1：2，则点C′的坐标为　
　．
20．如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7……都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2020的坐标为　
　．
三．解答题
21．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A
（1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题：
（1）写出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1的顶点坐标．
（2）求△ABC的面积．
22．如图，在6×6的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形，如图①中，△ABC是一个格点三角形．
（1）在图①中，请判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由；
（2）在图②中，以O为位似中心，画一个格点三角形△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2：1．
23．如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形．
①分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标；
②并观察它们之间的关系，如果三角形ABC中任意一点M的坐标为（a，b），那么它的对应点N的坐标是什么？
③求三角形ABC的面积．
24．一个对角线相等的四边形ABCD，E、F分别为AB，CD的中点，EF分别交对角线BD，AC于M，N，求证：△OMN是等腰三角形．
25．如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，若EF＝2，CD＝3，则AB的长为多少？
26．如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连结BD、CD、CE．
（1）求证：△ABD∽△ACE．
（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．
27．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（1，0），点，把△ABO绕点O顺时针旋转，得△A'B'O，记旋转角为α．
（1）如图①，当α＝30°时，设A'B'与x轴交于点C，求点B'的坐标；
（2）如图②，当α＝90°时，直线AA'与直线BB'相交于点M，求证△MAB'是等腰直角三角形．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵n2+2＞0，
∴点P（n2+2，）一定在第一象限．
故选：A．
2．解：点（2，0）关于原点对称的点的坐标为（﹣2，0）．
故选：A．
3．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝5：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为：2，
故选：D．
4．解：A、2×5≠3×4，不成比例；
B、2×6＝3×4，成比例；
C、2×7≠3×5，不成比例；
D、3×6≠4×5，不成比例；
故选：B．
5．解：∵C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC＝AB，
∵AB＝20，
∴AC＝×20＝10﹣10．
故选：A．
6．解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，即＝，
∴EF＝3.6，
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA＝∠ACB＝∠DAC＝∠CAB＝∠EBM＝45°，
∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；
∵∠EBM＝∠DCA，∠MGC＝∠BGF，
∴△CMG∽△BFG，故选项B不合题意；
∴∠CMG＝∠CFB，
∵CD∥AB，
∴∠CMG＝∠ABG，
∴∠CFB＝∠ABG，
又∵∠CAB＝∠BCF＝45°，
∴△BCF∽△GAB，故选项C不合题意；
∵∠CAB＝∠ACB＝∠FBG＝45°，
∴∠ABF+∠CBG＝45°，
∴∠ABF≠∠CBG，
∴△ABF与△CBG不相似，故选项D符合题意；
故选：D．
8．解：过A作AN⊥BC于N，交EF于M，
∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD+BC＝2EF，EF∥AD∥BC，
∴AM⊥EF，AM＝MN，
∵△BEF的面积为4cm2，
∴EF×AM＝4，
∴EF×AM＝8，
∴梯形ABCD的面积为（AD+BC）AN＝×2EF×2AM＝2EF×AM＝16（cm2），
故选：C．
9．解：由于△ABC是直角三角形，
过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，
所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，
过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．
故选：C．
10．解：设矩形的边AH＝x，GH＝y，EG＝a，DC＝b，
则BJ＝x，JC＝a，
∵JI∥CD
∴＝即JI＝
∵矩形ABCD∽矩形FAHG，
∴＝，
即＝，
∴x+a＝
∴S阴影＝BJ?JI
＝x?
