第4章
一元一次不等式（组）
4.1
不等式
【知识与技能】
1.能够从现实问题中想象出不等式，理解不等式的意义，会根据给定条件列不等式.
2.正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.
3.理解不等式的解的意义，能举出一个不等式的几个解并且会检验一个数是不是该不等式的解.
【过程与方法】
经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步增强学生的符号感和数学化的能力，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性.
【情感态度】
使学生产生独立克服困难、运用知识解决问题的成功体验，树立学好数学的自信心；在独立思考的基础上，积极参与讨论，在合作交流中有一定收获.
【教学重点】
理解并会用不等式表达数学量之间的关系，不等式的解的意义.
【教学难点】
不等号的准确应用；不等式的解.
一、情景导入，初步认知
世纪公园的票价是每人5元；一次购票满30张，每张可少收1元.某班有27名少先队员去世纪公园进行活动.当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票.但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？
那么，究竟李敏的提议对不对呢？是不是真的“浪费”呢？
【教学说明】通过实际问题的导入，引起了学生的学习兴趣.
二、思考探究，获取新知
1.动脑筋：（1）处于平衡状态的托盘天平的右盘上放一质量为50g的砝码，左盘放上一个圆球后向左倾斜，问圆球的质量xg与质量为50g的砝码之间具有怎样的关系？
（2）一辆轿车在一条规定车速不低于60km/h，且不高于100km/h的高速公路上行驶，如何用式子表示轿车在该高速公路上行驶的路程s(km)与行驶时间x(h)之间的关系呢？
【分析】对于（1）我们很容易知道圆球的质量大于砝码的质量，即x>50.
对于（2），根据路程与速度、时间之间的关系可得：s≥60x,且s≤100x.
【归纳结论】我们把用不等号（>，<，≥，≤,≠）连接而成的式子叫作不等式.
【教学说明】学生通过亲自计算，自己得出不等式的概念.
2.用不等式表示下列数量关系：
（1）x的5倍大于-7；
（2）a与b的和的一半小于-1；
（3）长、宽分别为x
cm,y
cm的长方形的面积小于边长为a
cm的正方形的面积.
3.做一做：已知一支圆珠笔1.5元，签字笔与圆珠笔相比每支贵2元，小华想要买x支圆珠笔和10支签字笔，若付50元仍找回若干元，则如何用含x的不等式来表示小华所需支付的金额与50之间的关系？
【教学说明】学生独立思考，教师适当提示.
三、运用新知，深化理解
1.在数学表达式：（1）－3＜0;（2）3x+5＞0;（3）x2－6;（4）x=－2;（5）y≠0;（6）x≥50中，不等式的个数是（C）
A.2
B.3
C.4
D.5
2.下列按要求列出的不等式中正确的是(D).
A.“a不是负数”即a>0
B.“b是不大于零的数”即b<0
C.“m是不小于-2的数”即m>-2
D.“P+Q是正数”即P+Q>0
3.某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t（℃）的变化范围是（D）
A.t＞33
B.t≤24
C.24＜t＜33
D.24≤t≤33
4.若m是非负数，则用不等式表示正确的是（D）
A.m＜0
B.m＞0
C.m≤0
D.m≥0
5.k的值大于－1且不大于3，则用不等式表示
k的取值范围是－1＜k≤3．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空）
6.用不等式表示.
(1)x的23与5的差小于1;
解：“x的23与5的差小于1”就是2/3x-5<1.
(2)x与6的和大于9;
解：“x与6的和大于9”就是x+6>9.
(3)8与y的2倍的和是正数;
解：“8与y的2倍的和是正数”就是8+2y>0.
(4)a的3倍与7的差是负数;
解：“a的3倍与7的差是负数”就是3a-7<0.
(5)x的3倍大于或等于1;
解：“x的3倍大于或等于1”就是3x≥1.
(6)x与5的和不小于0;
解：“x与5的和不小于0”就是x+5≥0.
7.下列说法中，哪些是正确的？哪些是错误的？请把错误的加以改正.
