用列举法求概率
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请同学们回答下列问题。
1. 概率是什么？
2. P(A)的取值范围是什么？
3. 在大量重复试验中，什么值会稳定在一个常数上？我们又把这个常数叫做什么？
4. A=必然事件,B是不可能发生的事件,C是随机事件。请你画出数轴把这三个量表示出来。
不管求什么事件的概率，我们都可以做大量的试验。求频率得概率，这是上一节课也是刚才复习的内容，它具有普遍性，但求起来确实很麻烦，是否有比较简单的方法，这种方法就是我们今天要介绍的方法—列举法。
教学目标
渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力，体验数学方法的多样性灵活性，提高解题能力。
知识与能力
过程与方法
理解 （在一次试验中有n种可能的结果，其中A包含m种）的意义，并能解决一些实际问题。探究用特殊方法 “列举法”求概率的简便方法，然后应用这种方法解决一些实际问题。
通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体验数学方法的多样性灵活性，提高解题能力。
教学目标
情感态度与价值观
教学重难点
教学重点
如果在一次试验中，有几种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的。种结果，那么事件A发生的概率为 ，以及运用它解决实际间题。正确鉴别一次试验中是否涉及3个或更多个因。
教学难点
通过实验理解 并应用它解决一些具体题目。当可能出现的结果很多时，简洁地用列表法求出所有可能结果。用树形图法求出所有可能的结果。
教学重难点
1.从分别标有1、2、3、4、5号的5根纸签中随机地抽取一根，抽出的签上的号码有5种可能的结果，即1、2、3、4、5，每一根签抽到的可能性相等，都是 。
2.掷一个骰子,向上一面的点数有6种可能的结果,即1、2、3、4、5、6，每一个点数出现的可能性相等，都是 。
思考
（1）以上两个试验有什么共同的特点？
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为 .
（2）对于古典概型的试验，如何求事件的概率？
概率的求法
一次试验中，可能出现的结果有限多个。一次试验中，各种结果发生的可能性相等。
知识要点
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为 。
在概率公式 中m、n取何值， m、n之间的数量关系，P（A）的取值范围。
0 ≤ m≤n, m、n为自然数
∵0 ≤ ≤ 1, ∴0≤P(A) ≤1.
m
n
当m=n时,A为必然事件，概率P(A)=1，
当m=0时,A为不可能事件，概率P(A)=0.
例1：掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：
（1） 点数为2；
（2） 点数为奇数；
（3） 点数大于2且小于5。
解：掷一个骰子时，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种。这些点数出现的可能性相等。
（1）P（点数为2）=
（2）点数为奇数有三种可能，即点数为1，3，5，
P（点数为奇数）=
（3）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4，
P（点数大于2且小于5）=
例2 掷1个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，
（1）求掷得点数为2或4或6的概率；
（2）小明在做掷骰子的试验时，前五次都没掷得点数2，求他第六次掷得点数2的概率。
.
解：掷1个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种。这些点数出现的可能性相等。
（1）掷得点数为2或4或6(记为事件A)有3种 结果，因此P（A） ；
（2）小明前五次都没掷得点数2，可他第六次掷得点数仍然可能为1，2，3，4，5，6，共6种。他第六次掷得点数2(记为事件B)有1种结果，因此P(B) .
