(共26张PPT)
二次函数的应用
引例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？
1m
2.5m
4m
甲
乙
丙
丁
1m
二次函数的应用
1、已知抛物线
上有一点的横坐标为2，
则该点纵坐标为____________.
2、已知二次函数
的函数图象上有一点的
横坐标为 ，则该点到x轴的距离为_____________.
小试身手：
3、已知二次函数
有一点的纵坐标为－2，
则该点的横坐标为______________.
4、已知抛物线过点A（0，1）， B（2，1），C（1，0），
则抛物线的函数解析式为________________________.
12
1或－1
1
2
2
+
-
=
x
x
y
5、已知如图A（1，1），AB=3，AB∥x轴
O
x
y
A
B
则点B的坐标为__________.
（4，1）
8
13
引例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？
1、求点A、B、C的坐标.
2、求过点A、B、C的抛物线的函数解析式.
3、你能算出丁的身高吗？
1m
1m
2.5m
4m
A
C
B
D
·
·
·
·
o
x
y
引例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？
1m
1m
2.5m
4m
o
x
y
A
C
B
D
·
·
·
·
4、若现有一身高为1.625m的同学也想参加这个活动，请问他能参加这个活动吗？若能，则他应离甲多远的地方进入？若不能，请说明理由？
若身高为1.7m呢？
2、设：抛物线的函数解析式为：
由题意可得：
解得：
∴抛物线的函数解析式为：
1m
1m
2.5m
4m
o
x
y
A
C
B
D
·
·
·
·
解：1、A（0，1），
B（4，1），
C（1，1.5）
3、将x=2.5代入
得y=1.625m
1m
1m
2.5m
4m
o
x
y
A
C
B
D
·
·
·
·
4、将y=1.625代入
得：
解得：
∴该同学应该在离甲同学1.5m至2.5m处.
1m
1m
2.5m
4m
o
x
y
A
C
B
D
·
·
·
·
4、将y=1.7代入
得：
去分母得：
∴方程无实数根
故身高为1.7m的同学不能参加这个活动
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
·
乙
·
丙
1m
2.5m
4m
甲
丁
1m
A
·
·
B
C
D
乙
·
丙
1m
2.5m
4m
甲
丁
1m
A
·
·
B
C
D
乙
·
丙
1m
2.5m
4m
甲
丁
1m
A
·
·
B
C
D
乙
·
丙
1m
2.5m
4m
甲
丁
1m
A
·
·
B
C
D
例：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．
（2）求此抛物线的解析式；
A
B
C
D
O
x
y
（1）建立如图直角坐标系，
求点B、D的坐标。
（3）现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km（桥长忽略不计）货车以 40km／h的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位到达最高点E时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？
例：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．
A
B
C
D
O
x
y
E
F
解：（1）B（10，0），D（5，3）
（2）设抛物线的函数解析式为
由题意可得：
解得：
∴抛物线的函数解析式为：
A
B
C
D
O
x
y
A
B
C
D
O
x
y
E
F
(3)解:
∴E(0，4)
∵抛物线的函数解析式
为：
又有题意可得：F（0，3）
∴EF＝1
∴水位有CD上升到点E所用的时间为4小时。
设货车从接到通知到到达桥所用的时间为 t .
则40（t＋1）＝280
解得：t＝6＞4
故货车按原速行驶，不能安全通过此桥。
设货车速度为x km／h，能安全通过此桥.
则4x+40≥280 解得x≥60
故速度不小于60km／h，货车能安全通过此桥。
（4）现有一艘载有救援物质的货船，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km，货船以 40km／h的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在AB处，当水位到达CD时，禁止船只通行）试问：如果货船按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货船安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？
例：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．
A
B
C
D
O
x
y
1、如图是我县某公园一圆形喷水池的效果图，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下。建立如图坐标系，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路线最高处B（1，2.25），则该抛物线的解析式为 __________________。如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要_____________米，才能使喷出的水流不致落到池外。
A
B
O
x
y
再试身手：
2、如图，在一面靠墙的空地上用长24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
*(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
A
B
C
D
(2)当x＝ 时，S最大值＝ ＝36（平方米）
(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0(3) ∵墙的可用长度为8米
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
A
B
C
D
解：
小结:
1、本节课主要复习了已知横坐标（或纵坐标），
求纵坐标（或横坐标）的方法。
2、主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，
特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际
问题的方法.
3、利用二次函数解决实际问题时，建立适当的直
角坐标系，是解决问题的关键。
A
B
C
D
O
x
y
A
B
C
D
O
x
y
A
B
C
D
O
x
y
A
B
C
D
O
x
y
二次函数解析式的一般的设法是：
1、设函数解析式为：
2、设函数解析式为：(共15张PPT)
二次函数的图象和性质
(1) 观察右图，h0的值是多少
竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式 h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s) 是抛出时的速度。一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出去，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示。
(3) 小球何时达到最大高度，
最大高度是多少
0 2 4 6 8
80
60
40
20
t(s)
h(m)
(2) h和t的关系式是 。
(4)小球经过多少秒后落地
例1：
已知函数 ， ， ，
的图象如图所示。
（1）抛物线①②③④分别对应哪个函数？
x
y
①
②
③
④
（2）若将抛物线 向左平移 3个单位得抛物线 ，
所得的抛物线经怎样平移又得到 的图象。
再向下平移 2 个单位得
抛物线 。
若将抛物线 沿 x 轴向左或向右平移后经过点（3，10），则平移后抛物线的解析式是 。
（3）将抛物线 沿 y 轴向上或向下平移后经过点（3，4），则平移后抛物线的解析式是 ；
已知抛物线 y ＝ax2＋2x＋c 经过点(－1，0)、(0，3)
（1）求此抛物线解析式，并在直角坐标系中画出这条抛物线
例2：
·
·
·
·
·
X
y
·
·
X … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y =-X2+2X+3 … -5 0 3 4 3 0 -5 …
（2）x取何值时，y 随 x 的增大而增大；
x取何值时，抛物线在 x 轴的上方；
x取何值时，y 随 x 的增大而减小且 y <０。
y ＝ax2＋2x＋c
（3）利用图象求方程 ax2＋2x＋c＝－5 解。
（4）若将上题的－5 改为2x－1， 又如何利用图象求方程ax2＋2x＋c＝2x－1的解呢？并比较ax2＋2x＋c与2x－1的大小。
y ＝ax2＋2x＋c
y ＝2x--1
y1
y2
x
y
·
·
·
·
（5）判断方程 的解的个数。
·
·
·
·
·
·
·
（6）已知函数y ＝x3 的图象，求方程x3－x－2＝0的近似解，(结果保留两个有效数字)
x
y
1.5
y ＝x3
y ＝x+2
这节课你有什么
收获与体会
（1）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那abc，b2－4ac，2a＋b，a＋b＋c，a－b＋c 这五个代数式中，值为正数的有（ ）
练习
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
y
x
-1
1
（2）根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量与函数值的对应值，判断方程ax2+bx+c =0
（a≠0, a, b, c为常数）的一个解的范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2＋bx＋c -0.03 -0.01 0.02 0.04
A．6.17＜ X ＜6.18 B．6.18＜ X ＜6.19
C．-0.01＜ X ＜0.02 D．6.19＜ X ＜6.20
y
x
0
2
-3
（3）小明从右边的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象观察得出下面的五条信息：① a＜ 0；② c＝0；③ 函数的最小值为-3； ④当x＜0时，y>0； ⑤当0＜x1＜x2＜2时，y1 > y2 你认为其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
（4）请你写出一个二次函数y＝ax2＋bx＋c，使它同时具有如下性质：①图象关于直线x＝1对称； ②当x＝2时，y>0；③当x＝－2时，y<0。
答：____________(共13张PPT)
26.1二次函数图象和性质（2）
y＝ax2 a>0 a<0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
二次函数y=ax2的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
例2. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 －1的图像
解: 先列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2+1
y=x2-1
… 10 5 2 1 2 5 10 …
… 8 3 0 -1 0 3 8 …
然后描点画 图,得到y= x2＋1,y=x2－1的图像.
