14.1.3 反证法 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
14.1
勾股定理
3.反证法
华东师大版
八年级数学上册
上课课件
第14章
勾股定理
情境引入
【基本目标】
1.理解反证法.
2.会用反证法证明较简单的题.
【教学重点】
用反证法证明几何命题.
【教学难点】
反证法中渗透“正难则反”的思想.
学习目标
路
边
苦
李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？
小故事:
新课导入
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）有关系a2
+b2
=c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？
c
a
b
A
C
B
解析：由a2
+b2
＝c2
，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形.
引入新课
反证法
若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a,AC=b（a≤b≤c）,a2
+b2
≠
c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由.
c
a
b
A
C
B
探究：
（1）假设它是一个直角三角形;
（2）由勾股定理，一定有a2
+b2
＝c2，与已知条件a2
+b2
≠
c2矛盾；
（3）因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
问题探究
这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)先假设结论的反面是正确的;
(2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；
(3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。
探究发现
像这样的证明方法叫“反证法”.
例1
写出下列各结论的反面：
（1）a∥b；
（2）a≥0；
（3）b是正数；
（4）a⊥b.
a<0
b是0或负数
a不垂直于b
a不平行于b
典例精析
例2
在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B
≠
∠
C.
A
B
C
证明：假设　　　　　，
则　　　　　（　　　　　
）
这与　　　　　　　　　矛盾．
假设不成立．
∴　　　　　　　　．
∠B
＝
∠C
AB＝AC
等角对等边
已知AB≠AC
∠B
≠
∠
C
小结：
反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确
证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A',
因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一
条，这与已知两条直线矛盾,假设不成立.
　
所以两条直线相交只有一个交点.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.
例3
求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：如图，两条相交直线a，b.
求证：a与b只有一个交点.
a
b
A
●
A'
●
分析：想从已知条件“两条相交直线a，b”出发，经过推理，得出结论“a，b只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法.
例4
求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　，
即　　　　　　　　　　　　，
∴　　　　　　　　　　　　　　　，
这与　　　　　　　　　　　矛盾．假设不成立．
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　．
△ABC中没有一个内角小于或等于60°
∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
三角形的内角和为180°
△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
点拨：至少的反面是没有！
∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°
1.试说出下列命题的反面：
（1）a是实数;
　　
（2)a大于2;
（3）a小于2;
　　
（4）至少有2个;
（5）最多有一个;
　
（6）两条直线平行;
2.用反证法证明“若a2≠
b2,则a
≠
b”的第一步是　
.
3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步　　　
　　
　.　
　a不是实数
　a小于或等于２
　a大于或等于２
没有两个
一个也没有
两直线相交
假设a=b
假设这个三角形是等腰三角形
当堂练习
4.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（
）
A.有两个内角是直角
B.有三个内角是直角
C.至少有两个内角是直角
D.没有一个内角是直角
5.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为（
）
A.a，b，c都是奇数
B.
a，b，c都是偶数
C.
a，b，c中至少有两个偶数
D.
a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
C
D
6.已知：a是整数，2能整除a2.
求证：2能整除a.
证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”,因为a是整数，故a是奇数.
不妨设a=2n+1(n是整数),
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1,
∴a2是奇数，则2不能整除a2
，这与已知矛盾.
∴假设不成立，故2能整除a.
原词语
否定词
原词语
否定词
等于
任意的
是
至少有一个
都是
至多有一个
大于
至少有n个
小于
至多有n个
对所有x成立
对任何x
不成立
7.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式.
?
不是
不都是
不大于
不小于
一个也没有
至少有两个
至多有（n-1)个
至少有（n+1)个
存在某个x不成立
存在某个x成立
不等于
某个
反证法
概念
课堂小结
反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论.
证明步骤
课后作业
1、完成本课时教材对应习题；
2、完成同步练习册本课时对应习题。
谢谢大家!
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