教
案
教学基本信息
课题
随机事件与概率（第四课时）
学科
数学
学段：
高中
年级
高一
教材
书名：
普通高中教科书数学必修第二册（A版）
出版社：人民教育出版社
出版日期：
2019年
6
月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1．理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则；
2．通过类比函数的性质，揭示事件的关系与运算，研究概率的性质，培养学生的类比与归纳的数学思想，提升从特殊到一般的分析问题的能力；
3．用实际问题，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思维，提升数学抽象、数学建模、逻辑推理和数学运算素养．
教学重点：概率的性质
教学难点：概率的性质与运用
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质．例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用．
类似的，在给出概率的定义后，我们来研究概率的基本性质．
介绍本节课的研究方法：从定义出发，研究概率的基本性质．
新课
思考1：从概率的定义出发，可以研究概率的哪些性质？
由概率的定义可知，
因为
所以：任何事件的概率都是非负的；即．
性质1
对任意事件A，都有．
在每次实验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生．得到特殊事件的概率：
性质2
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，
即，．
在“事件的运算和关系”中，我们研究过事件的某些关系，具有这些关系的事件，它们的概率之间会有什么关系呢？
思考2设事件A与事件B互斥，和事件的概率与事件A，B的概率之间具有怎样的关系？
为了同学们方便完成这个探究问题，请大家看我们已经做过的一个题目：
一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4）从袋中不放回地依次随机摸出2个球．求下列事件的概率：
事件R=“两次都摸到红球”；
（2）事件G=“两次都摸到绿球”，
（3）事件=“两次摸到的球颜色相同”．
分析：用数组(x,y)表示摸球的结果，
x是第一次摸到的球的标号，
y是第二次摸到的球的标号，
则样本空间Ω={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}．
n(Ω)=12．
解：（1）事件R=“两次都摸到红球”，
所以R={(1,2)，(2,1)}，
n(R)=2，n(Ω)=12，
所以，．
（2）事件G=“两次都摸到绿球”，
所以G={(3,4)，(4,3)}，
n(G)=2，n(Ω)=12，
所以，．
（3）事件=“两次摸到的球颜色相同”，
所以，
n()=4，n(Ω)=12，
所以，．
回顾解题过程：
事件R与事件G是互斥事件，
所以，事件R与G的和事件包含的样本点恰好是事件R包含的样本点和事件G包含的样本点；
所以，4==2+2，
将上式的每一项都除以n(Ω)：
由概率的定义，可得：．
因此，从特殊到一般，如果A、B是一个随机试验中的两个互斥事件，那么A与B不含有相同的样本点，所以，这等价于，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和．
所以，我们有互斥事件的概率加法公式：
性质3
如果事件A与事件B互斥，那么
互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况．如果事件两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率值和，即．
回到刚才的问题：
一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4）从袋中不放回地依次随机摸出2个球．事件N=“两个球颜色不相同”，求P(N)．
解：事件N是两个球颜色不相同，
所以N={(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(4,1)，
(3,2)，(4,2)}，
n(N)=8，n(Ω)=12，
所以，．
还可以用其他方法求事件N的概率吗？
事件M与事件N互为对立事件，
所以，，．
所以，．
所以，．
如果A、B是一个随机试验中的两个对立事件，用同样的方法可以证明：．
由此得到：
性质4
如果事件A与事件B互为对立事件，那么
，．
例
从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”．求
（1）C=“抽到红花色”，求P(C)；
（2）D=“抽到黑花色”，求P(D)．
分析：（1）一副不包含大小王的扑克牌，有红心，方片，黑桃，梅花四种花色，事件C是抽到红花色，即抽到红心或方片，所以，
因为随机抽取一张扑克牌，抽到红心和方片是不可能同时发生的，所以事件A与事件B是互斥事件，
根据互斥事件的概率加法公式，即可得到
．
事件A=“抽到红心”，红心从A到k共有13张，
由概率的定义，可知，
同理，．
所以，．
解：（1）因为，且A与B不会同时发生，
所以A与B是互斥事件．
根据互斥事件的概率加法公式，
得．
分析：（2）事件D抽到黑花色，与事件C抽到红花色，是不可能同时发生的，而且从一副扑克牌中随机抽取一张，不是黑花色就是红花色，也必然发生其中之一，所以事件C与事件D互为对立事件．
由对立事件的概率公式，可得．
由（1）知，，
所以，．