例3：图是一个转盘，转盘分为7个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色。指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当指针指向右边的扇形）。求下列事件的概率：
（1）指针指向红色；
（2）指针指向红色或黄色；
（3）指针不指向红色。
解：按颜色把7个扇形分别记为：红1，红2，红3，绿1，绿2，黄1，黄2，所有可能结果的总数为7。
（1）指针指向红色（记为事件A）的结果有3个，即红1，红2，红3，因此P（A）=
（2）指针指向红色或黄色（记为事件B）的结果有5个，即红1，红2，红3，黄1，黄2，因此P（B）=
（3）指针不指向红色（记为事件C）的结果有4个，即绿1，绿2，黄1，黄2，因此P（C）=
例4：图是计算机中“扫雷”游戏的画面。在一个有9×9个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏1颗地雷。
小王在游戏开始时随机
地踩中一个方格，踩中后出
现了如图所示的情况。我们
把与标号3的方格相临的方
格记为A区域（画线部分），
A区域的部分记为B区域。数
字3表示在A区域有3颗地雷。
那么第二步应该踩在A区域
还是B区域？
解：（1）A区域的方格共有8个，标记3表示在这个方格中有3个方格各藏有1颗地雷。因此，踩A区域的任意一个方格，遇到地雷的概率是 。
（2）B区域中共有9×9-9=72个小方格，其中10-3=7个方格内藏有1颗地雷。因此，踩B区域的任一方格，遇到地雷的概率是 。
由于 ，所以踩A区域遇到地雷的可能性大于踩B区域遇到地雷的可能性，因而第二步应该踩B区域。
例5：掷两枚硬币，求下列事件的概率：
（1）两枚硬币全部正面朝上；
（2）两枚硬币全部反面朝上；
（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。
解：我们把掷两枚硬币所能产生的结果全部列举出来，它们是：正正，正反，反正，反反。所有的结果共有4个，并且这4个节结果出现的可能性相等。
（1）所有的结果中，满足两枚硬币全部正面朝上（记为事件A）的结果只有一个，即“正正”，所以P（A）=
（2）满足两枚硬币全部反面朝上（记为事件B）的结果只有一个，即“反反”，所以
P（B）=
（3）满足一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上（记为事件C）的结果共有2个，即“反正”“正反”，所以P（C）=
“同时掷两枚硬币”，与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？
想一想
同时掷两枚硬币与先后两次掷一枚硬币有时候是有区别的。比如在先后投掷的时候，就会有这样的问题：先出现正面后出现反面的概率是多少？这与先后顺序有关。同时投掷两枚硬币时就不会出现这样的问题。
例6：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
(1) 两个骰子的点数相同；
(2) 两个骰子的点数的和是9；
(3) 至少有一个骰子的点数为2。
解：由表可以看出，同时投掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等。
（1）满足两个骰子点数相同（记为事件A）的结果共有6个（表示的红色部分），即（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以P（A）=
（2）满足两个骰子点数和为9（记为事件B）的结果有4个（表只中的阴影部分），即
（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），
所以P（B）=
（3）满足至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个（表中蓝色方框部分），所以P（C）=
例7：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。从3个口袋中各随机地取出1个小球。
（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？
（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
一次实验涉及三个因素（或更多）时，列表就不方便了，为了不重不漏的列出所有可能结果，通常采用树形图。
第一步：可能产生的结果为A和B，两者出现的可能性相同且不分先后，写在第一行。
第二步：可能产生的结果有C、D和E，三者出现的可能性相同且不分先后，从A和B分别画出三个分支，在分支下的第二行分别写上C、D和E。
树形图的方法
第三步：可能产生的结果有两个H和I，两者出现的可能性相同且不分先后，从C、D和E分别画出两个分支，在分支下的第三行分别写上H和I。（如果有更多的步骤可依上继续）
第四步：按竖向把各种可能的结果竖着写在下面，就得到了所有可能的结果的总数。再找出符合要求的种数，就可以利用概率和意义计算概率。
解：根据题意，我们可以画出如下的“树形图”：
这些结果出现的可能性相等。
（1）只有一个元音字母的结果（红色）有5个，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以P（一个元音）=
有两个元音字母的结果（绿色）有4个，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以
P（两个元音）=
全部为元音字母的结果（蓝色）只有1个，即AEI，所以P（三个元音）=
（2）全部辅音字母的结果共有2个：BCH，BDH，所以P（三个辅音）=
什么时候使用“列表法”方便，什么时候使用“树形图法”方便？
想一想
当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法。
当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用“画树形图”。
知识要点
运用列表法求概率的步骤如下：
①列表 ；
②通过表格计数，确定公式 中m和n的值；
③利用公式 计算事件的概率。
运用树形图法求概率的步骤如下：
①画树形图 ；
②列出结果，确定公式 中m和n的值；
③利用公式 计算事件概率。
知识要点
知识要点
1.用列举法求概率的条件是:
(1)实验的结果是有限个(n)
(2)各种结果的可能性相等.
