2020-2021学年冀教新版八年级上册数学《第17章 特殊三角形》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年冀教新版八年级上册数学《第17章
特殊三角形》单元测试卷
一．选择题
1．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（　　）
A．20
B．16
C．12
D．16或20
2．如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（　　）
A．4
B．3
C．5
D．1.5
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论：
①△ABE的面积等于△BCE的面积；
②AF＝AG；
③∠FAG＝2∠ACF；
④BH＝CH．
其中正确的是（　　）
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①②③④
4．下列四组数，是勾股数的是（　　）
A．1，2，3
B．2，3，4
C．1，，3
D．5，12，13
5．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　）
A．1+
B．2+
C．5﹣
D．
6．如图，点C在∠DAB的内部，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD＝CB，那么Rt△ADC≌Rt△ABC的理由是（　　）
A．SAS
B．ASA
C．HL
D．SSS
7．在△ABC中，有下列条件：
①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C．其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，点D在CA的延长线上，∠BDA＝30°，则CD的长是（　　）
A．2+2
B．4﹣2
C．4+2
D．4+4
9．如图：三个正方形和一个直角三角形，图形A的面积是（　　）
A．225
B．144
C．81
D．无法确定
10．下列说法中错误的是（　　）
A．有一组邻边相等的矩形是正方形
B．在反比例函数中，y随x的增大而减小
C．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
D．如果用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°
二．填空题
11．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＞CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°．其中正确的有　
　．（填正确的序号）
12．如图，在Rt△ABC中，∠C═90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E．若∠DBE＝25°，则∠CAB＝　
　．
13．用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”．第一步应假设：　
　．
14．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边是　
　cm．
15．一个等腰直角三角形的一条直角边是4厘米，它的面积是　
　平方厘米．
16．已知直角三角形的两边a，b满足a2+＝10a﹣25，则△ABC的面积为　
　．
17．一个直角三角形的两边长分别是3和7，则第三边长的平方为　
　．
18．已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为　
　三角形．
19．如图，把图1中边长分别为3和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为　
　．
20．如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝　
　时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．
三．解答题
21．如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线，求∠C、∠ADB的度数．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝38°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
23．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系．
24．已知△ABC的三边a＝m﹣n（m＞n＞0），b＝2，c＝m+n．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．
25．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的两个动点（不与点A，B，C重合），且AE＝CF，延长BC到G，使CG＝CF，连接EG，DF．
（1）依题意将图形补全；
（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点E，F运动过程中，始终有EG＝DF．经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：
想法一：连接DE，DG，证明△DEG是等腰直角三角形；
想法二：过点D作DF的垂线，交BA的延长线于H，可得△DFH是等腰直角三角形，
证明HF＝EG；
…
请参考以上想法，帮助小华证明EG＝DF．（写出一种方法即可）
26．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）
2020年11月20日宫老师的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：当腰为8时，周长＝8+8+4＝20；
当腰长为4时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为8，这个三角形的周长是20．
故选：A．
2．解：∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝∠GEF，
∵∠1＝∠BEF，
∴CD∥AB，
∴∠EGF＝∠GEB，
∴∠GEF＝∠EGF，
∴△EFG是等腰三角形，
∴FG＝EF＝3，
故选：B．
3．解：∵BE是中线得到AE＝CE，
∴S△ABE＝S△BCE，故①正确；
∵∠BAC＝90°，AD是高，
∴∠ABC＝∠DAC，
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵∠AFG＝∠FBC+∠BCF，∠AGF＝∠GAC+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故②正确；
∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠ACB＝90°，
∴∠BAD＝∠ACB，
而∠ACB＝2∠ACF，
∴∠FAG＝2∠ACF，故③正确．
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：C．
4．解：A、∵12+22≠32，
∴1，2，3不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、∵32+22≠42，
∴4，2，3不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、∵12+（）2≠32，
∴1，，3不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、∵52+122＝132，
∴5，12，13是勾股数，故本选项符合题意；
故选：D．
5．解：∵四边形EFGH为正方形，
∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，
∵OG＝GP，
∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，
∴∠PBG＝22.5°，
又∵∠DBC＝45°，
∴∠GBC＝22.5°，
∴∠PBG＝∠GBC，
∵∠BGP＝∠BGC＝90°，BG＝BG，
∴△BPG≌△BCG（ASA），
∴PG＝CG．
设OG＝PG＝CG＝x，
∵O为EG，BD的交点，
∴EG＝2x，FG＝x，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴BF＝CG＝x，
∴BG＝x+x，
∴BC2＝BG2+CG2＝＝，
∴＝．
故选：B．
6．解：∵CD⊥AD，CB⊥AB，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴在Rt△ADC和Rt△ABC中
，
∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），
故选：C．
7．解：①由∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：2∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；
②设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∠A+∠B+∠C＝180°得到：6x＝180°，则x＝30°，∠C＝3x＝90°，所以△ABC是直角三角形；
