5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数(有答案）

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北师大版2020-2021学年度上学期八年级数学上册第五章二元一次方程组
5.5
应用二元一次方程组——里程碑上的数
【知识清单】
1.解决有关数字问题的关键是会用代数式表示数:
两位数=
十位数×10+个位数字；
三位数=百位数×100+十位数×10+个位数字.
2.行程问题的基本数量关系：路程=速度×时间；速度=；时间=.
【经典例题】
例题1、有一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大4，如果把这个数十位和个位的数字对换那么所得的新数与原数的和是110，求这两个数
【考点】应用二元一次方程组解决实际问题．
【分析】设出两个数位上的未知数字为x、y，利用两数字之间的等量关系和数字交换得到的新数与原来的两位数之间的等量关系列出方程组即可.
【解答】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y.
根据题意，得
解这个方程组得
∴这两位数为73.
【点评】解题关键是弄清题意，根据题意找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．在求两位数或三位数时，一般是不能直接设这个两位数或三位数的，而是设它各个数位上的数字为未知数．
例题2、甲、乙两人在相距84km的两地，若相向而行，3h相遇；若同向而行，乙21h才能追上甲.
求(1)甲乙两人单位时间内各走多少？
(2)若两人同向而行多少小时后，这两个人相距28km.
【考点】应用二元一次方程组解决实际问题．?
【分析】(1)该题抓住等量关系：相向而行，两人的路程的和为84km，同向而行，两人的路程差是84km.是解决问题的关键.(2)分两种情况：①相遇前相距28km，②相遇后相距28km.
【解答】(1)设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h.
根据题意，得
解得
答：甲人的速度为12km/h，乙人的速度为16km/h；
(2)①相遇前相距28km时，它们行驶a小时，
由题意得(12+16)a=8428，
解得a=2，
②相遇后相距28km，
它们行驶b小时，
由题意得(12+16)b=84+28，
解得b=4
答：两人同向而行2小时和4小时后，这两个人相距28km.
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程；也可以借助表格，线段图等分析题意，寻找等量关系．
【夯实基础】
1．设a，b都是两位数，把b写在a的左边，得到的四位数是(
)
A.
ba
B.10b+a
C.
100b+a
D.
100a+10b
2．李明同学早上骑自行车上学，中途因自行车出现故障，于是租用了一辆共享单车到学校共用时17分钟(中途耽误的时间忽略不计)，他骑自行车的平均速度是260米／分钟，共享单车的平均速度是340米／分钟，他家离学校的距离是5140米，如果设他骑自行车和共享单车的时间分别为x、y分钟，则可列方程组为(
)
A．
B．
C．
D．?
3．一个三位数和一个两位数它们的差为657，若在三位数后面接上这个两位数，得到一个五位
数，若在两位数后面接上这个三位数，也同样得到一个五位数.前一个五位数比后一个五
位数大12843，设两位数为x，三位数为y，则下列方程组正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
4．一艘船在某河道上航行，已知顺水航行68千米需要4小时，逆水航行39千米需要3小时，则该船在静水中的速度与该河的水流速度分别为(
)
A．17千米/时、13千米/时
B．15千米/时、1千米/时
C．15千米/时、2千米/时
D．2千米/时、15千米/时
5．一个两位数，十位数字比个位数字大5，若设个位数字为x，则这个两位数可以表示
为
．
6．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为12，如果把十位上的数字与各位上的数字对调，那么得到的新数就比原数大18，则原来的两位数
.
7．某高速公路2019年12月正式通车，A、B两个城市之间路程为480千米，一辆小汽车和一辆客车同时从A、B两城相向开出，经过3小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶72千米，则小汽车和客车的平均速度分别为
千米/小时和
千米/小时.
8．一架飞机在甲、乙两个城市之间飞行，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求两个城市之间的飞行路程?
9．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进0.2米，乙组平均每天比原来多掘进0.3米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
【提优特训】
10．一个两位数，减去它的各位数字之和的4倍，结果是30，这个两位数除以它的各位数数之和，商是7，余数是6．这样的两位数(
)
A．不存在
B．有唯一一个
C．有两个
D．有无数个
11．小颖5年后年龄与小红5年前的年龄相等，5年后，她们两人的年龄和等于她们今年年龄差的3倍，小颖和小红今年的年龄分别是多少岁(
)
A．4、
14
B．6
、16
C．7、
17
D．5
、15
12．甲、乙二人在400米环形跑道上练习跑步，同时同地出发，若反向而行，1分钟相遇一次；若同向而行，则5分钟相遇一次(甲比乙快).设甲每分钟跑xm，乙每分钟跑ym，根据题意，列出方程组正确的是
(　　)
A．
B．
C．
D．
13．一列快车长150m，慢车长400m，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开所用的时间为22s，若两车相向而行，两车从相遇则完全离开所用时间为10s，则两车的平均速度为(
)
A.27.5
m/s
B.26
m/s
C.25
m/s
D.24.5
m/s
14．电脑控制的机床加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的.现知道加工4个甲种零件和7个乙种零件共需75分钟；加工6个甲种零件和8个乙种零件共需100分钟，则加工2个甲种零件和3个乙种零件共需
分钟．
15．甲、乙两位同学做加法，甲在其中一个数后面多写了一个0，得和为5226，乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为78，则原来两个数分别为
，
.