2.用列举法求概率的的公式是:
例8：口袋中一红三黑共4个小球，一次从中取出两个小球，求 “取出的小球都是黑球”的概率
解：一次从口袋中取出两个小球时， 所有可能出现的结果共6个，即（红，黑1）（红，黑2）（红，黑3）（黑1，黑2）（黑1，黑3）
（黑2，黑3）且它们出现的可能性相等。满足取出的小球都是黑球（记为事件A）的结果有3个，即（黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑2，黑3） ， 则P（A）= =
直接列举
例9：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（1）两个骰子的点数相同
（2）两个骰子的点数之和是9
（3）至少有一个骰子的点数为2
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
第
一
个
第
二
个
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
解：由列表得，同时掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等。
（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6个，则
P（A）= =
（2）满足两个骰子的点数之和是9（记为事件B）的结果有4个，则
P（B）= =
（3）满足至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个，则
P（C）=
课堂小结
1. 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为 。
2.运用列表法求概率的步骤如下：
①列表 ；
②通过表格计数，确定公式 中m和n的值；
③利用公式 计算事件的概率。
4.当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法。当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用“画树形图”。
3.运用树形图法求概率的步骤如下：
①画树形图 ；
②列出结果，确定公式 中m和n的值；
③利用公式 计算事件概率。
巩固练习
1.掷一个骰子，向上一面的点数共有____种可能.每种可能性的概率为 .
2.口袋中有2个白球，1个黑球，从中任取一个球，摸到白球的概率为______．摸到黑球的概率为 .
6
3.从一幅充分均匀混合的扑克牌中，随机抽取一张，抽到大王的概率是（ ），抽到牌面数字是6的概率是（ ），抽到黑桃的概率是（ ）。
4.四张形状、大小、质地相同的卡片上分别画上圆、平行四边形、等边三角形、正方形，然后反扣在桌面上，洗匀后随机抽取一张，抽到轴对称图形的概率是（ ），抽到中心对称图形的概率是（ ）。
2
27
1
54
13
54
0.75
0.75
5.一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B、C、D三人随机坐到其他三个座位上。求A与B不相邻而坐的概率为 .
A
6.如图，小明的奶奶家到学校有3条路可走，学校到小明的外婆家也有3条路可走，若小明要从奶奶家经学校到外婆家，不同的走法共有________种
9
7.在一个盒子中有质地均匀的3个小球，其中两个小球都涂着红色，另一个小球涂着黑色，则计算以下事件的概率选用哪种方法更方便？
（1）从盒子中取出一个小球，小球是红球
（2）从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，取出两球的颜色相同
（3）从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，连取了三次，三个小球的颜色都相同。
直接列举；
列表法或树形图；
树形图。
8.回顾例4，如果小王在游戏开始时踩中的第一个格上出现了标号1，则下一步踩在哪一个区域比较安全？
解：一样。A、B两区域中遇雷的概率都是
9.掷一枚质地均匀的硬币的试验有几种可能的结果？它们的可能性相等吗？由此确定“正面向上”的概率。
解：掷一枚质地均匀的硬币的试验有2种可能的解果.它们的可能性相等。由此确定“正面向上”的概率为 。
10.袋子中装有红、绿各一个小球，随机摸出1格小球后放回，再随机摸出1格。求下列事件的概率：
（1）第一个摸到红球，第二个摸到绿球；
（2）两次都摸到相同颜色的小球；
（3）两次摸到的球中有一个绿球和一个红球。
（1） ； （2） ；（3） 。
11.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同。三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行；
（2）两辆车右转，一辆车向左转；
（3）至少有两辆车左转。
（1） ；（2） ；（3） 。
12.一黑一红两张牌.抽一张牌 ,放回,洗匀后再抽一张牌.这样先后抽得的两张牌有哪几种不同的可能 他们的概率各是多少
能否用不同
的方法来解？
第一次抽出一张牌 第二次抽出一张牌
第一次抽出一张牌
第二次抽出一张牌
红牌
黑牌
红牌
黑牌
红牌
黑牌
红牌
黑牌
红牌
黑牌
红牌
黑牌
列表
画树状图
解：红,红;
枚举
红,黑;
黑,红;
黑,黑.