③由∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：∠A+∠A+∠A＝180°，则∠A＝（）°，所以△ABC不是直角三角形；
④∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：∠A+∠A+2∠A＝180°，则∠A＝45°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；
综上所述，能确定△ABC是直角三角形的条件有3个．
故选：C．
8．解：如图，作BE⊥AC于E．
∵AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝4，
∵BE⊥AC，
∴AE＝EC，
∴BE＝AE＝EC＝2，
∵∠BED＝90°，∠BDE＝30°，
∴DE＝BE＝2，
∴CD＝DE+EC＝2+2，
故选：A．
9．解：直角三角形的直角边的平方＝225﹣144＝81，
∴图形A的面积是81．
故选：C．
10．解：A、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，不合题意；
B、在反比例函数中，每个象限内，y随x的增大而减小，故原说法错误，符合题意；
C、顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，正确，不合题意；
D、如果用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°，正确，不合题意；
故选：B．
二．填空题
11．解：①∵BF是∠ABC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，∠ACF＝∠BCF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠BFD，∠BCF＝∠EFC（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠EFC，
∴DB＝DF，EF＝EC，
∴△BDF和△CEF都是等腰三角形，
∴①选项正确，符合题意；
②∵DE＝DF+FE，
∴DB＝DF，EF＝EC，
∴DE＝DB+CE，
∴②选项正确，符合题意；
③∵△ADE的周长为＝AD+DE，
∵DE＝DB+CE，
∴△ADE的周长为＝AD+DB+AE+CE＝AB+AC，
∴③选项正确，符合题意；
④根据题意不能得出BF＞CF，
∴④选项不正确，不符合题意；
⑤∵若∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣80°＝100°，
∵∠ABF＝∠CBF，∠ACF＝∠BCF，
∴∠CBF+∠BCF＝×100°＝50°，
∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣50°＝130°，
∴⑤选项正确，符合题意；
故答案为：①②③⑤．
12．解：∵BE⊥AE，
∴∠E＝∠C＝90°，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴∠CAD＝∠DBE＝25°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠CAD＝50°，
故答案为50°．
13．解：用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”
第一步应假设：这两条直线不平行，
故答案为：这两条直线不平行．
14．解：若4cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣4﹣4＝2（cm），4+4＞2，符合三角形的三边关系；
若4cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣4）÷2＝3（cm），此时三角形的三边长分别为3cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；
∴等腰三角形的底边长为2或4cm，
故答案为：2或4．
15．解：∵一个等腰直角三角形的一条直角边是4厘米，
∴另一条直角边为4厘米，
∴等腰直角三角形的面积＝×4×4＝8（平方厘米），
故答案为：8．
16．解：∵a2+＝10a﹣25，
∴a2﹣10a+25+＝0，
∴（a﹣5）2+＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣3＝0，
解得，a＝5，b＝3，
∵直角三角形的两边a，b，
∴当a、b为直角边时，△ABC的面积为：3×5÷2＝7.5，
当a是斜边时，另一条直角边长是：＝4，则△ABC的面积为：3×4÷2＝6，
故答案为：7.5或6．
17．解：当第三边是斜边时，则有第三边的平方＝32+72＝58；
当第三边是直角边时，则有第三边的平方＝72﹣32＝40．
则第三边长的平方为58或40．
故答案是：58或40．
18．解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|x﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意，舍去，
∴a＝2，
∴a＝b＝2，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰．
19．解：4﹣3＝1，
1×1＝1．
故图2中小正方形ABCD的面积为1．
故答案为：1．
20．解：当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，
∵BC＝8，BP＝2，
∴PC＝6，
∵AB⊥BC、DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
在△ABP和△PCD中，
∴△ABP≌△PCD（SAS），
故答案为：2．
三．解答题
21．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
又∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝36°，
∴∠ADB＝180°﹣（36°+36°）＝108°．
∴∠C＝72°，∠ADB＝108°．
22．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝38°，
∵D为BC的中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣38°＝52°．
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF＝∠EBC，
∵EF∥BC，
∴∠EBC＝∠BEF，
∴∠EBF＝∠FEB，
∴BF＝EF．
23．解：（1）如图（1），∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD，
又∵∠2＝2∠1，
∴∠2＝2∠EGD，
又∵∠FGE＝60°，
∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，
∴∠1＝40°；
（2）如图（2），∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠CGE＝180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，
又∵∠FEG+∠EGF＝90°，
∴∠AEF+∠FGC＝90°．
24．解：（1）∵△ABC的三边a＝m﹣n（m＞n＞0），b＝2，c＝m+n，
而2＜m+n，m﹣n＜m+n，
∴（m﹣n）2+（2）2＝m2+n2﹣2mn+4mn＝（m+n）2，
即a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）当m＝4，n＝1时，直角三角形的边长为3，4，5；
当m＝9，n＝4时，直角三角形的边长为5，12，13．（答案不唯一）
25．解：（1）依题意补全图形如图所示；
（2）如图，连接DE，DG，
∵在正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∵∠DCF＝90°，
∴DC⊥FG，
∵CF＝CG，
∴DF＝DG，
∴∠CDF＝∠CDG，
∴DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，
∵∠ADC＝90°，
∴∠EDG＝90°，
∴△EDG是等腰直角三角形，
∴EG＝DG＝DF．
26．证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE．
∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE．
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）
27．证明：假设PB≥PC．
把△ABP绕点A逆时针旋转，使B与C重合，
∵PB≥PC，PB＝CD，
∴CD≥PC，
∴∠CPD≥∠CDP，
又∵AP＝AD，
∴∠APD＝∠ADP，
∴∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP，即∠APC≥∠ADC，
又∵∠APB＝∠ADC，
∴∠APC≥∠APB，与∠APB＞∠APC矛盾，
∴PB≥PC不成立，
综上所述，得：PB＜PC．