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
(1) 抛物线y=x2+1,y=x2－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么
(2)抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2有什么关系
抛物线y=x2+1:
开口向上,
顶点为(0,1).
对称轴是y轴,
抛物线y=x2－1:
开口向上,
顶点为(0, －1).
对称轴是y轴,
y=x2+1
y=x2－1
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的关系:
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2+1
抛物线y=x2
抛物线 y=x2－1
向上平移
1个单位
把抛物线y=2x2+1向上平移5个单位,会得到那条抛物线 向下平移3.4个单位呢
抛物线y=x2
向下平移
1个单位
(1)得到抛物线y=2x2+6
(2)得到抛物线y=2x2－2.4
y=x2－1
y=x2
抛物线 y=x2+1
一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是y轴;
(3)顶点是(0,k).
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.
(k>0,向上平移;k<0向下平移.)
y＝ax2+k a>0 a<0
图象
开口
对称性
顶点 (0,k)
增减性
二次函数y=ax2+k的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
（1）抛物线y= 2x2+3的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在___ 侧，y随着x的增大而增大；在 侧，y随着x的增大而减小，当x= _____ 时，函数y的值最大，最大值是 ,它是由抛物线y= 2x2线怎样平移得到的__________.
（ 2）抛物线 y= x -5 的顶点坐标是____，对称轴是____,在对称轴的左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的 ，当x=____时，函数y的值最___，最小值是 .
1、按下列要求求出二次函数的解析式：
（1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2）（0，-1）求该抛物线线的解析式。
（2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。
（3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1，2）的点的解析式，
做一做：
2、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和
二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ ）
y＝ax2+k a>0 a<0
图象
开口
对称性
顶点 (0,k)
增减性
二次函数y=ax2+k的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减(共31张PPT)
①了解二次函数的定义；
②会画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
③会根据公式确定图象的顶点、开口方向、对称轴和增减性。
④通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义,解决简单的实际问题。
复习目标
一、定义
二、顶点与对称轴
三、解析式的求法
四、图象位置与
a、b、c、 的
正负关系
一、定义
二、顶点与对称轴
四、图象位置与
a、b、c、 的
正负关系
一般地，如果
y=ax2+bx+c(a，b，c
是常数，a≠0)，那么，y
叫做x的二次函数。
三、解析式的求法
一、定义
二、顶点与对称轴
三、解析式的求法
四、图象位置与
a、b、c、 的
正负关系
y=ax2+bx+c
y=a(x+ )2+
b
2a
4ac-b2
4a
对称轴： x=–
b
2a
顶点坐标：（– ， ）
b
2a
4ac-b2
4a
一、定义
二、顶点与对称轴
三、解析式的求法
四、图象位置与
a、b、c、 的
正负关系
解析式 使用范围
一般式 已知任意
三个点
顶点式 已知顶点（h,k)及另一点
交点式 已知与x轴的两个交点及另一个点
y=ax2+bx+c
y=a(x-h)2+k
y=a(x-x1)(x-x2)
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0
c<0
(3)a、b确定对称轴 的位置:
ab>0
ab=0
ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
(0,c)
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
(0,0)
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
(0,c)
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
x=-
b
2a
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
x=-
b
2a
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
x=-
b
2a
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
(x1,0)
(x2,0)
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
(x,0)
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
例1:已知抛物线y=x2-mx-8， （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）当m＝ 2，若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
x
y
A
B
P
典型例题
(1) 证明:∵△= (-m）2-4*(-8)=m2 +32>0
∴该抛物线与x轴一定有两个交点
(2)解:∵抛物线与x轴相交时
x2-2x-8=0
解方程得:x1=4, x2=-2
∴AB=4-(-2)=6
而P点坐标是(1,-9)
∴S△ABC=27
请思考函数y＝ x －4x＋3,并写出相关结论。
同学们比一比，赛一赛，看谁写得多.
1．请写出一个二次函数解析式，使其图像的对
称轴为x=1，并且开口向下。
2．请写出一个二次函数解析式，使其图象与x轴
的交点坐标为（2， 0）、（－1，0）。
3．请写出一个二次函数解析式，使其图象与y轴
的交点坐标为（0， 2），且图象的对称轴在
y轴的右侧。
基础演练
4. 如图,抛物线y=ax2+bx+c,请判断下列各式的符号：
①a 0;
②c 0;
③b2 - 4ac 0;
④ b 0;
x
y
O
基础演练
变式：若抛物线 的图象如图，
则a= .
小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2 - 4ac决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;
5、如图,抛物线y=ax2+bx+c ,请判断下列各式的符号：
① abc 0;
② 2a－b 0;
③ a+b+c 0;
④ a－b+c 0
x
y
O
-1
1
基础知识之基础演练
基础知识之灵活运用
1、二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图,
则方程ax2+bx+c=0的解为 ；
当x为 时，ax2+bx+c>0;
x
y
O
-3
1
当x为 时，ax2+bx+c<0。
x1=-3,x2=1
3X>1或X< 3
2.关于x的一元二次方程x2-x-n=0无实数根，则
抛物线y=x2-x-n的顶点在（ ）
A．第一象限 B.第二象限
C. 第三象限 D.第四象限
方程和函数的关系
基础知识之灵活运用
A
(0,1.6)
1.(连云港) 丁丁推铅球的出手高度为
,在如图
①求k的值
所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物
线
x
y
O
②求铅球的落点与丁丁
的距离
③一个1.5m的小朋友跑到
离原点6米的地方(如图)，
他会受到伤害吗？
联系生活
①求k的值
x
y
O
参考答案
解：由图像可知，抛物线过点(0,1.6)
即当x=0时，y=1.6
1.6=-0.1k+2.5
K=±3
2
又因为对称轴是在y轴的右侧，
即x=k>0
所以，k=3
①求k的值
x
y
O
参考答案
解：由图像可知，抛物线过点(0,1.6)
即当x=0时，y=1.6
1.6=-0.1k+2.5
K=±3
又因为对称轴是在y轴的右侧，
即x=k>0
所以，k=3
2
②-0.1(x-3)+2.5=0
解之得，x =8,x =-2
所以，OB=8
故铅球的落点与丁丁的距离是8米。
2
2
1
B
①求k的值
x
y
O
参考答案
解：由图像可知，抛物线过点(0,1.6)
即当x=0时，y=1.6
1.6=-0.1k+2.5
K=±3
又因为对称轴是在y轴的右侧，
即x=k>0
所以，k=3
2
②-0.1(x-3)+2.5=0
解之得，x =8,x =-2
所以，OB=8
故铅球的落点与丁丁的距离是8米。
2
2
1
③当x=6时，
y=-0.1(6-3)+2.5
=1.6
2
>1.5
所以，这个小朋友不会受到伤害。
B
(2)当扇形花园半径为多少时，花园面积最大？最大面积是多少？
2.(安徽)用总长为32m的篱笆墙围成一个扇形的花园．
⑴若扇形的半径设为x(m),试用x表示弧长 ;
联系生活
你能写出扇形花园的面积y(㎡)与半径x (m)之间
的函数关系式和自变量x的取值范围吗？
O
32-2x
由扇形面积公式可知：
反思与提高
1、本节课你印象最深的是什么？
2、通过本节课的函数学习，你认为自己
还有哪些地方是需要提高的？
3、在下面的函数学习中，我们还需要注意
哪些问题？(共21张PPT)
二次函数的性质
（第一课时）
复习引入
观察函数y= x+1,y= -x+1 的图象，
函数有最大（小）值吗？y随自变量x
的增大怎样变化？
函数有最大（小）值吗？
y随自变量x的增大怎样变化？
一次函数的性质
y=kx+b(k≠0)
k>0时，y随自变量x的增大 而增大； 左低右高。
k<0时，y随自变量x的增大而减小,左高右低
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：
观察二次函数 y= x2
y= (x-3)2 –4 图象：
探索新知
由特殊到一般,再由一般到特殊
试一试：
y=ax2+bx+c（a>0）
当x= 时，
若 x< ,则y随x的增大而减小
（反向变化）；左高右低。
若 x≥ ,则 y随x的增大而增大
（同向变化）；左低右高。
观察二次函数y= -x2的图像
做一做：
试一试：
y=ax2+bx+c（a<0）
若x≥ ,则y随x的增大而减小
（反向变化）；左高右低 。
当 时,
若 x≤ ,则y随x的增大而增大
（同向变化）；左低右高。
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)
① a>0
② a<0
试一试：
当 时,
左低右高, y随x的增大而增大;
左高右低, y随x的增大而减小.