可能产生的结果共4个。每种出现的可能性相等。各为 。即概率 都为 。
13.一个袋中里有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取2个珠子，都是蓝色珠子的概率为多少？
解：由题意画出树状图：
开始
红
蓝
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有4个，都是蓝色珠子的结果有1个。
故
红
蓝
蓝
红
蓝
红
14.奥地利遗传学家孟德尔曾经将纯种的黄豌豆和绿豆杂交，得到杂种第一代豌豆，再用杂种第一代豌豆自交，产生杂交第二代豌豆，孟德尔发现第一代豌豆全是黄的，第二代豌豆有黄的，也有绿的，但黄色和绿色的比是一个常数。孟德尔经过分析以后，可以用遗传学理论解释这个现象，比如设纯种黄豌豆的基因是yy，纯种绿豌豆的基因是gg，黄色基因是显性的，接下来，你可以替孟德尔来解释吗？第二代豌豆是绿豌豆的概率是多少呢？想一想，生活中还有类似现象吗？你能设法解释这一现象吗？
解：
第一代杂交豌豆
绿豆
gg
yy
yg
(或gy)
yg
黄豆
yy
yg
yg
gg
第二代杂交豌豆
因为黄色基因是显性的，所以绿豌豆的概率是
15.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行；
（2）两辆车右转，一辆车左转；
（3）至少有两辆车左转。
左
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
直
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
左
左
左
左
左
左
直
右
直
左
左
直
左
直
左
直
右
右
左
左
右
左
右
直
直
右
左
左
直
左
直
左
直
直
右
直
左
直
直
直
直
直
直
右
右
左
直
右
直
右
右
直
右
左
左
右
左
右
左
右
直
右
直
左
右
直
右
直
右
直
右
右
左
右
右
右
右
解：由树形图得，所有可能出现的结果有27个，它们出现的可能性相等。
（1）三辆车全部继续直行的结果有1个，则 P（三辆车全部继续直行）=
（2）两辆车右转，一辆车左转的结果有3个，则P（两辆车右转，一辆车左转）= =
（3）至少有两辆车左转的结果有7个，则 P（至少有两辆车左转）=
16.如图，是一个转盘，转盘被分成两个扇形，颜色分为红黄两种，红色扇形的圆心角为120度，指针固定，转动转盘后任其自由停止，某个扇形会停在指针所指的位置，（指针指向交线时当作指向右边的扇形）求下列事件的概率。（1）指向红色；（2）指向黄色；
（3）小明和小亮做转转盘的游戏，规则是：
两人轮流转转盘，指向红色，小明胜；指向
黄色小亮胜，分别求出小明胜和小亮胜的概率；
你认为这样的游戏规则是否公平？请说明理由；
如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由。
解：（1）指向红色的概率是 ；
（2）指向黄色的概率是 ；
可以设计如下的规则：两人轮流转转盘，指向红色，小明胜，小明得2分；指向红色，小亮胜，小亮得1分，最后按得分多少决定输赢。因为此时P（A）×2=P（B）×1，即两人平均每次得分相同。
∵P（A）＜P（B）,∴这样的游戏规则不公平。
（3）把黄色扇形平均分成两份，小明胜（记
为事件A）共有1种结果，小亮胜（记为
事件B）共有2种结果, P（A） ,
P（B） .
17. 掷1个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数是6的约数； （2）点数是质数； （3）点数是合数．
（4）小明和小亮做掷骰子的游戏，规则是：两人轮流掷骰子，掷得点数是质数，小明胜；掷得点数是合数，小亮胜，分别求出小明胜和小亮胜的概率；你认为这样的游戏规则是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由。
（2）掷得点数是质数(记为事件B)有3种结果，因此P（B） .
（3）掷得点数是合数(记为事件C)有2种结果，因此P（C） .
（1）掷得点数是6的约数(记为事件A)有4种结果，因此P（A） .
解：掷1个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种。这些点数出现的可能性相等。
（4）由上面的计算知道, P（小明胜） , P（小亮胜） , ∵ P（小明胜）> P（小亮胜）, ∴这样的游戏规则不公平。
可以设计如下的规则：两人轮流掷骰子，掷得点数是质数，小明胜，小明得2分；掷得点数是合数，小亮胜，小亮得3分，最后按得分多少决定输赢。因为此时P（小明胜） ×2=P（小亮胜） ×3，即两人平均每次得分相同。
习题答案
（1） （2）
（3） （4）
2. （1） （2）
3. （1） （2）
4.