（1）“2x与1的和是负数”用不等式表示为：2x+1＜0；
（2）“a与b的差是非负数”用不等式表示为：a-b＞0；
（3）“a的2倍与4的差不小于5”用不等式表示为：2a-4＞5；
（4）“x的相反数与3的和是正数”用不等式表示为：3-x＞0.
解:（1），（4）正确；（2）,（3）错误,改正如下：（2）因为非负数即≥0,可改为:a-b≥0；（3）因为不小于5即≥5,可改为:2a-4≥5.
8.当x取下列数值时1,0,-2.5,-4,3.5,4,4.5,不等式x+3<6是否成立?
解：将1,0,-2.5,-4,3.5,4,4.5分别代入x+3，得x+3=4，3，0.5，-1，6.5,7,7.5,其中只有4,3,0.5,-1小于6,
∴上述各数中,只有1,0,-2.5,－4可使不等式x+3<6成立,当x取3.5,4,4.5时,不等式x+3<6不成立.
【教学说明】通过观察学生做题情况，了解他们列不等式的掌握情况，通过分析错误，提出容易犯错的地方，及时巩固新知识.
五、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材“习题4.1”中第2
、3、4题.
本节教学过程中，始终通过师生互动，鼓励学生积极思考，努力探索，合作交流，关注学生能否发现问题，提出问题，能否敢于发表自己的见解，吸取正确的见解；关注学生学习过程中表现的学习习惯、个性品质、情感态度等.
通过游戏、分组竞赛等激发学生的积极性，培养团队精神.通过例题和闯关游戏，检测学生学习情况，及时反馈调节；通过不同层次的变式题，评价各层学生的学习效果，增强学习信心.留给学生思考、探究的时间和空间.对学生回答是否正确、全面与否都给予了及时的肯定和鼓励，时刻注意激发学习内驱力，确保学生学得更多、更快、更好！总之，本节教学既贴近生活，又超越生活，既努力从生活中来，又努力到生活中去，实现了：生活世界、数学世界、教学世界的融会贯通！
1第4章
一元一次不等式（组）
【知识与技能】
1.要求学生通过复习熟练掌握不等式和不等式解集的概念.
2.掌握求一元一次不等式及不等式组的解集.
3.能较熟练地应用一元一次不等式和一元一次不等式组来解决简单的实际问题.
【过程与方法】
通过引导学生复习总结知识结构，进一步加深学生对本章知识的理解.
【情感态度】
在练习过程中让学生认识到数形结合的思想，从而让他们感觉到数学解题的简洁美.
【教学重点】
一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法.
【教学难点】
利用一元一次不等式和一元一次不等式组解决简单的实际问题.
一、知识结构
【教学说明】总结学生的发言，并将本章的内容作一次总结，指出本章重难点，鼓励学生作出知识结构图.
二、释疑解惑，加深理解
1.不等式的概念：我们把用不等号（>，<，≥，≤,≠）连接而成的式子叫作不等式.
2.不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式），不等号的方向不变.
不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变.
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数．不等号的方向改变．
3.一元一次不等式的概念：含有一个未知数，且未知数的项的次数是1的不等式，称为一元一次不等式.
我们把满足一个不等式的未知数的每一个值，称为这个不等式的一个解.
把一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集.
求一个不等式的解集的过程称为解不等式.
4.解一元一次不等式大致要分五个步骤进行：
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）系数化1.
5.一元一次不等式解决实际问题的一般步骤：
第一步：审题，找不等关系；
第二步：设未知数，用未知数表示有关代数式；
第三步：列不等式；
第四步：解不等式；
第五步：根据实际情况写出答案.
6.一元一次不等式组的概念：把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成了一个一元一次不等式组.
我们把几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们组成的一元一次不等式组的解集.
求不等式组的解集的过程，叫作解不等式组.
7.求不等式组解集的规律：皆大取大，皆小取小，大小小大取中间，大大小小是无解.
【教学说明】通过引导学生复习总结本章概念和知识点，进一步加深学生对本章知识的理解.
三、典例精析，复习新知
1.下列不等式中，是一元一次不等式的有（B）个.