应用举例
何时取得最大值？
y随的变化怎样变化？
解：∵a= ,b=1,c=
∴对称轴x=
顶点坐标（1，3）
∵a=<0, ∴开口向下，
∴当x= 1时，函数有最大值3；
当x≥1时，y值随x的增大而减小；
当x ≤ 1时，y随x的增大而增大。
反思总结
开口方向
对称轴
顶点坐标
图象的变化趋势
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)
性质的决定因素
1
4
1、填空：
1）、若抛物线y=Kx2的开口向上，则____;
当x≤0时，y随x的增大而_____，
当x≥0时，y随x的增大而_________;
2）观察函数图象，
当x_____时,y随x的增大而增大；
当x_____时，y随x的增大而减小
巩固练习
（3）函数y=2(x-1)2+3中，x_____时，y随x
的增大而减小；当x____时，y随x的增大而
增大,当x=_____时，函数值y有最_____
大值。
（4）若抛物线y=ax2，当x≤0时，y随x的增大
而增大，则a的取值范围是____;
巩固练习
写出一个二次函数，使它满足条件：
当x≥5时，y随x的增大而增大；
当x≤5时，y随x 的增大而减小。
巩固练习
函数 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)
图
像 a > 0 a < 0
课
堂
小
结
(1)当a > 0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸
（1）当a < 0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸
函数 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)
性
质
（2）对称轴x= ,顶点坐标，为（ , ）
（2）对称轴是 x = ,顶点坐标为（ , ）。
(3)在对称轴左侧，即当 x ≤ 时，y随x增大而减小，在对称轴右侧，即当 x ≥ 时，y随x增大而增大，即左减右增
（3）在对称轴左侧，即当 x ≤ 时，y随x增大而增大，对称轴右侧，即当
x ≥ 时，y随x增大而减小，即左增右减
函数 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)
性
质 （4）抛物线有最低点,当x=
时，y有最小值，
y最小值= (4)抛物线由最高点,当
x = 时，y有最大值，
y最大值 =
数学思想方法方面：
数形结合、分类讨论、类比的思想；
由特殊到一般，再由一般到特殊 的认识规律。
作业
教材：P.65 练习1、2；(共14张PPT)
y=ax2 (a≠0) a>0 a<0
图
象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
极值
x
y
O
y
x
O
向上
向下
(0 ,0)
(0 ,0)
y轴
y轴
当x<0时，
y随着x的增大而减小。
当x>0时，
y随着x的增大而增大。
当x<0时,
y随着x的增大而增大。
当x>0时，
y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
x ….. -2 -1 0 1 2 ……
y=x2 …… 4 1 0 1 4
y=x2+1 …… ……
y=x2
y=x2+1
5 2 0 2 5
函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系
函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到.
函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗
相同
x ….. -2 -1 0 1 2 ……
y=x2 …… 4 1 0 1 4
y=x2-2 …… ……
y=x2
y=x2-2
2 -1 0 -1 2
函数y=x2-2的图象可由y=x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.
函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的位置有什么关系
函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗
相同
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形状 ，只是位置不同；当c>0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到，当c〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象
向 平移 个单位得到。
y=-x2-2
y=-x2+3
y=-x2
函数y=-x2-2的图象可由y=-x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.
函数y=-x2+3的图象可由y=-x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到.
图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗
上加下减
相同
上
c
下
|c|
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象
向 平移 个单位得到；y=4x2-11的图象
可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到。
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的
抛物线的函数式是 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的
抛物线的函数式是 。
(2)将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得
y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平移 个
单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象
向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。
上
5
下
11
下
4
上
7
上
9
y=4x2+3
y=-5x2-4
当a>0时，抛物线y=ax2+c的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 ；
当a<0时,抛物线y=ax2+c的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 。
y=-x2-2
y=-x2+3
y=-x2
y=x2-2
y=x2+1
y=x2
上
y轴
(0,c)
减小
增大
0
小
c
下
y轴
(0,c)
增大
减小
0
大
c
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 。
6.二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 。若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐标为 点D的坐标为 .
（5）抛物线y=7x2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 。
下
y轴
(0,5)
减小
增大
0
大
5
上
y轴
(0,-3)
减小
增大
0
小
-3
y=2x2-3
(-2,5)
或
y=ax2+c (a≠0) a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
极值
向上
向下
(0 ,c)
(0 ,c)
y轴
y轴
当x<0时，
y随着x的增大而减小。
当x>0时，
y随着x的增大而增大。
当x<0时,
y随着x的增大而增大。
当x>0时，
y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.