＝xy．
∵S矩形ABJH﹣S矩形HDEG
＝xb﹣ay
＝x?﹣ay
＝xy．
∴S阴影△BIJ＝S矩形ABJH﹣S矩形HDEG
所以一定能求出△BIJ面积的条件是矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差．
故选：B．
二．填空题
11．解：∵点P的坐标是（2，﹣1），
∴点P关于原点对称的点的坐标是（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
12．解：∵a∥b∥c，
∴＝，即＝，
解得，DF＝9，
则EF＝DF﹣DE＝6，
故答案为：6．
13．解：∵两相似三角形的对应中线的比是2：3，
∴两相似三角形的相似比是2：3，
∴两相似三角形的面积比是4：9，
∵较大的三角形的面积为27，
∴较小的三角形的面积为：27×＝12，
故答案为：12．
14．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝2，
∴CD2＝AD?BD＝2×4＝8，
∴CD＝2，
故答案为：2．
15．解：∵点P（﹣3，2a+b）与点Q（a﹣b，3）关于x轴对称，
∴，
解得：，
∴（a+b）2020＝（﹣2+1）2020＝1．
故答案为：1．
16．解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF，又∠EDF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°．
故答案是：135°．
17．解：∵点F是CD的中点，
∴S△DEF＝S△CEF，
设S△DEF＝S△CEF＝x，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴S△ADE＝S△CDE＝2x，S△BDC＝S△ADC＝4x，S△BDF＝2x，
∴S
四边形BDEF＝3x．
∵S
四边形BDEF＝6，
∴3x＝6，
∴x＝2，
∴S△ABC＝2S△BDC＝8x＝16，
故答案为：16．
18．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥DC，
∴AC＝＝＝，
∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，
∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为：2
∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4，
∵矩形ABCD的面积＝2×1＝2，
∴矩形AB1C1C的面积＝，
依此类推，矩形AB2C2C1的面积和矩形AB1C1C的面积的比5：4
∴矩形AB2C2C1的面积＝
∴矩形AB3C3C2的面积＝，
按此规律第4个矩形的面积为，
故答案为：．
19．解：如图所示，满足条件的三角形有两个：△A′B′C′．
观察图象可知：点C′的坐标为（10，﹣4）．
故答案为：（10，﹣4）
20．解：∵各三角形都是等腰直角三角形，
∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，
A2（1，﹣1），A4（2，2），A6（1，﹣3），A8（2，4），A10（1，﹣5），A12（2，6），…，
∵2020÷4＝505，
∴点A2020在第一象限，横坐标是2，纵坐标是2020÷2＝1010，
∴A2020的坐标为（2，1010）．
故答案为：（2，1010）．
三．解答题
21．解：（1）△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1的顶点坐标为：
A1（1，﹣4），B1（4，﹣2），C1（3，﹣5）．
（2）△ABC的面积为：3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3＝9﹣1﹣1.5﹣3＝3.5．
22．解：（1）相似．
理由如下：
∵AB＝1，BC＝＝，AC＝＝2，DE＝＝，EF＝＝，DF＝4，
∴＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴△ABC∽△DEF；
（2）如图②，△A1B1C1为所作．
23．解：①∵三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，
∴点A（4，3）、点P（﹣4，﹣3），点B（3，1）、点Q（﹣3，﹣1），点C（1，2）、点R（﹣1，﹣2）；
②观察三组对应点坐标可得：若三角形ABC中任意一点M的坐标为（a，b），
∴它的对应点N的坐标是（﹣a，﹣b）；
③S△ABC＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×3×1＝．
24．证明：取AD的中点Q，连接EQ、FQ，
∵E，F、Q分别为AB，CD、AD的中点，
∴EQ∥AC，EQ＝BD，FQ＝AC，FQ∥AC，
∴∠QEF＝∠OMN，∠QFE＝∠ONM，
∵AC＝BD，
∴QE＝QF，
∴∠QEF＝∠QFE，
∴∠OMN＝∠ONM，
∴OM＝ON，即△OMN是等腰三角形．
25．解：∵EF∥CD，
∴＝，
∵EF＝2，CD＝3，
∴＝，
∵AB∥EF，
∴＝＝，
∴AB＝6．
故答案为：6．
26．证明：（1）∵△ADE∽△ABC，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE；
（2）∵△ABD∽△ACE，
∴，∠ABD＝∠ACE，
又∵BD＝3，
∴CE＝2，
∴CD＝CE＝2，
∵∠ABD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD+∠ACE＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴DE＝CD＝2．
27．解：（1）当α＝30°时，由已知，得OA＝1，，
∴．
∴∠ABO＝30°．
∵△A'B'O是△ABO旋转得到的，
∴，∠A'B'O＝∠ABO＝30°．
∵∠BOB'＝30°，
∴∠B'OA＝60°，
∴B'C⊥OC．
∴，
．
∴点B'的坐标为．
（2）∵OB＝OB'，
∴∠BB'O＝45°．
∴OA＝OA'，
∴∠OAA'＝45°．
∵∠MAB'＝∠OAA'，
∴∠MAB'＝45°．
∴∠MB'A＝∠MAB'．
∴∠AMB'＝180°﹣∠MB'A﹣∠MAB'＝90°．
∴△MAB'是等腰直角三角形．