16．甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲骑自行车，乙步行.如果乙先走12km，那么甲用1h就能追上乙；若乙先走1h，那么甲只用
0.5h就能追上乙，则甲的速度为
，
乙的的速度为
.
17．学校组织学生乘汽车去植物园参加义务劳动，从学校到植物园有上坡和下坡两段路组成，上坡的速度为每小时40千米，下坡的速度为每小时60千米，去时共用了小时；返回时共用了1.5小时，问从学校到植物园有上坡
千米，下坡
千米.
18．甲人问乙人的年龄，乙人说：“当我像你这么大的时候，你刚5岁；当你像我这么大的时候，我已经47岁了.”求甲人和乙人今年多少岁？
19．从A地到B地全程290千米，前一路段为国道，其余路段为高速公路．已知汽车在国道上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，一辆客车从A地开往B地一共行驶了3.5h．求A、B两地间国道和高速公路各多少千米？
　　
20．一艘船在某河道上航行，已知顺水航行120千米，再逆水航行80千米共需要10小时；顺
水航行48千米，再逆水航行48千米共需要5小时，求该船在静水中的速度与该河的水流速度分别是多少？
【中考链接】
21．(2019?山东临沂)
《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问车与人各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行.问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为(
)
A．
B．
C．
D．
22．(2019?山东日照)甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第三个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是(
)
?A．8?
B．7
?C．6?
D．5
23．(2020?海南)某村经济合作社决定将22吨竹笋加工后再上市出售，刚开始每天加工3吨，后来在乡村振兴工作对的指导下改进工作方法，每天加工5吨，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？
?
?
?
?
?
．
参考答案
1、C
2、B
3、A
4、C
5、11x+50
6、57
7、92、68
10、B
11、D
12、D
13、A
14、35
15、520、26
16、24km/h，
12
km/h
17、30、40
21、B
22、A
8．一架飞机在甲、乙两个城市之间飞行，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求两个城市之间的飞行路程?
解：设两地距离为x千米，无风时飞机的速度为y千米/时，
则有方程：
解得：，
经检验，符合题意.
答：两个城市之间的距离为2448千米．
9．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进0.2米，乙组平均每天比原来多掘进0.3米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
解：(1)设乙组平均每天掘进x米，则甲组平均每天掘进y米，
由题意得，
解得，
经检验，符合题意.
答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米．
(2)设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，则
a=(195757)÷(5＋4.5)=200(天)，
b=(195757)÷(5＋4.5＋0.2＋0.3)=190(天)，
ab=10(天)．
答：能比原来少用10天．
18．甲人问乙人的年龄，乙人说：“当我像你这么大的时候，你刚5岁；当你像我这么大的时候，我已经47岁了.”求甲人和乙人今年多少岁？
?解：设甲人今年x岁，乙人今年y岁，乙人和甲人的年龄和是：47+5=52(岁)，
根据题意，得
解得
经检验，符合题意.
答：乙人今年33岁，甲人今年19岁．
19．从A地到B地全程290千米，前一路段为国道，其余路段为高速公路．已知汽车在国道上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，一辆客车从A地开往B地一共行驶了3.5h．求A、B两地间国道和高速公路各多少千米？
解：设A、B两地间国道和高速公路分别是x、y千米，
依题意得：
解得，
经检验，符合题意.
答：A、B两地间国道和高速公路分别是90、200千米．　　
20．一艘船在某河道上航行，已知顺水航行120千米，再逆水航行80千米共需要10小时；顺水
航行48千米，再逆水航行48千米共需要5小时，求该船在静水中的速度与该河的水流速度分别是多少？
解：设该船在静水中的速度为x千米/小时，该河的水流速度为y千米/小时.
则顺水的速度为(x+y)千米/小时，逆水的速度为(x-y)
千米/小时.
根据题意，得
令，，
则原方程组变为
解得，
∴，
解得.
经检验，符合题意.
答：该船在静水中的速度为20千米/小时，该河的水流速度为4千米/小时.
23．(2020?海南)某村经济合作社决定将22吨竹笋加工后再上市出售，刚开始每天加工3吨，后来在乡村振兴工作对的指导下改进工作方法，每天加工5吨，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？
解：设改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天，
则
解得.
经检验，符合题意.
答：改进加工方法前用了4天，改进加工方法后用了2天.
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