(1)已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2),
C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上,且x2< x4<0,
0|x1|, |x3|>|x4|, 则 ( )
x1
x2
x3
x4
y1
y4
y3
y2
A.y1>y2>y3>y4
B.y2>y1>y3>y4
C.y3>y2>y4>y1
D.y4>y2>y3>y1
B
（2）已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1≠x2,
x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等，
则当x取x1+x2时，函数值为 （ ）
A. a+c B. a-c C. –c D. c
D
(3) 函数y=ax2-a与y=
在同一直角坐标系中的图象可能是 （ ）
A
(4) 一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线
运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的
距离为3.05m。
1、球在空中运行的最大高度是多少米？
2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25m ，
则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？(共15张PPT)
26.1二次函数
(1)圆的半径是r(cm)时，面积s (cm )与半径之间的关系是什么
是函数关系吗？
解：s=πr
s=πr 是函数 关系式
（2）用周长为20m的篱笆围成矩形场地，场地面积y(m )与矩形一边长x(m)之间的关系是什么？
是函数关系吗？
解：y=x(20/2-x)=x(10-x)=-x +10x
y=-x +10x是函数关系式
（3）设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款额是100元，那么请问两年后的本息和y（元)与x之间的关系是什么(不考虑利息税)
解： y=100(1+x)
=100（x ＋2x+1）
= 100x +200x+100
是函数关系吗？
y =100x +200x+100 是函数关系式
s=πr
y=-x +30x
y =100x +200x+100
这些函数是不是我们已经学过的特殊函数？
它们有什么特点呢？
定义：一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数
如：y=5x2+100x+63
a
5
100
b
63
c
y = ax2 + bx + c
注意:（1）等式右边关于自变量x的代数式一定是整式,a,b,c为常数，且a≠0.
（2 ）等式的右边自变量x最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
(3)在函数无实际意义的情况下自变量x的取值是全体实数
下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3(x-1) +1 (2)
(3)s=3-2t (4)y=(x+3) - x
(5) s=10πr (6) y=2 +2x
（7）y=3x +2x
注意二次函数的一般形式是y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)
但是还有以下常见的几种特殊形式：
（1） y=ax2 （a≠0，但是b＝c＝0）
（2） y=ax2＋bx (a≠0，且b ≠0,而c＝0）
（3） y=ax2＋c (a≠0，且c ≠0,而b＝0）
像这些形式都属于二次函数
例 :若函数 y =(m+3)x +(m+2)x+2 时，
当m 时，函数是二次函数，
当m= 时，函数是一次函数
≠ －3
－3
分析：当函数是二次函数时：其二次项系数a不能等于0
；而当函数是一次函数时候，也就是二次项系数为
0，而一次项系数不为0。
1.已知一个直角三角形的两条直角边长的和是10cm。
（1）当它的一条直角边的长为4.5cm时，求这个直角三角形的面积；
（2）设这个直角三角形的面积为Scm2,其中一条直角边为xcm，求S关
于x的函数关系式。
2.已知正方体的棱长为xcm,它的表面积为Scm2,体积为Vcm3。
（1）分别写出S与x，V与x之间的函数关系式子；
（2）这两个函数中，那个是x的二次函数？
3.正方形的边长为4，如果边长增加x，则面积面积增加y，求y关于x 的
函数关系式。这个函数是二次函数吗？
4.设圆柱的高为6cm，底面半径为rcm，底面周长为C，圆柱的体积为Vcm3
（1）分别写出C关于r；V关于r的函数关系式；
（2）两个函数中，都是二次函数吗？
1.二次函数的概念，以及有以下几种可能的形式 ：
（1） y=ax2+bx+c （a,b,c是常数，a≠0)
（2） y=ax2 （a≠0，但是b＝c＝0）
（3） y=ax2＋bx (a≠0，且b ≠0,而c＝0）
（4） y=ax2＋c (a≠0，且c ≠0,而b＝0）
2.如何由实际问题列出二次函数的关系式
一般形式：
特殊形式：
一.课本第4页 : 第4。
课外作业
书山有路勤为径
二.试在平面直角坐标系画出二次函数y=x2和y=-x2图象
课本第二页：问题2。
某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件。该商店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润。经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件，将这种商品的售价降低多少时，能销售利润最大？(共31张PPT)
①了解二次函数的定义；
②会画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
③会根据公式确定图象的顶点、开口方向、对称轴和增减性。
④通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义,解决简单的实际问题。
复习目标
一、定义
二、顶点与对称轴
三、解析式的求法
四、图象位置与
a、b、c、 的
正负关系
一、定义
二、顶点与对称轴
四、图象位置与
a、b、c、 的
正负关系
一般地，如果
y=ax2+bx+c(a，b，c
是常数，a≠0)，那么，y
叫做x的二次函数。
三、解析式的求法
一、定义
二、顶点与对称轴
三、解析式的求法
四、图象位置与
a、b、c、 的
正负关系
y=ax2+bx+c
y=a(x+ )2+
b
2a
4ac-b2
4a
对称轴： x=–
b
2a
顶点坐标：（– ， ）
b
2a
4ac-b2
4a
一、定义
二、顶点与对称轴
三、解析式的求法
四、图象位置与
a、b、c、 的
正负关系
解析式 使用范围
一般式 已知任意
三个点
顶点式 已知顶点（h,k)及另一点
交点式 已知与x轴的两个交点及另一个点
y=ax2+bx+c
y=a(x-h)2+k
y=a(x-x1)(x-x2)
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0
c<0
(3)a、b确定对称轴 的位置:
ab>0
ab=0
ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
(0,c)
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
(0,0)
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
(0,c)
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
x=-
b
2a
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
x=-
b
2a
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
x=-
b
2a
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
(x1,0)
(x2,0)
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
(x,0)
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
例1:已知抛物线y=x2-mx-8， （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）当m＝ 2，若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
x
y
A
B
P
典型例题
(1) 证明:∵△= (-m）2-4*(-8)=m2 +32>0
∴该抛物线与x轴一定有两个交点
(2)解:∵抛物线与x轴相交时
x2-2x-8=0
解方程得:x1=4, x2=-2
∴AB=4-(-2)=6
而P点坐标是(1,-9)
∴S△ABC=27
请思考函数y＝ x －4x＋3,并写出相关结论。
同学们比一比，赛一赛，看谁写得多.
1．请写出一个二次函数解析式，使其图像的对
称轴为x=1，并且开口向下。
2．请写出一个二次函数解析式，使其图象与x轴
的交点坐标为（2， 0）、（－1，0）。
3．请写出一个二次函数解析式，使其图象与y轴
的交点坐标为（0， 2），且图象的对称轴在
y轴的右侧。
基础演练
4. 如图,抛物线y=ax2+bx+c,请判断下列各式的符号：
①a 0;
②c 0;
③b2 - 4ac 0;
④ b 0;
x
y
O
基础演练
变式：若抛物线 的图象如图，
则a= .
