人教版 八年级数学上册13.3 等腰三角形 突破训练（Word版 含答案）

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八年级数学13.3
等腰三角形
突破训练
一、选择题
1.
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC边上的动点，则AP的长可能是(　　)
A．2
B．5.2
C．7.8
D．8
2.
分式方程＝的解是(　　)
A.
x＝1
B.
x＝－1
C.
x＝2
D.
x＝－2
3.
下列各式是分式方程的是(　　)
A.＋＝1
B.＋2x＝3
C.＝2
D.－
4.
分式方程＋＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的是(　　)
A．x＋2＝3
B．x－2＝3
C．x－2＝3(2x－1)
D．x＋2＝3(2x－1)
5.
在求3x的倒数的值时，嘉淇同学误将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是(　　)
A.
＝－5
B.
＝＋5
C.
＝8x－5
D.
＝8x＋5
6.
西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时!某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾.设乙车单独清理全部垃圾所用的时间为x小时，根据题意可列出方程为
(　　)
A.+=1
B.+=
C.+=
D.+=1
7.
如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是(　　)
A．∠B＝∠C
B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD
C．AD⊥BC，BD＝CD
D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD
8.
分式方程－＝的解为(　　)
A．x＝3
B．x＝－3
C．无解
D．x＝3或x＝－3
9.
若关于x的方程=有增根，则m的值与增根x的值分别是
(　　)
A.-4，2
B.4，2
C.-4，-2
D.4，-2
10.
(2019?梧州)如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，则的周长是
A．12
B．13
C．14
D．15
二、填空题
11.
如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF＋∠CEF＝________°.
12.
如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝________．
13.
已知分式方程=无解，则m=　　　　　.?
14.
如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．
15.
在正数范围内定义一种运算“※”，其规则为a※b=+，如2※4=+=.根据这个规则求得x※(-2x)=的解为　　　　.?
16.
如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠A＝105°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC为等腰三角形时，顶角的度数是__________．
　
三、解答题
17.
如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求∠BFD的度数．
18.
如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，连接AC交DE于点M.
(1)求证：AD＝BE；
(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；
(3)△DBC是等腰三角形吗？说明理由．
19.
如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角平分线于点F.探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由．
20.
整体换元法阅读下列材料，回答问题：
方程－＝－的解为x＝1；
方程－＝－的解为x＝2；
方程－＝－的解为x＝3；
……
(1)请你观察上述方程及其解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并写出这个方程的解；
(2)根据(1)中所得的结论，写出一个解为x＝－5的分式方程．
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八年级数学13.3
等腰三角形
突破训练-答案
一、选择题
1.
【答案】B　[解析]
根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6.∴AP的长不能大于6.
2.
【答案】A　【解析】从形式上看是可以化为一元一次方程的分式方程，可以先去分母得：2x＝x＋1，∴x＝1.也可以利用方程的解的概念，把所提供的四个答案代入检验；可得正确答案为A，体现了数学问题可以从多个角度去分析问题，解决问题．
3.
【答案】C
4.
【答案】C　[解析]
方程两边都乘(2x－1)，得x－2＝3(2x－1)．
5.
【答案】B　【解析】根据题意可知：8x的倒数比3x的倒数小5，所以可列方程为＝＋5.
6.
【答案】B　[解析]
由甲、乙两车合作1.2小时完成整个工作的一半，可得
+=.
7.
【答案】D　[解析]
选项A由等角对等边可得△ABC是等腰三角形；选项B由所给条件可得△ADB≌△ADC，由全等三角形的性质可得AB＝AC；选项C由垂直平分线的性质可得AB＝AC；选项D不可以得到AB＝AC.
8.
【答案】C　[解析]
去分母，得12－2(x＋3)＝x－3.解得x＝3.检验：当x＝3时，x2－9＝0，故x＝3不是原分式方程的解．故原方程无解．
9.
【答案】B
10.
【答案】B
【解析】∵是的边的垂直平分线，∴，∵，∴的周长是：．故选B．
二、填空题
11.
【答案】120　[解析]
由于△ABC是等边三角形，所以∠A＝60°.
所以∠ADE＋∠AED＝120°.
因为将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，所以∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF.
所以∠ADF＋∠AEF＝2(∠ADE＋∠AED)＝240°.
所以∠BDF＋∠CEF＝360°－(∠ADF＋∠AEF)＝120°.
12.
【答案】40°　[解析]
如图．∵△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°.∵a∥b，∴∠2＝∠BDC＝60°.
由三角形的外角性质和对顶角的性质可知，∠1＝∠2－∠A＝40°.
13.
【答案】3或1　[解析]
去分母，得x-2=mx，
即(m-1)x=-2.
由分式方程无解，得x+1=0，即x=-1①或m-1=0②.
把x=-1代入整式方程，得-(m-1)=-2，解得m=3.
由m-1=0，得m=1.
综上，m=3或m=1.
14.
【答案】16　[解析]
如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝AC＝4，∴S△ABC＝AB·DC＝×8×4＝16.
15.
【答案】x=　[解析]
x※(-2x)=+=，即-=，解得x=.经检验，x=是原分式方程的解.
16.
【答案】105°或55°或70°　[解析]
(1)如图①，点P在AB上时，AP＝AC，顶角∠A＝105°.
(2)∵∠B＝20°，∠BAC＝105°，
∴∠ACB＝180°－20°－105°＝55°.
点P在BC上时，如图②，若AC＝PC，则顶角∠C＝55°.
如图③，若AC＝AP，则顶角∠CAP＝180°－2∠C＝180°－2×55°＝70°.
综上所述，顶角为105°或55°或70°.
三、解答题
17.
【答案】
解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝CA.
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD.
(2)∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.
∵∠BFD＝∠ABE＋∠BAD，
∴∠BFD＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝60°.
18.
【答案】
解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＋∠DBC＝90°.
∵CE⊥BD，
∴∠BCE＋∠DBC＝90°.
∴∠ABD＝∠BCE.
在△DAB和△EBC中，
∴△DAB≌△EBC(ASA)．
∴AD＝BE.
(2)证明：∵E是AB的中点，∴AE＝BE.
∵BE＝AD，
∴AE＝AD.
∴点A在线段ED的垂直平分线上．
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°.
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°.
在△EAC和△DAC中，
∴△EAC≌△DAC(SAS)．
∴CE＝CD.
∴点C在线段ED的垂直平分线上．
∴AC是线段ED的垂直平分线．
(3)△DBC是等腰三角形．
理由：由(1)知△DAB≌△EBC，∴BD＝CE.
由(2)知CE＝CD.
∴BD＝CD.
∴△DBC是等腰三角形．
19.
【答案】
解：OE＝OF.
理由：∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.
∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF.
∴OE＝OC，OC＝OF.∴OE＝OF.
20.
【答案】
解：(1)分式方程中的四个分母都可看作是未知数与一个整数的差，这四个整数左边两个连续，右边两个连续，左右两边不连续，但只间隔一个整数，每个分式的分子都是1，方程的解正好是中间被省略的那个整数，
即－＝－，方程的解是x＝n(n为整数)．
(2)将n＝－5代入上式，可得所求分式方程为
－＝－.