(共15张PPT)
3.3
幂函数
高中数学人教A版（2019）必修第一册
学习目标
观察下面几个例子
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元;
(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
s=a2;
(3)如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积V=b3;
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长c=
(5)如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v=
km/s
.
幂函数定义的抽象
这5个关系式都是函数关系，若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式分别是
幂的形式
幂的底数是自变量
幂的指数是常数
共
同
特
征
问题1：观察这五个函数的解析式，能不能找出它们的共同特征？能不能用一个通式来表示这一类函数？
学习新知——幂函数的定义
一般地，函数
叫做幂函数，
其中x是自变量，α是常数.
判断下列函数是否为幂函数.
(1)
y=x4
(3)
y=
-xe
(4)
y=2x2
(5)
y=x3+2
判一判
(6)y=(x-1)2
幂函数中的α可以为任意实数，并且xα的系数为1，后面没有常数项。因此要确定一个幂函数，需要一个条件就可以把常数α
确定下来。
【例1】已知幂函数y=f(x)的图像过点(2,
),求这
个函数的解析式.
因为幂函数只有一个待定系数，所以只需要一个点的坐标就可以求出幂函数的表达式.
问题2 （1）对于一类新函数，我们需要从哪些方面入手去研究？
（2）通常先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题．
新知探究
（2）你能根据以前研究函数的思路，提出研究幂函数的方法吗？
（1）函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等．
问题3 请你在同一坐标系中画出函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝
和y＝
的图象，结合解析式观察函数图象，将你发现的结论填写在表内．
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝
定义域
值域
奇偶性
单调性
小组合作完成，完成后展示成果。
x
y
o
1
1
2
2
3
3
4
4
-4
-1
-1
-2
-3
-3
-2
(1,1)
五个常用幂函数的图象：
(2,4)
(-2,4)
(-1,-1)
x
0
1
2
3
4
…
0
1
1.41
1.73
2
…
y=x3
…
-3.38
-1
-0.13
0
0.13
1
3.38
…
x
…
-1
0
1
…
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
奇函数
偶函数
奇
非奇非偶
图象都过点(1,1)
R
R
［0,+∞）
R
［0,+∞）
［0,+∞）
增函数
在(-∞，0)和
(0，+∞)上单
调递减
增函数
在(-∞，0]单调
递减［0，+∞)
单调递增
增函数
R
R
{x|x≠0}
{y|y≠0}
奇函数
(1)
图像都过点（1，1)；
(2)
y=x、y=x3、y=x-1是奇函数，y=x2是偶函数；
(3)
在（0，+∞)上，y=x、y=x3、y=x2、y＝
单调递增，y=x-1单调递减；
(4)
在第一象限内，y=x-1的图像向上与y轴无限接近，向右与x
轴无限接近。
【例2】证明幂函数
是增函数.
【证明】函数的定义域是[0，+∞).
因为
，
，所以
即幂函数
是增函数.
【知识小结】
回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：
1.什么是幂函数？说一说本节课所学的5个幂函数的性质.
2.结合对五个幂函数的研究过程，你能归纳一下函数的研究内容和方法吗？
归纳小结
【核心素养】
1．通过具体实例，抽象出幂函数的概念．(数学抽象)
2．画幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质．(直观想象)
3．对幂函数的基本性质进行简单应用．(逻辑推理)《3.3
幂函数》教学设计
课程标准：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数的图象，了解它们的变化情况.
一、教学目标：
1．能从具体情境中抽象出幂函数概念，提升学生的数学抽象素养．
2．了解幂函数的定义，能识别幂函数；能正确画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝
的图象，描述它们的变化规律，讨论它们的基本性质，提升学生的直观想象和数学抽象素养．
3．能利用函数的单调性定义证明幂函数的单调性，能利用幂函数的单调性比较大小，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
二、教学重点：幂函数的概念，幂函数的图象与性质.
三、教学难点：观察五个幂函数的解析式的共性，抽象幂函数概念；观察函数图象的内容和方法.