A.1
B.2
C.3
D.4
2.不等式ax+b>0（a<0）的解集是（B）
A.
x>－
B.
x<－
C.
x>
D.
x<
3.若关于x的方程3x+2m=2的解是正数，则m的取值范围是（B）
A.
m>1
B.
m<1
C.
m≥1
D.
m≤1
4.不等式组的解集在数轴上表示正确是的是（D）
5.若关于x的不等式的整数解共有4个,则m的取值范围是
(D
)
A.6B.6≤m<7
C.6≤m≤7
D.66.解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.
解：2（2x－1）－3（5x＋1）≤6.
4x－2－15x－3≤6.
4x－15x≤6＋2＋3.
－11x≤11.
x≥－1.
这个不等式的解集在数轴上表示如下:
7.解不等式组：
解：
解不等式①，得x＜5．
解不等式②，得x≥-2．
因此，原不等式组的解集为-2≤x＜5．
【教学说明】通过例题学习让学生明晰解一元一次不等式（组）的方法，提高解决实际问题的能力，使学生对本章知识内容有进一步的理解和掌握.
四、复习训练，巩固提高
1.若不等式3x－m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是_______
答案：9≤m<12
（解不等式得x≤，其正整数解是1，2，3，说明3≤m3<4，所以9≤m<12.）
2.若代数式的值不大于代数式5k－1的值，则k的取值范围是_______.
答案：k≥
(由题意得≤5k－1，解此不等式即可.)
3.如果不等式4x－3a>－1与不等式2（x－1）+3>5的解集相同，请确定a的值
解：解4x－3a>－1得x>；
解2（x－1）+3>5得x>2，
由于两个不等式的解集相同，
所以有=2，解得a=3.
4.关于x的一元一次方程4x+m+1=3x－1的解是负数，求m的取值范围.
解：解此方程得x=－2－m，
根据方程的解是负数，
可得－2－m<0，
解得m>－2.
5.解不等式组
并写出该不等式组的整数解
解：解不等式-3（x-2）≥4-x
得：x≤1；
解不等式得：x＞-2；
所以该不等式组的解集为：-2＜x≤1，所以该不等式组的整数解是-1，0，1．
6.一般地，如果，
那么a+c_____b+d．（用“>”或“<”填空）
你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？
证明：∵a>b，∴a+c>b+c．
又∵c>d，∴b+c>b+d，
∴a+c>b+d．
7.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元.后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于5%，请你帮忙算一算，该商品至多可以打几折？
解：设该商品可以打x折，则有
1200·－800≥800×5%
解得x≥7.
答：该商品至多可以打7折.
8.郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元．用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．
（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?
（2）郑老师计划用1000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后．余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?
解：(1)设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为(x－8)元．根据题意得：
3x
+2(x－8)＝124
解得：x＝28．
∴x－8＝20．
答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．
（2）设购买书包y个，则购买词典(40－y)本．根据题意得：
解得：10≤y≤12.5
因为y取整数，所以y的值为10或11或12．
所以有三种购买方案，分别是：
①书包10个，词典30本；
②书包11个，词典29本；
③书包12个，词典28本．
9.整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题：
（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？
（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？
解：（1）设甲种药品的出厂价格为每盒x元，乙种药品的出厂价格为每盒y元．
则根据题意列方程组得：
解之得：
5×3.6-2.2=18-2.2=15.8（元）
6×3=18（元）
答：降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是15.8元和18元.
（2）设购进甲药品x箱（x为非负整数），购进乙药品（100-x）箱，则根据题意列不等式组得：
解之得：≤x≤60
则x可取：58，59，60，此时100-x的值分别是：42，41，40
有3种方案供选择：
第一种方案，甲药品购买58箱，乙药品购买42箱；
第二种方案，甲药品购买59箱，乙药品购买41箱；
第三种方案，甲药品购买60箱，乙药品购买40箱；
【教学说明】要求每个学生在进行独立思考时，教师要关注学困生并给予帮助.
五、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材“复习题”中第5、7、8、14题.
1.本节课的重点在让每个学生建构本章知识体系.教师让学生充分思考、练习和交流，同时充分暴露出存在的问题，达到有效复习的目的.
2.第一环节基本知识的复习时间要控制，学生不牢固的部分可以通过例题、练习的形式加深巩固复习.
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