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请同学们回答下列问题。
1. 概率是什么？
2. P(A)的取值范围是什么？
3. 在大量重复试验中，什么值会稳定在一个常数上？我们又把这个常数叫做什么？
4. A=必然事件,B是不可能发生的事件,C是随机事件。请你画出数轴把这三个量表示出来。
不管求什么事件的概率，我们都可以做大量的试验。求频率得概率，这是上一节课也是刚才复习的内容，它具有普遍性，但求起来确实很麻烦，是否有比较简单的方法，这种方法就是我们今天要介绍的方法—列举法。
教学目标
渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力，体验数学方法的多样性灵活性，提高解题能力。
知识与能力
过程与方法
理解 （在一次试验中有n种可能的结果，其中A包含m种）的意义，并能解决一些实际问题。探究用特殊方法 “列举法”求概率的简便方法，然后应用这种方法解决一些实际问题。
通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体验数学方法的多样性灵活性，提高解题能力。
教学目标
情感态度与价值观
教学重难点
教学重点
如果在一次试验中，有几种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的。种结果，那么事件A发生的概率为 ，以及运用它解决实际间题。正确鉴别一次试验中是否涉及3个或更多个因。
教学难点
通过实验理解 并应用它解决一些具体题目。当可能出现的结果很多时，简洁地用列表法求出所有可能结果。用树形图法求出所有可能的结果。
教学重难点
1.从分别标有1、2、3、4、5号的5根纸签中随机地抽取一根，抽出的签上的号码有5种可能的结果，即1、2、3、4、5，每一根签抽到的可能性相等，都是 。
2.掷一个骰子,向上一面的点数有6种可能的结果,即1、2、3、4、5、6，每一个点数出现的可能性相等，都是 。
思考
（1）以上两个试验有什么共同的特点？
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为 .
（2）对于古典概型的试验，如何求事件的概率？
概率的求法
一次试验中，可能出现的结果有限多个。一次试验中，各种结果发生的可能性相等。
知识要点
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为 。
在概率公式 中m、n取何值， m、n之间的数量关系，P（A）的取值范围。
0 ≤ m≤n, m、n为自然数
∵0 ≤ ≤ 1, ∴0≤P(A) ≤1.
m
n
当m=n时,A为必然事件，概率P(A)=1，
当m=0时,A为不可能事件，概率P(A)=0.
例1：掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：
（1） 点数为2；
（2） 点数为奇数；
（3） 点数大于2且小于5。
解：掷一个骰子时，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种。这些点数出现的可能性相等。
（1）P（点数为2）=
（2）点数为奇数有三种可能，即点数为1，3，5，
P（点数为奇数）=
（3）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4，
P（点数大于2且小于5）=
例2 掷1个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，
（1）求掷得点数为2或4或6的概率；
（2）小明在做掷骰子的试验时，前五次都没掷得点数2，求他第六次掷得点数2的概率。
.
解：掷1个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种。这些点数出现的可能性相等。
（1）掷得点数为2或4或6(记为事件A)有3种 结果，因此P（A） ；
（2）小明前五次都没掷得点数2，可他第六次掷得点数仍然可能为1，2，3，4，5，6，共6种。他第六次掷得点数2(记为事件B)有1种结果，因此P(B) .
