北师大版九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件-假期同步测试（word版含答案）

北师大版九年级数学上册第四章4．4探索三角形相似的条件
同步测试
选择题
1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
A．B．
C．
D．
2.如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（　　）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
3．如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC＝∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是(　　)
A．∠DAC＝∠ABC
B．CA是∠BCD的平分线
C．AC2＝BC·CD
D.＝
4．如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ABC的是（　　）
A．∠ADE=∠C
B．∠AED=∠B
C．
D．
5．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　）
A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
6.已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3，则下列结论正确的是（　　）
A．AB是A′B′的3倍
B．A′B′是AB的3倍
C．∠A是∠A′的3倍
D．∠A′是∠A的3倍
7．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（　　）
A．
B．
C．AC2=AD?AB
D．CD2=AD?BD
8．矩形的长与宽分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是(　　)　
A．a＝4，b＝＋2
B．a＝4，b＝－2
C．a＝2，b＝＋1
D．a＝2，b＝－1
9．如图所示，在?ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（　　）
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
10.已知△ABC的三边长分别为4，3，6，与它相似的△DEF的最小边长为12，则△DEF的周长为（　　）
A．39
B．26
C．52
D．13
二、填空题
11．如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是　
　．
12．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在边AB上且AE＝3，点F在边AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝________．
13.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是______．
14．在△ABC中，AB＝25
cm，BC＝20
cm，AC＝15
cm，在△DEF中，DE＝5
cm，EF＝4
cm，则当DF＝________
cm时，△ABC与△DEF相似．
15．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC，AE平分∠BAD，则△ABC∽
．
16．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20
cm，则它的宽约为
17．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP=
．
18．如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=__________．
三、解答题
19．如图，已知：AB∥A′B′，＝，＝.
试说明：△ABC∽△A′B′C′.
20.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．
21.两个相似三角形一组对应边的长分别是24cm和12cm，若他们周长的和是240cm，求这两个三角形的周长．
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似．(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由)
23．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．
（1）求证：AB=BG；
（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．
24．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝3
cm，BC＝6
cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1
cm/s的速度向B点匀速运动，同时，动点N从D点出发沿DA方向以2
cm/s的速度向A点匀速运动．
(1)经过多长时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
(2)是否存在某一时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案提示
1．B．2.B．3．C　4.C；5．C．6.A．
7．C．8．D
9．D．10.C．
11．△APB∽△CPA；
12．2或4.5
13.4：9．
14．3　
15．△DBA　，△BAD∽△ACD（写出一个三角形即可）16．
12.36cm．
17．解：①当△APD∽△PBC时，
=，
即=，
解得：PD=1，或PD=4；
②当△PAD∽△PBC时，
=，即=，
解得：DP=2.5．
综上所述，DP的长度是1或4或2.5．
故答案是：1或4或2.5．
18.6-2．
解析
根据题意可知，BC=AB，
∵△ABC顶角是36°的等腰三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠C=72°，
又∵△BDC也是黄金三角形，
∴∠CBD=36°，BC=BD，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=36°=∠A，
∴BD=AD，同理可证DE=DC，
∴DE=DC=AC-AD=AB-BC=AB-AB=6-2．
故答案为：6-2．
19．解：∵AB∥A′B′，∴△OA′B′∽△OAB，
∴＝＝.
∵＝，＝，
∴＝＝，
∴△ABC∽△A′B′C′.
20.解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°，
∵AB=6，AE=9，
∴，
∵△ABE∽△DEF，
∴，即，
解得．
21.解：设两个三角形的周长分别为x、y，
根据题意得，，
∴，
∵他们周长的和是240cm，
∴，
解得y=80，
x=2×80=160，
∴这两个三角形的周长分别为80cm和160cm．
22．解：(1)△ABC和△DEF相似．
理由：根据勾股定理，得AB＝2
，AC＝，BC＝5；DE＝4
，DF＝2
，
EF＝2，
∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，
∴△ABC∽△DEF.
(2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，△P4P5D，△P2P4P5，△P1FD.图略．
23．（1）证明：∵BF∥DE，
∴==，
∵AD=BD，
∴AC=CG，AE=EF，
在△ABC和△GBC中：
，
∴△ABC≌△GBC（SAS），
∴AB=BG；
（2）解：当BP长为或时，△BCP与△BCD相似；
∵AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴CD=2.5，
∴∠DCB=∠DBC，
∵DE∥BF，
∴∠DCB=∠CBP，
∴∠DBC=∠CBP，
第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图1：
在△BCP与△BCD中
，
∴△BCP≌△BCD（AAS），
∴BP=CD=2.5；
第二种情况：若∠PCB=∠CDB，过C点作CH⊥BG于H点．如图2：
∵∠CBD=∠CBP，
∴△BPC∽△BCD，
∵CH⊥BG，
∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，
∴△ABC∽△CBH，
∴=，
∴BH=，BP=．
综上所述：当PB=2.5或时，△BCP与△BCD相似．
24．解：(1)设经过x
s后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，
则有(6－2x)x＝×3×6，
即x2－3x＋2＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
经检验，可知x1＝1，x2＝2符合题意，
∴经过1
s或2
s后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的.
(2)假设存在某一时刻t，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．由矩形的定义可得∠CDA＝∠MAN＝90°，
∴＝或＝，
即＝①或＝②，
解方程①，得t＝，解方程②，得t＝.
经检验，t＝和t＝都符合题意，
∴当t的值为或时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．