解：（2）因为C与D互斥，又因为C∪D是必然事件，
所以C与D互为对立事件．
因此．
思考3
一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4）从袋中不放回地依次随机摸出2个球．事件R1=“第一次摸到红球”，事件R=“两次都摸到红球”，事件R1与事件R有什么关系？他们的概率又具有怎样的关系？
分析：事件R1=第一次摸到红球，
所以R1={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，，
事件R=两次都摸到红球，
所以R={(1,2)，(2,1)}，，
所以，对于事件R与R1，，
即事件R发生，则事件R1一定发生，
且，
于是，
由概率的定义，得到：．
所以，对于一个随机试验中的两个事件A、B，如果，即事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A发生的概率不超过事件B发生的概率．于是我们有概率的单调性：
性质5
如果，那么．
由性质5可得：对于任意事件A，因为，所以．
思考4：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4）从袋中不放回地依次随机摸出2个球．事件R1=“第一次摸到红球”，事件R2=“第二次摸到红球”，那么与之间有什么关系？
分析：事件R1=第一次摸到红球，
所以R1={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，
，
所以，．
事件R2=第二次摸到红球，
所以R2={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)}，
，
所以，．
和事件R1∪R2=“两个球中有红球”，
所以R1∪R2={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，
，
所以，．
通过计算我们发现：．
为什么不相等呢？
因为，={(1,2)，(2,1)}，
所以事件R1与事件R2
不是互斥事件，
不能用互斥事件的概率加法公式计算和事件的概率．
那么如何计算呢？
对三类事件的样本点进行分析，可以发现：
，，，
因为={(1,2)，(2,1)}，，
所以：．
将上式的每一项都除以n(Ω)：
．
由概率的定义，可得：
．
于是，我们得到，一个随机试验中两个不互斥的事件，它们的和事件发生的概率公式：
性质6
设A、B是一个随机试验中的两个事件，我们有
．
显然，性质是性质的特殊情况．
说明本节课的研究内容及研究方法．
概率的取值范围
特殊事件的概率
以古典概型概率的定义为出发点，采用由特殊到一般的方法研究概率的基本性质
性质---互斥关系的事件概率间的关系
利用性质3推出性质4----对立关系的事件概率间的关系
想要正确的运用我们学习的这两个公式，需要分析清楚事件之间的基本关系，明确公式成立的条件，才能利用相应的性质，使问题迎刃而解．
利用定义推导具有包含关系的事件之间概率关系
性质5--包含关系的事件概率间的关系，
完善概率的取值范围．
由具体实例出发研究，一个随机试验中两个不互斥的事件，它们的和事件发生的概率公式．
由特殊到一般得到性质6，一个随机试验中的两个事件概率的关系．
例题
例、为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料，若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？
分析：从一箱中随机抽出2罐饮料，共有4种情况：
第一种情况：两罐都中奖；
第二种情况：第一罐中奖，第二罐不中奖；
第三种情况：第一罐不中奖，第二罐中奖；
第四种情况：两罐都不中奖．
在一次试验中，有一种情况发生，则另外三种情况不可能同时发生．
从一箱中随机抽出2罐能够中奖的饮料，包含前三种情况．
解：我们不妨用事件A=“中奖”，事件“第一罐中奖”，事件“第二罐中奖”，那么事件=“两罐都中奖”，事件=“第一罐中奖，第二罐不中奖”，事件=“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且．
因为两两互斥，
所以根据互斥事件的概率加法公式，可得
．
借助树状图，来求相应事件的样本点数．
样本空间包含的样本点总个数，
每个样本点都是等可能的，是古典概型问题．
因为，
所以利用互斥事件的概率加法公式，可得：．
所以，从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率等于．
上述解法需要分若干种情况计算概率，有没有更简便的方法呢？对于这个问题也可以这样进行思考：
分析：事件A=“中奖”的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，所以只要求出两罐都不中奖的概率，这样就可以利用对立事件的概率公式来求事件A=“中奖”发生的概率．
另解：事件=“两罐都不中奖”，
通过树状图，可得：，
由概率的定义，可得，
因此，利用对立事件的概率公式，可得
．
所以，从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率等于．
利用互斥事件、对立事件概率公式解决问题
遇到一个较复杂的概率问题，首先要不重不漏地将试验结果分类，用简单事件表示复杂事件，分析清楚事件的关系和运算，再利用概率的性质，运用公式进行计算．
总结
以古典概型为具体的实例支撑，由特殊到一般地研究概率的研究概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系（互斥、对立、包含）时，它们的概率之间的关系，得到概率的6条性质，利用概率的性质，可以简化概率的计算．