小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2 - 4ac决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;
5、如图,抛物线y=ax2+bx+c ,请判断下列各式的符号：
① abc 0;
② 2a－b 0;
③ a+b+c 0;
④ a－b+c 0
x
y
O
-1
1
基础知识之基础演练
基础知识之灵活运用
1、二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图,
则方程ax2+bx+c=0的解为 ；
当x为 时，ax2+bx+c>0;
x
y
O
-3
1
当x为 时，ax2+bx+c<0。
x1=-3,x2=1
3X>1或X< 3
2.关于x的一元二次方程x2-x-n=0无实数根，则
抛物线y=x2-x-n的顶点在（ ）
A．第一象限 B.第二象限
C. 第三象限 D.第四象限
方程和函数的关系
基础知识之灵活运用
A
(0,1.6)
1.(连云港) 丁丁推铅球的出手高度为
,在如图
①求k的值
所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物
线
x
y
O
②求铅球的落点与丁丁
的距离
③一个1.5m的小朋友跑到
离原点6米的地方(如图)，
他会受到伤害吗？
联系生活
①求k的值
x
y
O
参考答案
解：由图像可知，抛物线过点(0,1.6)
即当x=0时，y=1.6
1.6=-0.1k+2.5
K=±3
2
又因为对称轴是在y轴的右侧，
即x=k>0
所以，k=3
①求k的值
x
y
O
参考答案
解：由图像可知，抛物线过点(0,1.6)
即当x=0时，y=1.6
1.6=-0.1k+2.5
K=±3
又因为对称轴是在y轴的右侧，
即x=k>0
所以，k=3
2
②-0.1(x-3)+2.5=0
解之得，x =8,x =-2
所以，OB=8
故铅球的落点与丁丁的距离是8米。
2
2
1
B
①求k的值
x
y
O
参考答案
解：由图像可知，抛物线过点(0,1.6)
即当x=0时，y=1.6
1.6=-0.1k+2.5
K=±3
又因为对称轴是在y轴的右侧，
即x=k>0
所以，k=3
2
②-0.1(x-3)+2.5=0
解之得，x =8,x =-2
所以，OB=8
故铅球的落点与丁丁的距离是8米。
2
2
1
③当x=6时，
y=-0.1(6-3)+2.5
=1.6
2
>1.5
所以，这个小朋友不会受到伤害。
B
(2)当扇形花园半径为多少时，花园面积最大？最大面积是多少？
2.(安徽)用总长为32m的篱笆墙围成一个扇形的花园．
⑴若扇形的半径设为x(m),试用x表示弧长 ;
联系生活
你能写出扇形花园的面积y(㎡)与半径x (m)之间
的函数关系式和自变量x的取值范围吗？
O
32-2x
由扇形面积公式可知：
反思与提高
1、本节课你印象最深的是什么？
2、通过本节课的函数学习，你认为自己
还有哪些地方是需要提高的？
3、在下面的函数学习中，我们还需要注意
哪些问题？(共10张PPT)
《二次函数的图像与性质》（第二课时）说课课件
说课教师：怀化市顺天路学校 全袁雄
说课教材：湘教版九年级下册p28——p30
教材背景分析
一、教材的地位与作用
《二次函数的图像与性质》是在学生已经学习过一次函数（包括正比例函数）、反比例函数的图像与性质，以及会建立二次函数模型和理解二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，是对前面所学一次函数、反比例函数图像与性质的一次升华，又是今后学习《二次函数的应用》、《二次函数与一元二次方程的联系》的预备知识，又是学生高中阶段数学学习的基础知识。它在教材中起着非常重要的作用。另外，本节课，最大特点，是结合图形来研究二次函数的性质，这充分体现了一个很重要的数学思想——数形结合数学思想。因此，这一节课，无论是在知识上，还是对学生动手能力培养上都有着十分重要的作用。
《二次函数的图像与性质》（第二课时）说课课件
二、教学重点与难点
通过分析，我们知道，《二次函数的图像与性质》在整个教材体系中，起着承上启下的作用，有着广泛的应用。我认为这节课的重点是：能在直角坐标系中，画出二次函数y=ax2的图像，并能说出二次函数y=ax2的图像的性质。在作二次函数y=ax2的图像时，要注意，选取适当的点，选适当数目的点；在动手作图的时候，要根据少量的点连出光滑的抛物线，作图不容易很理想，这是一个难点。
《二次函数的图像与性质》（第二课时）说课课件
教材背景分析
本节课，过程是由抽象到直观，再由直观到抽象（既二次函数y=ax2的关系式——作出图像——说出二次函数y=ax2的图像的性质），培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生观察、探讨、分析、分类讨论的能力。
掌握二次函数y=ax2的图像的作法及其性质，会根据图像用数学语言表达图像的性质。特别是能分清，当a>0，a<0时，图像之间有什么共同点与不同点。理解二次函数和抛物线的有关概念。
引导学生养成全面看问题、分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极性。
《二次函数的图像与性质》（第二课时）说课课件
教学目标设计
知识目标
能力目标
情感目标
教学结构设计
建立以“实施主体性教学，培养学生自学能力”为主的课堂教学结构模式——学教结合式 让学生先自学，然后由老师来教，这样容易激发学生的求知欲望，调动学生学习的兴趣。以“学教结合”为模式的课堂结构设计为“五个阶段”：
①准备阶段。教师引导学生确定学习目标。
②自学阶段。学生围绕目标自学。
③议论阶段。让学生自我表现，相互质疑，相互交流，启发理解。
④点拨阶段。在学生自学基础上，教师加以点拨，让学生心领神会，豁然贯通。
⑤延伸阶段。这一阶段是让学生从“学会”到“会学”的升华。延伸阶段要做到“三化”，一是知识的深化，二是知识向能力、技能的转化，三是学习方法的固化，即演练巩固，牢固掌握其方法。
《二次函数的图像与性质》（第二课时）说课课件
引导学生确定目标
2、你会用描点法画出二次函数y=ax2（a<0)的图像,会说出二次函数图像的性质吗？比如说，你能作出y=－x2的图像吗？能说出它的图像的性质吗？
1、你能说出y=ax2与y=－ax2（a≠0)的图像的位置关系吗？
3、理解二次函数和抛物线的有关概念
《二次函数的图像与性质》（第二课时）说课课件
教学媒体设计
充分利用多媒体教学，将powerpoint、《几何画板》两种软件结合起来制作上课课件。制作的课件，不仅课堂所授容量大，而且，利用作二次函数图像的动画性，更加形象的反映出作图的过程，增加数学的美感，激发学生作图的兴趣。
《二次函数的图像与性质》（第二课时）说课课件
教学过程设计
复习
探究导入新课
新课学习
课堂练习
思考总结
作业布置
教材P36练习1、2、3
A、教材P38——A组1(1)(2);
B、基础训练P15—P16。
见课件制作
见课件制作
见课件制作
见课件制作
《二次函数的图像与性质》（第二课时）说课课件
教学评价设计
本节课，我合理、充分利用了多媒体教学的手段，利用powerpoint，《几何画板》这两种软件制作了课件，特别是《几何画板》软件的应用，画出了标准、动画形式的二次函数的图像，让抽象思维不强的学生，更加形象的结合图形，分析说出二次函数y=ax2的有关性质，充分体现了“数形结合”的数学思想。为了突出重点，攻破难点，我要求学生“先观察后思考”、“先做后说”、“先讨论后总结”，“师生共做”充分体现了教学过程中以学生为主体，老师起主导作用的教学原则。本节课，让学生有观察，有思考，有讨论，有练习，充分调动了学生的学习兴趣，从而为高效率、高质量地上好这一堂课作好了充分的准备。
《二次函数的图像与性质》（第二课时）说课课件(共23张PPT)
二次函数的图象和性质（1）
(1)观察y= x2的表达式，选
择适当的x值，并计算相应
的y值，完成下表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=x2 9 4 1 0 1 4 9
(2)在直角坐标系中描点．
（按x的值从小到大，从左到右描点）
(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象．
（能用直线连接吗？）
议一议
对于二次函数y=x2的图象，
(1)你能描述图象的形状吗
(2)图象与x轴有交点吗
如果有，交点坐标是什么
(3)当x<0时，随着x值的增大，
y的值如何变化 当x>0时呢
(4)当x取什么值时，y的值最小
最小值是什么 你是如何知道的
(5)图象是轴对称图形吗
如果是，它的对称轴是什么
请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．
可以看出，二次函数y=x2的图像是一条曲线，它的形状类似于投篮球或掷铅球时球在空中所经过的 路线，只是这条曲线开口向上。这条曲线叫做抛物线y=x2 。实际上，二次函数的图像都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下。一般的，二次函数y=ax2+bx+c的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c
二次函数y=x2的图象是抛物线.