例3：图是一个转盘，转盘分为7个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色。指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当指针指向右边的扇形）。求下列事件的概率：
（1）指针指向红色；
（2）指针指向红色或黄色；
（3）指针不指向红色。
解：按颜色把7个扇形分别记为：红1，红2，红3，绿1，绿2，黄1，黄2，所有可能结果的总数为7。
（1）指针指向红色（记为事件A）的结果有3个，即红1，红2，红3，因此P（A）=
（2）指针指向红色或黄色（记为事件B）的结果有5个，即红1，红2，红3，黄1，黄2，因此P（B）=
（3）指针不指向红色（记为事件C）的结果有4个，即绿1，绿2，黄1，黄2，因此P（C）=
例4：图是计算机中“扫雷”游戏的画面。在一个有9×9个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏1颗地雷。
小王在游戏开始时随机
地踩中一个方格，踩中后出
现了如图所示的情况。我们
把与标号3的方格相临的方
格记为A区域（画线部分），
A区域的部分记为B区域。数
字3表示在A区域有3颗地雷。
那么第二步应该踩在A区域
还是B区域？
解：（1）A区域的方格共有8个，标记3表示在这个方格中有3个方格各藏有1颗地雷。因此，踩A区域的任意一个方格，遇到地雷的概率是 。
（2）B区域中共有9×9-9=72个小方格，其中10-3=7个方格内藏有1颗地雷。因此，踩B区域的任一方格，遇到地雷的概率是 。
由于 ，所以踩A区域遇到地雷的可能性大于踩B区域遇到地雷的可能性，因而第二步应该踩B区域。
例5：掷两枚硬币，求下列事件的概率：
（1）两枚硬币全部正面朝上；
（2）两枚硬币全部反面朝上；
（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。
解：我们把掷两枚硬币所能产生的结果全部列举出来，它们是：正正，正反，反正，反反。所有的结果共有4个，并且这4个节结果出现的可能性相等。
（1）所有的结果中，满足两枚硬币全部正面朝上（记为事件A）的结果只有一个，即“正正”，所以P（A）=
（2）满足两枚硬币全部反面朝上（记为事件B）的结果只有一个，即“反反”，所以
P（B）=
（3）满足一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上（记为事件C）的结果共有2个，即“反正”“正反”，所以P（C）=
“同时掷两枚硬币”，与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？
想一想
同时掷两枚硬币与先后两次掷一枚硬币有时候是有区别的。比如在先后投掷的时候，就会有这样的问题：先出现正面后出现反面的概率是多少？这与先后顺序有关。同时投掷两枚硬币时就不会出现这样的问题。
例6：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
(1) 两个骰子的点数相同；
(2) 两个骰子的点数的和是9；
(3) 至少有一个骰子的点数为2。
解：由表可以看出，同时投掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等。
（1）满足两个骰子点数相同（记为事件A）的结果共有6个（表示的红色部分），即（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以P（A）=
（2）满足两个骰子点数和为9（记为事件B）的结果有4个（表只中的阴影部分），即
（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），
所以P（B）=
（3）满足至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个（表中蓝色方框部分），所以P（C）=
例7：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。从3个口袋中各随机地取出1个小球。
（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？
（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
一次实验涉及三个因素（或更多）时，列表就不方便了，为了不重不漏的列出所有可能结果，通常采用树形图。
第一步：可能产生的结果为A和B，两者出现的可能性相同且不分先后，写在第一行。
第二步：可能产生的结果有C、D和E，三者出现的可能性相同且不分先后，从A和B分别画出三个分支，在分支下的第二行分别写上C、D和E。
树形图的方法
第三步：可能产生的结果有两个H和I，两者出现的可能性相同且不分先后，从C、D和E分别画出两个分支，在分支下的第三行分别写上H和I。（如果有更多的步骤可依上继续）
第四步：按竖向把各种可能的结果竖着写在下面，就得到了所有可能的结果的总数。再找出符合要求的种数，就可以利用概率和意义计算概率。
解：根据题意，我们可以画出如下的“树形图”：
这些结果出现的可能性相等。
（1）只有一个元音字母的结果（红色）有5个，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以P（一个元音）=
有两个元音字母的结果（绿色）有4个，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以
P（两个元音）=
全部为元音字母的结果（蓝色）只有1个，即AEI，所以P（三个元音）=
（2）全部辅音字母的结果共有2个：BCH，BDH，所以P（三个辅音）=
什么时候使用“列表法”方便，什么时候使用“树形图法”方便？
想一想
当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法。
当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用“画树形图”。
知识要点
运用列表法求概率的步骤如下：
①列表 ；
②通过表格计数，确定公式 中m和n的值；
③利用公式 计算事件的概率。
运用树形图法求概率的步骤如下：
①画树形图 ；
②列出结果，确定公式 中m和n的值；
③利用公式 计算事件概率。
知识要点
知识要点
1.用列举法求概率的条件是:
(1)实验的结果是有限个(n)
(2)各种结果的可能性相等.