作业
已知．
（1）如果，那么
，
．
（2）如果互斥，那么
，
．
指出下列表述中的错误：
（1）某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率是0.5；
（2）如果事件A与事件B互斥，那么一定有．
在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进
行表演，他们按照性别（M（男），F（女））及年级（G1（高一）、G2（高二）、G3（高三））分类统计的人数如下表：
G1G2G3M182014F17247
若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：
，
，
，
，
，
，
．
具有特殊关系的事件，和事件与积事件发生的概率求解
概率性质的辨析
进一步深化巩固概率性质的运用(共49张PPT)
高一年级
数学
随机事件与概率（第四课时）
思考1
从概率的定义出发，可以研究概率的哪些性质？
概率的定义：
．
．
所以
．
，
因为
性质1
对任意的事件A，都有
．
性质2
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，
即
．
思考2
设事件A与事件B互斥，和事件
的概率与事件A，B的概率之间具有怎样的关系？
一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4）从袋中不放回地依次随机摸出2个球．求下列事件的概率：
（1）事件R=“两次都摸到红球”，
（2）事件G=“两次都摸到绿球”
，
（3）和事件
=“两次摸到的球颜色相同”．
分析：用数组(x,y)表示摸球的结果，
x是第一次摸到的球的标号，y是第二次摸到的球的标号，
n(Ω)=12．
样本空间Ω
={(1,2)，(1,3)，(1,4)，
(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，
(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}
．
解：（1）事件R=“两次都摸到红球”，
因为n(R)=2，
n(Ω)=12，
所以
．
所以R={(1,2)，(2,1)}．
解：（2）事件G=“两次都摸到绿球”，
因为n(G)=2，
n(Ω)=12，
所以
．
所以G={(3,4)，(4,3)}．
所以
．
解：（3）事件
=“两次摸到的球颜色相同”，
所以
={(1,2)，(2,1)，(3,4)，(4,3)}．
n(Ω)=12，
因为n(
)=4，
R={(1,2)，(2,1)}，
事件R与事件G互斥，
G={(3,4)，(4,3)}，
={(1,2)，(2,1)，(3,4)，(4,3)}，
所以
．
所以
．
所以
．
所以
．
因为事件A与事件B互斥，
所以
．
所以
．
性质3
如果事件A与事件B互斥，那么
．
推广
如果事件
两两互斥，那么
．
一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4）从袋中不放回地依次随机摸出2个球．事件N
=“两个球颜色不相同”，求P(N)．
解：事件N
=“两个球颜色不相同”，
所以N={(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(4,1)，
(3,2)，(4,2)}．
因为n(N)=8，
n(Ω)=12，
所以
．
另解：因为事件M
与事件N
互为对立事件，
．
．
所以
，
．
所以
所以
性质4
如果事件A与事件B互为对立事件，那么
．
例
从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”．
（1）C
=“抽到红花色”，求
P(C)
；
（2）D
=“抽到黑花色”，求
P(D)
．
分析：
A与B是互斥事件，
由互斥事件的概率加法公式可得P(C)=P(A)
+P(B)
．
（1）
，
事件A=“抽到红心”，
，
事件B=“抽到方片”，
，
所以
．
解：（1）因为
，
且A与B不会同时发生，
由互斥事件的概率加法公式，得：
．
所以A与B是互斥事件．
所以C
与D互为对立事件．
，
分析：
由对立事件的概率公式可得P(D)=1－P(C)
．
（2）
，
由（1）知
，
所以
．
解：（2）因为C
与D互斥，又因为
是必然事件，
所以C
与D互为对立事件．
因此
．
思考3
一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4）从袋中不放回地依次随机摸出2个球．事件R1=“第一次摸到红球”，事件R=“两次都摸到红球”，事件R1与事件R有什么关系？他们的概率又具有怎样的关系？
分析：事件R1=“第一次摸到红球”，
R1={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，
事件R
=“两次都摸到红球”，
R
={(1,2)，(2,1)}，
n(R1)=6．
n(R)=2．
因为
，
且
，
所以
．
．
事件A与事件B，
即事件A发生，则事件B一定发生，
所以
．
因为
，
性质5
如果
，那么
．
对于任意事件A，又因为
，所以
．
思考4
一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4）从袋中不放回地依次随机摸出2个球．事件R1=“第一次摸到红球”，事件R2=“第二次摸到红球”，那么
与
之间有什么关系？
R1={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，