（1）抛物线的开口向上；
（2）它的图象有最低点，最低点的坐标是（0，0）；
（3）它是轴对称图形，对称轴是y轴。在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。
（4）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）；
（5）因为图像有最低点，所以函数有最小值，当x=0时，y最小＝0.
在同一直角坐标系中，画出函数y= x2，y=2x2的图象。
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y= x2
…
…
0
2
2
8
8
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y=2x2
…
…
0
2
2
8
8
-1
-6
-4
-2
2
4
6
x
9
8
7
6
5
4
3
2
1
y
y=2x2
y= x2
0
-6
-4
-2
2
4
6
x
9
8
7
6
5
4
3
2
1
y
y=2x2
y= x2
0
当a>0，图象开口向上
顶点是抛物线的最低
点，a越大开口越小
反之越大
对称轴
做一做
二次函数的图象y=-x 是什么形状
先想一想,然后作出它的图象
它与二次函数y=x 的图象有什么关
系 与同伴交流。
总结：
二次函数y=-x2的图象是抛物线.
（1）抛物线的开口向下；
（2）它的图象有最高点，最高点的坐标是（0，0）；
（3）它是轴对称图形，对称轴是y轴。在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少。
（4）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最高点，坐标为（0，0）；
（5）因为图像有最高点，所以函数有最大值，当x=0时，y最大＝0.
探究
画出函数y=-x2,y=- x2,y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点。
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
…
…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=- x2
…
…
0
-2
-2
-8
-8
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y=-2x2
…
…
0
-2
-2
-8
-8
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
y
x
0
y=- x2
y=-x2
y=-2x2
当a〈0时，图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。
对称轴
（1）说出这两个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标
（2）抛物线y= x2，当x 时,抛物线上的点都在x轴上方;当x＞0时;曲线自左向右逐渐 它的顶点是图像的最 点。
1
2
（3）函数y=-2x2，对于一切x的值，总有函数值y 0，当x ＜0时， y随x的增大而 ；当x 时，y有最 值，是
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-10
-5
5
10
x
y
y=x2
y=-x2
y=x2与y=-x2关于
x轴对称
观察函数y=x2、 y=-x2、 y= x2、
y=-2x2的图像，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点
1
2
总结：
二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点是坐标原点（0，0）
当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上,a越大，抛物线的开口越小；在对称轴的左边，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，此时，函数y取得最小值0.
当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，a越大，抛物线的开口越大；在对称轴的左边，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线上位置最高的点，此时，函数y取得最大值0.(共19张PPT)
-2
0
2
4
6
2
-4
x
y
⑴若－3≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为（ ）、（ ）。
⑵又若0≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为（ ）、（ ）。
求函数的最值问题，应注意什么
55 5
55 13
2、图中所示的二次函数图像的解析式
为：
1、求下列二次函数的最大值或最小值：
⑴ y=－x2＋2x－3; ⑵ y=－x2＋4x
同学们，今天就让我们一起去体会生活中的数学给我们带来的乐趣吧！
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析:
调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖 件，实际卖出 件,销额为 元，买进商品需付 元因此，所得利润为 元
10x
(300-10x)
(60+x)(300-10x)
40(300-10x)
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
即
(0≤X≤30)
(0≤X≤30)
可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标.
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案。
解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润
答：定价为 元时，利润最大，最大利润为6050元
做一做
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗
(0≤x≤20)
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。
问此球能否投中？
3米
8米
4米
4米
8
（4，4）
如图，建立平面 直角坐标系，点（4，4）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数为：
(0≤x≤8)
(0≤x≤8)
∵篮圈中心距离地面3米
∴此球不能投中
若假设出手的角度和力度都不变,
则如何才能使此球命中
探究
（1）跳得高一点
（2）向前平移一点
y
x
（4，4）
（8，3）
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y
X
（8，3）
（5，4）
（4，4）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？
(７，３）●
用抛物线的知识解决运动场上或者生活中的一些实际问题的一般步骤：
建立直角坐标系
二次函数
问题求解
找出实际问题的答案
生活是数学的源泉，探索是数学的生命线.
寄语
作业
P28:2、3、4
抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面2m，水面宽度4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？
x
y
0
(2,-2)
●
(-2,-2)
●
解：设这条抛物线表示的二次函数为
由抛物线经过点（－2，2），可得
所以，这条抛物线的二次函数为：
当水面下降1m时，水面的纵坐标为
当 时，
所以，水面下降1m，水面的宽度为 m
∴水面的宽度增加了 m(共12张PPT)
问题１
说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点
(1) y=(x+2)2-1;
(2) y=-(x-2)2+2 ;
(3) y=a(x+h)2+k .
问题２
探索
探索
探索
实践探究 1
观察发现
１.二次函数y=ax2(a 0)的图像
２.a决定了图像的开口方向:
可由的y=x2图像各点纵坐标
变为原来的a倍得到.
3.a决定了图像在同一直角坐标 系中的开口大小:
|a|越小图像开口就越大
a>o开口向上，a<0开口向下
巩固性训练一
.下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为
返回
(4),(2),(3),(1)
实践探究 2
观察发现
二次函数y=a(x+h)2+k (a 0),
a决定了二次函数图像的开口大小及方向；
而且“a正开口向上，a负开口向下”；
｜a｜越大开口越小；
h决定了二次函数图像的左右平移，
而且“h正左移，h负右移”；
k决定了二次函数图像的上下平移，
而且“k正上移，k负下移”。
巩固性训练二
１.将二次函数y=3x2的图像平行移动,顶 点移到（－３，２），则它的解析式为
2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大小相同，
开口方向也相同，已知函数g(x)=x2+1，f(x)图像的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为
y=3(x+3) 2+2
y=(x-3) 2+2
1.由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移变换，可以得到y=3x2的图像.
2.把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单位，再向下平移３个单位所得图像对应的函数解析式为
发展性训练
右移2单位，下移4单位
Y=(x-2) 2 -2(x-2)-3=x 2 -6x+5= (x-3) 2 -4
小结
１.a,h,k对二次函数y=a(x+h) 2 +k图像的影响
２.y=x2 与y=a(x+h)2+k 的图像变换规律。
作业：
Ｐ５３，
Ａ组１，２，３（１）（４）
Ｂ组２(共34张PPT)
中考复习专题------
二次函数的图象和性质
华辰学校
二次函数
二次函数的图象
二次函数所描述的关系
实际问题情景
二次函数的定义
用多种方式进行表示
y=x ，y=-x
y=ax ，y=ax +c
y=a(x-h) +k，y=ax +bx+c
二次函数的对称轴和顶点坐标公式
用二次函数解决实际问题
体育运动
何时获得最大利润
最大面积是多少
一般地如果 , 那么Y叫做x的二次函数.