2.用列举法求概率的的公式是:
例8：口袋中一红三黑共4个小球，一次从中取出两个小球，求 “取出的小球都是黑球”的概率
解：一次从口袋中取出两个小球时， 所有可能出现的结果共6个，即（红，黑1）（红，黑2）（红，黑3）（黑1，黑2）（黑1，黑3）
（黑2，黑3）且它们出现的可能性相等。满足取出的小球都是黑球（记为事件A）的结果有3个，即（黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑2，黑3） ， 则P（A）= =
直接列举
例9：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（1）两个骰子的点数相同
（2）两个骰子的点数之和是9
（3）至少有一个骰子的点数为2
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
第
一
个
第
二
个
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
解：由列表得，同时掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等。
（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6个，则
P（A）= =
（2）满足两个骰子的点数之和是9（记为事件B）的结果有4个，则
P（B）= =
（3）满足至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个，则
P（C）=
课堂小结
1. 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为 。
2.运用列表法求概率的步骤如下：
①列表 ；
②通过表格计数，确定公式 中m和n的值；
③利用公式 计算事件的概率。
4.当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法。当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用“画树形图”。
3.运用树形图法求概率的步骤如下：
①画树形图 ；
②列出结果，确定公式 中m和n的值；
③利用公式 计算事件概率。
巩固练习
1.掷一个骰子，向上一面的点数共有____种可能.每种可能性的概率为 .
2.口袋中有2个白球，1个黑球，从中任取一个球，摸到白球的概率为______．摸到黑球的概率为 .
6
3.从一幅充分均匀混合的扑克牌中，随机抽取一张，抽到大王的概率是（ ），抽到牌面数字是6的概率是（ ），抽到黑桃的概率是（ ）。
4.四张形状、大小、质地相同的卡片上分别画上圆、平行四边形、等边三角形、正方形，然后反扣在桌面上，洗匀后随机抽取一张，抽到轴对称图形的概率是（ ），抽到中心对称图形的概率是（ ）。
2
27
1
54
13
54
0.75
0.75
5.一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B、C、D三人随机坐到其他三个座位上。求A与B不相邻而坐的概率为 .
A
6.如图，小明的奶奶家到学校有3条路可走，学校到小明的外婆家也有3条路可走，若小明要从奶奶家经学校到外婆家，不同的走法共有________种
9
7.在一个盒子中有质地均匀的3个小球，其中两个小球都涂着红色，另一个小球涂着黑色，则计算以下事件的概率选用哪种方法更方便？
（1）从盒子中取出一个小球，小球是红球
（2）从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，取出两球的颜色相同
（3）从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，连取了三次，三个小球的颜色都相同。
直接列举；
列表法或树形图；
树形图。
8.回顾例4，如果小王在游戏开始时踩中的第一个格上出现了标号1，则下一步踩在哪一个区域比较安全？
解：一样。A、B两区域中遇雷的概率都是
9.掷一枚质地均匀的硬币的试验有几种可能的结果？它们的可能性相等吗？由此确定“正面向上”的概率。
解：掷一枚质地均匀的硬币的试验有2种可能的解果.它们的可能性相等。由此确定“正面向上”的概率为 。
10.袋子中装有红、绿各一个小球，随机摸出1格小球后放回，再随机摸出1格。求下列事件的概率：
（1）第一个摸到红球，第二个摸到绿球；
（2）两次都摸到相同颜色的小球；
（3）两次摸到的球中有一个绿球和一个红球。
（1） ； （2） ；（3） 。
11.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同。三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行；
（2）两辆车右转，一辆车向左转；
（3）至少有两辆车左转。
（1） ；（2） ；（3） 。
12.一黑一红两张牌.抽一张牌 ,放回,洗匀后再抽一张牌.这样先后抽得的两张牌有哪几种不同的可能 他们的概率各是多少
能否用不同
的方法来解？
第一次抽出一张牌 第二次抽出一张牌
第一次抽出一张牌
第二次抽出一张牌
红牌
黑牌
红牌
黑牌
红牌
黑牌
红牌
黑牌
红牌
黑牌
红牌
黑牌
列表
画树状图
解：红,红;
枚举
红,黑;
黑,红;
黑,黑.