n(R1)=6，
n(Ω)=12，
所以
．
分析：事件R1=“第一次摸到红球”，
事件R2=“第二次摸到红球”，
n(R2)=6，
n(Ω)=12，
所以
．
R2={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)}，
分析：
分析：
和事件
，即“两个球中有红球”，
={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，
(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，
n(Ω)=12，
n(
)=10，
所以
．
因为，
．
．
如何计算
？
R1={(1,2)，(2,1)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，
n(R1)=6．
R2={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)}，
n(R2)=6．
={(1,2)，(2,1)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，
(4,1)，(3,2)，(4,2)}，
n(
)=10．
，
={(1,2)，(2,1)}
n(
)=2．
所以
．
所以
．
即
．
性质6
设A，B是一个随机试验中的两个事件，
．
例
为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料，若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？
分析：从一箱中随机抽出2罐饮料，共有4种情况：
①两罐都中奖；
③第一罐不中奖，第二罐中奖；
②第一罐中奖，第二罐不中奖；
④两罐都不中奖．
解：设事件A
=“中奖”，
事件A1=“第一罐中奖”，
那么事件A1A2=“两罐都中奖”，
事件A2=“第二罐中奖”，
事件
=“第一罐中奖，第二罐不中奖”，
事件
=“第一罐不中奖，第二罐中奖”，
且
．
因为
两两互斥，
根据互斥事件的概率加法公式，可得：
．
每个样本点都是等可能的，
样本空间包含的样本点总个数为
，
是古典概型．
借助树状图，求相应事件的样本点数．
，
，
，
所以
因为
．
即“两罐都不中奖”，
分析：事件A“中奖”的对立事件是“不中奖”，
由对立事件的概率公式，可得
．
另解：
事件
“两罐都不中奖”，
所以
．
，
因为
所以
．
课堂小结
性质2
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，
即
．
性质1
对任意的事件A，都有
．
性质3
如果事件A与事件B互斥，那么
．
性质4
如果事件A与事件B互为对立事件，那么
．
性质5
如果
，那么
．
性质6
设A、B是一个随机试验中的两个事件，
．
作业
1．已知
．
（1）如果
，那么
，
．
（2）如果
互斥，那么
，
．
作业
2．指出下列表述中的错误：
（2）如果事件A与事件B互斥，那么一定有
．
（1）某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率是0.5；
作业
3．在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进
行表演，他们按照性别（M（男），F（女））及年级（G1（高一）、G2（高二）、G3（高三））分类统计的人数如下表：
G1
G2
G3
M
18
20
14
F
17
24
7
若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：
作业
，
，
，
，
，
，
．
再见！《随机事件的概率（第四课时）》学习任务单
【学习目标】
本节课重点讲解了概率的基本性质，互斥事件的概率，对立事件的概率，以及概率的单调性；通过观察、类比、归纳，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，运用数学语言，从具体到抽象、从特殊到一般的思维能力；主要涉及到人教A版必修二书中的例11、例12．
【课上任务】
1．概率的定义是什么？
2．概率的取值范围是什么？
3．特殊事件的概率是什么？
4．如果A、B是一个随机试验中的两个互斥事件，它们的概率有什么关系？
5．如果A、B是一个随机试验中的两个对立事件，它们的概率有什么关系？6．一个随机试验中的两个事件A、B，如果，它们的概率有什么关系？
7．一个随机试验中两个不互斥的事件，它们的和事件发生的概率公式是什么？
【课后作业】
1．已知．
如果，那么
，
．
如果互斥，那么
，
．
2．指出下列表述中的错误：
某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率是0.5；
如果事件A与事件B互斥，那么一定有．
3．在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男），F（女））及年级（G1（高一）、G2（高二）、G3（高三））分类统计的人数如下表：
G1
G2
G3
M
18
20
14
F
17
24
7
若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：
，
，
，
，
，
，
．
【课后作业参考答案】
1．（1）因为，所以，．
（2）因为互斥，所以，．
2．（1）因为“明天下雨”和“明天不下雨”互为对立的事件，概率之和应为1；（2）两个事件互斥，未必互为对立事件，概率之和可能小于1．
3．
52%，48%，1，0，
35%，76%，7%．