Y=ax +bx+c(abc是常数,且a≠0)
1
-2
-3
2.二次函y=3x +2x中a=___,b=___,c=___
3
2
0
4
0
-7
1.二次函数Y=x -2x-3中a=___,b=___,c=___
一.二次函数的定义：
3.二次函数y=4x -7中a=__,b=__,c=___
4.当m= 时，y=(m+2)xm2+3m+2是二次函数，
-1
x
性
质
图象
a<0
a>0
a的符号
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
二.二次函数的图象及性质
开口向上
开口向下
( ， )
( ， )
当 时,
y有最小值为
当 时,
y最大值为
当 时，y随x的增大而减小;当 时，y随x的增大而增大.
当 时，y随x的增大而增大;当 时，y随x的增大而减小.
三.二次函数解析式的确定：
y=ax +bx+c(a≠0)
类型
y=a(x-h) +k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
一般式
顶点式
交点式
对称轴
顶点坐标
最大(小)值
当 时,
最值
化成一般式求
化成一般式求
当 时,
最值y=k
1.二次函数y=2(x-3) +7的图象顶点坐标是——，
对称轴是———
2.二次函数y=3(x+1) -5顶点坐标是———，对称
轴是———
3.抛物线y=x2+2x-4的开口方向是 ,对称轴
是 , 顶点坐标是 .
4.已知二次函数y=x2-6x+m的最小值是1, 那么m的值是 .
(3,7)
X=3
(-1,-5)
X=-1
5.请你写出一个二次函数y＝ax2＋bx＋c，使它同时具有如下性质：①图象关于直线x＝1对称；②当x＝2时，y>0；③当x＝－2时，y<0。答：____________
做一做:
1.已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并经过M(0，1)，则抛物线的解析式为 ．
2.若二次函数有最小值-8，且a∶b∶c=1∶2∶(-3)，则抛物线的解析式为 ．
3.若二次函数有最大值2，且过点A(-1，0)和 B(3，0),则抛物线的解析式为 ．
4.若函数当x＞-2时y随x增大而增大(x＜-2时，y随x增大而减小)，且图象过点(2，4)和(0,-2),则抛物线的解析式为 ．
做一做:
四.二次函数y=ax +bx+c（a≠0）的图象特征 与a、b、c 、Δ的关系
项目 字母的符号 图象的位置（特征）
a
b
c
Δ
a>0
a<0
开口向上
开口向下
b=0
对称轴是y轴
对称轴在y轴左侧
ab>0
ab<0
对称轴在y轴右侧
c=0
经过原点
c>0
c<0
与y轴正半轴相交
与y轴负半轴相交
Δ=0
Δ<0
Δ>0
与x轴有唯一交点（顶点）
与x轴有两个交点
与x轴没有交点
1.一次函数y=ax+b与y=ax2-b在同一坐标系中的大致图象是（ ）
x
0
y
x
0
x
y
x
0
x
y
x
0
y
B
A
C
D
B
2. 函数y=ax2+a与y= （a≠0)在同一坐标系中 的大致图象是（ ）
D
y
x
0
x
y
0
x
0
y
x
0
y
A
B
C
D
做一做:
3.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那abc，b2－4ac，2a＋b，a＋b＋c，a－b＋c 这五个代数式中，值为正数的有（ ）
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
y
x
-1
1
4.小明从右边的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象观察得出下面的五条信息：① a＜ 0；② c＝0；
③ 函数的最小值为-3； ④当x＜0时，y>0；
⑤当0＜x1＜x2＜2时，y1 > y2
你认为其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
y
x
0
2
-3
5.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0）、（x2，0），且0下列结论：①2a+b>1，
②3a+b>0③a+b<2，
④a<-1，
其中正确的个数有（ ）
(A)1个 (B)2个
(C)3个 (D)4个
抛物线 对称轴 顶点
坐标 结论 平移规律
五.二次函数图象的平移：
y=ax2
y=ax2 +k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y轴
y轴
直线X=h
直线X=h
(0,0)
(0,c)
(h,0)
(h,k)
左加右减，上加下减
抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2 的形状相同，位置不同，经过平移后可以互相重合。
抛物线y=ax2向左（h<0）、向右（h>0）平移|h|个单位, 向上（k>0）、向下（k<0）平移|k|个单位后,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k 。
越小,开口越大.
越大,开口越小.
1. 已知函数 ， ， ，
的图象如图所示。
抛物线①②③④
分别对应哪个函数？
x
y
①
②
③
④
2.函数y=x2-1的图象，可由y=x2的图象向 ___平移 个单位.
1
下
3.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折，得到的图象的函数解析式为_______.
y=-3x2-2
做一做:
4.若将抛物线 向左平移 3个单位得抛物线 ，
再向下平移 2 个单位得
抛物线 。
5.若将抛物线 y=x2向 平移 个单
位，再向 平移 个单位得抛物线y=x2-2x+2。
6.将抛物线 沿 y 轴向上或向下平移后经过点（3，4），则平移后抛物线的解析式是 ；
7.若将抛物线 沿 x 轴向左或向右平移后经过点（3，10），则平移后抛物线的解析式是 。
右
1
1
下
二次函数y=ax2+bx+c
形
抛物线
点
点的坐标(x,y)
动看
数
整式方程
二次函数
对应值(x,y)
X=m
y=n
解
六.二次函数与一元二次方程的关系：
静看
◆与y轴交点的求法：令x=0,得y=c 即（0，c）
◆与y轴始终有一个交点（0，c）
◆如果y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0);
那么AB=|x1-x2|=
x
y
o
C
x1
x2
六.二次函数与一元二次方程的关系：
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
一元二次方程
二次函数
二次函数的图象
有两个不等实根 ，
有两个相等实根
没有实根
图象与x轴没有交点
图象与x轴有两个交点
图象与x轴有一个交点
O
x
y
O
x
y
O
x
y
x
O
y
y
O
x
O
x
y
对称轴
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为
A(x1,0), B(x2,0);
x
y
o
x2
x1
P
A
B
x1x2>0, 点A,点B在原点同侧
x1x2<0,点A,点B在原点两侧
x
y
o
A
B
x1
x2
A
B
x1
x2
A
B
x1
x2
A
B
x1
x2
六.二次函数与一元二次方程的关系：
AB=|x1-x2|=
1.根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量与函数值的对应值，判断方程ax2+bx+c =0
（a≠0, a, b, c为常数）的一个解的范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2＋bx＋c -0.03 -0.01 0.02 0.04
A．6.17＜ X ＜6.18 B．6.18＜ X ＜6.19
C．-0.01＜ X ＜0.02 D．6.19＜ X ＜6.20
做一做:
O
1
2
3
4
5
6
7
8
10
20
30
40
50
60
70
80
h/m
t/s
(3)何时小球离地面的高度是60m？
方法一：利用图象
方法二：解方程
2.竖直上抛物体的高度 h(m) 与运动时间 t(s) 的关系可以 用公式 h=-5t +v0t+h0 表示，其中 h0(m) 是抛出时的高度， v0(m/s) 是抛出时的速度。
一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球的高度 h(m) 与运动时间 t(s) 的关系如图所示，那么
(1)h与t的关系式是什么？
(2)小球经过多少秒后落地？
做一做:
3.已知抛物线y＝ax2＋2x＋c 经过点(－1，0)、(0，3)（1）求此抛物线解析式，并在直角坐标系中画出这条抛物线
·
·
·
·
·
X
y
·
·
X … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y =-X2+2X+3 … -5 0 3 4 3 0 -5 …
做一做:
y ＝ax2＋2x＋c
3.已知抛物线y＝ax2＋2x＋c 经过点(－1，0)、(0，3)
（2）x取何值时，y 随 x 的增大而增大；
x取何值时，抛物线在 x 轴的上方；
x取何值时，y 随 x 的增大而减小且 y <０。
（3）利用图象求方程 ax2＋2x＋c＝－5 解。
做一做:
（4）若将上题的－5 改为2x－1，又如何利用图象
求方程ax2＋2x＋c＝2x－1的解呢？
并比较ax2＋2x＋c与2x－1的大小。
y ＝ax2＋2x＋c
y ＝2x--1
y1
y2
（3）利用图象求方程 ax2＋2x＋c＝－5 解。