可能产生的结果共4个。每种出现的可能性相等。各为 。即概率 都为 。
13.一个袋中里有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取2个珠子，都是蓝色珠子的概率为多少？
解：由题意画出树状图：
开始
红
蓝
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有4个，都是蓝色珠子的结果有1个。
故
红
蓝
蓝
红
蓝
红
14.奥地利遗传学家孟德尔曾经将纯种的黄豌豆和绿豆杂交，得到杂种第一代豌豆，再用杂种第一代豌豆自交，产生杂交第二代豌豆，孟德尔发现第一代豌豆全是黄的，第二代豌豆有黄的，也有绿的，但黄色和绿色的比是一个常数。孟德尔经过分析以后，可以用遗传学理论解释这个现象，比如设纯种黄豌豆的基因是yy，纯种绿豌豆的基因是gg，黄色基因是显性的，接下来，你可以替孟德尔来解释吗？第二代豌豆是绿豌豆的概率是多少呢？想一想，生活中还有类似现象吗？你能设法解释这一现象吗？
解：
第一代杂交豌豆
绿豆
gg
yy
yg
(或gy)
yg
黄豆
yy
yg
yg
gg
第二代杂交豌豆
因为黄色基因是显性的，所以绿豌豆的概率是
15.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行；
（2）两辆车右转，一辆车左转；
（3）至少有两辆车左转。
左
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
直
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
左
左
左
左
左
左
直
右
直
左
左
直
左
直
左
直
右
右
左
左
右
左
右
直
直
右
左
左
直
左
直
左
直
直
右
直
左
直
直
直
直
直
直
右
右
左
直
右
直
右
右
直
右
左
左
右
左
右
左
右
直
右
直
左
右
直
右
直
右
直
右
右
左
右
右
右
右
解：由树形图得，所有可能出现的结果有27个，它们出现的可能性相等。
（1）三辆车全部继续直行的结果有1个，则 P（三辆车全部继续直行）=
（2）两辆车右转，一辆车左转的结果有3个，则P（两辆车右转，一辆车左转）= =
（3）至少有两辆车左转的结果有7个，则 P（至少有两辆车左转）=
16.如图，是一个转盘，转盘被分成两个扇形，颜色分为红黄两种，红色扇形的圆心角为120度，指针固定，转动转盘后任其自由停止，某个扇形会停在指针所指的位置，（指针指向交线时当作指向右边的扇形）求下列事件的概率。（1）指向红色；（2）指向黄色；
（3）小明和小亮做转转盘的游戏，规则是：
两人轮流转转盘，指向红色，小明胜；指向
黄色小亮胜，分别求出小明胜和小亮胜的概率；
你认为这样的游戏规则是否公平？请说明理由；
如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由。
解：（1）指向红色的概率是 ；
（2）指向黄色的概率是 ；
可以设计如下的规则：两人轮流转转盘，指向红色，小明胜，小明得2分；指向红色，小亮胜，小亮得1分，最后按得分多少决定输赢。因为此时P（A）×2=P（B）×1，即两人平均每次得分相同。
∵P（A）＜P（B）,∴这样的游戏规则不公平。
（3）把黄色扇形平均分成两份，小明胜（记
为事件A）共有1种结果，小亮胜（记为
事件B）共有2种结果, P（A） ,
P（B） .
17. 掷1个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数是6的约数； （2）点数是质数； （3）点数是合数．
（4）小明和小亮做掷骰子的游戏，规则是：两人轮流掷骰子，掷得点数是质数，小明胜；掷得点数是合数，小亮胜，分别求出小明胜和小亮胜的概率；你认为这样的游戏规则是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由。
（2）掷得点数是质数(记为事件B)有3种结果，因此P（B） .
（3）掷得点数是合数(记为事件C)有2种结果，因此P（C） .
（1）掷得点数是6的约数(记为事件A)有4种结果，因此P（A） .
解：掷1个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种。这些点数出现的可能性相等。
（4）由上面的计算知道, P（小明胜） , P（小亮胜） , ∵ P（小明胜）> P（小亮胜）, ∴这样的游戏规则不公平。
可以设计如下的规则：两人轮流掷骰子，掷得点数是质数，小明胜，小明得2分；掷得点数是合数，小亮胜，小亮得3分，最后按得分多少决定输赢。因为此时P（小明胜） ×2=P（小亮胜） ×3，即两人平均每次得分相同。
习题答案
（1） （2）
（3） （4）
2. （1） （2）
3. （1） （2）
4.
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