四、教学用具：实物投影仪等多媒体
五、教学过程：
一、问题导入
问题1：观察（1）～（5）中的函数解析式，你能发现它们的共同特征吗？
（1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w
kg，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；
（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；
（3）如果立方体的边长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；
（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c＝，这里c是S的函数；
（5）如果某人t
s内骑车行进1
km，那么他骑车的平均速度v＝，这里v是t的函数．
师生活动：学生还没有学习指数幂运算，老师可以给出提示：＝S，＝t－1，然后引导学生从解析式的结构特征去思考，发现这5个解析式的共同点．
追问1：你还能举几个相同结构的函数的例子吗？（y＝x0，y＝x4，y＝x－2，y＝x等．）
预设的答案：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量．
教师点拨：一般地，函数y＝xα叫做幂函数(power
function)，其中x为自变量，α为常数．（板书：幂函数）
对于幂函数，我们只研究α＝1，2，3，，－1时的图象与性质．
设计意图：问题1通过学生熟悉的实际问题引出课题，追问1帮助学生进一步熟悉幂函数的结构特征．
二、新知探究
1．确定研究思路
问题2：（1）对于一类新函数，请你思考我们需要从哪些方面入手去研究？
（2）你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究幂函数性质的方法吗？
师生活动：学生回忆函数的概念与性质的探究思路，老师在学生回答的基础上补充．
预设的答案：（1）函数的对应关系的表示、定义域、值域、单调性和奇偶性等．（2）通常先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题．
设计意图：问题（1）帮助学生确立具体的研究目标，问题（2）是帮助学生确立研究方法．
2．幂函数的图象与性质
问题3：请你在同一坐标系中画出函数y＝x，y＝x2，y＝x3
，y＝x和y＝的图象，结合解析式观察函数图象，将你发现的结论填写在表1内．
表1
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
师生活动：学生可以顺利画出y＝x，y＝x2和y＝的图象，但是在画y＝x3
和
y＝x的图象时会遇到困难，老师引导学生通过解析式先得到部分性质，比如定义域，奇偶性，甚至是单调性，然后学生再用描点法画图，最后老师借助画图软件作出图象再加以认识．
预设的答案：如图1和表2．
表2
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在(－∞，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在(－∞，＋∞)上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减
问题4：
从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，请同学们根据图象和表格，寻找这5个幂函数的共性？在获得了上面几条性质之后，引导学生关注函数图像所过特殊点及变化趋势。
设计意图：引导学生通过观察函数的图像，得出五个函数各自性质基础上，归纳共性和差异性，得出幂函数的一些基本性质。
问题5：这五个函数有没有公共定义域，单调性如何？
利用函数图像我们得到了五个密函数的上述性质，事实上观察得到的结论有时是不可靠的。我们还应对它进行严格的证明。你能证明
y＝x是增函数吗？
设计意图：由于之前幂函数的基本性质是由图象观察得来，本题弥补了由图象归纳性质的不严谨，同时也是对刚刚学习的一般函数单调性定义的应用，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
证明幂函数
f(x)＝是增函数．
师生活动：老师引导学生分析证明单调性的方法--定义法，并回忆用定义证明单调性的步骤，学生的难点一般在代数变形上，这里采用分子有理化的方法，老师应给予指导．
3．幂函数性质的应用
利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）(－1.5)3，(－1.4)3；
（2），．
师生活动：学生缺乏利用函数的单调性比大小的经验，容易将两个数看成孤立的数值，老师要引导学生用函数的眼光分析问题．
预设答案：
（1）(－1.5)3和(－1.4)3可看作函数y＝x3当x分别取－1.5和－1.4时所对应的两个函数值．y＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，因为－1.5＜－1.4
，所以(－1.5)3＜(－1.4)3．
（2）和可看作函数y＝当x分别取－1.5和－1.4时所对应的两个函数值.y＝在(－∞，0)上单调递减，因为－1.5＜－1.4
，所以＞．
设计意图：通过利用幂函数y＝x3和y＝x－1的单调性比较大小，加深对幂函数性质的理解，提升学生的逻辑推理素养．
（三）归纳小结
教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答下列问题：
（1）什么是幂函数？结合具体的幂函数，你能说说幂函数具有哪些性质吗？
（2）结合对五个幂函数的研究过程，你能归纳一下函数的研究内容和方法吗？
设计意图：回顾本课的主要知识和研究过程，总结研究函数的内容、思路和方法.
(四)布置作业：教科书习题3.3第2,3题.
图1