x
y
·
·
·
·
（5）判断方程 的解的个数。
·
·
·
·
·
·
·
拓展与应用
已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式．
拓展与应用
已知抛物线y=ax2＋bx＋c，其顶点在x轴的上方，它与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A及点B(6，0)．又知方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两根平方和等于40．
(1)求抛物线的解析式；
(2)试问：在此抛物线上是否存在一点P，在x轴上方且使S△PAB=2S△CAB．如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．
1.已知圆P的圆心在反比例函数 图象上，并与x轴相交于A、B两点． 且始终与y轴相切于定点C(0，1)．
(1)求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;
(2)若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，
四边形ADBP为菱形．
2.已知抛物线 其中a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边。
⑴求证：该抛物线与x轴必有两个交点
⑵设有直线y=ax-bc与抛物线交于点E、F，与y轴交于点M，抛物线与y轴交于点N，若抛物线对称轴为x=a,△MNE与△MNF的面积之比为5：1,求证△ABC是等边三角形。
⑶当S△ABC= 时，设抛物线与x轴交于P、Q，问是否存在过P、Q两点且与y轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心坐标；若不存在，请说明理由。
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(2,4),顶点横坐标为 ，它的图象与x轴交于两点B(x1,0),C(x2,0)与y轴交于点D，且x12+x22=13。试问：y轴上是否存在点P使得△POB与△DOC相似（O为坐标原点）？若存在，请求出过P、B两点的直线解析式；若不存在，请说明理由。
4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴交于不同的两点A、B,点A在点B左边,与y轴交于点C.若△AOC 与△ BOC的面积之和为6,且这个二次函数的图象顶点坐标为( 2,-a),求这个二次函数解析式。
5.设二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于两点A、B,与y轴交于点C,若AC=20, BC=15, ∠ACB=900,求这个二次函数解析式。
6.已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点为A(m,0)、B(n,0),且m+n=4，n=3m.
(1)求此抛物线解析式；
(2)设此抛物线与y轴的交点为C ,过C 点作一条平行于x轴的直线交抛物线于另一点P ,求△ACP的面积。
7.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点 A(2,4)，
其顶点横坐标为 ,它的图象与x轴交点为
B(x1,0)、C(x2,0),且x12+x22=13.
(1)求此函数解析式；
(2)在x 轴上方的抛物线上是否存在点D,使得S△ABC=2S△BDC,若存在,求出所有满足条件的点D,若不存在,请说明理由。
数学思想方法是数学中的精髓,是联系数学中各类知识的纽带,是数学知识的重要组成部分.学习本章知识,要注意领悟和掌握蕴涵其中的数学思想和方法.
本章主要的数学思想有函数思想、数形结合思想和方程思想,主要方法是待定系数法和配方法.特别是数形结合的意识力越强，发现和辨认隐蔽的和谐关系的直觉也就越强，让形象思维与抽象思维结合，焕发出独特的精彩。
小结:(共19张PPT)
二次函数的应用
二次函数复习（二）
创设问题意境
学习的目的在于应用，日常生活中，工农业生产及商业活动中，方案的最优化、最值问题，如盈利最大、用料最省、设计最佳等都与二次函数有关。
一、根据已知函数的表达式解决实际问题：
0
x
y
h
A B
D
河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所
示的坐标系，其函数的表达式为y= - x2 ， 当水位线在AB位
置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h是（ ）
A、5米 B、6米； C、8米； D、9米
1
25
解：当x=15时，
Y=-1/25 × 152
=-9
问题1：
问题2：炮弹从炮口射出后，飞行的高度h(m)与飞行时间t(s)之间的函数关系式是h=V0tsinα－5t2，其中V0是炮弹发射的初速度，α是炮弹的发射角，当V0=300（m/s）, α=30 时,炮弹飞行的最大高度是 m.
1125
二、根据实际问题建立函数的表达式解决实际问题
问题3： 如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形
状相同的抛物线落下。建立如图所示的坐标系，如果喷头所在
处A（0，1.25），水流路线最高处B（1，2.25），则该抛物线
的表达式为 。如果不考虑其他因素，那么水
池的半径至少要____米，才能使喷出的水流不致落到池外。
y= －(x-1)2 +2.25
2.5
Y
O x
B(1,2.25)
．
(0,1.25) A
问题4：某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？
分析：利润=（每件商品所获利润）× （销售件数）
设每个涨价x元， 那么
（3）销售量可以表示为
（1）销售价可以表示为
（50+x）元（x≥ 0，且为整数）
(500-10x) 个
（2）一个商品所获利润可以表示为
（50+x-40）元
（4）共获利润可以表示为
(50+x-40)(500-10x)元
答：定价为70元/个，利润最高为9000元.
解：
设每个商品涨价x元， 那么
y=(50+x-40)(500-10x)
=-10 x2 +400x+5000
=-10[ （x-20）2 -900]
(0 ≤ x≤50 ,且为整数 )
=- 10（x-20）2 +9000
问题5:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
A
B
C
D
解：
(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
(3) ∵墙的可用长度为8米
(2)当x＝ 时，S最大值＝ ＝36（平方米）
∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米
小试牛刀
如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°，
点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动，
点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度
移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，
几秒后ΔPBQ的面积最大？
最大面积是多少？
A
B
C
P
Q
解：根据题意，设经过x秒后ΔPBQ的面积y最大
AP=2x cm PB=（8-2x ） cm
QB=x cm
则 y=1/2 x（8-2x）
=-x2 +4x
=-（x2 -4x +4 -4）
= -（x - 2）2 + 4
所以，当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大
最大面积是 4 cm2
（0A
B
C
P
Q
在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6,今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？
D
C
A
B
G
H
F
E
10
6
解：设花园的面积为y
则 y=60-x2 -（10-x）（6-x）
=-2x2 + 16x
（0=-2（x-4）2 + 32
所以当x=4时 花园的最大面积为32
实际问题
抽象
转化
数学问题
运用
数学知识
问题的解
返回解释
检验
谈谈你的学习体会
“二次函数应用” 的思路
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.
问题5:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。
(1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式；
(2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC
解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等
∴AP=CQ=x
当P在线段AB上时
S△PCQ＝
CQ PB
=
AP PB
即S＝ (0当P在线段AB的延长线上时
S△PCQ＝
即S＝ (x>2）
(2)当S△PCQ＝S△ABC时，有
＝２
此方程无解
② ＝２
∴ x1=1+ , x2=1－ (舍去)
∴当AP长为1+ 时，S△PCQ＝S△ABC
